차
례
이 책의
Contents
01
행렬과 그 연산
ㅣ
이직현
ㅣ
4
02
역행렬과 연립일차방정식
ㅣ
이직현
ㅣ
16
03
그래프와 행렬
ㅣ
임미선
ㅣ
30
04
지수
ㅣ
조정묵
ㅣ
38
05
지수함수
ㅣ
최현탁
ㅣ
48
06
로그
ㅣ
조정묵
ㅣ
60
07
로그함수
ㅣ
최현탁
ㅣ
72
08
등차수열과 등비수열
ㅣ
김의석
ㅣ
84
09
여러 가지 수열
ㅣ
김의석
ㅣ
96
10
수학적 귀납법과 순서도
ㅣ
임미선
ㅣ
110
11
무한수열의 극한
ㅣ
박원균
ㅣ
122
12
무한급수
ㅣ
박원균
ㅣ
136
``
부록 - 2014학년도 대수능 대비 세트형 문항
148
단원명
페이지
EBS
i
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이 책의
www.ebsi.co.kr
Structure
2014학년도 대학수학능력시험 수학영역의 특징
이 책의 구성
○ 수학 교과의 수준별 편성에 따라 수준별 시험(A형 / B형)을 도입 ○ 출제 범위 - A형 : 수학Ⅰ, 미적분과 통계 기본 - B형 : 수학Ⅰ, 수학Ⅱ, 적분과 통계, 기하와 벡터 ※ 수학Ⅰ에서도 수준에 따라 A형과 B형에서 다른 문항이 출제될 수 있음 ○ 문항 유형 및 문항 수 행렬과 그 연산 01 1. 행렬의 뜻 ⑴ 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라 고 한다. 이때, 행렬을 이루는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다. ⑵ 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 행렬의 성분을 세로 로 배열한 줄을 열이라고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이 루어진 행렬을 m_n행렬이라 하고, 특히 m=n인 행렬을 n차정사 각행렬이라고 한다. ⑶ 행렬은 대문자 A, B, C, y로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자 a,b, c, y로 나타낸다. 행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 위치의 행렬
의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라 하고, a‘Δ로 나타낸다. 이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ=i+j이면
a¡¡=1+1=2, a¡™=1+2=3, a™¡=2+1=3, a™™=2+2=4
이므로 A={}이다. 2. 두 행렬이 서로 같을 조건 ⑴ 두 행렬 A, B의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같은 꼴의 행렬이라고 한다. ⑵ 두 행렬 A, B가 같은 꼴이고 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같다고 하며, 기호로 2 3 3 4 제1열 제1행 제2행 제2열 제3열 101211 141315 { } 제i행 제j열 { a‘Δ } 교과서의 핵심 내용을 체계적으로 정리하였으며 개념, 정리, 공식에 대 한 이해를 확인할 수 있는 문제들을 제시하였다. 개념 정리 & 확인 문제
1
예제는 개념을 적용한 대표 문항으로 문제를 해결하는 데 필요한 주요 개념을 풀이 전략으로 제시하여 풀이 과정의 이해를 돕도록 하였고, 유 제는 예제와 유사한 내용의 문제나 일반화된 문제를 제시하여 학습 내 용과 문제에 대한 연관성을 익히도록 구성하였다. 예제 & 유제2
a¡¡=2⁄ +1=3, a¡™=2⁄ +2=4 a™¡=2¤ +1=5, a™™=2¤ +2=6 ∴ A={ }={} 따라서 행렬 A의 모든 성분의 합은 3+4+5+6=18 ② 3 4 5 6 a¡¡ a¡™ a™¡ a™™이차정사각행렬 A의 (i, j)성분을 a‘Δ라 하면 i=1, 2이고, j=1, 2이다.
1 1 풀이 전략 풀이 행렬의 뜻 예제
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 a‘Δ=2‘ +j라 할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은? ① 16 ② 18 ③ 20 ④ 22 ⑤ 24
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 a‘Δ=(2‘ _3Δ 을 5로 나눈 나머지)라 할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은? ① 5 ② 7 ③ 9 ④ 11 ⑤ 13 1 정답과 풀이 6`쪽 대학수학능력시험과 모의평가 기출 문항으로 구성하였으며 기존 출제 유형을 파악할 수 있도록 출제 경향과 출제 의도를 제시하였다. 출제 경향 & 대표 기출 문제
3
출제 경향 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈 등을 포함하는 간단한 연산 문제와 함께 행렬의 거듭제곱을 이용하여 행렬의 규칙 성을 발견하거나 주어진 식을 간단히 하는 문제 등이 출제되고 있다. 정답과 풀이 7`쪽 출제 경향 & 대표 기출 문제 두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 행렬 A(A+B)의 모든 성분의 합은? [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5 1 1 -1 1 1 -1 1 1 ㅣ출제의도ㅣ행렬의 덧셈, 곱셈을 포함하는 간단한 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능 1 ㅣ출제의도ㅣ행렬의 거듭제곱을 이용하여 행렬의 규칙성을 찾아낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2008학년도 대수능 2행렬 A={}에 대하여 A° ={1 0}일 때, a의 값을 구하시오. [3점]
a 1 1 0 3 1 Level 1 기초 연습은 기초 개념의 인지 정도를 확인할 수 있는 문항을 제 시하였으며, Level 2 기본 연습은 기본 응용 문제를, 그리고 Level 3 실력 완성은 수학적 사고력과 문제해결능력을 함양할 수 있는 문항들과 신유형 문항을 제시하여 대학수학능력시험 실전에 대비할 수 있도록 구성하였다.
Level 1 - Level 2 - Level 3
4
정답과 풀이 7`쪽두 행렬 A, B에 대하여 3A+B={ }, A+3B={ }일 때, 행렬 A+B의 모든 성 분의 합은? ① ② 1 ③ ④ ⑤7 4 3 2 5 4 3 4 1 0 -1 1 1 1 0 2 1 기초 연습 Level1 www.ebsi.co.kr
두 행렬 A={ }, B={ }에 대하여 X+A¤ =(2B-A)B를 만족시키는 행렬 X의
(1, 1)성분은? ① -1 ② -2 ③ -3 ④ -4 ⑤ -5 1 1 1 0 1 2 2 -1 2
두 행렬 A B에 대하여 A+B {1 0}AB{2 3}일 때 행렬 A¤BA+ABB¤ 3
구
성
행렬과 그 연산
행렬 A={
}에 대하여 A의 (1, 2)성분을 a, (2, 1)성분을 b라 할 때, 2a+b의 값은?
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
0 -1 4
3 2 -2
두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 A=B일 때, a+b+c+d의 값을 구하시오.
2c
2
3
d+1
2
b+2
a-1
3
1
2
0
1
정답과 풀이 5`쪽1. 행렬의 뜻
⑴ 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라
고 한다. 이때, 행렬을 이루는 각각의 수나 문자를 그 행렬의 성분이라고
한다.
⑵ 행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 행렬의 성분을 세로
로 배열한 줄을 열이라고 한다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열로 이
루어진 행렬을 m_n행렬이라 하고, 특히 m=n인 행렬을 n차정사
각행렬이라고 한다.
⑶ 행렬은 대문자 A, B, C, y로 나타내고, 행렬의 성분은 소문자 a,
b, c, y로 나타낸다. 행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 위치의 행렬
의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라 하고, a‘Δ로 나타낸다.
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ가 a‘Δ=i+j이면
a¡¡=1+1=2, a¡™=1+2=3, a™¡=2+1=3, a™™=2+2=4 이므로 A={ }이다.
2. 두 행렬이 서로 같을 조건
⑴ 두 행렬 A, B의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같은 꼴의 행렬이라고 한다.
⑵ 두 행렬 A, B가 같은 꼴이고 대응하는 성분이 각각 같을 때, 두 행렬 A, B는 같다고 하며, 기호로
A=B와 같이 나타낸다.
즉, A={
}, B={
}일 때, A=B HjK a¡¡=b¡¡, a¡™=b¡™, a™¡=b™¡, a™™=b™™
b¡¡ b¡™
b™¡ b™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
2 3 3 4 제1열 제1행 제2행 제2열 제3열 10 12 11 14 13 15 { } 제i행 제j열{
a‘Δ}
3. 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
⑴ 행렬의 덧셈：두 행렬 A, B가 같은 꼴일 때, 두 행렬 A와 B의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행
렬을 두 행렬 A와 B의 합이라 하고, A+B로 나타낸다.
즉, A={
}, B={
}일 때, A+B={
}
⑵ 영행렬과 -A：모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고 기호 O로 나타낸다. 또, 행렬 A의 모든 성분의
부호를 바꾸어 놓은 행렬을 -A로 나타낸다.
즉, A={
}일 때, -A={
}
⑶ 행렬의 뺄셈：두 행렬 A, B가 같은 꼴일 때, A+(-B)를 A-B로 나타낸다. 이때, 행렬 A-B는 행
렬 A의 각 성분에서 이에 대응하는 행렬 B의 성분을 뺀 값을 성분으로 하는 행렬과 같다.
즉, A={
}, B={
}일 때, A-B={
}
⑷ 행렬의 실수배：행렬 A와 임의의 실수 k에 대하여 행렬 A의 각 성분을 k배한 것을 성분으로 하는 행렬
을 행렬 A의 k배라 하고, kA로 나타낸다.
즉, A={
}일 때, kA={
}
임의의 행렬 A와 영행렬 O가 같은 꼴이고 k가 실수일 때, 행렬의 실수배의 정의로부터 다음이 성립한다. 1A=A, (-1)A=-A, 0A=O, kO=O⑸ 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배의 성질
k, l이 실수일 때, 같은 꼴의 세 행렬 A, B, C와 영행렬 O에 대하여
① A+B=B+A
(행렬의 덧셈에 대한 교환법칙)
② (A+B)+C=A+(B+C)
(행렬의 덧셈에 대한 결합법칙)
③ A+O=O+A=A
(행렬 O는 행렬의 덧셈에 대한 항등원)
④ A+(-A)=(-A)+A=O
(행렬 -A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원)
⑤ (kl)A=k(lA)
⑥ (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB
ka¡¡ ka¡™
ka™¡ ka™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
a¡¡-b¡¡ a¡™-b¡™
a™¡-b™¡ a™™-b™™
b¡¡ b¡™
b™¡ b™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
-a¡¡ -a¡™
-a™¡ -a™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
a¡¡+b¡¡ a¡™+b¡™
a™¡+b™¡ a™™+b™™
b¡¡ b¡™
b™¡ b™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
www.ebsi.co.kr이차정사각행렬 A의 모든 성분의 합이 8일 때, 2(X+A)=3A를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의
합은?
① 1
② 2
③ 4
④ 8
⑤ 16
3
정답과 풀이 5`쪽두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 행렬 AB의 모든 성분의 곱은?
① -4
② -2
③ 0
④ 2
⑤ 4
1
2
2 -1
1 0
4
정답과 풀이 5`쪽두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 행렬 A(A-B)의 (1, 2)성분은?
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
1 3
1 1
2 3
1 2
5
행렬과 그 연산
4. 행렬의 곱셈
⑴ 행렬의 곱셈：m_k행렬 A와 k_n행렬 B에 대하여 행렬 A의 제i행의 성분과 행렬 B의 제j열의 성분
을 각각 차례로 곱하여 모두 더한 값을 (i, j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A, B의 곱이라 하고, 기호로
AB와 같이 나타낸다. 일반적으로 m_k행렬과 k_n행렬의 곱은 m_n행렬이 된다.
(단, i=1, 2, 3, y, m이고, j=1, 2, 3, y, n이다.)
즉, 두 행렬 A={
}, B={
}의 곱은 다음과 같이 정의된다.
AB={
}
⑵ 행렬의 곱셈의 성질
합과 곱이 정의되는 세 행렬 A, B, C와 실수 k에 대하여
① (AB)C=A(BC)
(행렬의 곱셈에 대한 결합법칙)
② A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
(행렬의 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)
③ k(AB)=(kA)B=A(kB)
a¡¡b¡¡+a¡™b™¡ a¡¡b¡™+a¡™b™™
a™¡b¡¡+a™™b™¡ a™¡b¡™+a™™b™™
b¡¡ b¡™
b™¡ b™™
a¡¡ a¡™
a™¡ a™™
(m_k행렬 ) (k_n행렬 ) (m_n행렬 ) 제i 행{ }
제 j 열{
}
(i, j) 성분{ }
=0
1
두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 행렬 AB-BA의 모든 성분의 합은?
① -4
② -2
③ 0
④ 2
⑤ 4
0 -1
1 0
1 0
0 2
6
정답과 풀이 5`쪽두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 AB=O일 때, a+b의 값은? (단, O는 영행렬이다.)
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
a b
-1 2
1 2
0 0
7
5. 단위행렬과 행렬의 거듭제곱
⑴ 정사각행렬 중 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분은 모두 1이고, 그 밖의 성분은 모두 0
인 행렬
{
}, ª
º, y
을 단위행렬이라 하고, 보통 기호 E로 나타낸다.
⑵ 같은 꼴의 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여
AE=EA=A (행렬 E는 행렬의 곱셈에 대한 항등원)
⑶ 행렬의 거듭제곱
같은 꼴의 정사각행렬 A, 단위행렬 E와 자연수 m, n에 대하여
① A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A
② Aμ A« =Aμ ±« , (Aμ )« =Aμ « , E« =E
6. 실수의 곱셈과 구별되는 행렬의 곱셈의 성질
⑴ 일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않는다.
즉, 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB+BA인 경우가 존재한다.
⑵ 일반적으로 행렬의 곱셈에서는‘AB=O이면 A=O 또는 B=O’
가 성립하지 않는다.
즉, 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 A+O이고 B+O이지만 AB=O인 경우가 존재한다.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0
0 1
www.ebsi.co.kra¡¡=2⁄ +1=3, a¡™=2⁄ +2=4 a™¡=2¤ +1=5, a™™=2¤ +2=6 ∴ A={ }={ } 따라서 행렬 A의 모든 성분의 합은 3+4+5+6=18 ② 3 4 5 6 a¡¡ a¡™ a™¡ a™™
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분을 a‘Δ라 하면 i=1, 2이고, j=1, 2이다.
1
1
풀이 전략 풀이행렬의 뜻
예제
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 a‘Δ=2‘ +j라 할 때, 행렬 A의 모든 성분의 합은?
① 16
② 18
③ 20
④ 22
⑤ 24
행렬 A=
{
}의 (i, j)성분 a‘Δ를 직선 y=ix+j와 x축, y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이라
할 때, a+b의 값은?
① 4
② 6
③ 8
④ 10
⑤ 12
a 8
1 b
1
4
2
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 a‘Δ=(2‘ _3Δ 을 5로 나눈 나머지)라 할 때, 행렬 A의 모든
성분의 합은?
① 5
② 7
③ 9
④ 11
⑤ 13
1
행렬 A={
}에 대하여 A¤ +
X=A를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의 합은?
① -12
② -14
③ -16
④ -18
⑤ -20
1
2
2 -1
0 -2
4
A={ }, A+B={ }에서 B=(A+B)-A={ }-{ }={ } ∴ A(2A+B)=2A¤ +AB =2{ } { }+{ } { } ={ }+{ }={ } 따라서 행렬 A(2A+B)의 모든 성분의 합은 4+2+2+2=10 ③ 4 2 2 2 -6 -4 -4 -2 10 6 6 4 -2 -2 -2 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 -2 -2 -2 0 2 1 1 1 0 -1 -1 1 0 -1 -1 1 2 1 1 1 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 이용하여 두 행렬 A, B를 구한다. www.ebsi.co.kr2
2
풀이 전략 풀이행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈
예제
두 행렬 A, B에 대하여 A={
}, A+B={
}일 때, 행렬 A(2A+B)의 모든 성분의 합은?
① 6
② 8
③ 10
④ 12
⑤ 14
0 -1
-1 1
2 1
1 1
2A+B=A+(A+B)={ }+{ }={ } ∴ A(2A+B)={ }{ }={ } 4 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 2 0 0 2 0 -1 -1 1 2 1 1 1 다른 풀이두 행렬 A={
}, B=
{
}에 대하여 행렬 A¤ -2AB의 (2, 1)성분은?
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
1 0
1 1
1
2
2 0
1 3
3
정답과 풀이 6`쪽A¤ ={ }{ }={ }=3A, A‹ =A¤ A=(3A)A=3A¤ =3(3A)=3¤ A, A› =A‹ A=(3¤ A)A=3¤ A¤ =3¤ (3A)=3‹ A 이므로
A+A¤ +A‹ +A› =A+3A+3¤ A+3‹ A =(1+3+9+27)A=40A ∴ k=40 ② 3 3 6 6 1 1 2 2 1 1 2 2
A¤ =AA, A‹ =A¤ A, y, A« ±⁄ =A« A (n은 자연수)임을 이용한다.
3
3
풀이 전략 풀이행렬의 거듭제곱
예제
행렬 A={
}에 대하여 A+A¤ +A‹ +A› =kA일 때, 상수 k의 값은?
① 38
② 40
③ 42
④ 44
⑤ 46
1 1
2 2
두 이차정사각행렬 A, B가
AB=2E, A+B=2E
를 만족시킬 때, 행렬 A‹ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)
① 2A-3E
② 2A-4E
③ 2A-5E
④ 2A-6E
⑤ 2A-7E
6
행렬 A=
{
}에 대하여 행렬 A⁄ ‚ ‚ 의 모든 성분의 합은?
① 2· fi
② 2· ‡
③ 2· ·
④ 2⁄ ‚ ⁄
⑤ 2⁄ ‚ ‹
1 1
3 3
1
2
5
정답과 풀이 6`쪽 행렬 A={ }에 대하여 ad-bc=0인 경우 ⁄ A¤ =(a+d)A ¤ A« ±⁄ =(a+d)« A (단, n은 자연수) a b c d 참고ㄱ. A+2B=E에서 A=E-2B이므로 AB=(E-2B)B=B-2B¤ BA=B(E-2B)=B-2B¤ ∴ AB=BA (참)
ㄴ. (A+B)(A-B)=A¤ -AB+BA-B¤ 이고, AB=BA가 성립하므로 (A+B)(A-B)=A¤ -B¤
따라서 (A+B)(A-B)=4B¤ 에서 A¤ -B¤ =4B¤ 이므로 A¤ =5B¤ (거짓)
ㄷ. A+2B=E에서 A=E-2B이고, A¤ =5B¤ 이므로 (E-2B)¤ =5B¤ (E-2B)¤ =E-4B+4B¤ =5B¤ 에서 B¤ =E-4B
∴ B¤ +2B=E-2B=A (∵ A+2B=E) (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
④
두 행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여 lA+mB=nE (l, m, n은 0이 아닌 실수)이면 AB=BA가 항상 성립한다.
www.ebsi.co.kr
4
4
풀이 전략 풀이행렬의 곱셈의 성질
예제
두 이차정사각행렬 A, B가 A+2B=E, (A+B)(A-B)=4B¤ 을 만족시킬 때, 옳은 것만을
보기에서 있는
대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
보기ㄱ. AB=BA ㄴ. A¤ =3B¤ ㄷ. B¤ +2B=A
두 이차정사각행렬 A, B가 A-2B=3E, AB=O를 만족시킨다. 행렬 A{
}의 모든 성분의
합이 15일 때, 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)
3 2
3 2
7
정답과 풀이 7`쪽 보기 ㄱ. BA+O ㄴ. 행렬 A의 모든 성분의 합은 3이다. ㄷ. 행렬 A‹ 의 모든 성분의 합은 27이다.① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
출제 경향 행렬의 덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈 등을 포함하는 간단한 연산 문제와 함께 행렬의 거듭제곱을 이용하여 행렬의 규칙 성을 발견하거나 주어진 식을 간단히 하는 문제 등이 출제되고 있다. 정답과 풀이 7`쪽
출제 경향 & 대표 기출 문제
두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 행렬 A(A+B)의 모든 성분의 합은?
[2점]① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
1 1
-1 1
1 -1
1 1
ㅣ출제의도ㅣ 행렬의 덧셈, 곱셈을 포함하는 간단한 연산을 할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능1
ㅣ출제의도ㅣ 행렬의 거듭제곱을 이용하여 행렬의 규칙성을 찾아낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2008학년도 대수능2
이차정사각행렬 A는 모든 성분의 합이 0이고
A¤ +A‹ =-3A-3E
를 만족시킨다. 행렬 A› +Afi 의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, E는 단위행렬이다.)
[4점]ㅣ출제의도ㅣ 행렬의 연산을 이용하여 주어진 식을 간단히 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다.
2009학년도 대수능
3
행렬 A={
}에 대하여 A° ={
}일 때, a의 값을 구하시오.
[3점]1 0
a 1
1 0
정답과 풀이 7`쪽
두 행렬 A, B에 대하여 3A+B={
}, A+3B={
}일 때, 행렬 A+B의 모든 성
분의 합은?
①
3
4
② 1
③
5
4
④
3
2
⑤
7
4
1 0
-1 1
1 1
0 2
1
기초 연습
Level
1
www.ebsi.co.kr두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 X+A¤ =(2B-A)B를 만족시키는 행렬 X의
(1, 1)성분은?
① -1
② -2
③ -3
④ -4
⑤ -5
1 1
1 0
1 2
2 -1
2
두 행렬 A, B에 대하여 A+B={
}, A-B={
}일 때, 행렬 A¤ -BA+AB-B¤
의 모든 성분의 합은?
① 12
② 14
③ 16
④ 18
⑤ 20
2 3
0 1
1 0
1 2
3
행렬 A={
}에 대하여 행렬 A¤ ‚ ⁄ ‹ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)
① -A¤
② -A
③ -E
④ E
⑤ A
-1 -3
1 2
정답과 풀이 8`쪽
기본 연습
Level
2
두 행렬 A, B에 대하여 2A={
}, A-B={
}일 때, 행렬 A¤ -B¤ 의 모든 성분의 합
은?
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
1 0
0 1
3 1
0 2
1
행렬 A={
}에 대하여 행렬 A*를 A*={
}라 하자. 두 행렬 A={
},
B={
}에 대하여 행렬 (AB)*-A*B*의 모든 성분의 합은?
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
1 -1
0 1
1 0
2 1
d c
b a
a b
c d
2
영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 A, B가
AB=O, A+B=2E
를 만족시킬 때, 행렬 (A+3B)A¤ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)
① O
② 2A
③ 4A
④ 6A
⑤ 8A
3
행렬 A={
}에 대하여 행렬 A« 의 모든 성분의 합이 2가 되도록 하는 100 이하의 자연수
n의 개수를 구하시오.
1 1
-1 0
4
실력 완성
Level
3
정답과 풀이 9`쪽행렬 A={
}에 대하여 행렬 A« 의 모든 성분의 합을 S«이라 할 때,
의 값을 구하시
오. (단, n은 자연수이다.)
S¡¡¡
S¡ºº
1 1
1 -1
1
이차정사각행렬 A가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 (A-E)¤ ‚ ⁄ ‹ 의 모든 성분의 합은?
(단, E는 단위행렬이다.)
2
행렬 P={
}에 대하여 집합 S를
S={X|XP=PX, X는 이차정사각행렬}
이라 할 때, 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은?
1 2
0 1
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
3
보기 ㄱ. P¤ <S ㄴ. A<S, B<S이면 AB<S이다. ㄷ. A<S이면 행렬 A의 모든 성분의 곱은 0이다. ㈎ A¤ =E ㈏ 행렬 A의 모든 성분의 합은 1이다. www.ebsi.co.kr① -3¥2¤ ‚ ⁄ ¤
② -2¤ ‚ ⁄ ¤
③ 2¤ ‚ ⁄ ¤
④ 3¥2¤ ‚ ⁄ ¤
⑤ 5¥2¤ ‚ ⁄ ¤
행렬 {
}의 역행렬이 {
}일 때, a+b의 값은?
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
2 3
1 1
a 3
1 b
1
정답과 풀이 10`쪽역행렬과 연립일차방정식
두 실수 a, b에 대하여 행렬 {
}의 역행렬이 존재하지 않을 때, a¤ +b¤ 의 값은?
① 1
② 2
③ 4
④ 5
⑤ 8
a b-1
1-b a
2
0
2
1. 역행렬의 뜻
같은 꼴의 정사각행렬 A와 단위행렬 E에 대하여
AX=XA=E
가 성립하는 행렬 X가 존재할 때, X를 A의 역행렬이라 하고 기호 A—⁄ 로 나타낸다. 즉,
AA—⁄ =A—⁄ A=E
같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여 AB=E이면 BA=E가 성립하고 A—⁄ =B, B—⁄ =A이다. A={ }, B={ }에 대하여 AB=E인 행렬 B를 구하면 AB={ }{ }={ }={ }에서 p=1, q=-2, r=0, s=1 ∴ B={ } 이때, 행렬 B={ }은 BA=E도 만족한다. 따라서 AB=E인 행렬 B는 역행렬의 정의에 의하여 행렬 A의 역행렬이다.
2. 이차정사각행렬의 역행렬
이차정사각행렬 A={
}에 대하여
⑴ ad-bc+0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하고
A—⁄ =
{
}
⑵ ad-bc=0일 때, 행렬 A의 역행렬이 존재하지 않는다.
d -b
-c a
1
ad-bc
a b
c d
1 -2 0 1 1 -2 0 1 1 0 0 1 q+2s s p+2r r p q r s 1 2 0 1 p q r s 1 2 0 1두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 행렬 (BA)—⁄ B의 모든 성분의 합은?
① -4
② -2
③ 0
④ 2
⑤ 4
2 -3
-3 4
1 2
0 1
3
정답과 풀이 10`쪽3. 역행렬의 성질
같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B의 역행렬 A—⁄ , B—⁄ 가 각각 존재할 때,
⑴ (A—⁄ )—⁄ =A
⑵ (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄
⑶ (A« )—⁄ =(A—⁄ )« (단, n은 자연수)
⑷ (kA)—⁄ =
A—⁄ (단, k+0인 실수)
⑵ (AB)(B—⁄ A—⁄ )=A(BB—⁄ )A—⁄ =AEA—⁄ =AA—⁄ =E, (B—⁄ A—⁄ )(AB)=B—⁄ (A—⁄ A)B=B—⁄ EB=B—⁄ B=E 이므로 역행렬의 정의에 의하여 (AB)—⁄ =B—⁄ A—⁄
⑷ (kA){ A—⁄ }={k¥ }(AA—⁄ )=E, { A—⁄ }(kA)={ ¥k}(A—⁄ A)=E 이므로 역행렬의 정의에 의하여 (kA)—⁄ = A—⁄
4. 역행렬의 활용
정사각행렬 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재할 때,
⑴ AX=B
HjK X=A—⁄ B
⑵ XA=B
HjK X=BA—⁄
⑴ AX=B의 양변의 왼쪽에 A—⁄ 를 각각 곱하면 A—⁄ (AX)=A—⁄ B이때, A—⁄ (AX)=(A—⁄ A)X=EX=X이므로 X=A—⁄ B 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k
1
k
www.ebsi.co.kr두 행렬 A={
}, B={
}에 대하여 AX=B일 때, 행렬 X의 모든 성분의 합은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
2 -1
0 1
1 1
1 2
4
연립일차방정식 [
을 행렬을 이용하여 나타낸 식이 {
} {
}={
}일 때, a+b의 값
은? (단, a, b는 상수이다.)
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
1
-3
x
y
a 2
2 b
3x+2y=1
-2x+y=3
5
정답과 풀이 10`쪽역행렬과 연립일차방정식
5. 역행렬과 연립일차방정식
⑴ 행렬과 연립일차방정식
x, y에 대한 연립일차방정식 [
를 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[
HjK
{
} {
}={
}
⑵ 역행렬을 이용한 연립일차방정식의 풀이
세 행렬 A={
}, X={
}, B={
}에 대하여
ad-bc+0이면 A의 역행렬 A—⁄ 가 존재하므로
{
} {
}={
} HjK AX=B
HjK X=A—⁄ B
HjK
{
}=
{
} {
}
즉, ad-bc+0일 때, 연립일차방정식 {
} {
}={
}의 해는
{
}=
{
} {
}
p
q
d -b
-c a
1
ad-bc
x
y
p
q
x
y
a b
c d
p
q
d -b
-c a
1
ad-bc
x
y
p
q
x
y
a b
c d
p
q
x
y
a b
c d
p
q
x
y
a b
c d
ax+by=p
cx+dy=q
ax+by=p
cx+dy=q
0
2
x, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}의 해를 x=a, y=b라 하자.
{
} {
}={
}일 때, a+b의 값을 구하시오.
1 0
0 1
a b
c d
2 1
7 4
2
-1
x
y
a b
c d
6
x, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}의 해가 존재하지 않도록 하는 상수 k의 값은?
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
1
k
x
y
k 2
1 k-1
7
정답과 풀이 10`쪽6. 연립일차방정식의 해의 개수
⑴ x, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}의 해의 개수
① ad-bc+0일 때, 연립일차방정식의 해가
{
}=
{
} {
}
이므로 연립일차방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.
② ad-bc=0일 때,
[
a : c=b : d=p : q이면 연립일차방정식의 해가 무수히 많다.
a : c=b : d+p : q이면 연립일차방정식의 해가 없다.
두 직선 ax+by=p(b+0), cx+dy=q(d+0)에서 a : c=b : d(ad-bc=0)이면 두 직선의 기울기가 같고, b : d=p : q이면 두 직선의 y절편이 같다.⑵ x, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}의 해의 개수
① ad-bc+0일 때, 연립일차방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖고 그 해는 x=0, y=0이다.
② ad-bc=0일 때, 연립일차방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. 즉, x=0, y=0 이외의 해를 갖는다.
두 직선 ax+by=0(b+0), cx+dy=0(d+0)은 항상 원점을 지난다. 이때, ad-bc=0이면 두 직선의 기울 기가 같아져 두 직선은 서로 일치한다. 연립일차방정식 { }{ }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 필요충분조건은 ad-bc=0이다. 0 0 x y a b c d
0
0
x
y
a b
c d
p
q
d -b
-c a
1
ad-bc
x
y
p
q
x
y
a b
c d
www.ebsi.co.krx, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}이 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실
수 t의 값의 합은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
0
0
x
y
t-1 1
1 t-1
8
행렬 A-E의 역행렬이 A-2E이므로 (A-E)(A-2E)=E A¤ -3A+2E=E A(A-3E)=-E ∴ A(3E-A)=E 따라서 행렬 A의 역행렬은 3E-A이다. ③ 같은 꼴의 두 정사각행렬 A, B와 단위행렬 E에 대하여 ⑴ 행렬 B가 행렬 A의 역행렬이면 AB=BA=E이다. ⑵ AX=E 또는 XA=E이면 X=A—⁄ 이다.
1
1
풀이 전략 풀이역행렬의 뜻
예제
이차정사각행렬 A에 대하여 행렬 A-E의 역행렬이 A-2E일 때, 행렬 A의 역행렬은?
(단, E는 단위행렬이다.)
① 2E-A
② 2E+A
③ 3E-A
④ 3E+A
⑤ 4E-A
이차정사각행렬 A의 모든 성분의 합이 3이고 역행렬이 A+2E일 때, 행렬 A¤ +A의 모든 성분의
합은? (단, E는 단위행렬이다.)
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
2
이차정사각행렬 A의 역행렬이 A-E일 때, 행렬 A¤ 과 같은 행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)
① A-2E
② A-E
③ A
④ A+E
⑤ A+2E
1
임의의 실수 x에 대하여 행렬 {
}의 역행렬이 존재하도록 하는 모든 정수 k의 값의 합
은?
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
2kx+3
x+1
x+1
-1
4
A-kE={ }-k{ }={ } 행렬 A-kE의 역행렬이 존재하지 않으므로 (1-k)(4-k)-2¥5=0 ∴ k¤ -5k-6=0 이 이차방정식의 판별식 D>0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 조건을 만족시키는 모든 실수 k의 값의 합은 5이다. ⑤ 2 4-k 1-k 5 1 0 0 1 1 2 5 4 행렬 A={ }의 역행렬이 존재하지 않으면 ad-bc=0이다. a b c d www.ebsi.co.kr2
2
풀이 전략 풀이이차정사각행렬의 역행렬
예제
행렬 A={
}에 대하여 행렬 A-kE의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 k의 값의 합은?
(단, E는 단위행렬이다.)
① -3
② -1
③ 1
④ 3
⑤ 5
1 2
5 4
행렬 A={
}의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 두 실수 a, b에 대하여 a¤ +b¤ 의 최댓값
은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
-b
a
a
b-2
3
정답과 풀이 11`쪽A—⁄ ={ }에서 A=(A—⁄ )—⁄ ={ }—⁄ = { }={ } 2X-AX=A HjK (2E-A)X=A
2E-A=2{ }-{ }={ }에서
(2E-A)—⁄ ={ }—⁄ = { }={ }
(2E-A)X=A HjK X=(2E-A)—⁄ A={ } { }={ } 따라서 행렬 X의 모든 성분의 합은 3+2+2+1=8이다. ④ 3 2 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1¥2-(-1)¥(-1) 1 -1 -1 2 1 -1 -1 2 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 -1 -1 -1 0 1 0¥(-1)-1¥1 0 1 1 -1 0 1 1 -1 이차정사각행렬 A, B, X에 대하여 A—⁄ 가 존재할 때
⑴ (A—⁄ )—⁄ =A ⑵ AX=B이면 X=A—⁄ B
3
3
풀이 전략 풀이역행렬의 성질⑴
예제
행렬 A의 역행렬이 {
}일 때, 2X-AX=A를 만족시키는 행렬 X의 모든 성분의 합은?
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
0 1
1 -1
역행렬을 갖는 두 행렬 A, B에 대하여 B—⁄ A={
}일 때, AX=B+A를 만족시키는 행렬
X의 모든 성분의 합을 구하시오.
2 -1
-3 2
6
이차정사각행렬 A에 대하여 A¤ -2A=E일 때, AX=A+E를 만족시키는 행렬 X와 같은 것은?
(단, E는 단위행렬이다.)
① A-2E
② A-E
③ A
④ A+E
⑤ A+2E
5
ㄱ. (반례) A=E이면 A› =E이지만 A‹ +A¤ +A+E=4E+O (거짓) ㄴ. A› =E, A‡ =E에서 E=A‡ =A‹ A› =A‹ E=A‹
A‹ =E, A› =E에서 E=A› =AA‹ =AE=A ∴ A=E (참)
ㄷ. A¤ ‚ ⁄ ‹ =(A› )fi ‚ ‹ A=Efi ‚ ‹ A=EA=A A› =AA‹ =E에서 A—⁄ =A‹
∴ (A¤ ‚ ⁄ ‹ )—⁄ =A—⁄ =A‹
(반례) A={ }이면 A› =E이지만 (A¤ ‚ ⁄ ‹ )—⁄ =A‹ ={ }+A (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. ② 0 1 -1 0 0 -1 1 0 같은 꼴의 정사각행렬 A, 단위행렬 E와 자연수 m, n에 대하여 ⑴ Aμ A« =Aμ ±«
⑵ A« =E이면 (A˚ )—⁄ =A« —˚ (단, k=1, 2, 3, y, n-1)
www.ebsi.co.kr
4
4
풀이 전략 풀이역행렬의 성질⑵
예제
이차정사각행렬 A에 대하여 A› =E일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이고,
O는 영행렬이다.)
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
보기
ㄱ. A‹ +A¤ +A+E=O ㄴ. A‡ =E이면 A=E이다. ㄷ. A¤ ‚ ⁄ ‹ 의 역행렬은 A이다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
보기
ㄱ. 2AB-A¤ =O ㄴ. 2AB-A¤ =E ㄷ. 2AB-A¤ =B
역행렬을 갖는 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=BA가 성립하기 위한 충분조건인 것만을
보 기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)
7
x, y에 대한 연립일차방정식 {
}{
}={
}가 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하
는 두 실수 a, b에 대하여 점 P(a, b)가 나타내는 도형의 둘레의 길이는?
① p
② 2p
③ 3p
④ 4p
⑤ 5p
y
x-y
x
y
b+1
a
a-3
-b+1
9
{ } { }={ } HjK { } { }={ } { } HjK [{ }-{ }]{ }={ } ∴ { } { }={ } yy`㉠ ㉠이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로 (t-5)(t-3)-4¥2=0 ∴ t¤ -8t+7=0 이 이차방정식의 판별식 D>0이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 조건을 만족시키는 모든 실수 t의 값의 합은 8이다. ④ 0 0 x y t-5 4 2 t-3 0 0 x y 5 0 0 3 t 4 2 t x y 5 0 0 3 x y t 4 2 t 5x 3y x y t 4 2 t 연립일차방정식 { }{ }={ }이 x=0, y=0 이외의 해를 가질 조건은 ad-bc=0이다. 0 0 x y a b c d5
5
풀이 전략 풀이역행렬과 연립일차방정식
예제
x, y에 대한 연립일차방정식 {
}{
}={
}가 x=0, y=0 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 t의 값의 합
은?
① 2
② 4
③ 6
④ 8
⑤ 10
5x
3y
x
y
t 4
2 t
x, y에 대한 연립일차방정식 {
} {
}={
}가 임의의 실수 t에 대하여 오직 한 쌍의
해를 갖도록 하는 모든 정수 a의 값의 합을 구하시오.
1
2
x
y
(a-1)t
a-3
5
a-2
8
정답과 풀이 12`쪽출제 경향 역행렬의 뜻과 성질을 이용하는 문제와 역행렬과 연립방정식의 관계를 이해하고 있는지를 묻는 문제가 자주 출제되 었다. 최근에는 행렬의 복합적인 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 묻는 문제가 연속하여 출제되고 있다. 정답과 풀이 12`쪽
출제 경향 & 대표 기출 문제
행렬 A={
}의 역행렬 A—⁄ 의 모든 성분의 합은?
[2점]① 5
② 4
③ 3
④ 2
⑤ 1
1 -2
0 1
ㅣ출제의도ㅣ 역행렬을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2012학년도 대수능1
x, y에 대한 연립방정식
{
} {
} ={
}
의 해가 방정식 x+2y-4a=0을 만족시킨다. 상수 a의 값은?
[3점]① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
-4
1
x
y
a
1
a+1
1
ㅣ출제의도ㅣ 역행렬을 이용하여 연립일차방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능2
www.ebsi.co.kr 보기 ㄱ. 집합 T의 원소 P에 대하여 PA는 역행렬을 갖지 않는다. ㄴ. 집합 S의 원소 B와 집합 T의 원소 P에 대하여 PA=PB이면 A=B이다. ㄷ. 집합 T의 원소 중에는 PA{ }={ }을 만족하는 P가 있다.11 111_2행렬을 원소로 갖는 집합 S와 2_1행렬을 원소로 갖는 집합 T가 다음과 같다.
S={(a b)|a+b+0}, T=[{ }|pq+0]
집합 S의 원소 A에 대하여 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은?
[4점]p
q
ㅣ출제의도ㅣ 주어진 조건을 각각 만족시키는 두 행렬의 곱과 그 역행렬에 대하여 참, 거짓을 묻는 문제이다. 2011학년도 대수능3
이차정사각행렬 A의 (i, j)성분 a‘Δ를 직선 y=ix-j와 직선 x=2의 교점의 y좌표라 할 때,
A의 역행렬의 모든 성분의 합은?
① -4
② -2
③ 0
④ 2
⑤ 4
1
기초 연습
Level
1
모든 성분의 합이 1인 이차정사각행렬 A에 대하여 A+A—⁄ =-E일 때, 행렬 (A+E)‹ 의 모
든 성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
2
행렬 A={
}의 역행렬이 존재하지 않을 때, 방정식 AX-X=2A를 만족시키는 행렬
X의 모든 성분의 합을 b라 하자. a+b의 값은?
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
1 -2
-1 a
3
연립일차방정식 [
을 행렬을 이용하여 { }={
} {
}과 같이 나타낼 때,
a¤ +b¤ 의 값을 구하시오.
5
3
-1 a
b -2
x
y
2x+y=5
3x+y=3
4
행렬 A={
}에 대하여 연립일차방정식 A
2013{
}={
}의 해를 x=a, y=b라 할 때,
a
+b의 값은?
① -4023
② -2010
③ 0
④ 2010
⑤ 4023
1
2
x
y
1 1
0 1
5
정답과 풀이 13`쪽정답과 풀이 14`쪽
기본 연습
Level
2
www.ebsi.co.kr
음이 아닌 정수 a, b, c에 대하여 행렬 A={
}과 행렬 A—⁄ 가 서로 같을 때, 행렬 A의 모든
성분의 합은?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
a b
c 0
1
역행렬이 존재하는 행렬 A={
}에 대하여 A⁄ ‚ ‚ +A· ° =O일 때, a+b의 값은?
(단, O는 영행렬이다.)
① 1
② 3
③ 5
④ 7
⑤ 9
-2 a
-1 b
2
두 행렬 A={
}, P={
}에 대하여 P‹ A=A—⁄ Pfi 일 때, a+b의 값은?
① -2
② -1
③ 0
④ 1
⑤ 2
0 1
1 0
a b
1 2
3
역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=BA일 때, 옳은 것만을
보기에서 있
는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이다.)
4
보기ㄱ. (BAB—⁄ )¤ =A¤ ㄴ. A—⁄ B=BA—⁄ ㄷ. A(B+B—⁄ )A—⁄ =E
Level
2
기본 연습
두 직선
l：ax+by=p, m：cx+dy=q
가 그림과 같이 점 (1, 2)에서 만날 때, x, y에 대한 연립일차방정식
{
} {
}={
}의 해를 x=a, y=b라 하자. a+b의 값은?
①
②
③
④
2
3
⑤
5
6
1
2
1
3
1
6
p
q
-2x
3y
a b
c d
5
역행렬이 존재하는 행렬 A={
}에 대하여 x, y에 대한 연립일차방정식 [
의 해
가 x=1, y=1일 때, 연립일차방정식 A—⁄ { }={ }의 해를 x=a, y=b라 하자. a¤ +b¤ 의 값
을 구하시오.
2
2
x
y
ax+by=3
cx+dy=0
a b
c d
6
x, y에 대한 연립일차방정식 {
}{
}={
}이 오직 한 쌍의 해 x=a, y=b를 갖는다.
{
}{
}={
}일 때, a+b의 값은?
① -5
② -3
③ -1
④ 1
⑤ 3
0 1
1 0
2 0
1 2
a b
c d
2
-1
x
y
a b
c d
7
10 이하의 자연수 n에 대하여 행렬 A«을
A«=
ª
º
라 하자. x, y에 대한 연립일차방정식 A«{ }={ }을 만족시키는 순서쌍 (x, y)의 개수를
f(n)이라 할 때, f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)의 값은?
① 4
② 5
③ 6
④ 7
⑤ 8
1
0
x
y
1+3 cos ;3N;p
1+cos ;3N;p
2 cos ;3N;p
1
8
y x O 1 2 l m 정답과 풀이 15`쪽실력 완성
Level
3
정답과 풀이 16`쪽역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 A, B가 다음 조건을 만족시킬 때, 행렬 B—⁄ A¤ ‚ ‚ B의 모든
성분의 합은? (단, E는 단위행렬이다.)
2
이차정사각행렬 A에 대하여 A‹ =O일 때, 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)
1
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ
⑤ ㄴ, ㄷ
보기 ㄱ. 행렬 A의 모든 성분의 합은 0이다. ㄴ. 행렬 A¤ +E의 역행렬이 존재한다.ㄷ. 행렬 A¤ +2A+2E의 역행렬은 A¤ -2A+2E이다.
두 이차정사각행렬 A, B에 대하여 AB=2E, A¤ -A+2E=O가 성립할 때, 옳은 것만을
보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.)
3
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
보기 ㄱ. A+B=E ㄴ. B¤ =B-2E ㄷ. A‡ +B‡ =13E ㈎ A‹ =B¤ =E ㈏ ;2!;{-1 '3 }B=(AB—⁄ )—⁄ -'3 -1 www.ebsi.co.kr① -'3
② -1
③ 0
④ 1
⑤ '3
오른쪽 그래프에서 꼭짓점의 개수를 a, 변의 개수를 b라 할 때, a+b의 값은?
① 8
② 9
③ 10
④ 11
⑤ 12
1
정답과 풀이 17`쪽그래프와 행렬
0
3
1. 그래프의 뜻
⑴ 점과 선으로 이루어진 그림을 그래프라 하고, 그래프에서 점을 꼭짓점, 꼭짓점을 연결한 선을 변이라고 한다.
⑵ 꼭짓점은 A, B, C, y와 같이 알파벳 대문자로 나타내고, 변은 양 끝의 꼭짓점을 이용하여 AB, BC,
CD, y와 같이 나타낸다.
오른쪽 그림과 같은 그래프에서 꼭짓점의 집합은 {A, B, C, D, E}이고 변의 집 합은 {AB, AC, BC, BD, BE, CD, DE}이다.한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 한 쌍의 꼭짓점 사이에 많아야 한 개 의 변이 있는 그래프를 주로 다룬다.
2. 서로 같은 그래프
⑴ 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여서 두 그래프가 같은 그림이 될 수 있으면 두 그
래프는 서로 같다고 한다.
다음 두 그래프는 서로 같은 그래프이다.⑵ 서로 같은 그래프는 꼭짓점의 개수와 변의 개수가 각각 같으며, 꼭짓점 사이의 연결 상태가 서로 같다.
3. 경로
그래프의 한 꼭짓점에서 출발하여 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동하는
길을 경로라고 한다. 이때, 경로는 이동한 순서대로 꼭짓점을 나열하여 표현한다.
오른쪽 그래프에서 꼭짓점 A에서 출발하여 한 번 지난 꼭짓점을 반복하지 않고 꼭짓점 D로 이동하는 경로는 다음과 같다. 2개의 변을 지나는 것：ABD, AED 3개의 변을 지나는 것：ABCD, AECD 4개의 변을 지나는 것：ABCED, AECBD A D B C A C B D A B E C D A D B C E A C D B오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 1의 개수
를 구하시오.
2
정답과 풀이 17`쪽4. 그래프를 나타내는 행렬
⑴ 그래프에서 꼭짓점의 개수가 n이면 n_n행렬로 나타낸다.
⑵ 두 꼭짓점이 변으로 연결되어 있으면 1, 변으로 연결되어 있지 않으면 0을 성분으로 한다.
즉, n개의 점 P¡, P™, P£, y, P«을 꼭짓점으로 하는 그래프를 n_n행렬 M으로 나타낼 때, 행렬 M
의 (i, j)성분 a‘Δ는 다음과 같다. (단, i=1, 2, y, n, j=1, 2, y, n)
a‘Δ=[
5. 그래프를 나타내는 행렬의 성질
⑴ 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분은 모두 0이다.
즉, (i, i)성분은 모두 0이다.
⑵ 행렬의 각 성분이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 대하여 대칭이다.
즉, (i, j)성분과 (j, i)성분이 같다.
⑶ 행렬의 각 행(열)에 있는 성분의 총합은 그래프에서 그 행(열)에 해당하는 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.
⑷ 행렬의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와 같다.
6. 그래프를 나타내는 행렬의 활용
어떤 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 M이라 할 때, 행렬 M¤ 은 다음과 같은 성질이
있다.
⑴ 행렬 M¤ 의 (i, j)성분은 제i행에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 한 개의 꼭짓점만을 지나 제j열에 해당
하는 꼭짓점으로 가는 방법의 수와 같다.
⑵ 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분, 즉 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제i행(제i
열)에 해당하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.
⑶ 행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 모든 성분의 합은 그래프의 변의 개수의 2배와
같다.
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬 M과 행렬 M¤ 은 다음과 같다. A C D B1 (두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있을 때)
0
(두 꼭짓점 P‘, PΔ가 변으로 연결되어 있지 않을 때)
www.ebsi.co.kr A B E ‚ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 · A B C D A B C D ‚ 3 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 · A B C D A B C D 행렬 M 행렬 M¤꼭짓점 A에 연결된 변이 4개이고 주어진 행렬을 만족시키는 그래프 G는 오른쪽과 같 다. 이때, 꼭짓점 A에서 출발하여 3개의 변을 지나 꼭짓점 D로 이동하는 경로는 ABCD, ABED, ACED, AECD의 4개이다.
③ 그래프의 한 꼭짓점에서 출발하여 연결된 변을 따라 한 번 지난 변을 반복하지 않고 다른 꼭짓점으로 이동하는 길을 경로라고 한다.
1
1
풀이 전략 풀이경로의 수
예제
꼭짓점이 A, B, C, D, E로 5개이고 꼭짓점 A에 연결된 변이 4개인 그래프 G의 꼭짓
점 B, C, D, E 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬이 오른쪽과 같다. 이때, 그래프 G의 꼭
짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 D로 가는 경로 중 변의 개수가 3인 경로의 수는?
① 2
② 3
③ 4
④ 5
⑤ 6
어떤 두 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 각각 P, Q라 하자. 두 행렬 P, Q
에 대하여 P+Q, P-Q는 각각 다음과 같다.
행렬 P가 나타내는 그래프의 꼭짓점 B에서 출발하여 한 번 지난 꼭짓점은 다시 지나지 않고 꼭짓점 E
2
‚
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
·
B
C
D
E
B C D E
A B C D E‚
0 2 0 0 1
2 0 1 2 2
0 1 0 0 2
0 2 0 0 2
1 2 2 2 0
·
A
B
C
D
E
A B C D E
‚
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
·
A
B
C
D
E
A B C D E
오른쪽 그래프의 꼭짓점 A에서 출발하여 꼭짓점 C로 가는 경로 중 변의
개수가 3인 경로의 수는?
① 1
② 2
③ 3
④ 4
⑤ 5
1
정답과 풀이 17`쪽 A E C D B 행렬 P+Q 행렬 P-Q오른쪽 행렬은 어느 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타낸 것이다. 이 행
렬을 P라 할 때, 행렬 P¤ 의 (i, j)성분을 a‘Δ라 하자. a¡¡+a™™+a££+a¢¢의 값
은?
① 6
② 7
③ 8
④ 9
⑤ 10
4
행렬 M¤ 의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 위의 성분, 즉 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제i행(제i열)에 해당 하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.
이때, 꼭짓점 A, B, C, D, E에 연결된 변의 개수는 각각 2, 4, 3, 3, 4이므로 a¡¡+a™™+a££+a¢¢+a∞∞=2+4+3+3+4=16
②
⑴ 행렬 M¤ 의 (i, i)성분은 제i행(제i열)에 해당하는 꼭짓점에 연결된 변의 개수와 같다.
⑵ 행렬 M¤ 의 (i, j)성분은 제i행에 해당하는 꼭짓점에서 출발하여 한 개의 꼭짓점만을 지나 제j열에 해당하는 꼭짓점으로 가는 방법의 수와 같다. www.ebsi.co.kr
2
2
풀이 전략 풀이그래프를 나타내는 행렬
예제
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 M이라 하자. 행렬 M¤
의 (i, j)성분을 a‘Δ라 할 때, a¡¡+a™™+a££+a¢¢+a∞∞의 값은?
① 14
② 16
③ 18
④ 20
⑤ 22
A B E C D‚
0 1 0 a
1 0 1 b
0 c 0 1
0 1 d 0
·
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬을 M이라 하자.
M¤ =
일 때, a+b+c+d의 값은?
① 5
② 6
③ 7
④ 8
⑤ 9
‚
a
b
c
d
·
3
정답과 풀이 18`쪽출제 경향 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해하고 이것을 활용하여 행렬의 성분을 구하 거나 같은 그래프를 찾는 문제가 출제되고 있다. 정답과 풀이 18`쪽
출제 경향 & 대표 기출 문제
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의
합은?
[3점]① 6
② 8
③ 10
④ 12
⑤ 14
ㅣ출제의도ㅣ 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능1
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성
분 중 0의 개수는?
[3점]① 18
② 20
③ 22
④ 24
⑤ 26
ㅣ출제의도ㅣ 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 알고 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 6월 모의평가2
그래프 G를 나타내는 행렬 M이 오른쪽과 같다. 그래프 G의 꼭짓점
의 개수를 a, 변의 개수를 b라 할 때, a+b의 값을 구하시오.
[3점] ㅣ출제의도ㅣ 그래프를 나타내는 행렬을 통해 그래프의 특성을 파악할 수 있는지를 묻는 문제이다. 2013학년도 대수능 9월 모의평가3
M=
º
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 0 1 0
ª
정답과 풀이 18`쪽
한 꼭짓점에서 자기 자신으로 가는 변이 없고, 두 꼭짓점 사이에 많아야 한 개의 변이 존재하는 여
섯 개의 꼭짓점을 가지는 그래프에서 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수가 3, 4, 3, 1, 3, 2일 때, 이
그래프의 변의 개수는?
① 8
② 9
③ 10
④ 11
⑤ 12
1
기초 연습
Level
1
www.ebsi.co.kr오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 행 중
에서 그 행의 모든 성분의 합이 3인 행의 개수는?
① 5
② 4
③ 3
④ 2
⑤ 1
2
오른쪽 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 행렬로 나타낼 때, 이 행
렬의 모든 성분의 합은?
① 16
② 18
③ 20
④ 22
⑤ 24
3
오른쪽 행렬은 4개의 꼭짓점 A, B, C, D를 갖는 어느 그래프의 각 꼭짓
점 사이의 연결 관계를 나타낸 것이다. 꼭짓점 A에서 출발하여 한 번 지난
꼭짓점은 다시 지나지 않고 꼭짓점 B로 가는 경로의 수는?
① 4
② 5
③ 6
④ 7
⑤ 8
4
A C D B E‚
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
·
A
B
C
D
A B C D
보기 ㄱ. 변의 개수는 7이다. ㄴ. 연결된 변의 개수가 2인 두 꼭짓점은 한 개의 변으로 연결되어 있다. ㄷ. 꼭짓점 B를 출발하여 5개의 변을 지나 꼭짓점 B로 돌아오는 경로가 존 재한다. 정답과 풀이 19`쪽
