우석대학교 에너지전기공학과

일반수학

강의 (26)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

(지난 시간 주요내용 복습)  삼각형 세 각이 α , 𝛽 , 𝛾 이고, 그 대변의 길이가 각각 𝑎, 𝑏, 𝑐 인 삼각형에서 다음 등식이 성립.  사인법칙: 𝑎 𝑠𝑖𝑛(𝛼) = 𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝛽) = 𝑐 𝑠𝑖𝑛(𝛾)

 코사인법칙 (1) 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝛼) (2) 𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝛽) (3) 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝛾)  사인법칙 및 코사인법칙의 적용 (𝐴 = 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 & 𝑆 = 𝑠𝑖𝑑𝑒)  case (1): 한 변과 두 각을 아는 경우 (그림1. 𝑆𝐴𝐴) 사인법칙  case (2): 두 변과 두 변 중 한 변의 대각을 아는 경우 (그림2. 𝑆𝑆𝐴) 사인법칙  case (3): 두 변과 그 사이 각을 아는 경우 (그림3. 𝑆𝐴𝑆) 코사인법칙  case (4): 세 변을 아는 경우 (그림4. 𝑆𝑆𝑆) 코사인법칙 (그림1. 𝑆𝐴𝐴) (그림2. 𝑆𝑆𝐴) (그림3. 𝑆𝐴𝑆) (그림4. 𝑆𝑆𝑆) 𝑆 𝐴 𝑆 𝑆 𝑆 𝑆 _𝑆

10-4. 삼각함수의 합과 차의 공식  코사인에 관한 합과 차의 공식  𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽  𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽  사인에 관한 합과 차의 공식  𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  탄젠트에 관한 합과 차의 공식  𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)−𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1+𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽)  𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)+𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1−𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽) 10-4. 삼각함수의 합과 차의 공식

 코사인 차의 공식 증명  반지름이 1인 원을 따라 점 𝐵에서 𝐴로 이동  점 𝐵와 𝐴가 원점과 이루는 각을 𝛼, 𝛽 라 하면, 점 𝐵와 𝐴의 좌표: 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝛽 , 𝑠𝑖𝑛 𝛽 & 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝛼), 𝑠𝑖𝑛 (𝛼) (1) 코사인 법칙: 𝐴𝐵 2 = 𝑂𝐴 2 + 𝑂𝐵 2 − 2𝑂𝐴 ∙ 𝑂𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑟 = 1 𝐴𝐵 2 = 1 + 1 − 2 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) (2) 그림: 𝐴𝐵 2 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛 𝛽 2 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 2 피타고라스정리  From (1) & (2), 𝑠𝑖𝑛(𝛼) − 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 2 + 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 2 = 1 2 + 1 2 − 2 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) 좌변: 𝑠𝑖𝑛2(𝛼) − 2 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) + 𝑠𝑖𝑛2(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛽) − 2 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠2(𝛼) 𝑠𝑖𝑛2_{(𝛼) + 𝑐𝑜𝑠}2_{(𝛼) + 𝑠𝑖𝑛}2_{(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠}2_{(𝛽) − 2 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽)} 2 − 2 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 우변: 2 − 2 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)  𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  코사인 합의 공식 (2) 증명: 위 식 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)에서 𝛽 대신 −𝛽를 대입 𝑜 𝑟 𝛽 𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (𝛽), 𝑠𝑖𝑛 (𝛽) 𝐵 𝛼 𝑐𝑜𝑠 (𝛼), 𝑠𝑖𝑛 (𝛼) 𝐴

∙

1 −1 −1

∙

𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝛼)

예시) 코사인 합과 차의 공식을 활용하여 다음을 구하라.  𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽  𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 (1) 𝑐𝑜𝑠 𝜋 12  𝜋 12 = 𝜋 3 − 𝜋 4  𝑐𝑜𝑠 𝜋 12 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 − 𝜋 4 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 + 𝑠𝑖𝑛 𝜋 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 = 1₂ ∙ ₂2+ ₂3∙ ₂2 = 2+ 6₄ (2) 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 − 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 를 유도하라.  𝑐𝑜𝑠 𝜋₂ − 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛 𝜋₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛(𝜃) (3) 𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 를 유도하라.  𝑐𝑜𝑠 𝜋 + 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜋 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 0 0 10-4. 삼각함수의 합과 차의 공식

 사인 차의 공식 증명  사인 합의 공식: 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  코사인 합의 공식으로 부터 𝑠𝑖𝑛(𝜃) = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝜃 ※ 𝑛𝑜𝑡𝑒: 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = − 𝑠𝑖𝑛(𝜃)  𝜃 = 𝛼 + 𝛽 라 하면 𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝛼 + 𝛽 ∴ 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂ + 𝛼 + 𝛽 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂ + 𝛼 + 𝛽 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 + 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 + 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑙𝑦, 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  사인 차의 공식 증명: 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  위 식 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) 에서 𝛽 대신 −𝛽를 대입 𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠 −𝛽 + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛 −𝛽

예시) 사인 합과 차의 공식을 활용하여 다음을 구하라.  𝑠𝑖𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽)  𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) (1) 𝑠𝑖𝑛 7𝜋 12  7𝜋 12 = 𝜋 3 + 𝜋 4  𝑠𝑖𝑛 7𝜋 12 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋 3 + 𝜋 4 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋 3 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜋 4 = 3 2 ∙ 2 2 + 1 2∙ 2 2 = 6+ 2 4 (2) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 − 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 를 유도하라.  𝑠𝑖𝑛 𝜋₂ − 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋₂ ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) (3) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 𝜃 = − 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 를 유도하라.  𝑠𝑖𝑛 𝜋 + 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛 𝜋 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 0 0 10-4. 삼각함수의 합과 차의 공식

 탄젠트 합의 공식 증명  탄젠트 합의 공식: 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)+𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1−𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽)  𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽)+𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽)−𝑠𝑖𝑛(𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝛽)  위 식에서 분자와 분모를 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) 로 나누면, 분자: 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙𝑐𝑜𝑠(𝛽)+𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 𝑡𝑎𝑛(𝛼) + 𝑡𝑎𝑛(𝛽) 분모: 𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽)−𝑠𝑖𝑛(𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 1 − 𝑠𝑖𝑛(𝛼)∙𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑐𝑜𝑠(𝛼)∙𝑐𝑜𝑠(𝛽) = 1 − 𝑡𝑎𝑛(𝛼) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝛽) ∴ 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)+𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1−𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽)  탄젠트 차의 공식 증명: 𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)−𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1+𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽)  위 식 𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 에서 𝛽 대신 −𝛽를 대입 𝑡𝑎𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)+𝑡𝑎𝑛 −𝛽 1−𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛 −𝛽 = 𝑡𝑎𝑛(𝛼)−𝑡𝑎𝑛(𝛽) 1+𝑡𝑎𝑛(𝛼)∙𝑡𝑎𝑛(𝛽)

예제) 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠−1 1 2 + 𝑠𝑖𝑛−1 35 을 구하라. (1) 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 1 2 & 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛 −1 3 5 라 하면 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 −1 1 2 + 𝑠𝑖𝑛 −1 3 5 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 (2) 아크코사인 및 아크사인 함수의 정의에 의해  𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1 2 1/4 𝑜𝑟 4/4 분면  아크코사인 함수 0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋 1/4 𝑜𝑟 2/4 분면  𝛽 = 𝑠𝑖𝑛−1 3 5 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 3 5 1/4 𝑜𝑟 2/4 분면  아크사인 함수 −𝜋 2 ≤ 𝛽 ≤ 𝜋 2 4/4 𝑜𝑟 1/4 분면 (3) 1/4 분면의 각 𝛼, 𝛽

𝐹𝑟𝑜𝑚 1 ~ 3 , 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝛽) = ₂3 ∙4₅ +1₂ ∙3₅ = 4 3+3₁₀ ∴ 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠−1 1 + 𝑠𝑖𝑛−1 3 = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 + 𝛽 = 4 3+3 𝛼 = 1/4 분면의 각 𝛽 = 1/4 분면의 각 𝑜 2 𝜶 𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑝(𝑥, 𝑦) _∙  𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1₂  𝑦 = 22_{− 1}2 _{= 3}  𝑠𝑖𝑛 𝛼 = ₂3 𝑜 5 𝜷 _𝑥 𝑦 𝑥 3 𝑝(𝑥, 𝑦) ∙  𝑠𝑖𝑛 𝛽 = 3 5  𝑥 = 52_{− 3}2 _{= 4}  𝑐𝑜𝑠 𝛽 =4₅ 10-4. 삼각함수의 합과 차의 공식

 기말시험 범위: 로그함수 ~ 6월12일 (수) 강의

 강의내용 검토 및 요점정리: 6월17일 (월) 3~4교시

 기말시험 일시: 6월19일 (수) 3교시