(6-k)(7-k)=2(k-1) k¤ -13k+42=2k-2 k¤ -15k+44=0 (k-4)(k-11)=0
<k<1 <k<1
06
HjK |x-2y-2|=|2x+y+1|
|2x+y+1| 122333325 1121 122333325
1112225
1122-63a+54 111115a-4
⁄x-2y-2=2x+y+1
∴ x+3y+3=0
¤x-2y-2=-(2x+y+1)
∴ 3x-y-1=0 따라서 구하는 방정식은
x+3y+3=0, 3x-y-1=0
x+3y+3=0, 3x-y-1=0
09
x+y+2+k(2x-y)=0을 정리하면 (1+2k)x+(1-k)y+2=0 yy ㉠ 3_5=15(m) 움직인다.따라서 A의 위치는 (0, 9), B의 위치는 (15, 0)이고,
141442 Æ;5(;
195 1141414141442
æ≠5{k+;5!;≠}2≠ +;5(;
11111412
"√5k¤ +2k+2
114441111111|2|
"√(1+2k)¤ +(1-k)¤
+ =1
-1…m…3 -1…m…3
12
세 점 A, B, C를 좌표평면 위에 나타내면 직선= … …
∴ a…b… a
(단, 1…a…12, 1…b…12, a, b는 자연수) 위의 조건을 만족하는 a, b의 모든 경우를 찾으면
① a=1 Δ b=1
② a=2 Δ b=2, 3
③ a=3 Δ b=3, 4, 5
④ a=4 Δ b=4, 5, 6, 7
⑤ a=5 Δ b=5, 6, 7, 8, 9
⑥ a=6 Δ b=6, 7, 8, 9, 10
⑦ a=7 Δ b=7, 8, 9, 10, 11, 12
⑧ a=8 Δ b=8, 9, 10, 11, 12
⑨ a=9 Δ b=9, 10, 11, 12
⑩ a=10 Δ b=10, 11, 12
⑪ a=11 Δ b=11, 12
⑫ a=12 Δ b=12
정십이면체를 두 번 던져 나오는 모든 경우는
12_12=144(가지)이고, ①~⑫에 의해 △ABC와 만나 는 경우는 41가지이므로
=
∴ p+q=185 185
1114441 1pq
195 195 1ba 166 144
1.k<5 2.4'6
3.(x-1)¤ +(y-1)¤ =1 4.x=
5.⑴ '3x+y+4=0 ⑵ y=x—'2 6.
7.c…4 8.64 9.10 10.
11.B{ , 5} 12.'5 12
115'32
11'1å02 143 112
본문 474쪽
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13
원의 방정식01
x¤ +y¤ +4x-2y+k=0 HjK (x+2)¤ +(y-1)¤ =5-k 따라서 원이 되려면5-k>0 ∴ k<5 k<5
02
x축, y축에 동시에 접하는 원의 방정식은 (x-a)¤ +(y-a)¤ =a¤이 원이 점 (3, 2)를 지나므로 (3-a)¤ +(2-a)¤ =a¤
a¤ -10a+13=0
이 방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 원의 중심은 (a, a), (b, b)
가 되므로 두 중심 사이의 거리는
"√2(b-a)¤ ="√2{(a+b)¤ -4ab} yy ㉠ 근과 계수의 관계에 의해
a+b=10, ab=13 이므로 ㉠에 대입하면
"√2(10¤ -4¥13)='9å6=4'6 4'6
03
구하는 원의 방정식을 x¤ +y¤ +Ax+By+C=0이라 하고, 세 점 (1, 0), (0, 1), (1, 2)를 대입하면
1+A+C=0 yy ㉠
1+B+C=0 yy ㉡
1+4+A+2B+C=0 yy ㉢
㉢-㉠을 계산하면 B=-2
16k¤ -16k+4=4+4k¤
12k¤ -16k=0 k(3k-4)=0
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
|-m+3|=r"√m¤ +1 양변을 제곱하면
01
직선 2x-y+1=0을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면2(x-2)-(y-n)+1=0
∴ 2x-y+n-3=0
위의 식이 2x-y-7=0과 같으므로 n-3=-7
∴ n=-4 -4
02
직선 y=2x+5를 x축의 방향으로 a만큼, y축 의 방향으로 -2a만큼 평행이동하였으므로y+2a=2(x-a)+5
∴ y=2x+5-4a
이 직선이 y=2x-1과 같으므로 5-4a=-1
∴ a=
03
직선 y=3x+2를 x축의 방향으로 1만큼 평행 이동하면y=3(x-1)+2 ∴ y=3x-1 이 직선을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면
x=3y-1 ∴ y= (x+1)
∴ a=1 13
113
132 13
12
1.-4 2.;2#; 3.5 4.2 5.5
6.5 7.29 8.-;2%; 9.4 10.③ 11.y=2x 12.4'1å0
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14
도형의 이동 ∴ 15a=15¥ =5 504
점 A(0, 2)를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방 향으로 -2만큼 옮긴 점이 B(a, b)이므로0+2=a, 2-2=b
∴ B(2, 0)
따라서 삼각형 OAB의 넓이는 _2_2=2
2
05
x¤ +y¤ -4x+6y+4=0 HjK (x-2)¤ +(y+3)¤ =3¤이 원은중심이 (2, -3)이고반지름의길이가 3인 원이다.
이때 원의 중심을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으 로 b만큼 평행이동하면 (3, 1)이므로
2+a=3, -3+b=1
∴ a=1, b=4
∴ a+b=5 5
06
직선 PQ는 직선 2x-y-1=0과 수직으로 만 나므로 기울기가 - 이다. 즉,
=-2b=-a+3 ∴ a+2b=3 yy ㉠ 선분 PQ의 중점의 좌표는 { , }이고
이 점이 직선 2x-y-1=0 위의 점이므로
2¥ - -1=0
2a+6-b-2=0 ∴ 2a-b=-4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ a¤ +b¤ =1+4=5 5
1b2 112a+32
1b2 112a+32 112
112a-3b
112 112
A
B 2 2
O x
y 113
07
직선 y=ax+b를 x축의 방향으로 -2만큼, y축 의 방향으로 4만큼 평행이동하면y-4=a(x+2)+b
∴ y=ax+2a+b+4 yy ㉠ 직선 ㉠이 직선 y=-;2!;x+3과 수직이므로
a_{- }=-1 ∴ a=2
또 두 직선이 y축 위에서 만나므로 두 직선의 y절편이 같 다. 즉,
2a+b+4=3, 4+b+4=3
∴ b=-5
∴ a¤ +b¤ =4+25=29 29
08
점 (1, 1)을 점 (-2, k)로 옮기는 평행이동이므 로 이 평행이동에 의해 직선 l：3x-4y+2=0이 옮겨 진 직선 l'의 방정식은3(x+3)-4(y-k+1)+2=0
∴ 3x-4y+4k+7=0
이때 두 직선 l, l'은 평행이므로 직선 l 위의 점 {0, ;2!;}
에서 직선 l'까지의 거리가 두 직선 사이의 거리가 된다.
즉,
=1, |4k+5|=5 4k+5=—5 ∴ k=0 또는 k=-;2%;
따라서 모든 k의 값의 합은 -;2%;이다. -;2%;
09
㈎ 원 (x-1)¤ +(y+4)¤ =3¤ 을 x축의 방향으로 k만큼 평행이동하면(x-k-1)¤ +(y+4)¤ =3¤ yy ㉠
㈏ ㉠을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 (y-k-1)¤ +(x+4)¤ =3¤ yy ㉡
|-2+4k+7|
1111112 'ƒ9+16
112
㈐ ㉡을 y축에 대하여 대칭이동하면 (y-k-1)¤ +(-x+4)¤ =3¤
∴ (x-4)¤ +{y-(k+1)}¤ =3¤
이 원은 중심이 (4, k+1)이고, 반지름의 길이가 3인 원 이므로 x축에 접하려면 k+1=3 ∴ k=2
∴ k¤ =4 4
10
원 (x-2)¤ +(y+2)¤ =r¤ 을 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동하면{(x+1)-2}¤ +{(y-3)+2}¤ =r¤
∴ (x-1)¤ +(y-1)¤ =r¤
즉, 중심이 (1, 1)이고, 반지름의 길이가 r인 원이 직선 3x+4y+8=0과 접하므로 점 (1, 1)에서 직선까지의 거리는 원의 반지름의 길이 r와 같다.
∴ r= = =3
③
11
점 B를 x축에대하여대칭이동한점을B'(-1, -2)라 하고, 점 P의 좌표를 (a, 0)이라 하자.
AP”+BP”가 최소가 되는 경우는 점 P가 직선 AB' 위에 있을 때 이다. AB”'’을 지나는 직선의 방 정식은 직선 AP의 방정식과 같 다.
y-4= (x-2)
∴ y=2x y=2x
12
직선 l은 직선 y=- x-1에 수직이므로 기울기는 2이고 점 (-2, 0)을 지나므로y=2(x+2) ∴ y=2x+4 112 4-(-2)
111122-(-1)
O A
P 4 2
-1 -2
2 B
B'
x y
12155
|3_1+4_1+8|
11111111
"3√¤ +4¤
이때 점 R를 직선 y=2x+4에 대칭이동한 점을 R'(a, b)라 하면 직선 RR'은 직선 y=2x+4와 수직이 므로
_2=-1 ∴ a+2b=13 yy ㉠
또 RR”'Æ의 중점 { , }는 직선 y=2x+4 위에 있으므로
=2¥ +4
∴ 2a-b=-9 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=7
∴ R'(-1, 7)
한편 점 R를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 R"(3, -5) 라고 놓으면 RP”=R'ÚP’, RQ”=R’"Q”이므로
RP”+PQ”+QR”=R'ÚP’+PQ”+QR”"Æ æR'ÚR"””
="(√-1√-3)√¤ +(√7+5≈)Ω¤
='1ß6å0=4'1å0
따라서 RP”+PQ”+QR”의 최솟값은 4'1å0이다.
4'1å0 112a+32
112b+52
112b+52 112a+32 112a-3b-5
1.40 2.② 3.25 4.26 5.⑤ 6.① 7.30 8.24
I.
다항식 S U M M A C U M L A U D E 본문 478쪽기출문제로 1등급 도전하기
01
다항식 P(x)를 x-k로 나눈 나머지는 P(k)=k‹ +k¤ +k+1다항식 P(x)를 x+k로 나눈 나머지는 P(-k)=-k‹ +k¤ -k+1 두 나머지의 합이 8이므로
P(k)+P(-k)
=k‹ +k¤ +k+1+(-k‹ +k¤ -k+1)
=2k¤ +2=8
∴ k¤ =3
따라서 다항식 P(x)를 x-k¤ , 즉 x-3으로 나눈 나머 지는
P(3)=3‹ +3¤ +3+1=40 40
02
세 모서리의 길이를 각각 a, b, c라 하면 모든 모 서리의 길이의 합이 20이므로4(a+b+c)=20
∴ a+b+c=5 yy ㉠ 또한 AG”="√a¤ +b¤ +c¤ ='∂13이므로
a¤ +b¤ +c¤ =13 yy ㉡
이때 직육면체의 겉넓이는 2(ab+bc+ca)이므로 (a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에
㉠, ㉡을 대입하면
5¤ =13+2(ab+bc+ca)
∴ 2(ab+bc+ca)=25-13=12 ②
03
다항식 f(x)를 x-1로 나눈 몫은 Q(x), 나머 지는 5이므로f(x)=(x-1)Q(x)+5 yy ㉠
Q(x)를 x-2로 나눈 몫을 Q'(x)라 하면 나머지는 10 이므로
Q(x)=(x-2)Q'(x)+10 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
f(x)=(x-1){(x-2)Q'(x)+10}+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10(x-1)+5
=(x-1)(x-2)Q'(x)+10x-5 따라서 f(x)를 (x-1)(x-2)로 나눈 나머지가 10x-5이므로
a=10, b=-5
∴ 3a+b=3_10+(-5)=25 25
04
조건 ㈏에 의해 삼차다항식 f(x)를f(x)=(x-1)¤ (ax+b)+ax+b (a, b는 상수) yy ㉠ 라 하자.
조건 ㈎에서 f(1)=2이므로 ㉠에 x=1을 대입하면
2=a+b ∴ b=2-a yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면
f(x)=(x-1)¤ (ax+2-a)+ax+2-a
=(x-1)¤ {a(x-1)+2}+a(x-1)+2 f(x)=a(x-1)‹ +2(x-1)¤ +a(x-1)+2 즉, f(x)를 (x-1)‹ 으로 나눈 나머지는
R(x)=2(x-1)¤ +a(x-1)+2 이때 R(0)=R(3)이므로
2-a+2=8+2a+2 ∴ a=-2 따라서 R(x)=2(x-1)¤ -2(x-1)+2이므로
R(5)=2(5-1)¤ -2(5-1)+2=26 26
05
{ f(x)}‹ +{ g(x)}‹={ f(x)+g(x)}[{ f(x)}¤ -f(x)g(x)+{ g(x)}¤ ]
=(2x¤ -x-1)h(x)
이때 h(x)={ f(x)}¤ -f(x)g(x)+{g(x)}¤
이므로 나머지정리에 의해 h(x)를 x-1로 나누었을 때 의 나머지는
h(1)={f(1)}¤ -f(1)g(1)+{g(1)}¤
f(1)=2, g(1)=-2이므로 h(1)=2¤ -2_(-2)+(-2)¤
=12 ⑤
06
조건 ㈎에서 (x-1)P(x-2)=(x-7)P(x) 이므로양변에 x=1을 대입하면 P(1)=0 양변에 x=7을 대입하면 P(5)=0 P(x)는 삼차다항식이므로 조건 ㈏에 의해
P(x)=(x¤ -4x+2)(ax+b)+2x-10 이라 하자. (단, a, b는 상수)
P(1)=0이므로 -a-b-8=0
∴ a+b=-8 yy ㉠ P(5)=0이므로 35a+7b=0
∴ 5a+b=0 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-10
따라서 P(x)=(x¤ -4x+2)(2x-10)+2x-10이므로 P(4)=2_(-2)+8-10=-6
조건 ㈎에 의하여 P(1)=0, P(5)=0이 므로 삼차다항식 P(x)를
P(x)=a(x-1)(x-5)(x-k) (a,k는상수,a+0)라 하자.
위 식을 조건 ㈎에 대입하면
a(x-1)(x-3)(x-7)(x-k-2)
=a(x-7)(x-1)(x-5)(x-k)
즉, (x-3)(x-k-2)=(x-5)(x-k)이므로 k=3
∴ P(x)=a(x-1)(x-3)(x-5)
조건 ㈏에 의해 P(x)를 x¤ -4x+2로 나눈 몫을 Q(x) 라 하면 나머지가 2x-10이므로
a(x-1)(x-3)(x-5)
=(x¤ -4x+2)Q(x)+2x-10
∴a(x¤ -4x+3)(x-5)
=(x¤ -4x+2)Q(x)+2x-10 yy ㉠
x¤ -4x+2=0의 해를 a라 하면 a¤ -4a+2=0이므로
㉠에 x=a를 대입하면
a(a-5)=2a-10 ∴ a=2
따라서 P(x)=2(x-1)(x-3)(x-5)이므로 P(4)=2_3_1_(-1)=-6
조건 ㈏에 의해
P(x)=(x¤ -4x+2)Q(x)+2x-10
(Q(x)는 일차식) 이라 하고 이 식을 조건 ㈎에 대입하면
(좌변)=(x-1)P(x-2)
=(x-1){(x-2)¤ -4(x-2)+2}Q(x-2) +2(x-2)-10
=(x-1)(x¤ -8x+14)Q(x-2)+2(x-7) (우변)=(x-7)P(x)
=(x-7){(x¤ -4x+2)Q(x)+2(x-5)}
이때 좌변과 우변을 비교하면 (x¤ -8x+14)Q(x-2)
따라서 P(x)=2(x¤ -4x+2)(x-5)+2(x-5)이므 로
P(4)=2_2_(-1)+2_(-1)=-6 ①
07
△AQN과 △PCN에서
∠AQN=∠PCN (∵ μAP에 대한 원주각)
x_x=1_(x+1), x¤ =x+1 x¤ -x-1=0, x-1- =0
5x¤ +22x+8=(5x+2)(x+4) 이므로 만든 직사각형의 두 변의 길이는
A(a, a¤ ), B(b, b¤ )이라 하자.
y=x¤ , y=4x-2를 연립하면 x¤ =4x-2 ∴ x¤ -4x+2=0
이 이차방정식의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=4, ab=2
이때 (b-a)¤ =(b+a)¤ -4ab=16-8=8이므로 AB”="√(b-a)¤ +(b¤ -a¤ )¤
="√(b-a)¤ +(b+√a)¤ (b-a)¤
='ƒ8+16_8=2'3å4 ④