고등수학(상) 내신·모의고사 대비 TEST 해설

전체 글

(1)

Ⅰ. 다항식

Ⅱ. 방정식과 부등식

Ⅲ. 도형의 방정식

®

[수학(상)]

내신・모의고사

대비

T

E

S

T

[정답 및 해설]

(2)

1.풀이 참조 2.0 3.190 4.2 5.52 6.-5 7.4 8.148 9.⑴ -2 ⑵ 4 10.49 11.24 12.20'2

01 다항식의 연산

S U M M A C U M L A U D E 본문 450쪽

내신・모의고사 대비

TEST

0

1

⑴ -3x¤ -5x¤ y+3xy¤ -26y¤ ⑵ -2x¤ -x¤ y-5xy¤ +55y¤

0

2

(x-1)(x-2)(x¤ +x+1)(x¤ +2x+4) =(x-1)(x¤ +x+1)(x-2)(x¤ +2x+4) =(x‹ -1)(x‹ -8) =xfl -9x‹ +8 따라서 a=1, b=-9, c=8이므로 a+b+c=0 0

0

3

(x+2)(x+4)(x+1)(x+8) =(x¤ +6x+8)(x¤ +9x+8) 에서 x¤ _8+6x_9x+8_x¤ =(8+54+8)x¤ =70x¤ 이므로 a=70 또, 6x_8+8_9x=(48+72)x=120x이므로 b=120 ∴ a+b=190 190

0

4

e=1, d=2이므로 c=2, a=2 1 2 2 b 3 2 4 -1 2 4 b+4 2 나머지가 2이므로 b+4=-1 ∴ b=-5 ∴ a+b+c+d+e=2+(-5)+2+2+1=2 2

0

5

{x- }2 +4={x+ }2 이므로 {x+ }2 =16 ∴ x+ =4 (∵ x>0) ∴ x‹ + ={x+ }3 -3 {x+ } =4‹ -3¥4 =64-12=52 52

0

6

x› +x‹ +5x¤ +3x+2 =(x¤ +4)(x¤ +x+1)+(-x-2) x‹ +x+4=(x¤ +4)x+(-3x+4) 이므로 (a¡, a™)=(-1, -2) (b¡, b™)=(-3, 4) ∴ a¡b¡+a™b™=3+(-8)=-5 -5

0

7

4차 이상의 항은 x‹ 의 계수를 구하는 데 사용되 지 않으므로 (1+x+x¤ +x‹ )(1+x+x¤ +x‹ ) 의 전개식만 생각한다. 1_x‹ +x_x¤ +x¤ _x+x‹ _1=4x‹ 이므로 x‹ 의 계수는 4이다. 4

0

8

x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)이므로 45=3‹ -3¥xy¥3=27-9xy

9xy=-18 ∴ xy=-2

∴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=3¤ -2¥(-2)=13

x› +y› =(x¤ +y¤ )¤ -2x¤ y¤ =13¤ -2¥(-2)¤ =161 1 1x 1 1x 1 13x‹ 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x

(3)

∴ x› -x¤ +y› -y¤ =x› +y› -(x¤ +y¤ )

=161-13=148 148

0

9

⑴ a‹ +b‹ +c‹ =3abc에서

a‹ +b‹ +c‹ -3abc

=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)

=(a+b+c)¥ {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }

=0

이 성립하므로

a+b+c=0 또는 a=b=c

그런데 세 수 a, b, c는 서로 다르므로

a+b+c=0

(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서 0=4+2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-2

⑵ (ab+bc+ca)¤ =a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc(a+b+c) 이므로 (-2)¤ =a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc¥0

∴ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =4

⑴ -2 ⑵ 4

10

x¤ +y¤ +z¤ =(x+y+z)¤ -2(xy+yz+zx)

이므로 10=6¤ -2(xy+yz+zx) ∴ xy+yz+zx=13 (x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)에(x+y)(y+z)=xy+xz+y¤ +yz=13+y¤ (y+z)(z+x)=yz+xy+z¤ +xz=13+z¤ (z+x)(x+y)=xz+yz+x¤ +xy=13+x¤ 이므로 (주어진 식)=13_3+x¤ +y¤ +z¤ =39+10=49 49

11

(3¤ +1)(9¤ +1)(81¤ +1) =(3¤ +1)(3› +1)(3° +1) 1 12 =;8!;(3¤ -1)(3¤ +1)(3› +1)(3° +1) =;8!;(3› -1)(3› +1)(3° +1) =;8!;(3° -1)(3° +1) =;8!;(3⁄ fl -1) 따라서 a=16, b=8이므로 a+b=24 24

12

위의 그림과 같이 FG”=a, GH”=b, D’H”=c라 하면 주어진 직육면체의 겉넓이가 30이므로 2(ab+bc+ca)=30 ∴ ab+bc+ca=15 yy ㉠ △AFC의 세 변의 길이의 제곱의 합이 40이므로 (b¤ +c¤ )+(a¤ +c¤ )+(a¤ +b¤ )=40 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =20 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의하여

(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca) =20+2¥15 =50 ∴ a+b+c=5'2 (∵ a+b+c>0) 따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은 4(a+b+c)=4¥5'2=20'2 20'2 A B F G H D C c a b E

(4)

0

1

주어진 식의 좌변을 전개하여 정리하면

(x+2y+az)(bx+3y+z)

=bx¤ +6y¤ +az¤ +(2b+3)xy+(3a+2)yz+(ab+1)zx =2x¤ +6y¤ +3z¤ +cxy+11yz+dzx 양변의 계수를 비교해 보면 b=2, a=3, c=2b+3=2¥2+3=7, d=ab+1=3¥2+1=7 ∴ a+b+c+d=3+2+7+7=19 19

0

2

주어진 등식의 양변에 x=-3을 대입하면 0=-54-9a-3+b ∴ 9a-b=-57 y ㉠ 또한 주어진 등식의 양변에 x=4를 대입하면 0=128-16a+4+b ∴ 16a-b=132 y ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=27, b=300 ∴ a+b=327 327

0

3

다항식 f(x)`가 x-2, x, x+1을 인수로 가지 므로 f(2)=f(0)=f(-1)=0이다. f(0)=c이므로 c=0 f(2)=16a+8b+4-4=0이므로 16a+8b=0 ∴ 2a+b=0 yy ㉠ f(-1)=a-b+1+2=0이므로 a-b=-3 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 ∴ a+b+c=1 1

0

4

주어진 등식의 양변에 x=-1을 대입하면 1+a+b=0 ∴ a+b=-1 yy ㉠ 또한 주어진 등식의 양변에 x¤ =-1을 대입하면 1-a+b=0 ∴ -a+b=-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=0, b=-1 ∴ a-b=1

0

5

f(x)+f(5-x)=10에 x=1을 대입하면 f(1)+f(4)=10 ∴ f(4)=8 다항식 f(x)를 x¤ -5x+4=(x-1)(x-4)로 나누었 을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R(x)=ax+b라 하면 f(x)=(x-1)(x-4)Q(x)+ax+b yy ㉠ ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=2이므로 a+b=2 yy ㉡ ㉠의 양변에 x=4를 대입하면 f(4)=8이므로 4a+b=8 yy ㉢ ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=2, b=0 따라서 R(x)=2x이므로 R(2)=4 4

0

6

다항식 f(x)를 x¤ +2x-3, x¤ -2x-8, x¤ -5x+4로 나누었을 때의 몫을 각각 Q¡(x), Q™(x), Q£(x)라 하면 f(x)=(x¤ +2x-3)Q¡(x)+x-2 f(x)=(x+3)(x-1)Q¡(x)+x-2 f(x)=(x¤ -2x-8)Q™(x)+x+3 f(x)=(x+2)(x-4)Q™(x)+x+3 f(x)=(x¤ -5x+4)Q£(x)+ax+b f(x)=(x-1)(x-4)Q£(x)+ax+b 나머지정리에 의해 f(1)=-1, f(4)=7이므로 a+b=-1, 4a+b=7 두 식을 연립하여 풀면 a= , b=-∴ 3(a-b)=3¥1319=19 19 3 11 133 8 13 1.19 2.327 3.1 4.5.4 6.19 7.2 8.9.2x‹ +x¤ -4 10.190 11.12.③ 본문 452쪽 S U M M A C U M L A U D E

02 항등식과 나머지정리

(5)

0

7

f(x¤ +x+2)를 f(x)=(x+1)(x+a)로 나누 었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -18x-6이므로 f(x¤ +x+2)=(x+1)(x+a)Q(x)-18x-6 위 식의 양변에 x=-1을 대입하면 f(2)=18-6=12 f(x)=(x+1)(x+a)의 양변에 x=2를 대입하면 f(2)=3(2+a)=12 2+a=4 ∴ a=2 2

0

8

다항식 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 a이므로 f(x)=(x-2)Q(x)+a 주어진 조건에서 f(-3)=b이므로 위 식의 양변에 x=-3을 대입하면 f(-3)=-5Q(-3)+a=b ∴ Q(-3)= 따라서 Q(x)를 x+3으로 나눈 나머지는

0

9

다항식 f(x)를 (x+1)(x¤ -x+1), x¤ -1로 나누었을 때의 몫을 각각 Q(x), Q'(x)라 하면 f(x)=(x+1)(x¤ -x+1)Q(x)+x¤ +k =(x-1)(x+1)Q'(x)+2x-3 에서 f(-1)=1+k=-5이므로 k=-6 ∴ f(x)=(x‹ +1)Q(x)+x¤ -6 한편 f(x)를 (x‹ +1)(x-1)로 나눌 때의 몫을 Q"(x) 라 하면 나머지는 3차식이므로 f(x)=(x‹ +1)(x-1)Q"(x)+ax‹ +bx¤ +cx+d 이때 f(x)를 x‹ +1로 나눈 나머지가 x¤ -6이므로 ax‹ +bx¤ +cx+d를 x¤ +1로 나눈 나머지도 x¤ -6이 다. 즉, ax‹ +bx¤ +cx+d=a(x‹ +1)+x¤ -6이므로 f(x)=(x‹ +1)(x-1)Q"(x)+a(x‹ +1)+x¤ -6 으로 놓을 수 있다. a-b 1 1114444445 a-b 1135 f(1)=-1이므로 2a+1-6=-1 ∴ a=2 따라서 구하는 나머지는 2(x‹ +1)+x¤ -6=2x‹ +x¤ -4 2x‹ +x¤ -4

10

f(x)는 x로 나누어떨어지므로 c=0 f(x+99)를 x+100으로 나누었을 때의 몫을 Q¡(x)라 하면 f(x+99)=(x+100)Q¡(x)+3 위 식의 양변에 x=-100을 대입하면 f(-1)=3 또한 f(x+100)을 x+99로 나누었을 때의 몫을 Q™(x)라 하면 f(x+100)=(x+99)Q™(x)+1 위 식의 양변에 x=-99를 대입하면 f(1)=1 따라서 f(x)=ax¤ +bx에 대하여 f(-1)=3, f(1)=1 이므로 a-b=3, a+b=1 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1 따라서 f(x)=2x¤ -x이므로 f(10)=200-10=190 190

11

x⁄ ‚ ‚ 을 x+2로 나누었을 때의 나머지를 R라고 하면 R는 상수가 된다. 즉, x⁄ ‚ ‚ =(x+2)Q(x)+R에서 양변에 x=-2를 대 입하면 (-2)⁄ ‚ ‚ =R=2⁄ ‚ ‚ ∴ x⁄ ‚ ‚ =(x+2)Q(x)+2⁄ ‚ ‚ 이때 Q(1)은 Q(x)의 계수의 총합과 같으므로 1⁄ ‚ ‚ =3Q(1)+2⁄ ‚ ‚ ∴ Q(1)=

12

다항식 P(x)를 (2x+5)⁄ ‚ 으로 나누었을 때의 몫이 Q(x), 나머지가 R이므로 1-2⁄ ‚ ‚ 1 11113155

(6)

P(x)=(2x+5)⁄ ‚ Q(x)+R P(x)=2⁄ ‚ {x+;2%;}⁄ ‚ Q(x)+R P(x)=2fl ¥2› {x+;2%;}⁄ ‚ Q(x)+R P(x)=64{x+;2%;}⁄ ‚ {2› Q(x)}+R 따라서 다항식 P(x)를 64{x+;2%;}⁄ ‚ 으로 나누었을 때의 몫은 2› Q(x), 나머지는 R이다.1.풀이 참조 2.-8 3.(3x-1)› 4.5.35 6.25 7.풀이 참조 8.-10 9.16 10.6 11.12.6 본문 454쪽 S U M M A C U M L A U D E

03 인수분해

0

1

⑴ xy(x+3y) ⑵ (x+1)(y+1) ⑶ (2x+1)¤ ⑷ (5x-1)¤ ⑸ (xy-4)¤ ⑹ (3x+4y)¤ ⑺ (x+6y)(x-6y) ⑻ 8x(x+y) ⑼ (x+2)(x+3) ⑽ (x+2)(3x-4) ⑾ (x+3y)(2x-7y) ⑿ (2x+y)(4x¤ -2xy+y¤ ) ⒀ (x-3y)(x¤ +3xy+9y¤ ) ⒁ (x+4)‹ ⒂ (4x-3)‹ ⒃ (3x-2y-z)¤ ⒄ (4x¤ +6xy+9y¤ )(4x¤ -6xy+9y¤ ) ⒅ (2x+y+z)(4x¤ +y¤ +z¤ -2xy-yz-2zx)

0

2

(x¤ -4)(x¤ +2x-3)-12 =(x-2)(x+2)(x+3)(x-1)-12 =(x-2)(x+3)(x+2)(x-1)-12 =(x¤ +x-6)(x¤ +x-2)-12 x¤ +x=A라 하면 (A-6)(A-2)-12 =A¤ -8A=A(A-8) =x(x+1)(x¤ +x-8) ∴ k=-8 -8

0

3

1-6x=A, x¤ =X라고 하면 (1-6x+6x¤ )(1-6x+12x¤ )+9x› =(A+6X)(A+12X)+9X¤ =A¤ +18AX+81X¤ =(A+9X)¤ =(1-6x+9x¤ )¤ ={(1-3x)¤ }¤ =(3x-1)› (3x-1)›

0

4

x-1을 인수로 가지는 두 이차다항식 A, B는 A=(x-1)a, B=(x-1)b (`a, b는 일차항의 계수가 1인 일차식)로 놓을 수 있으므로 AB=(x-1)¤ ab의 꼴 이 된다. AB=x› +7x‹ -3x¤ -19x+14 =(x-1)(x‹ +8x¤ +5x-14) =(x-1)¤ (x¤ +9x+14) =(x-1)¤ (x+2)(x+7) 따라서 두 이차다항식은 (x-1)(x+2)=x¤ +x-2, (x-1)(x+7)=x¤ +6x-7이다. ∴ A+B=2x¤ +7x-9

0

5

27a‹ -54a¤ b+36ab¤ -8b‹ =(3a-2b)‹ =0

(7)

따라서 a=2k, b=3k (`k는 자연수)로 놓으면 a와 b의 곱은 6k¤ =294이므로 k¤ =49 ∴ k=7 (∵ k는 자연수) ∴ a=14, b=21 ∴ a+b=35 35

0

6

M= = =10⁄ ‚ +10fi +1 N= = =10⁄ › -10‡ +1 따라서 M은 10⁄ ‚ <10⁄ ‚ +10fi +1<10⁄ ⁄ 이므로 11자리 자연수이다. ∴ a=11 N은 10⁄ ‹ <10⁄ › -10‡ +1<10⁄ › 이므로 14자리 자연수이다. ∴ b=14 ∴ a+b=25 25

0

7

⑴ xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=y(xz-x-z+1)-(xz-x-z+1)=(xz-x-z+1)(y-1)=(x-1)(z-1)(y-1)=(x-1)(y-1)(z-1) ⑵ 2x¤ -8xy+6y¤ -3x+y-2=2x¤ -(8y+3)x+6y¤ +y-2=2x¤ -(8y+3)x+(3y+2)(2y-1)=(x-3y-2)(2x-2y+1)

⑶ a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b)

=a¤ b-a¤ c+b¤ c-ab¤ +ac¤ -bc¤

=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+bc(b-c)=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}=(a-b)(b-c)(a-c) ⑴ (x-1)(y-1)(z-1) ⑵ (x-3y-2)(2x-2y+1) ⑶ (a-b)(b-c)(a-c) (10‡ +1)(10⁄ › -10‡ +1) 21111111111(10‡ +1) 10¤ ⁄ +1 111310‡ +1 (10fi -1)(10⁄ ‚ +10fi +1) 2111111111110fi -1 10⁄ fi -1 111310fi -1

0

8

공통인 일차식을 A라 하면 f(x)=AB, g(x)=AC일 때 f(x)-g(x)=AB-AC=A(B-C) 이므로 f(x)-g(x)도 A를 인수로 가진다. f(x)-g(x)=x‹ +8=(x+2)(x¤ -2x+4) 에서 x+2는 f(x),g(x)의 공통인 인수이다. 따라서 f(-2)=0이므로 f(-2)=-8+8+2+8+k=0 ∴ k=-10 -10

0

9

(x¤ -2x-3)(x¤ +2x-3)+k =(x+1)(x-3)(x-1)(x+3)+k =(x+1)(x-1)(x-3)(x+3)+k =(x¤ -1)(x¤ -9)+k =x› -10x¤ +9+k 이 식이 x에 대한 이차식의 완전제곱꼴이 되려면 9+k=25 ∴ k=16 16

10

a‹ +b‹ +c‹ -3abc =(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)=0 에서 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이이므로 a+b+c+0이다. 즉, a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca = {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }=0 에서 a=b=c이므로 삼각형 ABC는 정삼각형이다. 이 정삼각형의 넓이가 '3이므로

a¤ ='3, a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0)

따라서 a=b=c=2이므로 세 변의 길이의 합은 2+2+2=6 6 '3 124 1 12

(8)

11

a{ - }+b { - }+c { - } = + + = = = = =0 따라서 a=b 또는 b=c 또는 c=a이므로 조건을 만족 하는 삼각형은 정삼각형이나 이등변삼각형이 될 수 있다. ①

12

xfl -1=(x-1)(xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1) =(x-1)f(x) 이므로 xfl -1은 f(x)로 나누어떨어진다. f(xfl )=x‹ ‚ +x¤ › +x⁄ ° +x⁄ ¤ +xfl +1 ={(x‹ ‚ -1)+(x¤ › -1)+(x⁄ ° -1) +(x⁄ ¤ -1)+(xfl -1)}+6 에서 { } 안의 식은 모두 xfl -1로 나누어떨어지므로 결국 f(xfl )을 f(x)로 나눈 나머지는 6이다. 6 (a-b)(b-c)(c-a) 1111111112abc (c-b){a¤ -(c+b)a+bc} 111111111113abc (c-b)a¤ -(c¤ -b¤ )a+bc(c-b) 111111111111212abc

a¤ c-a¤ b+ab¤ -b¤ c+bc¤ -ac¤

11111111111122abc c(b-a) 11122ab b(a-c) 11122ca a(c-b) 11122bc 1 1b 1 1a 1 1a 1 1c 1 1c 1 1b

0

1

a=1+'2i이므로 aÆ=1-'2i ∴ a+aÆ=2, aaÆ=3 z= 이므로 zÆ= ∴ zzÆ= ¥ = ∴ zzÆ= =;6@;=;3!;

0

2

{ }2 =i, { }2 =-i 이므로 { }2 n _{ }2 n =i « _(-i)« ={i_(-i)}« =1« =1 1

0

3

ㄱ. a=a+bi (a, b는 실수)라 할 때, a=aÆ HjK a+bi=a-bi 양변을 비교하면 실수부분은 서로 같고, 허수부분은 b=-b이므로 b=0이다. 따라서 복소수 a의 허수부분이 0이므로 a는 실수이 다. (참) ㄴ. (반례) a=1+i이면 aÆ=1-i이므로 a+(aÆ)¤ =(1+i)¤ +(1-i)¤ =2i-2i=0

즉, a¤ +(aÆ)¤ =0을 만족하지만 a+0이다. (거짓) ㄷ. (반례) a=1, b=i이면 a+bi=1-1=0 이지만 a+0, b+0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. ① 1-i 113 '2 1+i 113 '2 1-i 113 '2 1+i 113 '2 3-2+1 11113+2+1 aaÆ-(a+aÆ)+1 11111114 aaÆ+(a+aÆ)+1 aÆ-1 112aÆ+1 a-1 112a+1 aÆ-1 112aÆ+1 a-1 112a+1 1.2.1 3.4.3 5.6.7.8.24 9.10.2 11.12.

04 복소수

S U M M A C U M L A U D E 본문 456쪽

(9)

0

4

a(1+i)-3(1-i)=(a-3)+(a+3)i 를 제 곱한 것이 음의 실수이므로 순허수이어야 한다. 즉, a-3=0 ∴ a=3 3

0

5

=-æ 이므로 a>0, b<0 이고, a-b>0 ∴ "√(a-b)¤ -2|a|+"≈b¤ =|a-b|-2|a|+|b| =a-b-2a-b =-a-2b

0

6

x‹ =-1에서 (x+1)(x¤ -x+1)=0 이므로 x는 x¤ -x+1=0의 근이다. ∴ x‹ =-1, x¤ -x+1=0 ① x, x’가 x¤ -x+1=0의 두 근이므로 x+x’=1 (거짓) ② x‹ =-1이므로 xfi +2x‹ +x=-x¤ -2+x=-1 (참) ③ x가 될 수 있는 허수는 2개이다. (거짓) ④ x가 x‹ =-1의 근일 때, x’도 근이 된다. (거짓) ⑤ x¤ ‚ ⁄ ‡ =(x‹ )fl ‡ ¤ ¥x=x (거짓) 따라서 옳은 것은 ②이다. ②

0

7

모든 실수 x에 대하여 (x¤ -1)¤ æ0, x¤ æ0, x¤ +x+1>0이므로 "√-(x√¤ -1√)¤ (x¤ √+x√+1)≈xΩ¤ ="(√x¤ -√1)¤ (√x¤ +√x+1ç)xΩ¤ '∂-å1 =i"(√x¤ -√1)¤ x¤ √ (x¤ √+xç+ç1) a 1b 'a 12 'b 이것이 실수이려면 허수부분이 0이어야 하므로 x¤ -1=0 또는 x¤ =0 이 성립해야 한다. ∴ x=-1, 0, 1 따라서 만족하는 실수 x는 모두 3개이다.

0

8

1+ + + + + + + +y =(1-2i-3+4i)+(5-6i-7+8i)+y =(-2+2i)+(-2+2i)+y =-12+12i (-2+2i)_6=-12+12i이므로 구하는 자연수 n의 값은 4_6=24 24

0

9

① f(1)+f(2)=(2i-i¤ )+(3i¤ -2i‹ )

=-2+4i

f(4)+f(5)=(5i› -4ifi )+(6ifi -5ifl )=10+2i

따라서 f(1)+f(2)는 f(4)+f(5)의 켤레복소수가 아니다. (거짓)

② f(n)=i« {(n+1)-ni}에서

f(n+1)-f(n)

=i« ±⁄ {(n+2)-(n+1)i}-i« {(n+1)-ni} =i« {(n+2)i+(n+1)}-i« {(n+1)-ni} =2(n+1)i« ±⁄ 이므로 f(n+1)-f(n)은 n이 홀수일 때 실수가 된 다. (거짓) ③ f(n)=i« {(n+1)-ni}에서 f(n+1)=i« {(n+2)i+(n+1)} f(n+2)=i« {-(n+3)+(n+2)i} f(n+3)=i« {-(n+4)i-(n+3)} ∴ f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3) =-4i« (거짓) ④ ③에서 f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(n+3)=-4i« 이므로 n=1일 때와 n=5일 때를 각각 대입하여 더 하면 8 1i‡ 7 1ifl 6 1ifi 5 1i› 4 1i‹ 3 1 2 1i

(10)

f(1)+f(2)+f(3)+y+f(8)=-4i-4i =-8i 이므로 순허수이다. (참) ⑤ = = = 따라서 은 항상 순허수가 아니다. (거짓) 따라서 항상 만족하는 것은 ④이다. ④

10

'ƒx-3'ƒx-5=-"√(x-3)(x-5)이므로 x-3<0, x-5<0 ∴ x<3 yy ㉠ =-Æ… 이므로 x>0, x-1<0 ∴ 0<x<1 yy ㉡ ㉠, ㉡에 의해 0<x<1 ∴ |x|+|x-2|=x-(x-2)=2 2

11

z¡=1+i, z™=-1+i, z£=-1-i, z¢=1-i, z∞=1+i, y 따라서 일반화하면 z¢˚–£=1+i z¢˚–™=-1+i z¢˚–¡=-1-i z¢˚=1-i (단, k=1, 2, 3, y) ㄱ. z¡=1+i=1Æ-i”=z¢’ (참) ㄴ. = = =-i = = =-i ∴13z™=13 (참) (-1-i)(1+i) 21111111(1-i)(1+i) -1-i 11141-i 13 (1+i)(-1-i) 311111111(-1+i)(-1-i) 1+i 1114-1+i 13z™ x 112x-1 'x 1114 'ƒx-1 f(n+1) 11115f(n) (n+1)¤ -n(n+2)+2(n+1)¤ i 111111111111132(n+1)¤ +n¤ {(n+2)i+(n+1)}{(n+1)+ni} 111111111111112(n+1)¤ +n¤ i« {(n+2)i+(n+1)} 11111111135i« {(n+1)-ni} f(n+1) 11115f(n) ㄷ. z¢˚–”™Æ=-1”+i”=-1-i+z¢˚–£ (거짓) ㄹ. k=1, 2, 3, y에 대하여 z¢˚–£+z¢˚–™+z¢˚–¡+z¢˚=0이므로 z¡+z™+y+z¡º+z¡¡ =zª+z¡º+z¡¡=z¡+z™+z£ =-1+i =z™=z§ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. ④

12

x=i-'2라 하면 주어진 식은 x› +ax‹ +bx¤ +cx+d=0 yy ㉠ x=i-'2에서 x+'2=i (x+'2)¤ =i¤ , x¤ +3=-2'2x 다시 양변을 제곱하면 x› +6x¤ +9=8x¤ ∴ x› -2x¤ +9=0 yy ㉡ ㉠, ㉡의 계수를 비교하면 a=0, b=-2, c=0, d=9 ∴ a+b+c+d=7

(11)

0

3

두 근의 비가 3 : 2이므로 두 근을 3a, 2a (a+0)로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여 3a+2a=k-1 ∴ 5a=k-1 yy ㉠ 3a¥2a=k ∴ 6a¤ =k yy ㉡ ㉠에서 k=5a+1을 ㉡에 대입하면

6a¤ =5a+1, 6a¤ -5a-1=0 (a-1)(6a+1)=0 ∴ a=1 또는 a=-;6!; 이 값을 ㉡에 대입하면 k=6 또는 k=;6!; 6 또는 ;6!;

0

4

= = =1+2i x¤ +ax-b=0의 계수가 실수이고, 한 근이 1+2i이므 로 다른 한 근은 1-2i이다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 1+2i+1-2i=-a ∴ a=-2 (1+2i)(1-2i)=-b ∴ b=-5 ∴ ab=10 10

0

5

이차방정식 x¤ -2(a+k)x+a¤ +a+t=0의 판별식을 D라 하면

=(a+k)¤ -(a¤ +a+t) =(2k-1)a+k¤ -t=0 이 식이 a에 관한 항등식이므로 2k-1=0, k¤ -t=0 ∴ k=1112, t=1114 k=112, t=141 D 144 -2i-1 1112-1 (-2+i)i 111125 -2+i 1115i

0

1

⑴ a+b= , ab= 이므로 a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b) ={ }3 -3¥ ¥ =-⑵ + = = = =-⑶ 3a¤ +3b¤ +5=3(a¤ +b¤ )+5 =3{(a+b)¤ -2ab }+5 =3[{ }2 -2¥ ]+5=-⑴ - ⑵ -

-0

2

이차방정식 x¤ -(2k+3)x+k¤ =0의 판별식을 D라 하면 D={-(2k+3)}¤ -4k¤ =0 4k¤ +12k+9-4k¤ =0 12k+9=0 ∴ k=- -13 4 3 1 14 26 123 41 122121 370 12227 26 1 133443 11 133 5 13 41 1 111211 5 11 {1}2 -2 ¥ 133 3 111111511 {13}23 (a+b)¤ -2ab 1111112(ab)¤ a¤ +b¤ 111a¤ b¤ 1 14b¤ 1 14a¤ 370 1 11271 5 13 11 133 5 13 11 133 5 13 1.⑴ -;;£2¶7º;; ⑵ -;1¢2¡1; ⑶ -;;™3§;; 2.-;4#; 3.6 또는 ;6!; 4.10 5.k=;2!;, t=;4!; 6.7.f(x)=x¤ +8x+1 8.a=1, b=-2 9.;5!; 10.11.3 또는 -;;™5¶;; 12.

05 이차방정식

S U M M A C U M L A U D E 본문 458쪽

(12)

0

6

이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=2, ab=-5 이차방정식 f(3x+1)=0의 두 근은 3x+1=a에서 x= , 3x+1=b에서 x= 이때 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=2, ab=-5이 므로 이차방정식 f(3x+1)=0에서 (두 근의 합)= + (두 근의 합)=;3!;(a+b)-;3@;=0 (두 근의 곱)= ¥ (두 근의 합)=;9!;{ab-(a+b)+1} (두 근의 합)=;9!;(-5-2+1)=-;3@;

0

7

x¤ +8x-1=0의 두 근이 a, b이므로 x¤ +8x-1=(x-a)(x-b) yy ㉠ f(a)=2, f(b)=2에서 f(a)-2=0, f(b)-2=0 이므로 a, b는 f(x)-2=0의 두 근이다. 즉 f(x)-2=(x-a)(x-b)이므로 f(x)=(x-a)(x-b)+2 =x¤ +8x-1+2 (∵ ㉠) =x¤ +8x+1 f(x)=x¤ +8x+1

0

8

이차방정식 x¤ -ax+3b=0에서 a+b=a, ab=3b 이차방정식 x¤ -4ax+6b-8=0에서 두 근 2a, b-4의 곱이 6b-8이므로 2a(b-4)=2ab-8a =6b-8a=6b-8 ∴ a=1 2a+b-4=b-2=4a이고, a+b=1+b=a이므로 a를 소거하면 b=-2이다. b-1 1123 a-1 1123 b-1 1123 a-1 1123 b-1 1123 a-1 1123 ∴ a=1, b=-2 a=1, b=-2

0

9

x¤ +xy-y¤ -2x+y+k =x¤ +(y-2)x+(-y¤ +y+k) x¤ +(y-2)x+(-y¤ +y+k)=0의 판별식을 D라 하면

D=(y-2)¤ -4(-y¤ +y+k) =5y¤ -8y-4k+4 주어진 식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 D가 y에 대한 완전제곱식이 되어야 한다. 즉, 5y¤ -8y-4k+4=0의 판별식을 D'이라 하면 D'=16-5(-4k+4)=0 16+20k-20=0 ∴ k=;5!; ;5!;

10

주어진 방정식을 실수부분과 허수부분으로 나누 어 정리하면 (3x¤ +px+2)+i(x¤ -3x+2)=0 위의 식이 실근을 가지려면 g ㉡에서 (x-1)(x-2)=0이므로 x=1 또는 x=2 이 값을 ㉠에 대입하면 x=1일 때 3+p+2=0이므로 p=-5 x=2일 때 3¥2¤ +2p+2=0이므로 p=-7 따라서 만족하는 실수 p의 값은 -7, -5이다.

11

x¤ +(a-i)x+3(1-i)=0 HjK (x¤ +ax+3)-i(x+3)=0 에서 x=-3이 실근이므로 이를 x¤ +ax+3=0에 대입 하면 3¤ -3a+3=0 ∴ a=4 (1+i)x¤ +(b-4i)x+(2-5i)=0이 실근을 가지려면 (x¤ +bx+2)+i(x¤ -4x-5)=0에서 3x¤ +px+2=0 yy ㉠ x¤ -3x+2=0 yy ㉡

(13)

x¤ -4x-5=0 yy ㉠ x¤ +bx+2=0 yy ㉡ ㉠에서 (x+1)(x-5)=0이므로 x=-1 또는 x=5 이것을 ㉡에 각각 대입하면 b=3 또는 b=- 3 또는

-12

zx¤ -x(z+1)=0 HjK z(x¤ -x)-x=0 HjK zx(x-1)=x yy ㉠ 모든 복소수 z에 대하여 ㉠이 성립하지 않으려면 0¥z=(실수) 꼴이어야 한다. ∴ x=1 또한 모든 복소수 z에 대하여 ㉠이 성립하려면 0¥z=0 꼴이어야 한다. ∴ x=0 ∴ a=1, b=0 ∴ 3a+2b=327 125 27 1 1225 ㄹ. x¡은 x¤ -2x-4=0의 근이므로 x¡¤ -2x¡-4=0 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

0

2

x에 관한 이차함수가 x축과 한 점에서 만나려면 x¤ -2(m+b)x+m¤ a+b=0이 중근을 가져야 한다. 즉, 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(m+b)¤ -(m¤ a+b)=0 (1-a)m¤ +2bm+b(b-1)=0 이 식이 m의 값에 관계없이 항상 성립하므로 1-a=0, 2b=0, b(b-1)=0 ∴ a=1, b=0 ∴ a+b=1 1

0

3

x¤ +tx+(4t-9)=0의 두 근이 a, b이므로 근 과 계수의 관계에 의하여 a+b=-t, ab=4t-9

∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=t¤ -8t+18=(t-4)¤ +2æ2 따라서 a¤ +b¤ 의 최솟값은 2이다. 2

0

4

x-1=t로 놓으면 주어진 그래프에서 f(t)=0 의 실근이 t=3 또는 t=6이므로 x-1=3 또는 x-1=6 ∴ x=4 또는 x=7 따라서 f(x-1)=0의 모든 실근의 합은 11이다.

0

5

주어진 그래프에서 f(x)=(x-3)(x-4)=x¤ -7x+12 이므로 f(x)=x에서 x¤ -7x+12=x, x¤ -8x+12=0 D 134

0

1

ㄱ. x¤ -x-3=x+1 HjK x¤ -2x-4=0의 두 실근이 x¡, x™이므로 근과 계수의 관계에 의하여 x¡+x™=2, x¡x™=-4 (참) ㄴ. 두 점 P, Q는 직선 y=x+1 위의 점이므로 y¡=x¡+1, y™=x™+1 ∴ y¡+y™=(x¡+x™)+2=4 (참) ㄷ. y¡y™=(x¡+1)(x™+1) =x¡x™+(x¡+x™)+1 =-4+2+1=-1 (참) 1.2.1 3.2 4.5.8 6.7.17 8.49 9.10.11.12.② 본문 460쪽 S U M M A C U M L A U D E

06 이차방정식과 이차함수

(14)

10

두 함수의 그래프가 만나지 않는다는 것은 방정 식 f(x)=g(x), 즉 f(x)-g(x)=0의 실근이 없다는 것과 같다. x¤ +2bx+1=2a(x+b) HjK x¤ +2(b-a)x+(1-2ab)=0 의 판별식을 D라 하면 =(b-a)¤ -(1-2ab) =a¤ +b¤ -1<0 ∴ a¤ +b¤ <1

11

t초 후의 점 A, B의 좌표는 A(2t, 0), B(0, 6-t) 이때 직사각형 OACB가 제1사분면 위에 있으므로 0<t<6이고, 제1사분면 위의 OACB의 넓이를 S(t)라 하면 S(t)=2t(6-t) S(t)=-2t¤ +12t=-2(t-3)¤ +18 따라서 t=3일 때, 넓이의 최댓값은 18이다.

12

x¤ -ax+3=x+1 HjK x¤ -(a+1)x+2=0 의 두 근 a, b가 점 A, B의 x좌 표이고 선분 AB 위에 점 (1, 2) 가 있으므로 a…1…b를 만족한 다. f(x)=x¤ -(a+1)x+2라 하면 f(1)=1-(a+1)+2…0 ∴ aæ2y=f{x} O 1 å ∫ x y D 134 따라서 구하는 모든 실근의 합은 8이다. 8

0

6

모든 실수 x에 대하여 f(2+x)=f(2-x)를 만족하는 이차함수 f(x)의 대칭축은 직선 x=2이다. 두 근의 대칭성에 의하여 한 근이 1-a이면 다른 한 근은 3+a이므로 두 실근의 합은 4이다.

0

7

l : y=mx라 하면 그래프가 두 점에서 만나므로 x¤ +7ax+51=mx HjK x¤ +(7a-m)x+51=0 방정식의 두 근을 3, a라 하면 3a=51 ∴ a=17 따라서 점 B의 x좌표는 17이다. 17

0

8

x¤ +2x=t로 놓으면 t=(x¤ +2x+1)-1=(x+1)¤ -1이므로 -1…x…2일 때 -1…t…8 주어진 함수는 y=(t-2)¤ +2t-3 =t¤ -2t+1=(t-1)¤ 따라서 t=1일 때 최솟값 m=0, t=8일 때 최댓값 M=49 이므로 M+m=49 49

0

9

|x¤ -2x-7|-k=0 HjK |(x-1)¤ -8|=k 가 서로 다른 네 실근을 갖 는 경우를 두 함수 y=|(x-1)¤ -8|과 y=k 의 그래프로 나타내면 오른 쪽 그림과 같다. 따라서 양 의 근 2개, 음의 근 2개를 가지려면 0<k<7이어야 한다.y=|x@-2x-7| x y O 8 7 1 y=k

(15)

1.3 2.-4 3.2-4i 4.-2 또는 0 또는 4 5.46 6.-2 또는 0 또는 2 7.9 8.16 9.14 10.108 11.0 12.-1 본문 462쪽 S U M M A C U M L A U D E

07 삼・사차방정식

0

1

x‹ +x¤ +x-3=0에서 (x-1)(x¤ +2x+3)=0 이때 x¤ +2x+3=0에서 모든 허근의 곱은 3이 된다. 3

0

2

x¤ +2x=k로 치환하면 (k+3)¤ -4k-12=0 k¤ +2k-3=0, (k+3)(k-1)=0 ∴ k=-3 또는 k=1 k=-3일 때, x¤ +2x+3=0이므로 두 근의 합은 -2이고, k=1일 때, x¤ +2x-1=0이므로 두 근의 합은 -2이다. 따라서 모든 근의 합은 -2-2=-4이다. -4

0

3

주어진 삼차방정식의 계수가 실수이고, 한 근이 1+2i이므로 다른 한 근은 1-2i이다. 나머지 한 근을 k라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 (1+2i)+(1-2i)+k=a-6 ∴ k=a-8 (1+2i)(1-2i)k=a ∴ 5k=a 두 식을 연립하여 풀면 k=2 따라서 나머지 두 근의 곱은 (1-2i)_2=2-4i 2-4i

0

4

삼차방정식 x‹ -(k+4)x¤ +k¤ x-k¤ =0의 세 근이 a, b, c이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=k+4, ab+bc+ca=k¤ , abc=k¤ ∴ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =(ab+bc+ca)¤ -2abc(a+b+c) =k› -2k¤ (k+4) =k¤ (k¤ -2k-8) =k¤ (k+2)(k-4)=0 ∴ k=0 또는 k=-2 또는 k=4 -2 또는 0 또는 4

0

5

x‹ +(1-4k)x+4k-2=0 HjK (x-1)(x¤ +x+2-4k)=0 이 중근을 갖는 경우는 다음과 같다. ⁄x¤ +x+2-4k=0의 근이 x=1인 경우 1+1+2-4k=0 ∴ k=1 ¤x¤ +x+2-4k=0이 중근을 갖는 경우 (단, x+1) 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=1-8+16k=0 ∴ k= ⁄, ¤에서 a=1+ = ∴ 32a=32_ =46 46

0

6

x‹ -2(1+ai)x¤ +2(a¤ i-2)x+8=0

HjK (x‹ -2x¤ -4x+8)+(-2ax¤ +2a¤ x)i=0 HjK (x-2)¤ (x+2)-2ax(x-a)i=0 의 실근이 존재한다고 하였으므로 실근을 a라고 하면

(a-2)¤ (a+2)=0, 2aa(a-a)=0

을 동시에 만족해야 한다.

⁄ a=2일 때, 4a(2-a)=0

∴ a=0 또는 a=2

¤ a=-2일 때, -4a(-2-a)=0

∴ a=0 또는 a=-2

⁄, ¤에서 a=-2 또는 a=0 또는 a=2

-2 또는 0 또는 2 23 1316 23 1316 7 1316 7 1316

(16)

0

7

삼차방정식 f(x)=0의 세 근이 a, b, c이므로 삼차방정식 f(-2x+5)=0의 세 근은 -2x+5=a에서 x= -2x+5=b에서 x= -2x+5=c에서 x= 이때 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b+c=-3, ab+bc+ca=-4, abc=-2 이므로 삼차방정식 f(-2x+5)=0에서 (세 근의 합)= + + (세 근의 합)= - (a+b+c) (세 근의 합)= + =9 9

0

8

한 근이 1이고 나머지 두 근이 연속하는 짝수이 므로 세 근을 1, n, n+2로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여 1_n_(n+2)=8 n¤ +2n-8=0 (n+4)(n-2)=0 ∴ n=2 (∵ n은 자연수) 세 근이 1, 2, 4이므로 근과 계수의 관계에 의하여 1+2+4=-;8&;a ∴ a=-8 1_2+1_4+2_4=-7b ∴ b=-2 ∴ ab=(-8)_(-2)=16 16

0

9

x› +3x‹ -2x¤ +3x+1=0에서 각 항을 x¤ 으로 나누면 3 12 15 132 1 12 15 132 5-c 1122 5-b 1122 5-a 1122 5-c 1122 5-b 1122 5-a 1122 x¤ +3x-2+ + =0 x¤ + +3{x+ }-2=0 이때 x+ =k로 치환하면 k¤ +3k-4=0, (k+4)(k-1)=0 ∴ k=-4 또는 k=1k=-4일 때, x+ =-4 HjK x¤ +4x+1=0=4-1=3이므로 실근이 존재한다. ¤k=1일 때, x+ =1 HjK x¤ -x+1=0 D=1-4=-3<0이므로 실근이 존재하지 않는다. ⁄, ¤에서 k=-4 ∴ a¤ + ={a+ }2 -2=(-4)¤ -2=14 14

10

⁄ 세 근이 3, -2, -1이고, 민정이는 상수항 c 를 제대로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여 3_(-2)_(-1)=-c ∴ c=-6 ¤ 세 근이 2+i, 2-i, -5이고, 규석이는 x¤ 의 계수 a 를 제대로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여 (2+i)+(2-i)+(-5)=-a ∴ a=1 ‹ 세 근이 3, -4, 6이고, 예진이는 x의 계수 b를 제대 로 보았으므로 근과 계수의 관계에 의하여 3_(-4)+3_6+(-4)_6=b ∴ b=-18 ⁄, ¤, ‹에 의하여 a=1, b=-18, c=-6 ∴ abc=108 108 1 1a 1 13 1 1x D 134 1 1x 1 1x 1 1x 1 13 1 13 3 1x

(17)

11

f(-1)=x⁄ ‚ ‚ -x· · +x· ° -y+x¤ -x+1 =x· ° (x¤ -x+1)+x· fi (x¤ -x+1)+ =y+x¤ (x¤ -x+1)-x+1 =-x+1 (∵ x¤ -x+1=0) = ax+b 따라서 a=-1, b=1이므로 a+b=0 0

12

a¤ -a+1=0에서

(a+1)(a¤ -a+1)=0 ∴ a‹ =-1

∴ a+a¤ +a‹ +a› +afi +afl

=a+(a-1)+(-1)+(-a)+(1-a)+1 =0 yy ㉠

㉠을 이용하여 주어진 식을 간단히 하면

1+a¤ +a‹ +y+a¤ ‚ ‚ °

=1+a+a¤ +a‹ +y+a¤ ‚ ‚ ° +(-a)

=1+(a+a¤ +y+afl )+(a‡ +a° +y+a⁄ ¤ )+

y+(a⁄ · · · +a¤ ‚ ‚ ‚ +y+a¤ ‚ ‚ › ) +a¤ ‚ ‚ fi +a¤ ‚ ‚ fl +a¤ ‚ ‚ ‡ +a¤ ‚ ‚ ° -a =1+a¤ ‚ ‚ fi +a¤ ‚ ‚ fl +a¤ ‚ ‚ ‡ +a¤ ‚ ‚ ° -a =1+a+(a-1)+(-1)+(-a)-a

=-1 -1

0

1

⑴ x=y+1을 x¤ +3xy+y¤ =11에 대입하면

(y+1)¤ +3y(y+1)+y¤ =11 5y¤ +5y-10=0, y¤ +y-2=0 (y+2)(y-1)=0 ∴ y=-2 또는 y=1 ∴gg 또는g ⑵g 에서 ㉠-㉡_2를 하면 x¤ -2xy-3y¤ =0, (x-3y)(x+y)=0 ∴ x=3y 또는 x=-yx=3y를 ㉠에 대입하면 12y¤ =48 y¤ =4 ∴ y=—2 ∴ x=—6, y=—2 (복부호 동순) ¤x=-y를 ㉠에 대입하면 4y¤ =48 y¤ =12 ∴ y=—2'3 ∴ x=—2'3, y=–2'3 (복부호 동순) 풀이 참조

0

2

2x¤ -3xy+y¤ =0에서

(x-y)(2x-y)=0 ∴ x=y 또는 y=2x

x=y를 3x¤ +xy+y¤ =45에 대입하면 5y¤ =45, y¤ =9 ∴ y=—3

∴ x=—3, y=—3 (복부호 동순) ¤y=2x를 3x¤ +xy+y¤ =45에 대입하면 9x¤ =45, x¤ =5 ∴ x=—'5 ∴ x=—'5, y=—2'5 (복부호 동순) 따라서 해가 아닌 것은 ③이다. ③ x¤ +3y¤ =48 yy ㉠ xy+3y¤ =24 yy ㉡ x=2 y=1 x=-1 y=-2 1.풀이 참조 2.3.kæ1 4.10 5.5 6.8 7.1 8.9 9.4 10.-3, 3, -6, 6 11.-2 12.10 본문 464쪽 S U M M A C U M L A U D E

08 연립방정식, 부정방정식

(18)

0

3

주어진 연립방정식의 해 x, y는 t에 대한 이차 방정식 t¤ -(2k+2)t+k¤ +3=0 의 두 근이 된다. 따라서 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(k+1)¤ -(k¤ +3)æ0 2k-2æ0 ∴ kæ1 kæ1

0

4

x-y=2k, 즉 y=x-2k를 4x¤ +y¤ =2에 대입

하면 4x¤ +x¤ -4kx+4k¤ -2=0 ∴ 5x¤ -4kx+4k¤ -2=0 해가 오직 한 쌍 존재해야 하므로 이 이차방정식의 판별 식을 D라 하면 =(-2k)¤ -5(4k¤ -2)=0 4k¤ -20k¤ +10=0 ∴ k¤ = ∴ 16a=16k¤ =16¥ =10 10

0

5

x¤ +3xy+y¤ =(x+y)¤ +xy=9+xy=11

∴ xy=2

따라서 ab=2, a+b=3이므로

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=9-4=5 5

0

6

xy-3x+4y-20=0 x(y-3)+4(y-3)-8=0 (x+4)(y-3)=8 5 18 5 18 D 134 D 134 따라서 순서쌍 (x, y)의 개수는 8이다. 8

0

7

10x¤ +y¤ +6x-2xy+1=0 (x¤ +y¤ -2xy)+(9x¤ +6x+1)=0 (x-y)¤ +(3x+1)¤ =0 x, y가 실수이므로 x-y=0, 3x+1=0 ∴ x=- , y=-∴ 9xy=1 1

0

8

+ = 에서 6y+6x=xy 6x-xy+6y=0 x(6-y)-6(6-y)=-36 ∴ (x-6)(y-6)=36 따라서 만족하는 양의 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개 수는 9이다. 9

0

9

2(x¤ +x-6)¤ +3(y¤ +2y-8)¤ =0이므로 1 13 2 1y 2 1x 1 13 1 13 x+4 y-3 1 8 2 4 -1 -8 -2 -4 8 1 4 2 -8 -1 -4 -2 x y -3 4 -2 0 -5 -12 -6 -8 11 4 7 5 -5 2 -1 1 x-6 y-6 1 2 3 4 6 9 12 18 36 36 18 12 9 6 4 3 2 1 x y 7 8 9 10 12 15 18 24 42 42 24 18 15 12 10 9 8 7

(19)

x¤ +x-6=0, y¤ +2y-8=0

(x+3)(x-2)=0에서 x=-3 또는 x=2 (y+4)(y-2)=0에서 y=-4 또는 y=2 xy의 값으로 가능한 수는 12, -6, -8, 4이므로 xy의 최댓값과 최솟값의 합은 12+(-8)=4 4

10

g 에서 x+y=a, xy=b라 놓으면 g a, b는 이차방정식 t¤ +t-20=0의 두 근이므로 (t+5)(t-4)=0 ∴ t=-5 또는 t=4 ∴ a=-5, b=4 또는 a=4, b=-5x+y=-5, xy=4인 경우 x, y는 이차방정식 t¤ +5t+4=0의 두 근이므로 (t+1)(t+4)=0 ∴ t=-4 또는 t=-1 ∴ x=-4, y=-1 또는 x=-1, y=-4 ¤x+y=4, xy=-5인 경우 x, y는 이차방정식 t¤ -4t-5=0의 두 근이므로 (t+1)(t-5)=0 ∴ t=-1 또는 t=5 ∴ x=-1, y=5 또는 x=5, y=-1 따라서 x-y의 값은 -3, 3, -6, 6이다. -3, 3, -6, 6

11

g 의 공통근을 k라 하면 g 두 식을 변끼리 빼면 (a-b)k-2(a-b)=0 (a-b)(k-2)=0 ∴ k=2 (∵ a+b) 이때 x¤ +ax+2b=0의 한 근이 2이고, 근과 계수의 관 계에서 두 근의 곱이 2b이므로 다른 한 근은 b이다. k¤ +ak+2b=0 k¤ +bk+2a=0 x¤ +ax+2b=0 yy ㉠ x¤ +bx+2a=0 yy ㉡ a+b=-1 ab=-20 x+y+xy=-1 yy ㉠ xy(x+y)=-20 yy ㉡ 마찬가지로 x¤ +bx+2a=0의 두 근은 2와 a이다. 따라서 공통근이 아닌 두 근의 합은 a+b이므로 ㉠에 x=2를 대입하면 4+2a+2b=0 ∴ a+b=-2 -2

12

g 에서 g x+y=a, xy=b로 놓으면 g ㉢_3-㉣_2를 하면

a¤ -3a=4, a¤ -3a-4=0 (a+1)(a-4)=0 ∴ a=-1 또는 a=4 a=-1을 ㉣에 대입하면 b=-2 a=4를 ㉣에 대입하면 b=3x+y=-1, xy=-2인 경우x, y는 이차방정식 t¤ +t-2=0의 두 근이므로 (t+2)(t-1)=0 ∴ t=-2 또는 t=1 ∴ x=-2, y=1 또는 x=1, y=-2 ¤x+y=4, xy=3인 경우x, y는 이차방정식 t¤ -4t+3=0의 두 근이므로 (t-1)(t-3)=0 ∴ t=1 또는 t=3 ∴ x=1, y=3 또는 x=3, y=1 따라서 (-2, 1), (1, -2), (1, 3), (3, 1)을 꼭짓점 으로 하는 도형은 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 대각선의 길이의 합은 5+5=10 10 1 3 1 3 -2 -2 O x y a¤ -2b-a=6 yy ㉢ a¤ -3b=7 yy ㉣ (x+y)¤ -2xy-(x+y)=6 (x+y)¤ -3xy=7 x¤ +y¤ -x-y=6 yy ㉠ x¤ +y¤ -xy=7 yy ㉡

(20)

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.-2<x…0 11.12.44 본문 466쪽 S U M M A C U M L A U D E

09 연립일차부등식

0

1

2x<-(3-5x)+9에서 2x<-3+5x+9 2x-5x<6, -3x<6 ∴ x>-2 4-2(x+1)æ3x-1에서 4-2x-2æ3x-1 -2x-3xæ-1-2, -5xæ-3 ∴ x… ∴ -2<x… 따라서 x의 값 중에서 가장 작은 정수는 -1이다.

0

2

0.3x+0.4<-0.1(2x-3)의 양변에 10을 곱 하면 3x+4<-(2x-3), 3x+4<-2x+3 3x+2x<3-4, 51 ∴ x<-1.2(x-2)<2(x+0.2)의 양변에 10을 곱하면 12(x-2)<20(x+0.2), 12x-24<20x+4 12x-20x<4+24, -8x<28 ∴ x>-∴ - <x<-따라서 정수 x의 개수는 -3, -2, -1의 3이다.

0

3

0.5x+0.7>0.3x-1.3의 양변에 10을 곱하면 5x+7>3x-13, 5x-3x>-13-7 2x>-20 ∴ x>-10 x+3< +4의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 x+4 11353 1 12 1 15 7 12 7 12 1 15 3 15 3 15 3x+18<2(x+4)+24, 3x+18<2x+32 3x-2x<32-18 ∴ x<14 ∴ -10<x<14 따라서 a=-10, b=14이므로 a+b=4

0

4

연립부등식으로 고치면 ㉠의 양변에 2를 곱하면 2(x-1)<2+x-2 2x-2<x, 2x-x<2 ∴ x<2 ㉡의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하면 6+3(x-2)…2(2x+1) 6+3x-6…4x+2 3x-4x…2, -x…2 ∴ xæ-2 ∴ -2…x<2 따라서 부등식을 만족하는 모든 정수 x는 -2, -1, 0, 1 이므로 그 합은 -2+(-1)+0+1=-2

0

5

|2x-a|<6에서 -6<2x-a<6 a-6<2x<a+6<x< 위 해가 -4<x<b이므로 =-4 ∴ a=-2 =b, =b ∴ b=2 ∴ a+b=0

0

6

3x-7<2에서 3x<9 ∴ x<3 2x+aæ-9에서 2xæ-9-a ∴ xæ-a-92

-2+6 11152 a+6 11352 a-6 11352 a+6 11352 a-6 11352 x-2 x-1<1+1122 yy`㉠ x-2 2x+1 1+112…11222 3 yy`㉡ ( { 9

(21)

∴ …x<3 위 해가 -4…x<3이므로 =-4, -a-9=-8 -a=1 ∴ a=-1

0

7

4x-5<2x+7에서 4x-2x<7+5, 2x<12 ∴ x<6 2x+k<3x-1에서 2x-3x<-1-k -x<-1-k ∴ x>k+1 ∴ k+1<x<6 이때 k+1<x<6을 만족하는 정수가 2개이므로 k+1=3 ∴ k=2

0

8

2x+3…4x-5에서 2x-4x…-5-3 -2x…-8 ∴ xæ4

5x-4<2x+a에서 5x-2x<a+4, 3x<a+4

∴ x< 이때 부등식의 해가 없으므로 …4, a+4…12 ∴ a…8

0

9

x+4<5x-a에서 x-5x<-a-4 -4x<-a-4 ∴ x> 3x-1<2x+a에서 3x-2x<a+1 ∴ x<a+1 이때 해를 가지려면 공통 부분이 있어야 하므로 이를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 즉, <a+1이어야 하므로 a+4<4(a+1) a+4<4a+4, -3a<0 ∴ a>0

a+4 11354 a+1 a+4 4 a+4 11354 a+4 11353 a+4 11353 -a-9 2 -a-9 2 따라서 a의 값 중 가장 작은 정수는 1이다.

10

잘못 바꾼 연립부등식은 [

㉠에서 4x-3x…b-a ∴ x…b-a yy`㉢

㉡에서 x-3x<b+1, -2x<b+1

∴ x>- yy`㉣

이 연립부등식의 해가 -2<x…4이므로

- =-2에서 b+1=4 ∴ b=3 b-a=4에서 3-a=4 ∴ a=-1

처음 부등식이 4x-1…x-1<3x+3이므로 연립부등식으로 고치면 [ ㉤에서 4x-x…-1+1, 3x…0 ∴ x…0 ㉥에서 x-3x<3+1, -2x<4 ∴ x>-2 ∴ -2<x…0 -2<x…0

11

3|x+1|+"√(x-2)¤ …8 HjK 3|x+1|+|x-2|…8x<-1일 때 -3(x+1)-(x-2)…8 -4x-1…8, -4x…9 ∴ xæ-;4(; ∴ -;4(;…x<-1 ¤ -1…x<2일 때 3(x+1)-(x-2)…8 3x+3-x+2…8 2x…3 ∴ x…;2#; 4x-1…x-1 yy`㉤ x-1<3x+3 yy`㉥ b+1 11352 b+1 11352 4x+a…3x+b yy`㉠ x-1<3x+b yy`㉡

(22)

∴ -1…x…;2#;xæ2일 때 3(x+1)+(x-2)…8 3x+3+x-2…8 4x…7 ∴ x…;4&; 그런데 xæ2이므로 해가 없다. ⁄, ¤, ‹에 의해 -;4(;…x…;2#; 따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1로 4개이다.

12

|x|+|x-a|<a+2에서x<0일 때 -x-(x-a)<a+2 -2x+a<a+2 -2x<2 ∴ x>-1 ∴ -1<x<0 ¤ 0…x<a일 때 x-(x-a)<a+2 a<a+2 ∴ 해는 모든 실수이다. ∴ 0…x<axæa일 때 x+(x-a)<a+2 2x<2a+2 ∴ x<a+1 ∴ a…x<a+1 ⁄, ¤, ‹에 의해 -1<x<a+1 -1<x<a+1을 만족하는 정수 x는 0, 1, 2, y, a로 a+1개이다. ∴ N(a)=a+1 ∴ N(1)+N(2)+y+N(8) =2+3+y+9=44 44 1.-1<m<3 2.3.4.2 5.3 6.7 7.a=9, b=2 8.9.1…a<3 10.-3<b<6 11.12.9 본문 468쪽 S U M M A C U M L A U D E

10 이차부등식, 연립이차부등식

0

1

모든 실수 x에 대하여 주어진 부등식이 성립하려 면 이차방정식 x¤ -2mx+2m+3=0이 실근을 갖지 않아야 하므로 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =m¤ -(2m+3)<0 m¤ -2m-3<0, (m+1)(m-3)<0 ∴ -1<m<3 -1<m<3

0

2

2x¤ -4x+3>x¤ -2ax+a-1 HjK x¤ +2(a-2)x+4-a>0 이 항상 성립해야 하므로 이차방정식 x¤ +2(a-2)x+4-a=0의 판별식을 D라 하면 =(a-2)¤ -(4-a)<0

a¤ -3a<0, a(a-3)<0

∴ 0<a<3 따라서 만족하는 정수 a는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3

0

3

부등식 ax¤ +(a-1)x+a>0에서a>0이면 주어진 부등식을 만족하는 실수 x가 항상 존재한다. ¤a=0이면 0¥x¤ -x+0>0 HjK x<0 이므로 실수 x가 존재한다.

a<0이면, 방정식 ax¤ +(a+1)x+a=0의 판별식

을 D라 할 때 D=(a-1)¤ -4a¤ >0 D 144 D 134

(23)

이어야 한다.

3a¤ +2a-1<0, (a+1)(3a-1)<0

∴ -1<a< 그런데 a<0이므로 -1<a<0이다. 따라서 ⁄~‹에 의해 a>-1

0

4

|2x+a|…4 HjK -4…2x+a…4 HjK -a-4…2x…-a+4 ∴ …x… x¤ +2x+b…0의 해와 같으려면 x¤ +2x+b=0의 두 근이 , 이어야 한 다. 따라서 근과 계수의 관계에 의하여 + =-2 -a=-2 ∴ a=2 2

0

5

f(x)=a(x+8)(x-6)`(a>0)이라 하면 f(4x+3)=a(4x+11)(4x-3) f(4x+3)<0을 만족하는 해는 - <x< 따라서 정수 x는 -2, -1, 0으로 3개이다. 3

0

6

모든 변의 길이는 양수이므로 x>3 yy ㉠ 세 변 중 가장 긴 변은 2x-2이고, 가장 큰 각이 90˘ 이 상이라고 하였으므로 삼각형은 직각삼각형 또는 둔각삼 각형이다. (2x-4)¤ +(x-3)¤ …(2x-2)¤ 3 14 11 124 -a+4 11152 -a-4 11152 -a+4 11152 -a-4 11152 -a+4 11152 -a-4 11152 1 13 x¤ -14x+21…0 ∴ 7-2'7…x…7+2'7 yy ㉡ 그런데 삼각형의 작은 두 변의 길이의 합은 가장 긴 변보 다 길어야 하므로 (2x-4)+(x-3)>2x-2 ∴ x>5 yy ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 5<x…7+2'7 (=12.×××) 따라서 만족하는 정수 x는 6, 7, y, 12이므로 7개이다. 7

0

7

x¤ -ax+10=0의 두 근이 a, b이므로 a+b=a, ab=10 x¤ -7x+b=0의 두 근이 a-1, b-1이므로 (a-1)+(b-1)=7 ∴ a+b=9 ∴ a=9 (a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1 =10-9+1=2 ∴ b=2 a=9, b=2

0

8

두 이차함수의 그래프가 동시에 x축과 만나지 않 도록 하는 k의 값의 범위를 구해 보자. ⁄ 이차방정식 x¤ -4x+k=0의 판별식을 D¡이라 하면 =4-k<0 ∴ k>4 ¤ 이차방정식 x¤ -kx+5=0의 판별식을 D™라 하면 D™=k¤ -20<0 k¤ <20 ∴ -2'5 <k<2'5 따라서 둘 다 x축과 만나지 않도록 하는 k의 값의 범위가 4 k {i} {ii} -2Â5 2Â5 1344

(24)

4<k<2'5 이므로 적어도 하나는 x축과 만나도록 하는 k의 값의 범 위는 k…4 또는 kæ2'5 따라서 보기 중 k의 값이 될 수 없는 것은 ② 3'2이다.

0

9

f(x)=x¤ -2(a+2)x+9라 하면 x¤ -2(a+2)x+9=0의 두 근이 1보다 크므로Dæ0 ˙k (a+2)¤ -9æ0 a¤ +4a-5æ0 (a+5)(a-1)æ0 ∴ a…-5 또는 aæ1 ¤ f(1)>0 ˙k 1-2(a+2)+9>0 -2a+6>0 ∴ a<3 ‹ 축이 x=1보다 오른쪽에 위치해야 하므로 a+2>1 ∴ a>-1 ⁄, ¤, ‹에 의하여 1…a<3 1…a<3

10

삼차방정식 x‹ -(2b+a)x¤ +(2ab+3b+18)x-3ab-18a=0 즉, (x-a)(x¤ -2bx+3b+18)=0의 실근이 x=a이 므로 이차방정식 x¤ -2bx+3b+18=0이 두 개의 허근 을 갖는다. 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =b¤ -(3b+18)<0 b¤ -3b-18<0 (b+3)(b-6)<0 ∴ -3<b<6 -3<b<6

11

⁄ 직선 y=ax와 함수 y=x¤ +x+1의 그래프 가 서로 다른 두 점에서 만나므로 D 144 x¤ +x+1=ax HjK x¤ +(1-a)x+1=0 은 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식을 D¡이라 하D¡=(1-a)¤ -4>0

a¤ -2a-3>0, (a+1)(a-3)>0

∴ a<-1 또는 a>3 ¤ 직선 y=ax와 함수 y=x¤ -x+1의 그래프가 서로 만나지 않으므로 x¤ -x+1=ax HjK x¤ -(a+1)x+1=0 은 실근을 가지지 않으므로 판별식을 D™라 하면 D™=(a+1)¤ -4<0

a¤ +2a-3<0, (a+3)(a-1)<0

∴ -3<a<1 ⁄, ¤에서 -3<a<-1

12

주어진 식의 값이 실수가 되려면 (k+1)x¤ -2(k+1)x+10æ0 이어야 한다. ⁄ k+1=0일 때 10æ0이므로 성립한다. ∴ k=-1 ¤ k+1>0일 때 (k+1)x¤ -2(k+1)x+10=0의 판별식을 D라 하=(k+1)¤ -10(k+1)…0 k¤ -8k-9…0, (k+1)(k-9)…0 ∴ -1…k…9 ¤ 그런데 k>-1이므로 -1<k…9 ⁄, ¤에 의해 -1…k…9 따라서 k의 최댓값은 9이다. 9 D 144

(25)

0

1

삼각형 OAB의 무게중심의 좌표가 (-6, 4)이 므로 =-6 ∴ x¡+x™=-18 =4 ∴ y¡+y™=12 따라서 선분 AB의 중점의 좌표는 { , }={ , }=(-9, 6) (-9, 6)

0

2

y축 위의 점 P의 좌표를 (0, b)라 하자. PA”=PB”이므로 "(√-5√-0)√¤ +(√0-b≈)Ω¤ ="(√3√-0)√¤ +(√4-b≈)Ω¤ 25+b¤ =9+b¤ -8b+16 8b=0 ∴ b=0 ∴ P(0, 0) P(0, 0)

0

3

△ABC의 외심의 좌표를 P(a, b)라고 하면 PA”=PB”이므로 "a√¤ +b¤ ="(√a-3√)¤ +√(b-ç1)Ω¤

a¤ +b¤ =a¤ -6a+9+b¤ -2b+1

∴ 3a+b=5 yy ㉠

또, PA”=PC”이므로

"a√¤ +b¤ ="(√a+1√)¤ +√(b-ç2)Ω¤

a¤ +b¤ =a¤ +2a+1+b¤ -4b+4

∴ 2a-4b=-5 yy ㉡ 12 122 -18 1122 y¡+y™ 11152 x¡+x™ 11152 0+y¡+y™ 111123 0+x¡+x™ 111123 1.(-9, 6) 2.P(0, 0) 3.{;1!4%;, ;1@4%;}, {;3@;, 1} 4.2 5.(4, 10) 6.(10, -9), (-2, 9) 7.B, A, C 8.{;2(;, ;2!;} 9.10.;1¶7; 11.'2 12.36 본문 470쪽 S U M M A C U M L A U D E

11 평면좌표

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a= , b= 따라서 외심의 좌표는 P { , } 또한 △ABC의 무게중심의 좌표를 G(x, y)라 하면 x= = , y= =1 따라서 무게중심의 좌표는 G { , 1} { , }, { , 1}

0

4

점 P의 좌표를 (k, 0)이라 하면 A’P’¤ +B’P’¤ =k¤ +4+(k-4)¤ +a¤ =2k¤ -8k+20+a¤ =2(k-2)¤ +12+a¤ A’P’¤ +B’P’¤ 의 최솟값은 k=2일 때 a¤ +12이므로 a¤ +12=16, a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0) 2

0

5

선분 AB를 b : 1로 내분하는 점의 좌표가 (-1, 5)이므로 =-1, =5 =5에서 4b+8=5b+5 ∴ b=3 =-1에 b=3을 대입하면 =-1, 3a+2=-4 ∴ a=-2 따라서 A(2, 8), B(-2, 4)에 대하여 선분 AB를 1 : 3 으로 외분하는 점의 좌표는 { , }=(4, 10) (4, 10) 4-24 11231-3 -2-6 11141-3 3a+2 11224 ab+2 1122b+1 4b+8 1122b+1 4b+8 1122b+1 ab+2 1122b+1 2 13 25 1214 15 1214 2 1 13 0+1+2 11113 2 13 0+3-1 11113 25 1 12214 15 1 12214 25 1214 15 1214

(26)

0

6

3A’B’=2B’C’에서 A’B’ : B’C’=2 : 3 가능한 점 C의 위치는 다음과 같다. ⁄ ¤ ⁄의 경우, 점 C는 A’B’를 5 : 3으로 외분하는 점이므로 점 C의 좌표는 { , }=(10, -9) ¤의 경우, 점 C는 A’B’를 1 : 3으로 외분하는 점이므로 점 C의 좌표는 { , }=(-2, 9) (10, -9), (-2, 9)

0

7

XY”를 3 : 1로 내분한 점의 좌표가 = 이므로 점 A와 같고, XY”의 중점은 이므로 점 B와 같다. 또 XY”를 3 : 1로 외분한 점의 좌표가 = 이므로 점 C와 같다. 이때 < < (∵ b>a)이므로 수직선에 나타내면 왼쪽부터 B, A, C가 된다. B, A, C

0

8

A(3, -5), B(-2, 7), C(7, -2)에서 AB”="√(-2-3)¤ ≈+√{7-(-5)}¤ ='ƒ25+144=13 3b-a 112342 a+3b 112344 a+b 11342 3b-a 112342 3b-a 112343-1 a+b 11342 a+3b 112344 3b+a 112343+1 0-18 1111-3 4-0 1121-3 0-18 11235-3 20-0 11235-3 A{0,`6} B{4,`0} C 3 2 1 A{0,`6} B{4,`0} C 5 3 2 AC”="√(7-3)¤ +{√-2-(-5)}¤ ='ƒ16+9 =5 각의 이등분선의 정리에 의해 AB” : AC”=BD” : CD” =13 : 5 즉, 점 D는 BC”를 13 : 5로 내분 하는 점이므로 점 D의 좌표는 { , } ={ , }={ , } { , }

0

9

AB”를 (1-a) : a로 내분하는 점의 좌표는

{ , } ∴ (3-3a, 5a-1) 이때 이 점은 제4사분면 위의 점이므로 3-3a>0, 5a-1<0 a<1, a< ∴ 0<a< (∵ 0<a<1)

10

두 그래프의 교점의 좌표를 P(a, a¤ ), Q(b, b¤ ) 이라 하면 방정식 x¤ =4x+k, 즉 x¤ -4x-k=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4, ab=-k a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=16+2k PQ”의 길이가 10'3이므로 "(√b-√a)¤ √+(b√¤ -a¤ ç)¤

="(√a+√b)¤ √-4a√b+(√a¤ +√b¤ )¤ √-4a≈¤ çb¤ ="ç16√+4k√+√(16√+2k√)¤ -ç4kΩ¤ ='6ƒ8k+∂27å2=10'3 1 1 15 1 15 -(1-a)+4a 11111121-a+a 3(1-a)+0¥a 111111331-a+a 1 12 9 12 1 1 12 9 1 12 9 1218 81 1218 13_(-2)+5_7 11111112313+5 13_7+5_(-2) 11111112313+5 D B{-2,`7} 13 5 13 5 C A {7,`-2} {3,`-5}

(27)

68k=28 ∴ k=

11

P(x, y), Q(4, 2), R(5, 1)이라고 하면 PQ”="(√x-4√)¤ +√(y-ç2)Ω¤ PR”="(√x-5√)¤ +√(y-ç1)Ω¤ 이므로 "(√x-4√)¤ +√(y-ç2)Ω¤ +"(√x-5√)¤ +√(y-ç1)Ω¤ =PQ”+PR” æQR” ="(√5-4√)¤ +√(1-ç2)Ω¤ ='ß2 '2

12

선분 AB의 중점을 M이라고 하면 M{ , }=M(4, 3) 이때 중선정리에 의하여 P’A”¤ +P’B’¤ =2(A’MÚ¤ +P’M”¤ ) 이 성립하고, A’MÚ의 길이는 고정된 값이므로 P’MÚ의 길 이가 최대일 때, P’AÚ¤ +P’B’¤ 의 값도 최대가 된다. 점 M에서 원점까지의 거리는 5이고 원의 반지름의 길이 가 1이므로 P’MÚ의 길이의 최솟값은 5-1=4이다. 따라서 P’AÚ¤ +P’B’¤ 의 최솟값은 P’AÚ¤ +P’B’¤ =2(A’MÚ¤ +P’MÚ¤ ) =2{(4-3)¤ +(3-4)¤ +4¤ } =2(1+1+16)=36 36 4+2 1122 3+5 1122 7 1317 7 1 13317 1.y=x-1 2.y=;2!;x 3.⑴ ;;¡3§;; ⑵ 2 4.15 5.;4!;<k<1 6.⑴ H{;;¡2™5¡;;, ;;¡2™5™;;} ⑵ ;5&; 7.5 8.x+3y+3=0, 3x-y-1=0 9.10.45 11.-1…m…3 12. 185 본문 472쪽 S U M M A C U M L A U D E

12 직선의 방정식

0

1

tan45˘=1이므로 기울기는 1이다. 따라서 기울기가 1이고 점 (4, 3)을 지나는 직선의 방정 식은 y-3=1¥(x-4) ∴ y=x-1 y=x-1

0

2

직선 y=-2x+5와 수직이므로 기울기가 이다. 따라서 기울기가 이고 점 (2, 1)을 지나는 직선 의 방정식은 y-1= (x-2) ∴ y= x y= x

0

3

⑴ 두 직선의 기울기의 곱이 -1이어야 하므로 k-4(k-4)=0 -3k=-16 ∴ k= ⑵ 두 직선의 기울기가 같아야 하므로 = + k¤ -4k+4=0, (k-2)¤ =0 ∴ k=2 ⑴ 13163 ⑵ 2 4 14 -(k-4) 111144 1 1k 16 1 1223 1 12 1 1 12 1 12 1 12 1 12

(28)

0

4

서로 다른 세 점이 삼각형을 이루지 않으려면 세 점이 한 직선 위에 있어야 한다. 즉, 직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같아야 하므로 = (6-k)(7-k)=2(k-1) k¤ -13k+42=2k-2 k¤ -15k+44=0 (k-4)(k-11)=0 ∴ k=4 또는 k=11 따라서 k의 값의 합은 15이다. 15

0

5

직선 y=k(x-3)+2는 k의 값에 상관없이 항 상 점 P(3, 2)를 지나므로 (직선 AP의 기울기)= =1 (직선 BP의 기울기)= = 따라서 직선 y=k(x-3)+2는 색칠된 부분에서 움직이 므로 직선의 기울기 k의 범위는 <k<1 <k<1

0

6

⑴ 점 H는 직선 l 위의 점이므로 H{a, 11223a+54 } (단, a>0)

A{4, 6} H x y O 5 3 -5 4 l:3x-4y+5=0 1 14 1 1 14 O A{5,`4} 2 3 B{7,`3} P y=k{x-3}+2 x y 1 14 3-2 1127-3 4-2 1125-3 2 1127-k 6-k 112k-1 이때 AHÍ⊥l이므로 두 직선의 기울기의 곱은 -1이 되어야 한다. 즉, _ =-1 ∴ a= 점 H의 y좌표는 ={3_ +5}_ = ∴ H { , } ⑵ AH”=æ{4–-≠ ≠ }2 +≠{6-≠ ± }—2 =AH”는 점 (4, 6)과 직선 3x-4y+5=0 사이의 거리이므로 ⑵ AH”= = ⑴ H{ , }

0

7

직선 x+ay+1=0과 2x-by+1=0이 수직이 므로 {- }_ =-1 ∴ ab=2 또, 직선 x+ay+1=0과 x-(b-3)y-1=0이 평행 하므로 = + ∴ a+b=3

∴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

=3¤ -2¥2=5 5

0

8

두 직선이 이루는 각의 이등분선 위의 임의의 한 점을 (x, y)라고 할 때 점 (x, y)에서 두 직선까 지의 거리는 같으므로 = HjK |x-2y-2|=|2x+y+1| |2x+y+1| 111112 '5 |x-2y-2| 111112 '5 {x, y} x-2y-2=0 2x+y+1=0 1 123-1 a 11112-(b-3) 1 11 2 1b 1 1a 7 15 122 1125 121 1125 7 15 |3_4-4_6+5| 11111111 "3√¤ +(√-4)Ω¤ 7 1 15 122 1125 121 1125 122 1 122333325 121 1 122333325 122 1125 1 14 121 1125 3a+5 11224 121 1125 3 14 3a+5 1122-64 111115a-4

(29)

x-2y-2=2x+y+1 ∴ x+3y+3=0 ¤x-2y-2=-(2x+y+1) ∴ 3x-y-1=0 따라서 구하는 방정식은 x+3y+3=0, 3x-y-1=0 x+3y+3=0, 3x-y-1=0

0

9

x+y+2+k(2x-y)=0을 정리하면 (1+2k)x+(1-k)y+2=0 yy ㉠ 직선 ㉠`과 원점 사이의 거리 f(k)는 f(k)= = = 이때 f(k)가 최댓값을 가지려면 분모가 최솟값을 가져야 한다. 분모는 k=-;5!;일 때, 최솟값 Æ 를 가지므로 f(k)의 최댓값은 f{-;5!;}= =;3@;'5

10

A, B가 출발하고 각각 매초 3m, 5m의 속도로 움직 이므로 3초 후 A는 북쪽으로 3_3=9(m), B는 동쪽으로 3_5=15(m) 움직인다. 따라서 A의 위치는 (0, 9), B의 위치는 (15, 0)이고, 두 점을 이은 직선이 점 (a, b)를 지나게 된다. 즉, 직선1315x +1y9=1이 점 (a, b)를 지나므로 O A의 위치 B의 위치 x y {0, 9} {15, 0} 2 14144 Æ;5(; 9 15 2 114141414144 æ≠5{k+;5!;≠}2≠ +;5(; 2 1111141 "√5k¤ +2k+2 |2| 114441111111 "√(1+2k)¤ +(1-k)¤ + =1 ∴ 3a+5b=45 45

11

y=mx-3m+2=m(x-3)+2 yy ㉠ 직선 ㉠은 m의 값에 상관없이 점 (3, 2)를 지난다. 직선 ㉠이 점 A를 지날 때 4=-2m+2 ∴ m=-1 직선 ㉠이 점 C를 지날 때 -1=-m+2 ∴ m=3 따라서 직선이 삼각형 ABC와 만나도록 하는 m의 값의 범위는 -1…m…3 -1…m…3

12

세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내면 직선 y= x는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 직선 y= x와 삼각형 ABC가 만나도록 하는 직선의 기울기는 b 1a y=abx x y A{5, 9} C{6, 6} B{4, 4} O y=bax b 1a B {-2,`1} A{1,`4} {3,`2} C O x y b 19 a 1315

수치

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참조

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