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핵심개념특강편
02
●내신만점도전편
36
Ⓡ
중학수학
실전문제집
기출문제로 개념 잡고 내신만점 맞자
!
하
핵심개념특강편
정답 및 풀이
6~7쪽 개・념・확・인 01⑴ 65˘ ⑵ 70˘ 02⑴ ∠x=68˘, ∠y=112˘ ⑵ ∠x=56˘, ∠y=118˘ 03⑴ 90˘ ⑵ 3 cm 04⑴ 5 ⑵ 4 05빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼각형은 서로 합동이다. 06x=4, ∠y=60˘0
1
⑴ ∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ ⑵ ∠x=180˘-(55˘+55˘)=70˘0
2
⑴ ∠x=;2!;_(180˘-44˘)=68˘ ⑴∠y=44˘+∠x=44˘+68˘=112˘ ⑵ ∠x=180˘-(62˘+62˘)=56˘ ⑴∠y=62˘+∠x=62˘+56˘=118˘0
3
AD”가 꼭지각 A의 이등분선이므로 BD”=CD”이고, AD”⊥BC” 이다. ⑴ ∠ADB=∠ADC=90˘ ⑵ BD”=CD”=;2!; BC”=;2!;_6=3(cm)0
4
⑴ ∠C=180˘-(50˘+65˘)=65˘=∠B ⑴∴ x=AB”=5(cm) ⑵ ∠ACB=∠CAD+∠CDA=35˘+35˘=70˘이므로 ⑴∠B=∠ACB=70˘ ⑴∴ AC”=AB”=4 cm ⑴△ACD에서 ∠CAD=∠CDA=35˘이므로 ⑴x=AC”=4(cm)0
5
두 직각삼각형 ABC와 DEF에서 AB”=DE”=6 cm, BC”=EF”=5 cm이다. 즉, 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼각형 은 서로 합동이다.01. 이등변삼각형의 성질과 직각삼각형의 합동
도형의 성질
Ⅴ
8~9쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ⑤ 1-1③ 1-2④ 1-3③ 1-4④ 1-5② 1-6① 1-7③ 핵심유형 2 ② 2-1④ 2-2③ 2-3④ 핵심유형 3 ⑤ 3-1④ 3-24 cm 3-33 cm 핵심유형1
△BCD에서 BD”=CD”이므로 ∠DCB=∠DBC=35˘ ∠CDA=∠DBC+∠DCB=35˘+35˘=70˘ △ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠x=∠CDA=70˘1
-1 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=2∠x-10˘ ∴ ∠A+∠B+∠C=∠x+(2∠x-10˘)+(2∠x-10˘) =5∠x-20˘=180˘ ∴ ∠x=40˘1
-2 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ AD”∥ BC”이므로 ∠EAD=∠B=65˘(동위각)1
-3 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-48˘)=66˘ ∠DBC=;2!;∠B=33˘이므로 △BCD에서 ∠BDC=180˘-(33˘+66˘)=81˘1
-4 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-100˘)=40˘ ∠CAD=180˘-100˘=80˘△ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠CDA=∠CAD=80˘ 따라서 △BCD에서
∠DCE=∠B+∠CDA=40˘+80˘=120˘
0
6
△ABC™△DEF이므로x=BC”=4 cm
1
-5 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-52˘)=64˘ ∠OBC=∠OCB=;2!;∠B=;2!;∠C=;2!;_64˘=32˘ 따라서 △OBC에서 ∠BOC=180˘-(∠OBC+∠OCB) =180˘-(32˘+32˘)=116˘1
-6 ① AB”=AC”이므로 ∠B=∠C ⑤ △ABD와 △ACD에서AB”=AC”, ∠BAD=∠CAD, AD”는 공통 ∴ △ABD™△ACD(SAS 합동)
1
-7 AD”⊥BC”이므로 △ABC=;2!;_AD”_BC”=;2!;_AD”_4=12 ∴ AD”=6 cm 핵심유형2
∠B=180˘-(∠A+∠C)=180˘-(70˘+55˘)=55˘ ∠B=∠C이므로 AC”=AB”=5 cm2
-1 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이다. ⑤ ∠BAM=180˘-(∠B+∠AMB) =180˘-(70˘+90˘)=20˘2
-2 ① AB”=AC”인 이등변삼각형 ②, ④ AB”=BC”인 이등변삼각형 ⑤ AC”=BC”인 이등변삼각형2
-3 FE”∥GD”이므로 ∠ACB=∠CBD=65˘(엇각), ∠ABC=∠CBD=65˘(접은 각) ∴ ∠ABC=∠ACB=65˘ 따라서 △ABC는 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형 이다. 핵심유형3
① ASA 합동 ② RHA 합동 ③ RHS 합동 ④ SAS 합동3
-1 ④ 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같은 두 직각삼 각형은 서로 합동이다. (RHS 합동)3
-2 △DBM과 △ECM에서 ∠D=∠E=90˘, BM”=CM”, ∠B=∠C이므로 △DBM™△ECM(RHA 합동) ∴ M”E”=M”D”=4 cm3
-3 △ADE와 △ADC에서∠E=∠C=90˘, AD”는 공통, ∠DAE=∠DAC이므로 △ADE™△ADC(RHA 합동) ∴ DE”=DC”=3 cm
0
1
△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ △ABD에서 D’A”=DB”이므로 ∠DBA=∠A=40˘ ∴ ∠DBC=∠ABC-∠DBA=70˘-40˘=30˘0
2
△BCD에서 BC”=CD”이므로 ∠D=∠CBD=;2!;_(180˘-110˘)=35˘ △ABC에서 AB”=BC”이므로 ∠A=∠BCA=∠180˘-∠BCD=180˘-110˘=70˘ △ABD에서 ∠ABD=180˘-(∠A+∠D) =180˘-(70˘+35˘)=75˘0
3
∠B=∠a라 하면 △ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=∠a이고,∠CAD=∠B+∠ACB=2∠a
또, △ACD에서 AC”=CD”이므로 ∠CAD=∠CDA=2∠a △BCD에서 ∠DCE=∠B+∠BDC=∠a+2∠a=120˘ ∴ ∠B=∠a=40˘
0
4
∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ BD”가 ∠B의 이등분선이므로 ∠DBC=;2!;_70˘=35˘ 또, CD”가 ∠C의 외각의 이등분선이므로 ∠DCE=;2!;_(180˘-70˘)=55˘ △BCD에서 ∠BDC=55˘-35˘=20˘0
5
① AB”=AC”, AD”=AE”이므로 BD”=CE”이다. ②, ④ BD”=CE”, ∠DBC=∠ECB, BC”는 공통이므로 ②△DBC™△ECB(SAS 합동)②∴ BE”=CD”, ∠BDC=∠CEB
⑤ AB”=AC”, AD”=AE”, ∠A는 공통이므로 ⑤△ABE™△ACD(SAS 합동) ∴ ∠ADC=∠AEB 10~11쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02③ 03⑤ 04② 05③ 06③ 07⑤ 08③ 09① 10② 11④ 1290˘ 1330˘ 1472 cm¤
0
6
①, ② AB”=AC”이므로 ②∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-36˘)=72˘ ②∠CBD=;2!;∠B=36˘=∠A ③ ∠BDC=180˘-(∠CBD+∠C) ② ∠BDC=180˘-(36˘+72˘)=72˘ ②△ABD에서 ③∠ADB=180˘-∠BDC =180˘-72˘=108˘=∠C ④ ∠BCD=∠BDC=72˘이므로 BC”=BD” ⑤ ∠A=∠DBA=36˘이므로 AD”=BD”, BC”=BD” ∴ AD”=BC”0
7
∠A=∠a라 하면 ∠A=∠DBE=∠a AB”=AC”이므로 ∠ABC =∠A+∠EBC=∠a+18˘=∠C △ABC의 내각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠a+(∠a+18˘)+(∠a+18˘)=180˘ ∴ ∠A=∠a=48˘0
8
△DBM과 △DAM에서 AM”=BM”, ∠BMD=∠AMD, MD”는 공통이므로 △DBM™△DAM(SAS 합동) ∴ ∠B=∠DAM=∠DAC 이때 △ABC에서 ∠B+∠DAM+∠DAC=90˘이므로 ∠B=30˘0
9
△ABD와 △AED에서 ∠B=∠AED=90˘, ∠BAD=∠EAD, AD”는 공통이므로 △ABD™△AED(RHA 합동) 따라서 BD”=DE”=3 cm이므로 △ADC=;2!;_DE”_AC”=;2!;_3_8=12(cm¤ )10
△ADC와 △BED에서 CD”=DE”, ∠A=∠B=90˘ ∠ADC+∠BDE=∠ADC+∠ACD=90˘이므로 ∠ACD=∠BDE ∴ △ADC™△BED(RHA 합동) 따라서 AD”=BE”=7 cm, BD”=AC”=5 cm이므로 AB”=AD”+BD”=12(cm)11
△CME에서 ∠MCE=90˘-∠EMC=90˘-25˘=65˘ △BMD와 △CME에서 ∠BDM=∠CEM=90˘, BM”=CM”, M’D”=M’E” ∴ △BMD™△CME(RHS 합동) 따라서 △ABC는 ∠ABM=∠ACM=65˘인 이등변삼각형이 므로 ∠A=180˘-(65˘+65˘)=50˘12
△ABE에서 ∠AEB=50˘, ∠ABE=90˘이므로 ∠BAE=40˘△ABE와 △BCF에서
∠ABE=∠C=90˘, AB”=BC”, BE”=CF” 따라서 △ABE™△BCF(SAS 합동)이므로 ∠CBF=∠BAE=40˘
△BEG에서 ∠GBE=40˘, ∠GEB=50˘이므로 ∠AGF=∠BGE=180˘-(40˘+50˘)=90˘
13
[단계❶] △BED에서 ∠DEB=∠DBE=25˘ ∴ ∠ADE=50˘ [단계❷] △ADE에서 ∠DAE=∠ADE=50˘ ∴ ∠AEC=∠B+∠BAE=25˘+50˘=75˘ [단계❸] △AEC에서 ∠ACE=∠AEC=75˘ ∴ ∠EAC=180˘-2_75˘=30˘14
△ABD와 △CAE에서 AB”=CA”, ∠D=∠E=90˘ ∠DBA+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90˘이므로 ∠DBA=∠EAC ∴ △ABD™△CAE(RHA 합동) yy ❶ BD”=AE”=8 cm, AD”=CE”=12-8=4(cm) yy ❷ (사각형 BDEC의 넓이)=;2!;_(8+4)_12 (사각형 BDEC의 넓이)=72(cm¤ ) yy ❸ ❶ ∠ADE의 크기 구하기 ❷ ∠AEC의 크기 구하기 ❸ ∠EAC의 크기 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ △ABD와 △CAE의 합동 설명하기 ❷ CE”의 길이 구하기 ❸ 사각형 BDEC의 넓이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점02. 삼각형의 외심과 내심
12~13쪽 개・념・확・인 01⑴ 3 cm ⑵ 20˘ ⑶ 9p cm¤ 024 cm 03⑴ ∠x=35˘, ∠y=35˘ ⑵ ∠x=110˘ 04⑴ 3 cm ⑵ 30˘ ⑶ 9p cm¤ 05⑴ ∠x=35˘, ∠y=35˘ ⑵ ∠x=115˘ 062 cm0
1
⑴ 외심으로부터 각 꼭짓점에 이르는 거리가 같으므로 ⑴OA”=OB”=OC”=3 cm ⑵ △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ⑴∠OBA=∠OAB=20˘ ⑶ 외접원의 반지름의 길이가 3 cm이므로 ⑴(외접원의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )0
2
직각삼각형 ABC의 외심은 빗변의 중점이므로 OA”=OB”= OC”=4 cm0
3
⑴ 25˘+30˘+∠y=90˘ ∴ ∠y=35˘ ⑴△AOC가 이등변삼각형이므로 ∠x=∠y=35˘ ⑵ ∠x=2_55˘=110˘0
4
⑴ 점 I가 내심이므로 ⑴ID”=IE”=IF”=3 cm ⑵ ∠IBD=∠IBE=30˘ ⑶ 내접원의 반지름의 길이가 3 cm이므로 ⑴(내접원의 넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ )0
5
⑴ BI”가 ∠B의 이등분선이므로 ∠y=35˘ ⑴점 I가 내심이므로 35˘+20˘+∠x=90˘ ∴ ∠x=35˘ ⑵ 점 I가 내심이므로 ∠x=90˘+;2!;_50˘=115˘0
6
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 직각삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_12_5=;2!;_r_(12+5+13) ∴ r=2(cm) 14~15쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ①, ③ 1-1①, ④ 1-2③ 1-3③ 핵심유형 2 ② 2-1③ 2-2③ 핵심유형 3 ① 3-1② 3-2④ 3-3② 3-4② 핵심유형 4 ⑤ 4-1④ 4-2① 핵심유형1
① OA”=OB”=OC” ③ ∠OBE=∠OCE, ∠OAD=∠OBD, ∠OAF=∠OCF1
-1 ②, ③은 내심이다.1
-2 점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” △AOC의 둘레의 길이가 14 cm이므로 OA”+OC”+6=14, 2_OA”=8 ∴ (외접원의 반지름의 길이)=OA”=4 cm1
-3 점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” △OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=40˘ ∴ ∠BOC=180˘-(40˘+40˘)=100˘핵심유형
2
∠BOC=2∠A이므로 2∠A=100˘ ∴ ∠A=50˘2
-1 ∠x+25˘+35˘=90˘이므로 ∠x=30˘ ∠y=∠OBC=25˘ ∴ ∠x+∠y=30˘+25˘=55˘2
-2 △OAB는 이등변삼각형이므로 ∠ABO=∠BAO=25˘ ∠ABC=25˘+35˘=60˘이므로 ∠AOC=2∠ABC=2_60˘=120˘ 핵심유형3
① △AID™△AIF(RHA 합동), ①△CIE™△CIF(RHA 합동)이므로 ①AF”=AD”, CF”=CE”3
-1 △ABC의 내심 I에서 세 변에 이르는 거리는 같으므로 ID”=IE”=IF”=3 cm ∴ x+y=3+3=63
-2 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠ABI=23˘, ∠ICB=∠ACI=37˘ 따라서 △IBC에서 ∠x=180˘-(23˘+37˘)=120˘3
-3 ∠x=∠IAB=35˘, ∠y=∠IBA=20˘ ∴ ∠x+∠y=35˘+20˘=55˘3
-4 ∠DBI=∠IBC, ∠IBC=∠DIB(엇각)이므로 ∠DBI=∠DIB ∴ DB”=DI” ∠ECI=∠ICB, ∠ICB=∠EIC(엇각)이므로 ∠ECI=∠EIC ∴ EC”=IE” △ADE의 둘레의 길이는 AD”+DE”+AE”=AD”+(DI”+IE”)+AE” =AD”+(DB”+EC”)+AE” =(AD”+DB”)+(EC”+AE”) =AB”+AC”=8+10=18(cm) 핵심유형4
∠BIC=90˘+;2!;∠A이므로 130˘=90˘+;2!;∠A ∴ ∠A=80˘4
-1 ∠IAB=∠IAC=30˘, ∠ICA=∠ICB=25˘, ∠IBA=∠IBC ∠A+∠B+∠C=60˘+2∠IBC+50˘=180˘ ∴ ∠IBC=35˘4
-2 내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면 직각삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_3_4=;2!;_r_(3+4+5) ∴ r=1(cm)0
1
④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.0
2
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이므로CE”=BE”, BD”=AD”, AF”=CF” 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 2_8+2_7+2_6=42(cm) 16~17쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02③ 03⑤ 04③ 05① 06② 07① 08③ 09③ 10④ 11② 12① 1324 cm¤ 1415˘ 15210˘
0
3
점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC” ∠OCB=∠OBC=20˘ ∴ ∠x=180˘-(90˘+20˘)=70˘0
4
점 M은 △ABC의 외심이다. 즉, AM”=BM”이므로 △ABM은 이등변삼각형이다. ∴ ∠MAB=∠B=60˘ 따라서 △ABM에서 ∠AMC=60˘+60˘=120˘0
5
점 O가 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC” OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=10˘ OA”=OB”이므로 ∠OAB=∠OBA=30˘+10˘=40˘0
6
OA”=OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=60˘-35˘=25˘ △OBC에서 ∠BOC=180˘-(25˘+25˘)=130˘ ∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_130˘=65˘0
7
△OCA는 이등변삼각형이므로 ∠OAC=∠OCA=35˘ ∠BAC=;2!;∠BOC=60˘이므로 ∠OAB=∠BAC-∠OAC=60˘-35˘=25˘0
8
∠BOC=360˘_ =120˘ ∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120˘=60˘0
9
점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠CBI=22˘, ∠IAB=∠IAC ∠A+∠B+∠C=180˘이므로 2∠IAB+44˘+74˘=180˘ ∴ ∠IAB=31˘10
∠BIC=90˘+;2!; ∠A=90˘+;2!;_56˘=118˘ [다른 풀이] 점 I가 내심이므로 ∠IBA=∠IBC=∠a, ∠ICA=∠ICB=∠b라 하면 56˘+2∠a+2∠b=180˘에서 2(∠a+∠b)=124˘ ∴ ∠a+∠b=62˘ 4 3+4+5△IBC에서 ∠BIC+∠a+∠b=180˘ ∴ ∠BIC=180˘-(∠a+∠b) =180˘-62˘=118˘
11
∠A+∠B+∠C=180˘이므로 40˘+∠B+∠C=180˘ ∴ ∠B+∠C=140˘ ∠B：∠C=3：4이므로 ∠B=140˘_;7#;=60˘ ∠C=140˘_;7$;=80˘ 또, 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBA=;2!;∠B=30˘, ∠IAB=;2!;∠A=20˘ ∴ ∠AIB=180˘-(20˘+30˘)=130˘12
점 I가 내심이므로 AD”=AF”, CE”=CF”, BD”=BE”이다. 따라서 AD”=AF”=4이고, CE”=CF”=10이므로 BD”=BE”=15-10=5 ∴ AB”=AD”+BD”=4+5=913
사각형 IDCE가 정사각형이므로 CE”=CF”=2 cm, AD”=AF”=6-2=4(cm), BE”=BD”=10-4=6(cm) 따라서 BC”=BE”+CE”=6+2=8(cm)이므로 △ABC=;2!;_8_6=24(cm¤ )14
[단계❶] △AOB와 △AOC에서점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC” AB”=AC”, AO”는 공통이므로 △AOB™△AOC(SSS 합동) ∴ ∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=20˘ [단계❷] AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=;2!;∠B=35˘ [단계❸] ∴ ∠OBI=∠ABI-∠ABO=35˘-20˘=15˘
15
∠A+∠B+∠C=180˘이므로 ∠A+∠B=100˘ yy ❶ ∠DAC=∠DAB, ∠EBA=∠EBC이므로 ∠BAD=;2!;∠A, ∠ABE=;2!;∠B ∴ ∠BAD+∠ABE=50˘ yy ❷ △ABD에서 ∠ADB=180˘-∠B-∠BAD △ABE에서 ∠AEB=180˘-∠A-∠ABE이므로 ∠ADB+∠AEB =360˘-(∠A+∠B)-(∠BAD+∠ABE) =360˘-100˘-50˘=210˘ yy ❸ ❶ ∠OBA의 크기 구하기 ❷ ∠ABI의 크기 구하기 ❸ ∠OBI의 크기 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ ∠A+∠B의 크기 구하기 ❷ ∠BAD+∠ABE의 크기 구하기 ❸ ∠ADB+∠AEB의 크기 구하기 20 % 30 % 50 % 채점 기준 배점 18~19쪽 개・념・확・인 01⑴ 8 cm ⑵ 6 cm ⑶ 60˘ ⑷ 120˘ 02⑴ x=5, y=50 ⑵ x=65, y=5 ⑶ x=3, y=2 ⑷ x=3, y=4 0317 cm 04ㄱ, ㄷ, ㅁ 0540 cm¤ 0618 cm¤0
1
⑴ BC”=AD”=8 cm ⑵ CD”=AB”=6 cm ⑶ ∠B=180˘-∠A=60˘ ⑷ ∠C=∠A=120˘0
2
⑴ 평행사변형의 두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다. ⑵ 평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다. ⑶, ⑷ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.0
3
AO”=;2!;AC”=;2!;_10=5(cm) BO”=;2!;BD”=;2!;_12=6(cm) 따라서 △ABO의 둘레의 길이는 AB”+BO”+AO”=6+6+5=17(cm)0
4
ㄱ. 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ㄷ. 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 평행사변형이다. ㅁ. 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.03. 평행사변형
20~21쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ② 1-17 1-2② 1-3③ 1-4① 1-5② 1-6⑤ 1-7⑤ 핵심유형 2 ①, ⑤ 2-1⑤ 2-2㈎ : ∠C, ㈏ : CF”, ㈐ : SAS, ㈑ : GF”, ㈒ : △DGH 핵심유형 3 ③ 3-1① 3-2⑤ 3-3② 핵심유형
1
△ABE™△FCE(ASA 합동)이므로 AB”=CF” 또한 ABCD가 평행사변형이므로 AB”=CD”=6 cm ∴ CF”=AB”=6 cm1
-1 AB”=CD”이므로 3x-1=x+3에서 x=2 ∴ AD”=BC”=2x+3=71
-2 ABCD는 평행사변형이므로 AB”=DC”=4 cm, AD”=BC” 따라서 2(4+BC”)=20이므로 BC”=6 cm1
-3 ∠C=∠A=110˘이므로 △DBC에서 ∠CDB=180˘-(110˘+40˘)=30˘1
-4 ∠A+∠B=180˘, ∠A : ∠B=3 : 2이므로 ∠C=∠A=180˘_;5#;=108˘1
-5 AD”∥ BC”이므로 ∠DAE=∠BEA △ABE에서 ∠BAE=∠BEA이므로 BE”=AB”=4 cm ∴ AD”=BC”=BE”+EC”=4+2=6(cm)1
-6 AD”∥BC”이므로 ∠DBC=∠ADB=30˘ 따라서 △OBC에서 ∠x=∠OBC+∠OCB=30˘+75˘=105˘1
-7 ③ AB”∥DC”이므로 ∠BAO=∠DCO (엇각) ①, ②, ④ △AOP와 △COQ에서 OA”=OC”, ∠AOP=∠COQ (맞꼭지각), ∠OAP=∠OCQ (엇각) 따라서 △AOP™△COQ (ASA합동)이므로 OP”=OQ” 핵심유형2
① AB”∥DC”이므로 아래 그림에서 ∠A=∠EDC(동위각) ∠A=∠C이므로 ∠EDC=∠C ①엇각의 크기가 같으므로 AD”∥BC” 따라서 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 ABCD는 평 행사변형이다. ⑤ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.2
-1 ⑤ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같아야 한다. ⑤즉, AB”=DC”, AB”∥DC”2
-2 △AEH와 △CGF에서 AE”=CG”, ∠A= , AH”=AD”-HD”=BC”-BF”= 이므로 △AEH™△CGF( 합동) ∴ EH”= ……` ㉠ 같은 방법으로 하면 △BEF™ ∴ EF”=GH” ……` ㉡ ㉠, ㉡에서 EFGH는 평행사변형이다. 핵심유형3
△APD+△BCP=;2!; ABCD △ADP+△BCP=;2!;_50 △ADP+△BCP=25(cm¤ )3
-1 △OBF™△ODE(ASA 합동)이므로 △DGH GF” SAS CF” ∠C A B C D E0
5
ABCD=4_△ABO=4_10=40(cm¤ )0
6
△ABP+△CDP=△ADP+△BCP이므로 △ABP+12=16+14 ∴ △ABP=18(cm¤ )△AOE+△OBF=△AOE+△ODE △OAE+△OBF=△AOD △OAE+△OBF=;4!; ABCD=;4!;_24 △OAE+△OBF=6(cm¤ )
3
-2 (색칠한 부분의 넓이) =△AEP+△BFP+△CGP+△DHP =;2!;( AEPH+ EBFP+ PFCG+ HPGD) =;2!; ABCD =;2!;_32=16(cm¤ )3
-3 ABNM= MNCD=;2!; ABCD △MPN=△MQN=;4!; ABNM △MPN=;4!;_;2!; ABCD=;8!; ABCD ∴ MPNQ=2△MPN=;4!; ABCD ∴ MPNQ=;4!;_32=8(cm¤ )0
1
④ AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠CBD(엇각) ⑤ AB”∥CD”이므로 ∠ABD=∠CDB(엇각)0
2
AB”∥DC”이므로 ∠ODC=∠ABO=40˘ AD”∥BC”이므로 ∠OCB=∠OAD=55˘ △BCD에서 55˘+50˘+40˘+∠DBC=180˘ ∴ ∠DBC=35˘0
3
AB”∥CD”이므로 ∠BAO=∠DCO(엇각) AD”∥BC”이므로 ∠DAO=∠BCO=56˘(엇각) △ABD에서 ∠A+∠ABO+∠ADO=180˘ 22~23쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02② 03④ 04③ 05② 068 cm 07④ 08⑤ 09㈎ : OR”, ㈏ : OS” 10㈎ : ∠EDF, ㈏ : ∠DFB11① 1280 cm¤ 136 cm 14100˘ (∠DCO+56˘)+∠ABO+42˘=180˘ ∴ ∠ABO+∠DCO=180˘-(56˘+42˘)=82˘
0
4
∠B=68˘이므로 ∠C=112˘ ∠EBC+;2!;∠C=90˘이므로 ∠EBC=34˘ ∴ ∠ABE=68˘-34˘=34˘0
5
BC”=5이므로 점 D는 점 A를 x축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 점이다. ∴ D(4, 4)0
6
∠ABF=∠CBF, ∠ABE=∠CEB(엇각)이므로 ∠CBE=∠CEB ∴ BC”=CE”=CD”+DE”=5+3=8(cm)0
7
④ ∠ABD=∠CDB=50˘이므로 ④AB”∥DC” ……` ㉠ ④∠ADB=∠CBD=45˘이므로 ④AD”∥ BC” …… ㉡ ④㉠, ㉡에 의하여 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 ABCD 는 평행사변형이다.0
8
⑤ 오른쪽 그림과 같은 ABCD 는 평행사변형이 아니다.0
9
AP”=CR”, BQ”=DS”이므로 OP”= , OQ”= 따라서 PQRS는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.10
∠EBF=;2!;∠B=;2!;∠D= ∠AEB=∠EBF(엇각), ∠DFC=∠EDF(엇각)이므로 ∠AEB=∠DFC ∠DEB=180˘-∠AEB=180˘-∠DFC= 따라서 BFDE는 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행 사변형이다.11
BFED가 평행사변형이므로 △CFE=△BCD=;2!; ABCD=;2!;_20=10(cm¤ )12
오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고 AB”에 평행하게 선을 그어 M’N”, BC”와의 교점을 각각 R, S라 하면 P R S M N Q A B C D E ∠DFB ∠EDF OS” OR” A B C D 5`cm 5`cm△EPQ=△EPR+△ERQ △EPQ=;8!;( ABSE+ ESCD) △EPQ=;8!; ABCD=10(cm¤ ) ∴ ABCD=80 cm¤
13
[단계❶] ∠BAE=∠DAE, ∠DAE=∠BEA(엇각)이므로 [단계❶] ∠BAE=∠BEA ∴ BE”=AB”=8 cm [단계❷] ∠ADF=∠CDF, ∠ADF=∠CFD(엇각)이므로 [단계❶] ∠CDF=∠CFD ∴ CF”=CD”=8 cm [단계❸] BC”=BE”+CF”-EF”=8+8-EF”=10(cm) ∴ EF”=6 cm14
∠EDB=∠CDB=40˘(접은 각) yy ❶ AB”∥DC”이므로 ∠ABD=∠CDB=40˘(엇각) yy ❷ △FBD에서 ∠AFE=180˘-(∠FBD+∠FDB) =180˘-(40˘+40˘)=100˘ yy ❸ ❶ ∠EDB의 크기 구하기 ❷ ∠ABD의 크기 구하기 ❸ ∠AFE의 크기 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점04. 여러 가지 사각형
24~25쪽 개・념・확・인 01⑴ 3 cm ⑵ 5 cm ⑶ ;2%; cm 02∠x=55˘, ∠y=35˘ 03⑴ 6 cm ⑵ 90˘ ⑶ 30˘ 04⑴ 90˘ ⑵ 6 cm 05⑴ ㄴ, ㄹ ⑵ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ ⑶ ㄷ, ㄹ ⑷ ㄹ ❶ BE”의 길이 구하기 ❷ CF”의 길이 구하기 ❸ EF”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점0
1
⑴ CD”=AB”=3(cm) ⑵ 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 ⑵BD”=AC”=5(cm) ⑶ OD”=;2!; BD”=;2!; AC”=;2%;(cm)0
2
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로 ∠OBA=55˘ ∴ ∠y=90˘-55˘=35˘, ∠x=∠DBA=55˘(엇각)0
3
⑴ 마름모는 네 변의 길이가 모두 같으므로 ⑴CD”=AB”=6(cm) ⑵ 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ∠AOD=90˘⑶ △ABD에서 AB”=AD”이므로 ∠ABD=∠ADB=30˘
0
4
⑴ AC”⊥BD”이므로 ∠AOB=90˘ ⑵ OA”=OB”=OC”=OD”이므로 ⑵BD”=2OA”=2_3=6(cm)0
5
⑴ 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 직사각형, 정사각형이다. ⑵ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 평행사변 형, 직사각형, 마름모, 정사각형이다. ⑶ 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형은 마름 모, 정사각형이다. ⑷ 두 대각선의 길이가 같고, 서로 다른 것을 수직이등분하는 사 각형은 정사각형이다. 26~27쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ① 1-1② 1-2③ 1-3⑤ 핵심유형 2 ② 2-1③ 2-2① 2-3⑤ 핵심유형 3 ① 3-1④ 3-2⑤ 3-3③ 핵심유형 4 ⑤ 4-1③ 4-2③ 4-3⑤ 핵심유형1
△ABE™△AFE(RHS 합동)이므로 ∠FAE=∠BAE=20˘ ∠AEF=∠AEB=90˘-20˘=70˘ ∴ ∠FEC=180˘-(∠AEB+∠AEF) =180˘-(70˘+70˘)=40˘1
-1 ①, ③ 직사각형 ② 마름모 ④, ⑤ 직사각형은 평행사변형이므로 평행사변형의 모든 성 질을 가지고 있다.1
-2 OD”=OC”=;2!;AC”=5(cm) CD”=AB”=6(cm) 따라서 △OCD의 둘레의 길이는 5+5+6=16(cm)이다.1
-3 ∠AEF=∠FEC(접은 각) =∠AFE(엇각) =180˘-∠EFD=180˘-100˘=80˘ ∴ ∠AEB=180˘-160˘=20˘ △ABE에서 ∠BAE=180˘-(∠B+∠AEB) =180˘-(90˘+20˘)=70˘ 핵심유형2
② 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하지만 두 대각선의 길이가 같지는 않다.2
-1 AB”=BC”이므로 3x-2=x+4, 2x=6 ∴ x=3 ∴ CD”=BC”=x+4=3+4=72
-2 AB”=BC”이므로 ∠BAC=∠BCA=;2!;_(180˘-60˘)=60˘ △ABC는 한 변의 길이가 3 cm인 정삼각형이므로 AC”=3(cm)2
-3 OA”=OC”, OB”=OD”, AC”⊥BD”이므로 △ABO=;2!;_10_8=40(cm¤ ) △ABO™△CBO™△CDO™△ADO이므로 ABCD=4△ABO=4_40=160(cm¤ ) 핵심유형3
∠BOC=90˘이므로 ∠BOP=90˘-∠POC ∠POQ=90˘이므로 ∠COQ=90˘-∠POC ∴ ∠BOP=∠COQ OB”=OC”, ∠OBP=∠OCQ=45˘이므로 △OBP™△OCQ(ASA 합동) ∴ OPCQ=△OPC+△OCQ∴ OPCQ=△OBP+△OPC=△OBC=;4!; ABCD ∴ OPCQ=;4!;_8_8=16(cm¤ )
3
-1 △ABE™△BCF(SAS 합동)이므로 ∠BAE=∠CBF ∴ ∠AGF=∠BGE=180˘-(∠EBG+∠GEB) =180˘-(∠BAE+∠AEB)=∠ABC=90˘3
-2 ∠ABE=90˘-∠CBE=90˘-30˘=60˘ AC”는 정사각형 ABCD의 대각선이므로 ∠BAE=45˘ ∴ ∠AEB=180˘-(60˘+45˘)=75˘ △ABE와 △ADE에서 AB”=AD” ∠BAE=∠DAE=45˘, AE”는 공통이므로 △ABE™△ADE(SAS 합동) ∴ ∠AED=∠AEB=75˘3
-3 AD”=AE”이고 ABCD는 정사각형이므로 AB”=AD”=AE” ∴ ∠AEB=∠ABE=20˘ ∠BAE=90˘+∠DAE=140˘ 이므로 ∠DAE=50˘ △ADE에서 AD”=AE”이므로 ∠ADE=∠AED=;2!;_(180˘-50˘)=65˘ 핵심유형4
①, ② ∠A+∠B=180˘, ∠A=∠C이므로 ③∠A=∠B=∠C=∠D이다. ③ 평행사변형에서 두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이 된다. ④ 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 OA”=OB”이면 AC”=BD”이므로 직사각형이 된다. ⑤ 평행사변형이 마름모가 될 조건이다.4
-1 ③ 마름모는 직사각형이 아니고, 직사각형도 마름모가 아니다.4
-2 ③ 두 대각선의 길이가 같으므로 직사각형이 된다.4
-3 ABCD에서 AD”∥BC”, AB”∥DC”이므로 평행사변형이다.또, 평행사변형 ABCD에서 AC”⊥BD”, AC”=BD”이므로 정사각형이다. A B C D E 20æ 50æ 20æ
△ABP에서 AB”=BP”이므로 ∠BAP=∠BPA=2!;_(180˘-30˘)=75˘ ∴ ∠PAD=90˘-∠BAP=90˘-75˘=15˘
0
7
사각형 ABCD는 ∠DAB=90˘인 마름모이므로 정사각형이다. ∠OCB=45˘이므로 △EBC에서 ∠EBC=∠AEB-∠OCB=65˘-45˘=20˘0
8
△AEO와 △DFO에서 AO”=DO”, ∠EAO=∠FDO=45˘ ∠EOA=∠EOF-∠AOF=90˘-∠AOF=∠FOD ∴ △AEO™△DFO(ASA 합동) ∴ FD”=EA”=2(cm) AD”=3+2=5(cm)이므로 ABCD=5_5=25(cm¤ )0
9
④ 평행사변형의 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180˘이므로 이웃 하는 두 내각의 크기가 같으면 한 내각의 크기가 90˘인 사각형, 즉 직사각형이다.10
평행사변형 ABCD에서 ∠A=90˘이면 직사각형이고, 직사각 형의 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분한다.3a-1=a+5, 2a=6 ∴ a=3
OA”=OC”=OB”=OD” ∴ OD”=OA”=3_3-1=8
11
① 직사각형 ②, ③, ⑤ 평행사변형 ④ 두 대각선이 서로 직교하므로 마름모이다.12
대각선 BD가 ∠B를 이등분하므로 AB”=BC”, 즉 ABCD는 마름모이다. 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 5_4=20(cm)13
AC”∥DE”이므로 △ACD=△ACE ∴ ABCD=△ABC+△ACD =△ABC+△ACE =12+8=20(cm¤ )14
[단계❶] 점 M, N을 이으면 ABNM과 MNCD는 정사 각형이므로 P’M”=PN”, Q’M”=Q’N”, P’M”⊥PN”, Q’M”⊥Q’N” ∠PMQ=∠PNQ=180˘-(45˘+45˘)=90˘ [단계❷] 따라서 MPNQ는 정사각형이다. [단계❷] ∴ MPNQ=2△MPN=2_;4!; ABNM ∴ MPNQ=2_;4!;_10_10=50(cm¤ )0
1
MN”과 EF”의 교점을 O라 하면 △OAM™△OCN(ASA 합동)이므로 OM”=ON” ∠MOE=∠NOF(맞꼭지각) BM”∥ ND”이므로 ∠OME=∠ONF(엇각) ∴ △OME™△ONF(ASA 합동) ∴ MEFD=△MND=;2!;_3_4=6(cm¤ )0
2
∠D'AE=90˘-70˘=20˘이므로 ∠DAE+∠D'AE=20˘(접은 각) ∴ ∠APB=∠PAD=2∠D'AE=40˘(엇각)0
3
△PBQ와 △QCD에서 PB”=;2!; AB”=;2!;_;3@; BC”=;3!; BC”=QC” ∠B=∠C=90˘, BQ”=;3@; BC”=CD” 이므로 △PBQ™△QCD(SAS 합동) ∴ PQ”=QD” ∠PQD=180˘-(∠PQB+∠DQC) =180˘-(∠PQB+∠QPB)=90˘ ∴ ∠QPD=∠QDP=45˘ ∴ ∠ADP+∠BQP=∠ADP+∠CDQ=90˘-45˘=45˘0
4
EBFD가 마름모이므로 ∠EBD=∠FBD, ∠EDB=∠FDB ∴ ∠FBD=∠FDB=;3!;_90˘=30˘ △FDB에서 ∠BFD=180˘-(30˘+30˘)=120˘0
5
①, ③, ④, ⑤ 직사각형과 마름모는 평행사변형이므로 평행사변 형의 성질을 만족한다. ② 마름모의 두 대각선은 직교하지만 직사각형의 두 대각선은 직 교하지 않는다.0
6
△PBC는 PB”=BC”=CP”인 정삼각형이므 로 ∠PBC=60˘ ∴ ∠ABP=90˘-∠PBC =90˘-60˘=30˘ A B P C D 75æ 30æ 75æ 60æ A B N F E O M C D 28~29쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 0240˘ 03① 04⑤ 05② 06① 07③ 08③ 09④ 108 11④ 1220 cm 1320 cm¤ 14 50 cm¤ 1575˘15
CD”의 연장선 위에 BP”=DR”가 되도록 점 R를 잡으면 △ABP™△ADR(SAS 합동) yy ❶ 이므로 AP”=AR” …… `㉠ ∠BAP=∠DAR, ∠BAP+∠QAD=45˘이므로 ∠RAQ=∠DAR+∠QAD =45˘=∠PAQ …… `㉡ AQ”는 공통 …… `㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 △PAQ™△RAQ(SAS 합동) yy ❷ ∴ ∠AQD=∠AQP=180˘-(45˘+60˘)=75˘ yy ❸ A B C 45æ 60æ D R Q P ❶ △ABP와 △ADR가 합동임을 설명하기 ❷ △PAQ와 △RAQ가 합동임을 설명하기 ❸ ∠AQD의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점05. 도형의 닮음
30~31쪽 개・념・확・인 01⑴ 점 D ⑵ EF” ⑶ ∠C 02⑴ 점 F ⑵ GH” ⑶ 면 ABD 03ㄱ, ㄷ, ㅂ 04⑴ 2 : 3 ⑵ :¡2∞: cm ⑶ 40˘ 05⑴ 4 : 5 ⑵ 5 cm ⑶ 면 B'E'F'C'0
4
⑴ BC”에 대응하는 변은 EF”이므로 닮음비는 BC” : EF”=6 : 9=2 : 3 ⑵ 2 : 3=AC” : DF” 이므로 2 : 3=5 : DF” ⑵∴ DF”=;;¡2∞;; (cm) ⑶ ∠F에 대응하는 각은 ∠C이므로 ∠F=∠C=40˘0
5
⑴ AD”에 대응하는 모서리는 A’'D'”이므로 닮음비는 AD” : A’'D'”=8 : 10=4 : 5⑵ 4 : 5=DE” : D’'E'”이므로 4 : 5=4 : D’'E'”” ∴ D’'E'”=5(cm)
도형의 닮음
Ⅵ
32~33쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1⑴ IL” ⑵ 면 JLIG 1-2⑤ 핵심유형 2 ④ 2-1② 2-2134 2-3④ 2-424p cm 핵심유형 3 9 3-1④ 3-22 : 3 3-3;4#; cm 핵심유형1
④ EH”에 대응하는 변은 AD”이다. 핵심유형2
① ∠D의 크기는 알 수 없다. ②, ⑤ 닮음비는 AB” : EF”=15 : 10=3 : 2이므로 ③3 : 2=AD” : 8 ∴ AD”=12(cm) ③ ∠G=∠C=70˘ ④ BC” : FG”=3 : 2이므로 18 : FG”=3 : 2 ∴ FG”=12(cm)2
-1 ∠A=70˘이므로 △ABCª△EFD 따라서 닮음비는 BC” : FD”=a : e2
-2 닮음비가 AD” : EH”=12 : 6=2 : 1이므로 2 : 1=8 : EF” EF”=4(cm)이므로 a=4 ∠G=∠C=360˘-(65˘+70˘+95˘)=130˘ 이므로 b=130 ∴ a+b=4+130=1342
-3 2 : 1=AB” : DE”이므로 2 : 1=12 : DE” ∴ DE”=6(cm) 2 : 1=BC”” : EF”이므로 2 : 1=8 : EF” ∴ EF”=4(cm) 따라서 △DEF의 둘레의 길이는 3+4+6=13(cm)2
-4 두 원의 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같으므로 3 : 4이다. 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면 3 : 4=9 : r ∴ r=12 따라서 원 O'의 둘레의 길이는 2p_12=24p(cm) ❶ MPNQ가 정사각형임을 설명하기 ❷ MPNQ의 넓이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점핵심유형
3
닮음비는 DH” : D’'H'”=6 : 9=2 : 3이므로 2 : 3=4 : x ∴ x=6 2 : 3=2 : y ∴ y=3 ∴ x+y=6+3=93
-1 ② 닮음비는 DE” : JK”=4 : 6=2 : 3 ④ EF” : KL”=2 : 3 ∴ x=2 AD” : GJ”=2 : 3 ∴ y=9 AC” : GI”=2 : 3 ∴ z=6 ∴ x+y+z=173
-2 밑면인 원의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 8 : 12=2 : 3이다.3
-3 두 원뿔은 서로 닮은 도형이고, 닮음비는 높이의 비와 같으므 로 4 : 1이다. 수면의 반지름의 길이를 x cm라 하면 4 : 1=3 : x ∴ x=;4#;(cm) ㄷ. AC” : DF””=3 : 1이므로 DF””=3(cm) 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.0
6
A4 용지와 A8 용지는 서로 닮음이고 닮음비는 4 : 1이다.0
7
⑤ 두 사면체의 닮음비는 ⑤AB” : EF””=3 : 6=1 : 2이다.0
8
닮음비가 1 : 2이므로 1 : 2=5 : x ∴ x=10 1 : 2=6 : y ∴ y=12 ∴ x-y=10-12=-20
9
두 원기둥의 닮음비가 5 : 10=1 : 2이므로 원기둥 B의 밑면인 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 1 : 2=2 : x ∴ x=4 따라서 원기둥 B의 밑면의 둘레의 길이는 2p_4=8p(cm)10
두 원뿔은 서로 닮음이고 닮음비는 12 : (12+9)=12 : 21=4 : 7이므로 처음 원뿔의 밑면인 원 의 반지름의 길이를 x cm라 하면 4 : 7=8 : x ∴ x=14(cm)11
[단계❶] △OABª△OBC이고 닮음비는 OA” : OB”=2 : 3이므로 2 : 3=12 : OC” ∴ OC”=18(cm) [단계❷] △OBC∽△OCD이고 닮음비는 OB” : OC”=2 : 3이므로 2 : 3=18 : OD” ∴ OD”=27(cm) [단계❸] ∴ OC”+OD”=45(cm)12
⑴ 닮음비는 AD” : IL”=9 : 6=3 : 2 yy ❶ ⑵ 3 : 2=x : 4 ∴ x=6 3 : 2=12 : y ∴ y=8 yy ❷0
1
⑤ 두 직각이등변삼각형은 항상 닮은 도형이다.0
2
항상 닮음인 도형은 두 정다각형, 두 직각이등변삼각형, 두 원, 두 구, 두 정다면체 등이다.0
3
∠A=∠E=70˘이므로 ∠F=∠B=360˘-(70˘+65˘+80˘)=145˘0
4
2 : 3=AB” : 6이므로 AB”=4(cm) ABCD의 둘레의 길이는 3+4+4+5=16(cm)이고, 두 사각형의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 EFGH의 둘레의 길이를 l cm라 하면 2 : 3=16 : l ∴ l=24(cm)0
5
ㄱ. 닮음비는 AB” : DE””=6 : 2=3 : 1이다. ㄴ. ∠C=∠F=30˘이므로 ∠A=180˘-(70˘+30˘)=80˘ 34~35쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02④, ⑤ 03④ 0424 cm 05⑤ 06② 07⑤ 08① 098p cm 1014 cm 1145 cm 12⑴ 3 : 2 ⑵ x=6, y=8 ❶ OC”의 길이 구하기 ❷ OD”의 길이 구하기 ❸ OC”+OD”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 닮음비 구하기 ❷ x, y의 값 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점06. 삼각형의 닮음 조건
36~37쪽 개・념・확・인 01△ABCª△PQR(SAS 닮음), △DEFª△HIG(AA 닮음), △JKLª△NOM(SSS 닮음) 02⑴ △ABEª△DCE(SAS 닮음) ⑵ △ABCª△ADE(AA 닮음) 03⑴ 2 : 3 ⑵ 12 cm 04⑴ ;;£5™;; ⑵ 4 ⑶ 9 ⑷ :¡5™:0
2
⑴ △ABE와 △DCE에서AE” : DE”=BE” : CE”=1 : 2, ∠AEB=∠DEC이므로 △ABEª△DCE(SAS 닮음)
⑵ △ADE와 △ABC에서
∠ADE=∠ABC, ∠A는 공통이므로 △ABCª△ADE(AA 닮음)
0
3
⑴ △ABC와 △DEF에서AB” : DE”=BC” : EF”=2 : 3, ∠ABC=∠DEF이므로 △ABCª△DEF(SAS 닮음) 따라서 닮음비는 2 : 3이다. ⑵ 2 : 3=AC” : DF”이므로 2 : 3=8 : DF” ∴ DF”=12(cm)
0
4
⑴ AB” ¤ =BD”_BC”이므로 ⑴8¤ =x_10 ∴ x=;;£5™;; ⑵ AC” ¤ =CD”_CB”이므로 x¤ =2_8=16 ∴ x=4 ⑶ AD” ¤ =BD”_CD”이므로 6¤ =4_x ∴ x=9⑷ △ABC=;2!; AB”_AC”=;2!; BC”_AD”이므로 ⑷3_4=5_x ∴ x=:¡5™: 38~39쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1③ 1-2① 핵심유형 2 ② 2-1② 2-210 2-35 cm 2-46 cm 핵심유형 3 12 3-111 3-2:¡2∞: cm3-3① 3-4② 3-5③ 핵심유형
1
④ 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같은 삼각형이다.1
-1 ①, ④ AA 닮음 ② SAS 닮음 ⑤ SSS 닮음1
-2 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같으므로 그 끼인각의 크 기가 같으면 닮음이다. 핵심유형2
△AED와 △ABC에서 ∠AED=∠ABC=50˘, ∠A는 공통이므로 △AEDª△ABC(AA 닮음)이고 닮음비는 ED” : BC”=1 : 2 따라서 AD” : AC”=1 : 2이므로 AD” : 8=1 : 2 ∴ AD”=4(cm)2
-1 △ABD와 △CBA에서 AB” : BC”= BD” : AB”=3 : 4, ∠B는 공통이므로 △ABDª△CBA(SAS 닮음) 따라서 3 : 4=AD” : CA”이므로 3 : 4=AD” : 8 ∴ AD”=62
-2 △BDE와 △BCA에서 DB” : BC”=BE” : BA”=1 : 2, ∠B는 공통이므로 △BDEª△BCA(SAS 닮음) 따라서 1 : 2=ED” : AC”이므로 1 : 2=5 : AC” ∴ AC”=102
-3 △ABD와 △CBA에서 ∠BAD=∠BCA, ∠B는 공통이므로 △ABDª△CBA(AA 닮음) AB” : CB”=BD” : BA”이므로 6 : (4+CD”)=4 : 6 4(4+CD”)=36, 4+CD”=9 ∴ CD”=5(cm)2
-4 △BEF와 △CED에서 ∠BEF=∠CED, ∠BFE=∠CDE이므로 △BEFª△CED(AA 닮음) 닮음비는 BE” : CE”=6 : 9=2 : 3이므로 2 : 3=BF” : CD” 2 : 3=4 : DC” ∴ DC”=6(cm) ∴ AB”=DC”=6(cm) 핵심유형3
BC” ¤ =CH”_CA”이므로 5¤ =3(3+x), 25=9+3x ∴ x=:¡3§:0
1
△ABC에서 ∠A=180˘-(60˘+35˘)=85˘ ①, ②, ③, ⑤ AA 닮음 BA” ¤ =AH”_AC”이므로 y¤ =:¡3§:_{:¡3§:+3}=:¡3§:_:™3∞:={:™3º:}2 ∴ y=:™3º: ∴ x+y=:¡3§:+:™3º:=123
-1 △ABD와 △ACE에서 ∠A는 공통, ∠ADB=∠AEC=90˘이므로 △ABDª△ACE(AA 닮음)따라서 AB” : AC”=AD” : AE”이므로
(BE”+4) : 10=6 : 4, 4(BE”+4)=60
∴ BE”=11
3
-2 △ABE와 △ADF에서∠AEB=∠AFD=90˘, ∠B=∠D(대각)이므로 △ABEª△ADF(AA 닮음)
따라서 AE” : AF”=AB” : AD”이므로 6 : 8=AB” : 10 ∴ AB”=:¡2∞:(cm)
3
-4 AH” ¤ =BH”_CH”이므로 12¤ =16_CH” ∴ CH”=9(cm) 따라서 △AHC의 넓이는 ;2!;_9_12=54(cm¤ )3
-5 BC” ¤ =CH”_CA”이므로 6¤ =CH”_10 ∴ CH”=:¡5•:(cm), AH”=:£5™:(cm) BH” ¤ =CH”_AH”이므로 BH” ¤ =:¡5•:_:£5™:={:™5¢:}2 ∴ BH”=:™5¢:(cm) 40~41쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02△EDC, SAS 닮음 03① 04 ⑤ 05① 06② 0736 cm 08 :¡3§: cm 0912 cm 1045 11;4(; cm 12 15 cm 133 cm0
2
△ABC와 △EDC에서 BC” : DC”=AC” : EC”=1 : 3이고 ∠C는 공통이므로 △ABCª△EDC(SAS 닮음)0
3
① ∠A=75˘이면 ∠C=60˘이므로 △ABCª△DFE(AA 닮음)0
4
△ADE와 △CAB에서 ∠EAC=∠BCA(엇각), ∠EDA=∠BAD(엇각)이므로 △ADEª△CAB(AA 닮음)따라서 AE” : CB”=AD” : CA”이므로 4 : CB”=6 : 11 ∴ BC”=:™3™:
0
5
△DBE와 △CBA에서 BD” : BC”=BE” : BA”=8 : 12=2 : 3, ∠B는 공통이므로 △DBEª△CBA(SAS 닮음) 따라서 BD” : CB”=DE” : CA”이므로 2 : 3=4 : CA” ∴ AC”=6`(cm)0
6
△DAE와 △BAC에서 ∠ADE=∠B, ∠A는 공통이므로 △DAEª△BAC(AA 닮음) 따라서 AD” : AB”=AE” : AC”이므로 6 : (4+BE”)=4 : 9 ∴ BE”=:¡2ª: (cm)0
7
△BFE와 △CFD에서 ∠BFE=∠CFD, ∠BEF=∠CDF(엇각)이므로 △BFEª△CFD(AA 닮음) 닮음비는 BE” : CD”=5 : 10=1 : 2이므로 BF” : CF’”=1 : 2 ∴ BF”=18_;3!;=6(cm), CF”=12(cm) 또, 1 : 2=FE” : FD”이므로 1 : 2=7 : FD” ∴ DF”=14(cm) 따라서 △CDF의 둘레의 길이는 CD”+DF”+CF”=10+14+12=36(cm)0
8
△AEC와 △ADB에서 ∠AEC=∠ADB=90˘, ∠A는 공통이므로 △AECª△ADB(AA 닮음)따라서 AE” : AD”=AC” : AB”이므로 AE” : 6=8 : 9 ∴ AE”=:¡3§:(cm)
0
9
AC” ¤ =CD”_CB”에서 15¤ =9_BC”이므로 BC”=25(cm) ∴ BD”=25-9=16(cm)이때 AD” ¤ =BD”_CD”이므로 AD” ¤ =16_9=144 ∴ AD”=12(cm)
10
AD” ¤ =BD”_CD”이므로 6¤ =BD”_3 ∴ BD”=12 따라서 △ABC의 넓이는 ;2!;_15_6=4511
AD”=BC”=5(cm)이므로 직각삼각형 ABD에서 AD” ¤ =DH”_BD” 5¤ =4_BD” ∴ BD”=:™4∞:(cm) ∴ BH”=BD”-DH”=:™4∞:-4=;4(;(cm)12
[단계❶] △ABF와 △DFE에서 ∠A=∠D=90˘ ∠ABF=90˘-∠AFB=∠DFE ∴ △ABFª△DFE(AA 닮음) [단계❷] AB” : DF”=AF” : DE”이므로9 : 3=AF” : 4, 3AF”=36 ∴ AF” =12(cm) [단계❸] ∴ BF”=BC”=AD”
=AF”+FD”=12+3=15(cm)
13
점 O가 △ABC의 외심이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼 각형이다. ∴ BO”=CO”=6(cm) yy ❶ AB” ¤ =BD”_BC”이므로 6¤ =BD”_12 ∴ BD”=3(cm) yy ❷ ∴ DO”=BO”-BD”=6-3=3(cm) yy ❸ ❶ △ABFª△DFE임을 설명하기 ❷ AF”의 길이 구하기 ❸ BF”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ BO”의 길이 구하기 ❷ BD”의 길이 구하기 ❸ DO”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점07. 삼각형과 평행선
42~43쪽 개・념・확・인 01⑴ 6 ⑵ 9 ⑶ 6 02⑴ 03⑴ 2 ⑵ ;3%; 04⑴ 8 ⑵ 6 ⑶ :™5¢:0
1
⑴ 6 : (6+x)=10 : 20 ∴ x=6 ⑵ 3 : x=4 : 12 ∴ x=9 ⑶ 2 : 4=3 : x ∴ x=60
2
⑴ AD” : DB”=8 : 4=2 : 1, AE” : EC”=6 : 3=2 : 1이므로 AD” : DB”=AE” : EC”=2 : 1 따라서 BC”∥DE”이다. ⑵ AD” : AB”=3 : 8,AE” : AC”=4 : 6=2 : 3이므로 AD” : AB”+AE” : AC”
따라서 BC”와 DE”는 평행하지 않다. ⑶ AB” : BD”=4 : 2=2 : 1,
AC” : CE”=6 : 2.5이므로 AB”” : BD”+AC” : CE”
따라서 BC”와 DE”는 평행하지 않다.
0
3
⑴ AB” : AC”=BD” : CD”이므로 6 : 4=3 : x, 6x=12 ∴ x=2 ⑵ AB” : AC”=BD” : CD”이므로 4 : 3=(x+5) : 5 ⑵3_(x+5)=20, x+5=:™3º: ⑵∴ x=;3%;0
4
⑴ 9 : 6=12 : x, 9x=72 ∴ x=8 ⑵ 6 : 4=9 : x, 6x=36 ∴ x=6 ⑶ 4 : 5=x : 6, 5x=24 ⑶∴ x=:™5¢:44~45쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 22 1-1x=6, y=5 1-230 1-3:¡5™: cm 핵심유형 2 ④ 2-1FE”∥BC” 2-2⑴ 9 ⑵ 24 핵심유형 3 5 cm 3-110 cm 3-220 cm¤ 핵심유형 4 90 4-1:™5¢: 4-210 4-3;2%; 4-46 cm 핵심유형
1
x : 8=9 : 6, 6x=72 ∴ x=12 9 : 6=15 : y, 9y=90 ∴ y=10 ∴ x+y=12+10=221
-1 4 : 8=x : 12, 8x=48 ∴ x=64 : 8=y : 10이므로, 8y=40 ∴ y=5
1
-2 8 : (8+x)=4 : 6이므로4_(8+x)=48, 8+x=12 ∴ x=4
4 : 6=5 : y이므로 y=:¡2∞: ∴ xy=30
1
-3 마름모 DBFE의 한 변의 길이를 x cm라 하면 AD” : AB”=DE” : BC”에서(6-x) : 6=x : 4, 6x=4_(6-x) ∴ x=:¡5™:
핵심유형
2
④ AE” : EC”=AD” : DB”=2 : 1이므로 DE”∥BC”2
-1 AF” : FB”=AE” : EC”=2 : 3이므로 FE”∥BC”2
-2 ⑴ x : 6=6 : 4, 4x=36 ∴ x=9 ⑵ 15 : (x-15)=10 : 6 10_(x-15)=90 ∴ x=24 핵심유형3
6 : 4=3 : CD”, 6 CD”=12 ∴ CD”=2(cm) ∴ BC”=BD”+DC”=3+2=5(cm)3
-1 CD”=x cm라 하면 8 : 5=(6+x) : x이므로 5_(6+x)=8x, 3x=30 ∴ x=103
-2 AB” : AC”=BD” : CD”=4 : 3이므로 △ABD : △ADC=BD” : CD”=4 : 3 ∴ △ABD=35_;7$;=20(cm¤ ) 핵심유형4
6 : 8=x : 10, 8x=60 ∴ x=:¡2∞:8 : 14=y : 21, 14y=168 ∴ y=12
∴ xy=90
4
-1 3 : 5=x : 8, 5x=24 ∴ x=:™5¢:4
-2 k∥l∥m이므로 3 : 4=x : 5 4x=15 ∴ x=:¡4∞: l∥m∥n이므로 4 : 5=5 : y 4y=25 ∴ y=:™4∞: ∴ x+y=104
-3 △ABC에서 EF”∥BC”이므로 3 : 5=x : 10, 5x=30 ∴ x=6 △CDA에서 FG”∥AD”이므로2 : 5=y : 6, 5y=12 ∴ y=:¡5™:
∴ ;]{;=6_;1∞2;=;2%;
4
-4 점 A를 지나면서 DC”에 평행한 직선이 EF”, BC”와 만나는 점을 각 각 G, H라 하자. HC”=GF”=AD”=5(cm)이므로 BH”=3(cm) △ABH에서 AE” : AB”=EG” : BH”이므로3 : 9=EG” : 3, 9 EG”=9 ∴ EG”=1(cm) ∴ EF”=EG”+GF”=1+5=6(cm) 5`cm 5`cm 5`cm 3`cm 6`cm 8`cm A B H G C D E F
0
1
AE”=x cm라 하면 3 : 4=(14-x) : x 4_(14-x)=3x, 7x=56 ∴ x=80
2
2 : 6=(5-x) : 5이므로 6_(5-x)=10 30-6x=10 ∴ x=;;¡3º;; 2 : 6=3 : y, 2y=18 ∴ y=9 46~47쪽 기출문제로실・력・다・지・기 018 cm 02;;£3¶;; 03x=15, y=12 048 cm 05;2(; 06⑤ 073 088 cm 0910 cm 10:¡4∞: 11:™4∞: 124 cm 136 cm 14:¡5™: cm∴ x+y=;;¡3º;;+9=;;£3¶;;
0
3
8 : 20=6 : x, 8x=120 ∴ x=1516 : 20=y : 15, 20y=240 ∴ y=12
0
4
DP” : BQ”=PE” : QC”이므로DP” : 10=16 : 20, 20 DP”=160 ∴ DP”=8(cm)
0
5
△ABE에서 AD” : DB”=AF” : FE”이므로8 : 4=6 : FE”, 8FE”=24 ∴ FE”=3 △ABC에서 AD” : DB”=AE” : EC”이므로 8 : 4=9 : CE”, 8CE”=36 ∴ CE”=;2(;
0
6
ㄱ. 6 : 9+7 : 12 ㄴ. 6 : 10+5 : 7 ㄷ. 6 : 8=12 : 16 ㄹ. 5 : 10=8 : 16따라서 BC”∥DE”인 것은 ㄷ, ㄹ이다.
0
7
AD” : DB”=AE” : EC”이면 DE”∥BC”이므로4 : 2=6 : x, 4x=12 ∴ x=3
0
8
AB” : AC”=BD’” : CD”에서 4 : 3=BD” : CD”이므로 BD”=;7$; BC”=;7$;_14=8(cm)0
9
AD”가 ∠A의 이등분선이므로 AB” : AC”=BD” : CD” 즉, 12 : 8=3 : CD”, 12CD”=24 ∴ CD”=2(cm) 또, AE”가 ∠A의 외각의 이등분선이므로AB” : AC”=BE” : CE” CE”=x cm라 하면 12 : 8=(5+x) : x 8_(5+x)=12x, 4x=40 ∴ x=10
10
x : 6=5 : 8, 8x=30 ∴ x=:¡4∞:11
2 : x=4 : 5, 4x=10 ∴ x=;2%; 4 : 5=3 : y, 4y=15 ∴ y=:¡4∞: ∴ x+y=:™4∞:12
점 A를 지나면서 DC”에 평행한 직선이 EF”, BC”와 만나는 점을 각 각 G, H라 하자. HC”=GF”=AD”=10(cm)이므로 4`cm 6`cm 10`cm 10`cm 10`cm 10`cm A B H C G D E F EG”=4(cm), BH”=10(cm) △ABH에서 AE”=x cm라 하면 AE” : AB”=EG” : BH”이므로 x : (x+6)=4 : 10 4_(x+6)=10x ∴ x=413
[단계❶] △ABE와 △CDE에서 ∠AEB=∠CED, ∠ABE=∠CDE이므로 △ABEª△CDE(AA 닮음) [단계❷] AB” : CD”=10 : 15=2 : 3이므로 BE” : ED”=2 : 3 [단계❸] △BCD에서 BE” : BD”=EF” : CD”이므로 2 : 5=EF” : 15, 5EF”=30 ∴ EF”=6(cm)14
AD”가 ∠A의 이등분선이므로 BD” : CD”=AB” : AC”=4 : 6=2 : 3 yy ❶ △CAB에서 CD” : CB”=DE” : AB”이므로3 : 5=DE” : 4, 5DE”=12 ∴ DE”=;;¡5™;;(cm) yy ❷ ❶ △ABEª△CDE임을 설명하기 ❷ BE” : ED” 구하기 ❸ EF”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ BD” : CD” 구하기 ❷ DE”의 길이 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점
08. 삼각형의 무게중심
48~49쪽 개・념・확・인 01⑴ 4 ⑵ 6 02⑴ 4 cm ⑵ 10 cm 03⑴ x=3, y=5 ⑵ x=16, y=6 04⑴ 16 cm¤ ⑵ 8 cm¤0
1
⑴ x=;2!;_8=4 ⑵ x=2_3=60
2
⑴ AE”=;2!;_8=4(cm) ⑵ BC”=2_DE”=2_5=10(cm)0
3
⑴ 6 : x=2 : 1이므로 2x=6 ∴ x=3 ⑴y=;2!;_10=5 ⑵ x=2_8=16 y : 3=2 : 1이므로 y=2_3=60
4
⑴ △ABG=;3!;△ABC=16(cm¤ ) ⑵ △GBD=;6!;△ABC=8(cm¤ ) △CDA에서 CN”=ND”, NP”∥DA”이므로 x=2PN”=2_3=6 △ABC에서 AM”=MB”, MP”∥BC”이므로 y=;2!;BC”=;2!;_9=;2(; ∴ x+y=6+;2(;=;;™2¡;;2
-1 BE”=EC”=;2!;BC”=9(cm), DE”∥AC”이므로 BD”=DA”=;2!;AB”=6(cm) ∴ DE”=;2!;AC”=8(cm) 따라서 △BED의 둘레의 길이는 6+8+9=23(cm)2
-2 △BCD에서 BM”=MC”, DC”∥EM”이므로 CD”=2EM”=12(cm)△AEM에서 AN”=NM”, DN”∥EM”이므로 DN”=;2!; EM”=3(cm)
∴ NC”=12-3=9(cm)
2
-3 ⑴ △ABC에서 AE”=EB”, EG”∥BC”이므로 AG”=GC” ⑴∴ EG”=;2!; BC”=3(cm) ⑵ △EFG≡△DFC(ASA 합동)이므로 CD”=GE”=3(cm) 핵심유형3
GD”=;3!; AD”=4(cm)이므로 GG'”=;3@; GD”=;3*;(cm)3
-1 AG” : GD”=2 : 1이므로 6 : y=2 : 1, 2y=6 ∴ y=3 △ABD에서 AE” : EB”=AG” : GD”이므로x : 4=2 : 1 ∴ x=8
3
-2 점 D가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AD”=BD”=CD”=;2!;_10=5(cm) ∴ AG”=;3@; AD”=:¡3º:(cm)3
-3 평행사변형의 성질에 의하여 AO”=CO”이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다. 이때 BO”=DO”=;2!; BD”=12(cm)이므로 PO”=;3!; BO”=4(cm) 50~51쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 15 1-144 1-26 cm 1-318 cm 핵심유형 2 ;;™2¡;; 2-123 cm 2-29 cm 2-3⑴ 3 cm ⑵ 3 cm 핵심유형 3 ;3*; cm 3-1x=8, y=3 3-2:¡3º: cm 3-34 cm 핵심유형 4 20 cm¤ 4-112 cm¤ 4-254 cm¤ 4-38 cm¤ 핵심유형1
(△DEF의 둘레의 길이)=DE”+EF”+DF” (△DEF의 둘레의 길이)=;2!;(AC”+AB”+BC”) (△DEF의 둘레의 길이)=;2!;_(10+8+12)=151
-1 DE”=;2!; BC”=;2!;_8=4 ∴ x=4DE”∥BC”이므로 ∠ADE=∠B=40˘(동위각) ∴ y=40 ∴ x+y=44
1
-2 △ABC에서 BC”=2MN”=12(cm) △DBC에서 PQ”=;2!; BC”=6(cm)1
-3 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 PQ”=SR”=;2!; AC”=4(cm), PS”=QR”=;2!; BD”=5(cm) 즉, `PQRS의 둘레의 길이는 2_(4+5)=18(cm) 핵심유형2
AD”∥BC”, AM”=MB”, DN”=NC”이므로 AD”∥MN”∥BC”핵심유형
4
`AFGE=;3!;△ABC=20(cm¤ )4
-1 △ABG=△AGC=;3!;△ABC=12(cm¤ ) △ABM=△AMG=△AGN=△ANC △ABM=;2!;△ABG=6(cm¤ ) 따라서 색칠한 부분의 넓이는 2_6=12(cm¤ )4
-2 △GBG' : △GBD=2 : 3이므로 6 : △GBD=2 : 3 ∴ △GBD=9(cm¤ ) ∴ △ABC=6△GBD=54(cm¤ )4
-3 대각선 AC를 이으면 평행사변 형의 성질에 의하여 AO”=CO”이므로 점 P는 △ABC의 무게중심이다. 즉, △ABC=;2!; ABCD=24(cm¤ ) ∴ △ABP=;3!; △ABC=8(cm¤ ) A D Q O F P E B C0
1
AM”=MB”, AM”=NC”이므로 MN”=;2!; BC”=8(cm) ∴ MP”=MN”-PN”=8-5=3(cm)0
2
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 AB”=2EF”, BC”=2DF”, AC”=2DE”이므로 (△ABC의 둘레의 길이)=2(△DFE의 둘레의 길이) =30(cm)0
3
오른쪽 그림과 같이 AB”를 긋고 MN”의 연장선이 AB”와 만나는 점을 P라 하면 △ABC에서 PN”=;2!; BC”=9(cm) 9`cm 18`cm A B C D O M P N 52~53쪽 기출문제로실・력・다・지・기 013 cm 0230 cm 03;2(; cm 0420 cm 0512 cm 065 cm¤ 0716 088 cm 0918 cm 104 cm 11;2(; cm 1210 cm¤ 133 cm 1420 cm¤ 또 △ABD에서 PM”=;2!; AD”=;2(;(cm) ∴ MN”=PN”-PM”=9-;2(;=;2(;(cm)0
4
EFGH는 마름모이고, EF””=;2!; AC”=5(cm)이므로 EFGH의 둘레의 길이는 4_5=20(cm)0
5
점 E를 지나면서 BD”에 평행한 직선이 AC”와 만나는 점을 F라 하자. 이때 △ABC에서 점 F는 AC”의 중점이 므로 BC”=2EF” 한편, △EGF≡△DGC(ASA합동) 이므로 EF”=CD” 즉, BC”=2EF”=2CD”이므로 CD”=;3!; BD”=12(cm)0
6
△ABG=;3!; △ABC=20(cm¤ )△ABM=;2!; △ABD=;2!;_;2!; △ABC=15(cm¤ ) ∴ △MBG=△ABG-△ABM=20-15=5(cm¤ )
0
7
AG” : GD”=2 : 1이므로8 : x=2 : 1, 2x=8 ∴ x=4
△ABD에서 EG”∥BD”이고 AG” : AD”=2 : 3이므로
2 : 3=4 : BD”, 2BD”=12 ∴ BD”=6(cm)
즉, y=2BD”=2_6=12 ∴ x+y=16
0
8
△CAD에서 AD”=2EF”=12(cm) ∴ AG”=;3@;AD”=;3@;_12=8(cm)0
9
AF”=FB”, AE”=EC”이므로 FE”∥BC”∴ △GEFª△GBC(AA 닮음) GH” : GD”=1 : 2이므로 GD””=2_3=6(cm) 또한, AG” : GD”=2 : 1이므로 AG”=2_6=12(cm) ∴ AD”=12+6=18(cm)
10
AG” : GE”=AG' ”: G'F”=2 : 1이므로 △AEF에서 2 : 3=GG'”: EF” 이때 BE”=ED”=DF”=FC”이므로 EF”=;2!; BC”=6(cm) A B C 36`cm D G E F따라서 2 : 3=GG'” : 6이므로 GG'”=4(cm)
11
대각선 AC를 그으면 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무 게중심이므로 BD”=3PQ”=9(cm) 즉, △BCD에서 BM”=MC”, CN”=ND”이므로 MN”=;2!; BD”=;2(;(cm)12
△`GDC=;6!; △ABC=20(cm¤ ) ∴ △EDC=;2!; △GDC=10(cm¤ )13
[단계❶] △ABC에서 EQ”=;2!; BC”=;;¡2£;;(cm) [단계❷] △BDA에서 EP”=;2!; AD”=;2&;(cm) [단계❸] ∴ PQ”=EQ”-EP”=;;¡2£;;-;2&;=3(cm)14
대각선 AC를 그으면 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이다. yy ❶ 두 대각선의 교점을 O라 하면 △ABC에서 PMCO=;3!; △ABC PMCO=;3!;_;2!; ABCD PMCO=10(cm¤ ) yy ❷ 같은 방법으로 OCNQ=10 cm¤ 이므로 색칠한 부분의 넓이 는 10+10=20(cm¤ ) yy ❸ A B C N M P Q O D ❶ EQ”의 길이 구하기 ❷ EP”의 길이 구하기 ❸ PQ”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 점 P, Q가 각각 △ABC, △ACD의 무게중심임을 알기 30 % 채점 기준 배점 ❷ PMCO의 넓이 구하기 ❸ 색칠한 부분의 넓이 구하기 40 % 30 %09. 닮은 도형의 넓이와 부피
54~55쪽 개・념・확・인 01⑴ 2 : 3 ⑵ 2 : 3 ⑶ 4 : 9 02⑴ 54 cm¤ ⑵ 32 cm‹ 03⑴ 1 : 3 ⑵ 1 : 9 ⑶ 1 : 27 04⑴ 100 m ⑵ 10 cm 053 m 06150 m0
1
⑴ 닮음비는 AD” : EH”=8 : 12=2 : 3 ⑵ 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 2 : 3 ⑶ 넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 90
2
⑴ 두 삼각기둥의 닮음비가 2 : 3이므로 겉넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이다. 삼각기둥 B의 겉넓이를 S cm¤ 라 하면 4 : 9=24 : S, 4S=216 ∴ S=54 따라서 삼각기둥 B의 겉넓이는 54 cm¤ 이다. ⑵ 두 삼각기둥의 닮음비가 2 : 3이므로 부피의 비는 `2‹ : 3‹ =8 : 27이다. 삼각기둥 A의 부피를 V cm‹ 라 하면 8 : 27=V : 108, 27V=864 ∴ V=32 따라서 삼각기둥 A의 부피는 32 cm‹ 이다.0
3
⑴ 두 구의 닮음비는 반지름의 길이의 비와 같으므로 2 : 6=1 : 3 ⑵ 겉넓이의 비는 1¤ : 3¤ =1 : 9 ⑶ 부피의 비는 1‹ : 3‹ =1 : 270
4
⑴ 두 지점 사이의 실제 거리는 2_5000=10000(cm)=100(m) ⑵ 500(m)=50000(cm)이므로 지도에서의 거리를 x cm라 하 면 1 : 5000=x : 50000 ∴ x=10 따라서 지도에서 두 지점 사이의 길이는 10 cm이다.0
5
나무의 높이를 x m라 하면 1.5 : 4.5=1 : x, 1.5x=4.5 ∴ x=3 따라서 나무의 높이는 3 m이다.0
6
△CDEª△CBA(AA 닮음)이므로 6 : 180=5 : AB” ∴ AB”=150(m)2
-3 세 원뿔의 높이의 비는 1 : 2 : 3이므로 부피의 비는 1‹ : 2‹ : 3‹ =1 : 8 : 27이다. 따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는 1 : (8-1) : (27-8)=1 : 7 : 192
-4 두 쇠공의 지름의 비는 10 : 2=5 : 1이므로 부피의 비는 5‹ : 1‹ =125 : 1이다. 따라서 작은 쇠공을 125개 만들 수 있다. 핵심유형3
3(km)=300000(cm)이므로 (축척)= = 이때 10(km)=1000000(cm)이므로 (구하는 길이)=1000000_ =20(cm)3
-1 25(km)=2500000(cm)이므로 (축척)= 따라서 축척이 이므로 넓이의 비는 1 : 500000¤ 따라서 지도에서 5 cm¤ 인 땅의 실제 넓이를 S라 하면 1 : 250000000000=5 : S ∴ S=1250000000000(cm¤ )=125(km¤ ) 따라서 땅의 실제 넓이는 125 km¤ 이다.3
-2 두 지점 사이의 실제 거리는 15_100000=1500000(cm)=15(km) 따라서 두 지점 사이의 거리를 가는 데 걸리는 시간은 :¡5∞:=3(시간)3
-3 △ABCª△ADE(AA 닮음)이므로 AB”=x cm라 하면 x : (x+2)=4 : 6 4(x+2)=6x ∴ x=4 따라서 AB”의 실제 거리는 4_2000=8000(cm)=80(m)3
-4 △ABCª△DEC(AA 닮음)이므로 건물의 높이를 h m라 하면 1.6 : h=1.5 : 13.5 ∴ h=14.4 따라서 건물의 높이는 14.4 m이다. 1 500000 1 500000 1 50000 1 50000 6 300000 56~57쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 64 cm¤ 1-1② 1-281 cm¤ 핵심유형 2 80p cm¤ 2-1216 cm‹ 2-281 cm‹ 2-31 : 7 : 19 2-4125개 핵심유형 3 ③ 3-1125 km¤ 3-23시간 3-380 m 3-414.4 m 핵심유형1
△CDEª△CAB(AA 닮음)이고 닮음비는 CE” : CB”=6 : 10=3 : 5이므로 넓이의 비는 3¤ : 5¤ =9 : 25이다. 9 : 25=36 : △CAB ∴ △CAB=100(cm¤ ) ∴ ABED=△CAB-△CDE=100-36=64(cm¤ )1
-1 △ABC와 △DEF의 닮음비가 8 : 6=4 : 3이므로 넓이의 비는 4¤ : 3¤ =16 : 9이다. 즉, 16 : 9=48 : △DEF이므로 16△DEF=432 ∴ △DEF=27(cm¤ )1
-2 △AOD와 △COB에서 ∠ADO=∠CBO(엇각), ∠DAO=∠BCO(엇각)이므로 △AODª△COB(AA 닮음) △AOD와 △COB의 닮음비는 2 : 3이므로 넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이다. 즉, 4 : 9=36 : △OBC이므로 4△OBC=324 ∴ △OBC=81(cm¤ ) 핵심유형2
두 원기둥의 닮음비는 6 : 12=1 : 2이므로 겉넓이의 비는 1¤ : 2¤ =1 : 4이다. 원기둥 B의 겉넓이를 S cm¤ 라 하면 1 : 4=20p`: S ∴ S=80p 따라서 원기둥 B의 겉넓이는 80p cm¤ 이다.2
-1 두 직육면체의 겉넓이의 비가 4 : 9=2¤ : 3¤ 이므로 닮음비 는 2 : 3이고, 부피의 비는 2‹ : 3‹ =8 : 27이다. 직육면체 Q의 부피를 V cm‹ 라 하면 8 : 27=64 : V 8V=1728 ∴ V=216 따라서 직육면체 Q의 부피는 216 cm‹ 이다.2
-2 물의 높이와 그릇의 높이의 비가 3 : 4이므로 부피의 비는 3‹ : 4‹ =27 : 64이다. 물의 부피를 V cm‹ 라 하면 27 : 64=V : 192이므로 64V=5184 ∴ V=81 따라서 물의 부피는 81 cm‹ 이다.0
1
△AMNª△ABC(SAS 닮음)이고 닮음비는 1 : 2이므로 넓이 의 비는 1 : 4이다. 즉, 1 : 4=△AMN : 36이므로 4△AMN=36 ∴ △AMN=9(cm¤ )0
2
△ADEª△ACB(AA 닮음)이고 닮음비가 AD” : AC”=6 : 9=2 : 3이므로 넓이의 비는 4 : 9이다. 즉, 4 : 9=△ADE : 63이므로 9△ADE=252 ∴ △ADE=28(cm¤ )0
3
세 원의 닮음비가 1 : 2 : 3이므로 넓이의 비는 1¤ : 2¤ : 3¤ =1 : 4 : 9이다. 즉, 색칠한 부분의 넓이를 S cm¤ 라 하면 (4-1) : 9=S : 54p 9S=162p ∴ S=18p 따라서 색칠한 부분의 넓이는 18p cm¤ 이다.0
4
두 카페트는 서로 닮은 도형이고, 닮음비가 1 : 2이므로 넓이의 비는 1 : 4이다. 즉, 카페트의 가격을 x만 원이라 하면 1 : 4=4 : x ∴ x=16 따라서 구하는 카페트의 가격은 16만 원이다.0
5
두 삼각뿔의 닮음비가 2 : 3이므로 부피의 비는 2‹ : 3‹ =8 : 27 즉, 큰 삼각뿔의 부피를 V cm‹ 라 하면 8 : 27=120 : V, 8V=3240 ∴ V=4050
6
두 원기둥의 부피의 비가 64p : 216p=2‹ : 3‹ 이므로 닮음비는 2 : 3이다. 따라서 두 원기둥 A, B의 겉넓이의 비는 4 : 9이다.0
7
수면의 높이와 그릇의 높이의 비가 1 : 2이므로 물의 부피와 그 릇의 부피의 비는 1‹ : 2‹ =1 : 8이다. 즉, 그릇의 부피를 x mL라 하면 40 : x=1 : 8 ∴ x=320 따라서 더 부어야 하는 물의 양은 320-40=280(mL)0
8
두 종류의 용기는 닮은 도형이고, 닮음비는 4 : 6=2 : 3이므로 부피의 비는 8 : 27이다. 큰 용기에 담은 아이스크림의 가격을 x원이라 하면 8 : 27=3200 : x, 8x=86400 ∴ x=10800 58~59쪽 기출문제로실・력・다・지・기 019 cm¤ 0228 cm¤ 0318p cm¤ 04③ 05405 cm‹ 064 : 9 07280 mL 0810800원 092.5 km 1046.7 m 117.2 m 1245 cm¤ 1364 cm‹0
9
2(km)=200000(cm)이므로 (축적)= = 따라서 집에서 도서관까지의 실제 거리는 10_25000=250000(cm)=2.5(km)10
1 : 300=15 : AC” ∴ AC”=4500(cm)=45(m) 따라서 빌딩의 높이는 45+1.7=46.7(m)11
오른쪽 그림과 같이 담벽이 그림자를 가리지 않았다고 할 때, AD”의 연장선 과 BC”의 연장선의 교점을 E라 하면 0.16 : 1=CE” : 0.75 ∴ CE”=0.12(m) ∴ BE”=5.28+0.12=5.4(m) 또한, DC” : A’'B'”=BE” : B’'E'”이므 로 AB” : 1=5.4 : 0.75, 0.75AB”=5.4 ∴ AB”=7.2(m)12
[단계❶] △AODª△COB(AA 닮음)이고 닮음비가 AD” : CB”=2 : 3이므로 넓이의 비는 2¤ : 3¤ =4 : 9이다. [단계❷] 4 : 9=12 : △COB ∴ △COB=27(cm¤ ) [단계❸] AO” : CO”=2 : 3이고 △AOD와 △DOC의 높이가같으므로 △AOD : △DOC=2 : 3 12 : △DOC=2 : 3 ∴ △DOC=18(cm¤ ) [단계❹] ∴ △DBC=27+18=45(cm¤ )
13
큰 구슬과 작은 구슬 한 개의 닮음비는 2 : 1이므로 부피의 비는 2‹ : 1‹ =8 : 1이다. yy ❶ 작은 구슬 한 개의 부피를 V cm‹ 라 하면 8 : 1=64 : V ∴ V=8 yy ❷ 따라서 상자 B 안에 들어 있는 구슬 전체의 부피는 8_8=64(cm‹ ) yy ❸ A A' B B' E C E' D 0.75`m 5.28`m 0.16`m 1`m 1 25000 8 200000 ❶ 큰 구슬과 작은 구슬의 부피의 비 구하기 ❷ 작은 구슬 한 개의 부피 구하기 ❸ 상자 B 안에 들어 있는 구슬 전체의 부피 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ △AOD와 △COB의 넓이의 비 구하기 ❷ △COB의 넓이 구하기 ❸ △DOC의 넓이 구하기 ❹ △DBC의 넓이 구하기 40 % 20 % 30 % 10 % 채점 기준 배점60~61쪽 개・념・확・인 01⑴ 5 ⑵ 8 ⑶ 15 02⑴ 25 cm¤ ⑵ 5 cm 03⑴ 10 cm ⑵ 100 cm¤ 04ㄴ, ㄷ
