86~87쪽 01. 이등변삼각형의 성질과
직각삼각형의 합동
01③ 0256˘ 03③ 0430˘
05④ 06④ 07② 08③
09⑤ 10⑤ 11① 12①
1370˘ 14풀이 참조
01
AB”=AC”인 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C이다.02
AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=62˘∴ ∠A=180˘-(62˘+62˘)=56˘
03
이등변삼각형 ABC에서 ㄱ, ㄷ, ㅁ은 같은 직선이다.04
△BCD에서 ∠B=∠CDB=∠ACB=70˘이므로∠BCD=180˘-(70˘+70˘)=40˘
∴ ∠ACD=70˘-40˘=30˘
05
△ABC에서 ∠BAC=∠B=;2!;_(180˘-40˘)=70˘AD”∥BC”이므로 ∠EAD=∠B=70˘(동위각)
06
④ 꼭지각의 크기가 100˘, 두 밑각의 크기가 각각 40˘인 이등변 삼각형은 꼭지각의 크기가 두 밑각의 크기의 합보다 크다.07
② AB”=BC”이면 ∠A=∠C이다.08
①, ② AB”=AC”이므로 이등변삼각형이다.④ ∠A=∠B이므로 이등변삼각형이다.
⑤ ∠C=180˘-(∠A+∠B)=180˘-(50˘+80˘)=50˘이므 로 ∠A=∠C인 이등변삼각형이다.
09
① RHS 합동 ② SAS 합동③ ASA 합동 ④ RHA 합동
10
⑤ △DBA™△EAC(RHA 합동)11
△BED와 △BEC에서∠C=∠BDE=90˘, ED”=EC”, BE”는 공통이므로
△BED™△BEC(RHS 합동)
이때 △ADE는 AD”=DE”인 직각이등변삼각형이므로
∠A=45˘
따라서 ∠ABC=∠A=45˘이므로
∠ABE=;2!;∠ABC=22.5˘
12
△AED와 △ACD에서∠C=∠AED=90˘, AC”=AE”, AD”는 공통이므로
△AED™△ACD(RHS 합동)
∴ ED”=CD”
따라서 △BED의 둘레의 길이는
BE”+BD”+DE”=(AB”-AE”)+BD”+CD”
=(10-6)+8
=12(cm)
13
[단계❶] ∠B=∠C=;2!;_(180˘-40˘)=70˘[단계❷] △DBF와 △ECD에서
CD”=BF”, CE”=BD”, ∠B=∠C이므로
△DBF™△ECD(SAS 합동)
∴ ∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠DFB
=180˘-70˘
=110˘
[단계❸] ∴ ∠FDE=180˘-(∠FDB+∠EDC)
=180˘-110˘=70˘
14
△ABC와 △EBD에서∠B=90˘, BC”=BD”, AC”=ED”(사다리의 길이)이므로
△ABC™△EBD(RHS 합동) yy ❶
따라서 AB”=BE”이다. yy ❷
A
B C D
E
❶ △ABC와 △EBD의 합동 설명하기
❷ 벽면의 높이 구하는 방법 설명하기
60 % 40 %
채점 기준 배점
❶ ∠B, ∠C의 크기를 각각 구하기
❷ ∠FDB+∠EDC의 크기 구하기
❸ ∠FDE의 크기 구하기
30 %
30 % 40 %
채점 기준 배점
09
∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_40˘=110˘10
점 I가 △ABC의 내심이므로∠BAI=∠CAI=20˘, ∠ABI=∠CBI
∠A+∠B+∠C=180˘이므로 40˘+2∠ABI+80˘=180˘
∴ ∠ABI=30˘
11
DE”∥BC”이므로 ∠DIB=∠IBC(엇각)∴ ∠DIB=∠DBI
따라서 △DBI는 이등변삼각형이므로 DI”=DB”=3 cm
마찬가지로 △EIC도 이등변삼각형이므로 EI”=EC”=4 cm
∴ DE”=DI”+EI”=3+4=7(cm)
12
원 I의 반지름의 길이를 x cm라 하면△ABC=△IAB+△IBC+△ICA이므로
;2!;_4_3=;2!;_x_(5+4+3) 6=6x ∴ x=1(cm)
따라서 내접원의 넓이는 p_1¤ =p(cm¤ )이다.
13
△ABC=△IAB+△IBC+△ICA△ABC=;2!;_2_(AB”+BC”+CA”)
△ABC=AB”+BC”+CA”
=18(cm¤ )
14
[단계❶] 점 O는 △ABC의 외심이므로 OA”=OB”=OC”△OBC에서 ∠OCB=∠OBC=20˘
[단계❷] ∴ △BOC=180˘-(20˘+20˘)=140˘
[단계❸] ∴ ∠A=;2!;∠BOC=;2!;_140˘=70˘
15
점 O가 △ABC의 외심이므로∠A=;2!;∠BOC=;2!;_80˘=40˘ yy ❶
88~89쪽 02. 삼각형의 외심과 내심
01④ 02③ 03② 04②
05⑤ 06① 07④ 08①
09④ 10③ 11⑤ 12pcm¤
1318 cm¤ 1470˘ 15150˘
01
④ 삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.02
OA”=OB”=OC”=5이므로 x=5△OBC가 이등변삼각형이므로 y=3
03
② 정삼각형은 세 내각의 크기가 모두 60˘인 예각삼각형이므로 외심이 삼각형의 내부에 있다.04
점 M은 △ABC의 외심이므로 AM”=CM”=BM”=5 cm 따라서 △MAB에서 ∠A=∠MBA=30˘,∠BMC=∠A+∠MBA
=30˘+30˘=60˘
즉, △MCB는 한 변의 길이가 5 cm인 정삼각형이므로 둘레의 길이는 5+5+5=15(cm)이다.
05
점 O가 △ABC의 외심이므로 OB”=OC”∠OCB=∠OBC=25˘
∴ ∠x=180˘-(90˘+25˘)=65˘
06
∠OBA=∠x라 하면∠x+30˘+48˘=90˘
∴ ∠x=12˘
07
△OAB, △OAC는 이등변삼각형이므로∠A=∠BAO+∠CAO
=20˘+30˘=50˘
∠y=∠BOC=2_50˘=100˘
또, △OBC도 이등변삼각형이므로
∠x=;2!;_(180˘-∠y)=40˘
∴ ∠x+∠y=100˘+40˘=140˘
08
점 I가 △ABC의 내심이므로 30˘+35˘+∠x=90˘∴ ∠x=25˘
❶ ∠OCB의 크기 구하기
❷ ∠BOC의 크기 구하기
❸ ∠A의 크기 구하기
30 %
30 % 40 %
채점 기준 배점
또, 점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_40˘=110˘ yy ❷
∴ ∠A+∠BIC=40˘+110˘=150˘ yy ❸
❶ ∠A의 크기 구하기
❷ ∠BIC의 크기 구하기
❸ ∠A+∠BIC의 크기 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
90~93쪽
Ⅴ`-1. 삼각형의 성질 내・신・만・점・도・전・하・기
01① 02④ 03③ 04④
05③ 06② 0780˘ 08②
09① 10④ 11① 12②
13① 14③ 15① 16②
1740˘ 1820˘ 1945˘ 2056˘
2175˘ 22165˘ 2365˘ 244 cm
01 ∠B=∠C=3∠x-15˘이므로
∠A+∠B+∠C=∠x+(3∠x-15˘)+(3∠x-15˘)
=7∠x-30˘=180˘
∴ ∠A=30˘
02 AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=72˘
∠DBC=;2!;∠B=36˘
△BCD에서
∠BDC=180˘-(∠DBC+∠C)
=180˘-(36˘+72˘)=72˘
03 AB”=AC”이므로 ∠ACB=∠B=40˘
∠CAD=∠B+∠ACB=40˘+40˘=80˘
AC”=CD”이므로 ∠CDA=∠CAD=80˘
△BCD에서 ∠DCE=∠B+∠BDC=40˘+80=120˘
04 ∠B=∠C=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
BD”가 ∠B의 이등분선이므로
∠DBC=;2!;_60˘=30˘
또, CD”가 ∠C의 외각의 이등분선이므로
∠DCE=;2!;_(180˘-60˘)=60˘
△BCD에서 ∠BDC=60˘-30˘=30˘
05 ①, ②, ④ BD”=CD”, ∠BDE=∠CDE,
⑤ED”는 공통이므로 △EBD™△ECD(SAS 합동)
⑤ 이등변삼각형의 성질에 의하여 BC”⊥ED”이므로
∠BDE=90˘
06 ①, ③, ④ △BDE와 △BDC에서
⑤∠C=∠BED=90˘, ∠EBD=∠CBD, BD”는 공통이므 로 △BDE™△BDC(RHA 합동)
∴ BE”=BC”, DE”=DC”,
AC”=BC”이므로 BC”=BE”=AC”
⑤ △ABC가 직각이등변삼각형이므로 ∠A=45˘
이때 ∠ADE=45˘이므로 △AED는 직각이등변삼각형이다.
07 △ABE와 △ADE에서
∠B=∠ADE=90˘, AB”=AD”, AE”는 공통이므로
△ABE™△ADE(RHS 합동) 따라서 ∠AEB=∠AED=50˘이므로
∠DEC=180˘-2_50˘=80˘
08 ② △ABC의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
09 점 O에서 삼각형 ABC의 각 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.
따라서 △OAB, △OBC, △OAC는 이등변삼각형이다.
10 점 D가 △ABC의 외심이므로 AD”=BD”=CD”이고
∠C=90˘-35˘=55˘
△DBC에서 BD”=CD”이므로 ∠DBC=∠C=55˘
11 ∠ABO=∠BAO=20˘이므로 ∠ABC=20˘+30˘=50˘
∴ ∠AOC=2_50˘=100˘
12 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠BOC=2∠A=2_64˘=128˘
OB”=OC”이므로
∠OBC=∠OCB=;2!;_(180˘-128˘)=26˘
13 점 O는 △ABC의 내심이므로
∠BOC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_40˘=110˘
14 점 I가 내심이므로 ∠DBI=∠IBC
또, ∠DIB=∠IBC(엇각)이므로 ∠DIB=∠DBI
∴ DI”=DB”
19 ∠QBC+∠BCR=360˘-90˘=270˘
BP”와 CP”가 각각 두 외각의 이등분선이므로
∠PBC+∠BCP= =135˘이다.
∴ ∠BPC=180˘-135˘=45˘
20 ∠BAD=∠DAC=∠a라 하면
△AFD에서 ∠ADE=18˘+∠a
따라서 △ABF에서 ∠AFC=60˘+15˘=75˘
22 점 I가 내심이므로 ∠BAI=;2!;∠A, ∠ACI=;2!;∠C이고,
∠A+∠C=180˘-50˘=130˘ yy ❶
그런데 △DBC에서 ∠ADC=50˘+∠BCI,
△ABE에서 ∠AEC=50˘+∠BAI이므로 yy ❷
∠ADC+∠AEC
(△ADE의 둘레의 길이)=AD”+DE”+AE”
=AD”+DI”+EI”+AE”
△ADE에서 ∠DAE=∠ADE=2∠x yy ❶
△ABE에서 ∠AEC=∠B+∠DAE=∠x+2∠x=3∠x
△AEC에서 ∠ACE=∠AEC=3∠x yy ❷
23 점 O가 △ABC의 외심이므로
∠PEC=90˘, ∠OMC=90˘
점 I가 △ABC의 내심이므로
∠BAM=∠CAM=;2!;∠BAC=40˘
따라서 △AMC에서
∠ACM=180˘-(40˘+90˘)=50˘이므로
∠PCM=∠PCE=;2!;∠ACM=25˘
따라서 △PCE에서 ∠EPC=180˘-(90˘+25˘)=65˘
24 점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠ABI=∠IBD AB”∥ID”이므로 ∠BID=∠ABI
따라서 ∠IBD=∠BID이므로
BD”=ID” yy ㉠
∠ACI=∠ICE이고, AC”∥IE”이므로 ∠CIE=∠ACI 따라서 ∠ICE=∠CIE이므로
CE”=IE” yy ㉡
이때 ∠B=∠IDE=60˘이고, ∠C=∠IED=60˘이므로
△IDE는 정삼각형 yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 BD”=DE”=CE”
∴ DE”=;3!; BC”=;3!; AB”=;3!;_12=4(cm)
❶ ∠A+∠C의 크기 구하기
❷ ∠ADC, ∠AEC의 크기 나타내기
❸ ∠ADC+∠AEC의 크기 구하기
30 %
40 % 30 %
채점 기준 배점
94~95쪽 03. 평행사변형
01① 02⑤ 03② 04⑤
05② 06④ 07③ 08①
09③ 10㈎ : OC”, ㈏ : OD””, ㈐ : OD”, ㈑ : OF”,
㈒ : 이등분 11② 1215 cm¤ 1314˘
1414 cm
01
∠A+∠D=180˘이므로∠A+∠D=∠BAC+∠CAD+∠D
=95˘+∠CAD+60˘
=180˘
∴ ∠CAD=25˘
∠CAD=∠ACB(엇각)이므로 ∠ACB=25˘
02
AB”=CD”이므로 2x+3=3x-2, x=5∴ AD”=BC”=4x+1=21
03
∠A+∠B=180˘, ∠A : ∠B=7 : 5이므로∠C=∠A=180˘_;1¶2;=105˘
04
⑤ AB”∥GH”이므로 ∠PHC=∠EBH=80˘(동위각) PHCF가 평행사변형이므로∠PFC=∠PHC=80˘
05
∠B=∠D=60˘, CD”=AB”=7 cm이므로△DEC는 한 변의 길이가 7 cm인 정삼각형이다.
∴ CE”=7 cm
06
AO”=;2!; AC”=4, BO”=;2!; BD”=6, AB”=CD”=5∴ AO”+OB”+AB”=4+6+5=15
07
AD”=BC”=10 cm∠ABE=∠FBE, ∠AEB=∠FBE(엇각)이므로
∠ABE=∠AEB
∴ AE”=AB”=CD”=8 cm
따라서 DE”=AD”-AE”=10-8=2(cm)이다.
08
① ∠A+∠B=180˘, ∠B+∠C=180˘에서 ∠A=∠C①∴ ∠D=360˘-(∠A+∠B+∠C)
=360˘-(180˘+∠C)
=180˘-∠C=∠B
①따라서 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같으므로 평행사변형이다.
09
△OAP와 △OCQ에서∠APO=∠CQO=90˘(엇각), OA”=OC”,
∠AOP=∠COQ(맞꼭지각)이므로
△OAP™△OCQ(RHA 합동)
또, QC”=AP”=AD”-PD”=9-6=3(cm), OQ”=OP”=4 cm이므로
△OCQ=;2!;_3_4=6(cm¤ )
10
ABCD가 평행사변형이므로 OA”= , OB”=이때 BE”=DF”이므로 OE”=OB”-BE”= -DF”=
따라서 두 대각선이 서로 다른 것을 하므로 AECF는 평행사변형이다.
11
△PAB+△PCD=△PDA+△PBC이므로 14+26=△PDA+12 ∴ △PDA=28(cm¤ )이등분
OF”
OD”
OD”
OC”
12
오른쪽 그림과 같이 점 E를 지나고이때 △ABC™△DBE이므로 DE”=AC”=AF”
△ABC™△FEC이므로 FE”=AB”=AD”
즉, AFED는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변
형이다. yy ❷
따라서 AFED의 둘레의 길이는
2(DA”+AF”)=2(AB”+AC”)=2(3+4)=14(cm) yy ❸
A E D
∴ △OMF™△ONE(ASA 합동)
∴ ENCF=△MNC=;2!;_4_5=10(cm¤ )
03
△ABD에서 AB”=AD”이므로∠ABD=∠ADB=25˘
∴ ∠BAD=180˘-2∠ADB=130˘
04
△AOE와 △COF에서AO”=CO”, ∠AOE=∠COF=90˘,
∠EAO=∠FCO(엇각)
∴ △AOE™△COF(ASA 합동)
∴ EO”=FO”
AB”=DF”, ∠HBA=∠HFD(엇각),
∠BAH=∠FDH(엇각)이므로
△ABH™△DFH(ASA 합동) ∴ AH”=DH”
이때 AD”=2AB”이므로 AB”=AH”
A D
같은 방법으로 △ABI™△ECI(ASA 합동)이므로 BI”=CI”
BC”=2AB”이므로 AB”=BI”
따라서 ABIH는 마름모이고 마름모의 두 대각선은 직교하므 로 AI”⊥BH” ∴ ∠FGE=90˘
07
△ABC에서 AH”는 BC”의 수직이등분선이므로 AB”=AC”즉, AB”=AC”=AD”=CD”=BC”
따라서 △ABC, △ADC는 정삼각형이다.
즉, ∠x=120˘, ∠y=60˘이므로 ∠x-∠y=60˘
08
△ABE와 △CBE에서AB”=CB”, BE”는 공통, ∠ABE=∠CBE=45˘
△ABE™△CBE(SAS 합동) yy ㉠
∠DAE=22˘이므로 ∠BAE=90˘-22˘=68˘
△ABE에서 ∠AEB=180˘-(45˘+68˘)=67˘ yy ㉡
㉠, ㉡에서 ∠BEC=∠AEB=67˘
09
BC”의 연장선 위에 DQ”=D'B”가 되는 점 D'을 잡으면△AQD™△AD'B(SAS 합동)
∴ ∠QAD=∠D'AB, AD'”=AQ”
△AD'P와 △AQP에서
AD'”=AQ”, ∠D'AP=45˘=∠PAQ, AP”는 공통이므로
△AD'P™△AQP(SAS 합동)
∴ ∠AQD=∠AD'P=∠AQP=180˘-45˘-55˘=80˘
10
① 직사각형 ② 평행사변형 ③ 직사각형 ④ 등변사다리꼴11
AD”∥BC”이므로 ∠ADB=∠CBD∠ABD=∠ADB이므로 AB”=AD”
따라서 평행사변형의 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모 이다.
12
AB”∥DC”, AB”=DC”이면 평행사변형, AC”=BD”이면 직사각형, AC”⊥BD”이면 마름모따라서 ABCD는 직사각형이고 마름모이므로 정사각형이다.
13
△ACD=;2!; ABCD=;2!;_50=25(cm¤ )이때 AP” : PC”=2 : 3이므로 △DAP : △DPC=2 : 3
∴ △DPC= _△ACD=;5#;_25=15(cm¤ )
14
[단계❶] ∠ECD=∠BCD-∠BCE=90˘-60˘=30˘△CDE는 CD”=CE’”인 이등변삼각형이므로
∠CDE=;2!;_(180˘-30˘)=75˘
3 2+3
A D
B
D' P C
45æ Q
55æ
[단계❷] ∠BDC=;2!;∠ADC=;2!;_90˘=45˘
[단계❸] ∴ ∠BDE=∠CDE-∠CDB=75˘-45˘=30˘
15
△OBP와 △ODP에서OB”=OD”(∵ ABCD가 평행사변형), BP”=DP”, OP”는 공통
∴ △OBP™△ODP(SSS 합동) yy ❶
따라서 ∠BOP=∠DOP=90˘이다. 즉, 두 대각선이 서로 다 른 것을 수직이등분하므로 ABCD는 마름모이다. yy ❷
∴ ABCD=4_△ABO=4_{;2!;_3_4}
∴ ABCD=24(cm¤ ) yy ❸
98~101쪽
Ⅴ`-2. 사각형의 성질 내・신・만・점・도・전・하・기
01③ 02② 03④ 04④
05② 06② 07① 08③
09① 10③ 11③ 12②
13② 14① 15①, ⑤ 1640˘
179 cm¤ 184 cm 19170˘ 2019˘
2113 cm 229 cm 23D, 마름모
01 ∠ADE=∠DEC(엇각)이므로 ∠CDE=∠CED 따라서 CD”=CE”=6(cm)이므로
AD”=BC”=BE”+CE”=8(cm)
02 △AED와 △DCA에서 AE”=AB”=DC”, AD”는 공통,
∠EAD=∠CDA이므로
△AED™△DCA(SAS 합동)
∴ DE”=AC”=6(cm)
03 ∠DAP=∠BAP=;2!;_(180˘-70˘)=55˘
A D
B E C 5`cm
4`cm
❶ ∠CDE의 크기 구하기
❷ ∠BDC의 크기 구하기
❸ ∠BDE의 크기 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
❶ △OBP와 △ODP가 합동임을 설명하기
❷ ABCD가 마름모임을 설명하기
❸ ABCD의 넓이 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
△ABP에서 ∠ABP=180˘-(55˘+90˘)=35˘
07 AQCS에서 AS”=QC”, AS”∥QC”이므로 AQCS는 평행 사변형이다. ∴ AE”∥FC” yy ㉠
APCR에서 AP”=CR”, AP”∥CR”이므로 APCR는 평행 사변형이다. ∴ EC”∥AF” yy ㉡
EFGH=;2!;_( ABFH+ HFCD) EFGH=;2!; ABCD=;2!;_32=16(cm¤ )
09 △AOQ=x cm, △CPQ=y cm라 하자.
CP” : PD”=1 : 2이므로 △DQP=2y
△CQO=△AOQ=x cm¤ ,
△AQD=△CDQ=3y cm¤ 이므로
△ACP : △APD=(2x+y) : 5y=1 : 2
△ACD=;2!; ABCD이므로 2x+6y=30 y=;3$;x를 2x+6y=30에 대입하면 x=3
∴ ∠BMC=180˘-(45˘+45˘)=90˘
11 ∠A+∠B=180˘이므로 ∠QAB+∠QBA=90˘
∴ ∠AQB=∠PQR=90˘
DE”=CE”, ∠FED=∠BEC(맞꼭지각),
∠FDE=∠BCE(엇각)
∴ △FDE™△BCE(ASA 합동)
따라서 FD”=BC”=AD”이고 점 D는 직각삼각형 AHF의 빗변
∴ ∠ADH=∠DFH+∠DHF=2∠DFH=2∠EBC
=2_20˘=40˘
17 AD”∥BC”이므로 △ABE=△DBE AF”∥DC”이므로 △DBF=△CBF
△CEF=;7#;_;2!; ABCD=;1£4; ABCD
△CEF=;1£4;_42=9(cm¤ )
18 AB”의 연장선과 DF”의 연장선이 만나는 점을 G라 하자.
AG”∥DC”이므로
∠AGD=∠FDC=∠ADG
∴ AG”=AD”=8(cm)
또, △BGF에서 ∠BGF=∠BFG이므로
BF”=BG”=AG”-AB”=8-6=2(cm) yy ❶ 이때 점 A에서 GD”에 내린 수선이 AP”이므로
∠GAP=∠PAD이고,
∠PAD=∠PEF(엇각)이므로 ∠GAP=∠PEF
△ABE에서 BE”=BA”=6(cm) yy ❷
∴ FE”=BE”-BF”=6-2=4(cm) yy ❸
19 ∠A+∠B=180˘이므로 ∠A=180˘-80˘=100˘
∴ ∠BAE= =50˘
△ABE에서 ∠AEC=∠BAE+∠ABE=50˘+80˘=130˘
또, AD”∥BG”이므로
∠DBG=90˘-(33˘+∠EBC)=57˘-∠EBC yy ㉠
∠DGB=∠DFG+∠FDG=2∠EBC yy ㉡
△DBG는 DB”=DG”인 이등변삼각형이므로
∠DBG=∠DGB
㉠, ㉡에 의하여 57˘-∠EBC=2∠EBC
∴ ∠EBC=19˘
21 AB”∥DC”이므로 ∠ABG=∠CFB(엇각)
△BCF는 이등변삼각형이므로 BC”=CF”=9(cm) yy ㉠ AB”∥DC”이므로 ∠BAE=∠DEA(엇각)
△ADE는 이등변삼각형이므로 AD”=DE”=9(cm) yy ㉡
㉠, ㉡에서 EF”=(CF”+DE”)-CD”=13(cm)
22 △DD'B와 △BA'A에서
∠DD'B=∠BA'A=90˘, DB”=BA”
∠D'DB+∠DBD'=∠DBD'+∠A'BA=90˘이므로
∠D'DB=∠A'BA
따라서 △DD'B™△BA'A(RHA 합동)이므로 DD'”=BA'” yy ㉠
△AA'C와 △CF'F에서
∠AA'C=∠CF'F=90˘, AC”=CF”
∠A'AC+∠ACA'=∠ACA'+∠F'CF=90˘이므로
∠A'AC=∠F'CF
따라서 △AA'C™△CF'F(RHA 합동)이므로 F'F”=A'C” yy ㉡
102~103쪽 05. 도형의 닮음
01④, ⑤ 02②, ④ 03③ 0439 cm
05⑤ 06② 07② 08④
09④ 106 cm 11;;;$9);º;; cm 12112
01
① 닮은 두 평면도형에서 대응하는 변의 길이의 비는 같다.② 닮은 두 평면도형에서 대응하는 각의 크기는 각각 같다.
③ 두 원의 닮음비는 둘레의 길이의 비와 같다.
03
∠C'=∠C=360˘-(115˘+85˘+90˘)=70˘04
3 : 4=6 : HG”이므로 HG”=8(cm)EFGH의 둘레의 길이는 8+8+16+20=52(cm)이고, 두 사각형의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 ABCD의 둘레의 길이를 l cm이라 하면
3 : 4=l : 52 ∴ l=39(cm)
05
ㄱ. 두 삼각형의 닮음비는 AC” : DF”=10 : 8=5 : 4이다.ㄴ. ∠E=∠B=70˘이므로 ∠D=180˘-(35˘+70˘)=75˘
ㄴ. ∴ ∠A=∠D=75˘
ㄷ. BC”와 EF”는 대응하는 변이므로 BC” : EF”=5 : 4 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
06
A5 용지와 A9 용지는 서로 닮음이고 닮음비는 4 : 1이다.07
② 닮음비는 BC” : B’'C'”=4 : 6=2 : 3이므로 AD” : A’'D'”=2 : 308
닮음비가 2 : 3이므로 2 : 3=2 : x ∴ x=3 2 : 3=y : 9 ∴ y=6∴ x+y=3+6=9
09
두 원기둥의 닮음비는 높이의 비와 같으므로 20 : 12=5 : 3이 다. 두 원기둥의 밑면의 지름의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 5 : 3이다.10
두 원뿔은 서로 닮음이고 닮음비는 8 : (8+4)=8 : 12=2 : 3 이므로 처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 x cm라 하면 2 : 3=4 : x ∴ x=6(cm)11
[단계❶] △OABª△OBC이고 닮음비는 OA” : OB”=3 : 5 이므로 3 : 5=10 : OC”[단계❶] ∴ OC”=:∞3º:(cm)
[단계❷] △OBCª△OCD이고 닮음비는 OB” : OC”=3 : 5이 므로 3 : 5=:∞3º: : OD” ∴ OD”=;;;@9%;º;;(cm) [단계❸] ∴ OC”+OD”=:∞3º:+;;;@9%;º;;=;;;$9);º;;(cm)
12
닮음비는 DE” : IJ”=3 : 6=1 : 2이므로 yy ❶ 사각뿔 F-GHIJ의 높이를 h라 하면 1 : 2=3.5 : h∴ h=7 yy ❷
따라서 사각뿔 F-GHIJ의 부피는
;3!;_(8_6)_7=112 yy ❸
❶ 닮음비 구하기
❷ 사각뿔의 높이 구하기
❸ 사각뿔의 부피 구하기
30 %
40 % 30 %
채점 기준 배점
❶ OC”의 길이 구하기
❷ OD”의 길이 구하기
❸ OC”+OD”의 길이 구하기
40 %
20 % 40 %
채점 기준 배점
104~105쪽 06. 삼각형의 닮음 조건
01△ABCª△IGH(SAS 닮음), △JKLª△OMN(AA 닮음) 02△CAD, SAS 닮음 03① 04②
05③ 06② 07:§5§: cm 08;;2&; cm
0963 10:™4¶: cm¤ 11;;5&; cm 1220 cm
134 cm
04
△ADEª△CBA(AA닮음)이므로 AE” : AC”=DE” : BA”10 : 16=DE” : 14 ∴ DE”=:£4∞:
05
△DBCª△CBA(SAS닮음)이므로 DC” : CA”=BC” : BA”5 : AC”=6 : 12 ∴ AC”=10(cm)