문제 1 ③ 문제 2 ④
문제 3 ③ 문제 4 ④
문제 5 ② 문제 6 ④
문제 7 ④ 문제 8 ①
본문 119쪽
1③ 237 3⑤ 4④ 515
Level 1 기초 연습
본문 120`쪽
1② 2148 3③ Level 2 기본 연습
본문 121`쪽
1③ 2④ 3③
Level 3 실력 완성
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∴ 2a+b=2¥(-1)+3=1
③
{ }={ }이므로
a-1=3, 2c=2, d+1=3, b+2=2 a=4, b=0, c=1, d=2
∴ a+b+c+d=4+0+1+2=7
7
A={ }라 하면 a+b+c+d=8 2(X+A)=3A, 2X+2A=3A
∴ X= A= { } 따라서 행렬 X의 모든 성분의 합은
(a+b+c+d)= ¥8=4
③
A(A-B)=A¤ -AB
={ }{ }-{ }{ }
A¤ -2AB={ } { }-2{ }[ { }]
AB=2E, B=2E-A에서
A(2E-A)=2E, 즉 A¤ =2A-2E이므로
A¤ -2AB=A¤ -A(2B)=A(A-2B)
={ }[{ }-{ }]
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ㄱ. A=2B+3E, AB=O이므로
BA=B(2B+3E)=2B¤ +3B=(2B+3E)B
=AB=O
∴ BA=O (거짓) ㄴ. A={ }라 하면
A{ }={ }{ }={ }
이때, 3(a+b)+2(a+b)+3(c+d)+2(c+d)=15이 므로 a+b+c+d=3이다.
A(A+B)=A(2E)=2A={ } 따라서 행렬 A(A+B)의 모든 성분의 합은 2+(-2)+2+2=4
④
A(A+B)=A¤ +AB
={ } { }+{ } { }
4A+4B=4(A+B)={ }
∴ A+B= { }
2B-A=2{ }-{ }={ }=E X+A¤ =(2B-A)B에서
X=(2B-A)B-A¤
A¤ -BA+AB-B¤ =(A-B)A+(A-B)B
=(A-B)(A+B)
AB=A(A-E)=A¤ -A=(A-E)A=BA 이므로
A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)=(A+B)E
=A+B={ }
이때, (AB)*=A*B*이므로 (AB)*-A*B*=O 따라서 구하는 모든 성분의 합은 0이다.
③
A+B=2E에서 B=2E-A
AB=A(2E-A)=2A-A¤ =O yy`㉠
3
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A‹ =A¤ A=(2A)A=2A¤ =2(2A)=2¤ A=4A BA=(2E-A)A=2A-A¤ =O yy`㉡
㉠, ㉡에서 AB=BA=O이므로 3BA¤ =3(BA)A=3OA=O
∴ (A+3B)A¤ =A‹ +3BA¤ =4A+O=4A
(A-E)¤ =A¤ -2A+E=E-2A+E
=-2A+2E=-2(A-E),
(A-E)‹ =(A-E)¤ (A-E)=-2(A-E)(A-E)
=-2(A-E)¤ =(-2)¤ (A-E),
a=a+2c, 2a+b=b+2d, 2c+d=d에서 a=d, c=0
따라서 행렬 X의 모든 성분의 합은 k(k-1)-2¥1=0, k¤ -k-2=0
(k+1)(k-2)=0 ∴ k=-1 또는 k=2
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x¤ +2(k+1)x+4+0이차방정식 x¤ +2(k+1)x+4=0의 판별식을 D라 하면 임의
EX=A¤ -A-2E
∴ X=(2A+E)-A-2E (∵ A¤ =2A+E) AB=(2B)B=2B¤ , BA=B(2B)=2B¤
∴ AB=BA
⁄ a=1이면 0¥t+-10이므로 ㉠의 해가 존재하지 않는다.
A(2E-AB—⁄ )=E
따라서 (2E-AB—⁄ )A=E, 2A-AB—⁄ A=E A(2E-B—⁄ A)=E
따라서 (2E-B—⁄ A)A=E, 2A-B—⁄ A¤ =E 2A-AB—⁄ A=E
A(2E-B—⁄ A)=E
따라서 행렬 2E-AB—⁄ 와 행렬 2E-B—⁄ A는 모두 A의
따라서 5¥(a-3)-(a-1)t¥(a-2)+0이므로 (a-1)(a-2)t+5(a-3)
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ap=cp, bp=dp, aq=cq, bq=dq 이때, p+0, q+0이므로
a=c, b=d
∴ A=B (참)
ㄷ. PA{ }={ }에서 { } { }={ }이므로 ap+bp=(a+b)p=1, aq+bq=(a+b)q=1 이때, a+b+0이므로
b=1+(-2)+(-1)+2=0
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a+b=3, c+d=0
A—⁄ { }={ }의 해가 x=a, y=b이므로
0 1
행렬 A«=ª º에서
K={2 cos p}{1+cos p}-{1+3 cos p}¥1
=2 cos¤ p-cos p-1
cos p=- 에서 f(2)=f(4)=f(8)=f(10)=0
cos p=1에서 f(6)=0
∴ f(2)=f(4)=f(6)=f(8)=f(10)=0
¤ K+0인 경우
cos p+- 이고 cos p+1
∴ f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=f(9)=1
⁄, ¤에서 f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)=5
② 1+cos ;3N;p 2 cos ;3N;p
=(A¤ +2E+2A)(A¤ +2E-2A)
=(A¤ +2E)¤ -(2A)¤ A¤ B-AB+2B=O
이때, AB=2E이고
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A¤ B-AB+2B=O HjK 2A-2E+2B=O
∴ A+B=E (참)
ㄴ. A¤ -A+2E=O의 양변의 오른쪽에 B¤ 을 각각 곱하면 A¤ B¤ -AB¤ +2B¤ =O
이때, AB=2E이고
A¤ B¤ =AABB=A(2E)B=2AB=2(2E)=4E, AB¤ =(AB)B=(2E)B=2B이므로
A¤ B¤ -AB¤ +2B¤ =O HjK 4E-2B+2B¤ =O
=9E-2(2E)¤ =9E-8E=E
∴ A‡ +B‡ =(A‹ +B‹ )(A› +B› )-A‹ B‹ (A+B)
=(-5E)E-(AB)‹ (A+B)
=-5E-(2E)‹ E
=-5E-8E=-13E (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
=3A¤ +4A-4E=3(A-2E)+4A-4E
=7A-10E
한편, B¤ =B-2E이므로 마찬가지로 하면 B‡ =7B-10E
∴ A‡ +B‡ =7A-10E+7B-10E
=7(A+B)-20E
=7E-20E=-13E (거짓)
그래프와 행렬
∴ a+b=4+6=10
③ ABDC, AEBC로 3개이다.
③
따라서 행렬 P가 나타내는 그래프는 오른
∴ a+b=5+9=14
14
그래프 G를 나타내는 행렬 M에 대하여 그림과 같이 그래프 G 를 그리면 다음과 같다.
∴ a=5, b=9
∴ a+b=5+9=14
º
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6이하의 자연수 중에서 각 수에 대하여 약수 또는 배수 관계
∴ a+b+c+d+e=0+1+3+1+1=6
③
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1024<1089<1280이므로 A<C<B이다.
A=‹'4, B="ç'6=›'6, C=‹"ç'1å5=fl'1å5라 하자.
3, 4, 6의 최소공배수는 12이므로 세 수를 모두 12제곱하면
x>1에서 0<x—⁄ <1이므로 x-x—⁄ >0
∴ x-x—⁄ ='5
본문 44`쪽
3
›'2_"√‹'6å4_æ≠ =›'2_fl"≈2fl _æ≠=›'2_2_æ≠Æ
∴ a+b=9+4=13
13
(‹"√2'5)fl =(‹'2_‹"ç'5)fl
=(‹'2)fl _(fl'5)fl
={(‹'2)‹ }¤ _(fl'5)fl
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a+b=-6, ab=-4
∴ = =
=3(b+ab)-(a+2b)
=3ab-(a+b)
4‹ <100<5‹ 이므로 4<‹'∂100<5이다.
∴ f(‹'∂100)=4
4› <300<5› 이므로 4<›'∂300<5이다.
∴ f(›'∂300)=4
3fi <500<4fi 이므로 3<fi'∂500<4이다.
∴ f(fi'∂500)=3
∴ f(‹'∂100)+f(›'∂300)+f(fi'∂500)=4+4+3=11
11
따라서 구하는 순서쌍 (a, b)의 개수는
∴ 100a=100¥ =125
125
∴ b=16-4=12
∴ a+b=-3+12=9
9
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이므로 2x+2=15-5x 7x=13 ∴ x= x=0을 대입하면 1<a+1<2에서0<a<1 yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 a<c<b
3≈ =t (t>0)로 놓으면 0…x…2에서 3‚ …3≈ …3¤ y=2(t¤ -2)-4t=2t¤ -4t-4=2(t-1)¤ -6 그런데 tæ2이므로 t=2일 때 최솟값을 가지며 최솟값은 2(2-1)¤ -6=-4
②
f(2x)=3¤ ≈ =(3≈ )¤ 이고, 2f(x+1)=2¥3x+1=2¥3≈ ¥3=6¥3≈
이므로 주어진 방정식은
x+2y=2에서 2y=2-x이므로 2≈ +4¥ =2≈ +2¤ ¥ =2≈ +2¤ —≈ x¤ -15…6x+1, x¤ -6x-16…0 (x+2)(x-8)…0 ∴ -2…x…8
∴ -2<x<2
8
1
7
26
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㉠에서 a—¤ <a≈ <a¤
∴ -2<x<2
⁄, ¤에서 주어진 부등식의 해는
(3≈ -5)(3≈ -100)<0에서 5<3≈ <100
3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243이므로
t¤ -t-2=0, (t-2)(t+1)=0
∴ t=2 (∵ t>0)
t¤ -2t-8=0, (t+2)(t-4)=0
∴ t=4 (∵ t>0)
즉, 2≈ =4에서 2≈ =2¤ ∴ x=2 따라서 a=2이므로
<a<5 3
{ } t¤ -t-20<0
(t+4)(t-5)<0
y=|x+1|+|x|+|x-1|로 놓으면
⁄ x<-1일 때,
-2…x…1에서 2…y…6이므로 f(x)=2|x+1|+|x|+|x-1|
은 x=-2일 때 최대이고, 최댓값은 f(-2)=2fl =64 ∴ M=64 x=0일 때 최소이고, 최솟값은 f(0)=2¤ =4 ∴ m=4
∴ M+m=64+4=68
68 f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c| (a<b<c)의 최솟값 은 f(b)이다.
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이때, 3…f(g(x))…27에서 3…2x-3-5…27 f(t)=at¤ +2at-a¤ +2a+3=a(t¤ +2t)-a¤ +2a+3
=a(t+1)¤ -a¤ +a+3
⁄ a=0일 때, f(t)=3>0이므로 성립한다.
¤ a+0일 때, 부등식 f(t)>0이 항상 성립하려면
a>0 yy`㉠
이고 y=f(t)의 그래프가 직선
∴ 0<a<1<b yy`㉠ (x™-x¡){ f(x™)-f(x¡)}<0이므로
⁄ x™>x¡이면 f(x™)<f(x¡)
¤ x™<x¡이면 f(x™)>f(x¡)이다.
⁄, ¤에서 x의 값이 증가하면 함수 f(x)의 값은 감소한다.
ㄱ. ㉠에서 0<a<1이므로 -1<-a<0
∴ 0<1-a<1
3
ㄴ. ㉠에서 0<a<b이므로 0< <1
<0]={x|x¤ -2x-k>0}
한편, 실수 전체의 집합을 R라 할 때,
A;B=R가 되도록 하려면 A=B=R이어야 한다.
A={x|x¤ -kx+1>0}=R에서 이차방정식 x¤ -kx+1=0 의 판별식을 D¡이라 하면
D¡=k¤ -4<0 ∴ -2<k<2 yy`㉠
B={x|x¤ -2x-k>0}=R에서 이차방정식 x¤ -2x-k=0 의 판별식을 D™라 하면
∴ -4<x<4 yy`㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<1 또는 1<x<4
따라서 구하는 정수 x는 2, 3의 2개이다.
log£ 81+log£ =log£ =log£ 9=2
②
log™ 72+log;2!;9=log™ 72-log™ 9
=log™
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n=21, a=0.19∴ n+100a=21+100_0.19=40
40
∴ p+q=12+17=29
29
øπ3"√3'3={3¥(3¥3;2!;);2!;};2!;=(3¥3;2!;¥3;4!;);2!;
=3;2!;¥3;4!;¥3;8!;=3;2!;+;4!;+;8!;
=3;8&;
∴ log¡∞ øπ3"√3'3=log¡∞ 3;8&;
= _
log'abc=2(logå b+logå c)=2(6+4)=20
20 8(log∞ 3+log∞ 5)
log∞ 3
29…3 log A<30이므로
…log A<10
log =- log A이므로
=-180+40 log 3
그런데 40 log 3=40_0.48=19.2이므로 log xfl ‚ =-161+0.2
이때, log 1<0.2<log 2이므로
log (1_10—⁄ fl ⁄ )<log xfl ‚ <log (2_10—⁄ fl ⁄ )
따라서 xfl ‚ 은 소수 161째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자 1 이 나타난다.
∴ a+b=161+1=162
162
100<x<1000에서 x의 정수 부분이 세 자리이므로 log x 의 지표는 2이다.
log x의 가수를 a라 하면 log x=2+a (0<a<1)
log 'x= log x= (2+a)=1+
∴ p+q=5+14=19
19
즉, -6…10(log n-1)<-5이므로 n
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∴ 0.4…log n<0.5
log 2=0.3010, log 3=0.4771, log 4=2 log 2=0.6020이 므로
log 2<0.4…log n<0.5<log 4
∴ 2<n<4
따라서 구하는 자연수 n의 값은 3이다.
10(log n-1)=-6+a에서 log n-1=
log n=
0…a<1에서 … < 이므로 0.4…log n<0.5
log 2=0.3010, log 3=0.4771, log 4=2 log 2=0.6020이므 로
log 2<0.4…log n<0.5<log 4
∴ 2<n<4
따라서 구하는 자연수 n의 값은 3이다.
T=Tº+k log (8t+1)에서 Tº=20, t= 일 때, T=365이므로
365=20+k log {8¥ +1}
365=20+k log 10
즉, 365=20+k에서 k=345
∴ T=Tº+345 log (8t+1)
한편, Tº=20, t=a일 때, T=710이므로 710=20+345 log (8¥a+1)
690=345 log (8a+1) 즉, log (8a+1)=2에서 8a+1=10¤ =100
∴ a=100-1=99
log£ ('1å1+'2)fl +log£ ('1å1-'2)fl
=6{log£ ('1å1+'2)+log£ ('1å1-'2)}
=6 log£ {('1å1+'2)('1å1-'2)}
=6 log£ 9 x¤ -5x-14<0, (x+2)(x-7)<0
∴ -2<x<7 yy`㉡
3å =4, 4∫ =81이므로 4∫ =(3å )∫ =3ab=81에서 ab=log£ 81=log£ 3› =4
3« 이 10자리의 자연수가 되려면 log 3« 의 지표가 9이어야 하므로
9…log 3« <10, 9…n log 3<10
…n<
∴ 18.75…n<20.83…
따라서 자연수 n의 값은 19, 20이므로 그 합은 39이다. log x=2+a
3
=0+log 2+log 4+log 5+0+log 2
=log 80
∴ 10f(a¡)_10f(a™)_10f(a£)_y_10f(a«)
=10f(a¡)+f(a™)+f(a£)+y+f(a«)
=10log 80
=80log 10
=80
80
f { }은 log 의 가수이므로
log =-log 2=-1+(1-log 2) 10
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2° =256, 2· =512에서 8<log™ 500<9이므로
`f(500)=log™ 500-[log™ 500]=log™ 500-8 이때, 100<n<300에서
2fl <100<n<300<2·이므로 6<log™ n<9
∴ [log™ n]=6 또는 [log™ n]=7 또는 [log™ n]=8
⁄ [log™ n]=6일 때, f(n)=f(500)에서 f(n)=log™ n-6=log™ 500-8이므로 log™ n=log™ 500-2=log™ =log™ 125
∴ n=125
¤ [log™ n]=7일 때, f(n)=f(500)에서 f(n)=log™ n-7=log™ 500-8이므로 log™ n=log™ 500-1=log™ =log™ 250
∴ n=250
‹ [log™ n]=8일 때, f(n)=f(500)에서 f(n)=log™ n-8=log™ 500-8이므로
500 2 500
4
1
그런데 100<n<300이므로 모순이다.
따라서 자연수 n의 값은 125, 250이므로 그 합은 125+250=375
375
ㄱ. a<b이면 1…log a<log b<2이므로 f(a)=log a-1, f(b)=log b-1
∴ f(a)<f(b) (참)
ㄴ. log a=1+a (0…a<1)로 놓으면 log a¤ =2 log a=2(1+a)=2+2a
⁄ 0…a< 일 때,
log ab=log 10‹ =3에서 f(ab)=0이지만 f(a)=log 2+0, f(b)=log 5+0 (거짓)
2a+3b=2_10—› +3_10—fi =23_10—fi
이때, A용액과 B용액을 고루 섞은 용액 1 L 속에 들어 있는 수 소 이온의 양은
=4.6_10—fi
따라서 구하는 용액의 pH의 값은 -log(4.6_10—fi )=-log 4.6+5
=5-0.66=4.34
③
log 60=1+log 6이므로 log 60의 가수는 log 6이다.
log n과 log 60의 가수가 같고, n은 자연수이므로 log n=k+log 6(k는 음이 아닌 정수)으로 놓을 수 있다.
이때, log n=log (6_10˚ )이므로 n=6_10˚ =2_3_(2˚ _5˚ )=2˚ ±⁄ _3_5˚
n의 양의 약수의 개수가 180 이하이므로 (k+2)_2_(k+1)…180
(k+2)(k+1)…90
이 부등식을 만족시키는 음이 아닌 정수 k는 k=0, 1, 2, y, 8
따라서 구하는 모든 자연수 n의 개수는 9이다.
④ 자연수 n의 양의 약수의 개수
n=aπ bœ c® (a, b, c는 서로 다른 소수이고 p, q, r는 자연수) 일 때, n의 양의 약수의 개수는
(p+1)(q+1)(r+1)
4
2a+3b 5
07 로그함수
본문 72~75`쪽
확인 문제
118 2④ 3② 43 5②
6⑤ 712 82
`f(x)=log'3x에서
f(a)=4이므로 f(a)=log'3a=4
∴ a=('3)› =9 f(3)=b이므로 f(3)=log
'33=log3;2!;3=2 log£ 3=2
∴ b=2
∴ ab=9_2=18
18
세 함수 y=logå x, y=log∫ x, y=logç x에서 y=1일 때 x의 값을 차례대로 구하면
1=logå x에서 x=a 1=log∫ x에서 x=b 1=logç x에서 x=c 따라서 위의 그림에서 b<c<a
④
함수 y=log3a-1x가 x의 값이 증가할 때, y의 값이 감소하 려면 로그함수의 밑 3a-1의 값의 범위가 0<3a-1<1이어야 한다.
즉, 1<3a<2 ∴ <a<2 3 1 3
3
y
O 1 x 1
y=logå x
y=logç x b c
y=log∫ x a
2
1
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함수 y=log™ 3x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=log™ 3(x-1)-1 이 식을 변형하면 y=log™ 3(x-1)-1
=log™ (3x-3)-log™ 2
=log™ x+1>0, x-2>0이므로
x>-1, x>2 ∴ x>2 yy`㉠
주어진 방정식을 변형하면 log™ (x+1)(x-2)=2 (x+1)(x-2)=2¤ x-3>0, x-1>0이므로
x>3, x>1 ∴ x>3 yy`㉠
x¤ -7x+10…0 (x-2)(x-5)…0
따라서 f(x)의 최댓값은 f(1)=log;2!;(a-1)=-2에서 a-1={ }—¤ =4 ∴ a=5
∴ Mm=1_(-8)=-8
②
log£ x-logÆ 9=1에서 log£ x-2 logÆ 3=1
=log™ {-(x-3)}-log™ 16+2
=log™ {-(x-3)}-2 이므로
g(x)=x¤ -2x+a=(x-1)¤ +a-1
이므로 0…x…3에서 g(x)는 x=1일 때 최소이고, 최솟값은
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log£ a, log£ b는 log£ x에 관한 이차방정식 ㉠의 두 근이다.
근과 계수의 관계에 의하여 log£ a+log£ b=1 log£ ab=1
∴ ab=3
③
xlog™ x=16x¤ 의 양변에 밑이 2인 로그를 취하면
log™ x¥log™ x=log™ 16x¤
(log™ x)¤ =log™ 2› +log™ x¤ log™ a+log™ b=2, log™ a¥log™ b=-4
∴ (log™ a-2)(log™ b-2)
=log™ a¥log™ b-2(log™ a+log™ b)+4
=-4-4+4=-4
②
⁄ logÆ–™ (2x¤ -11x+14)가 정의되기 위해서는 진수의 조건에서
2x¤ -11x+14=(x-2)(2x-7)>0
∴ x<2 또는 x> yy`㉠ 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1
∴ 2<x<3 또는 x>3 yy`㉡
㉠, ㉡에서 x> yy`㉢
부등식 logÆ–™ (2x¤ -11x+14)>2에서 logÆ–™ (2x¤ -11x+14)>logÆ–™ (x-2)¤
이때, 로그의 밑 x-2는 ㉢에 의하여 1보다 크므로 2x¤ -11x+14>(x-2)¤
x¤ -7x+10>0 (x-2)(x-5)>0
(log£ a+2)(log£ a-1)æ0
∴ log£ a…-2 또는 log£ aæ1
‹ ab=2-log£ a>0에서 log£ a<2 즉, log£ a<log£ 3¤ 이므로
0<a<9 yy`㉢
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 -7<x<7 yy`㉠
log™ (7-x)+log™ (7+x)>4에서 log™ (7-x)(7+x)>4=log™ 2›
1
49-x¤ >16, x¤ <33
∴ -'3å3<x<'3å3 yy`㉡
5<'3å3<6이므로 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 log x-1 (10…x<100)
이다. 그러므로 y=f(x)의 그래프는 다음과 같다.
y=3+log£ (x¤ -4x+31)에서 f(x)=x¤ -4x+31이라 하면 f(x)=(x-2)¤ +27
함수 f(x)는 x=2일 때 최소이고, 최솟값은 27이므로 함수 y=3+log£ (x¤ -4x+31)의 최솟값은
3+log£ 27=3+log£ 3‹ =3+3=6
3
y=log;2!;(0+4)+b=-2+b이므로-2+b=3 ∴ b=5
∴ a+b=4+5=9
④
주어진 함수를 변형하면 y=log™ x¥log
;2!;x+2 log™ x+10
=log™ x¥(-log™ x)+2 log™ x+10
=-(log™ x)¤ +2 log™ x+10 log™ x=t로 놓으면 1…x…16에서 log™ 1…log™ x…log™ 16 ∴ 0…t…4 이때, 주어진 함수는
y=-t¤ +2t+10=-(t-1)¤ +11
따라서 0…t…4에서 함수 y=-(t-1)¤ +11은 t=1일 때 최대이고, 최댓값은
-(1-1)¤ +11=11 ∴ M=11 t=4일 때 최소이고, 최솟값은 -(4-1)¤ +11=2 ∴ m=2
∴ M+m=11+2=13
3
2
1
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(log∞ x-1)(log;5!;x+2)>0에서 log;5!;x=-log∞ x이므로
(log∞ x-1)(-log∞ x+2)>0 (log∞ x-1)(log∞ x-2)<0 1<log∞ x<2
∴ 5<x<25
따라서 a=5, b=25이므로
y=1+log™ x에서 y-1=log™ x x=2y-1
x와 y를 바꾸면 y=2x-1
∴ g(x)=2x-1
이때, h(x)=4¥2x-1=2x+1
∴ (fΩh)(x)=f(h(x))
1
즉, (fΩh)(x)=x+2이므로 ( fΩh)(4)=4+2=6
③
y=|log x-1|(log x-3)에서 log x=t로 놓으면 y=|t-1|(t-3)이고, 1…x…100에서 0…t…2이다.
⁄ 0…t…1일 때, a>1이면 f(a)>g(a)이다. (참)
ㄴ. 두 그래프의 교점은 직선 y=x 위에 있으므로 a=b이다.
함수 g(x)는 x의 값이 증가할 때, y의 값이 감소하므로 b<f(a)이면 g(b)>g(f(a))=a
∴ 2g(b)>2a
그런데 2g(b)=2 log;2!;b=log;2!;b¤ =g(b¤ )이므로 log£ |x-5|<3에서 |x-5|<27이므로 -27<x-5<0 또는 0<x-5<27
∴ -22<x<5 또는 5<x<32 yy`㉢
㉡에서 진수의 조건으로부터 x>0, x+6>0이므로
x>0 yy`㉣
log™ x+log™ (x+6)æ4에서 log™ x(x+6)æ4, x(x+6)æ2› =16 x¤ +6x-16æ0, (x+8)(x-2)æ0
∴ x…-8 또는 xæ2 yy`㉤
㉣과 ㉤에서
log™ x+log™ (x+6)æ4의 해는 xæ2 yy`㉥
㉢과 ㉥의 공통 범위를 구하면 2…x<5 또는 5<x<32
따라서 주어진 연립부등식을 만족시키는 모든 정수 x의 개수는 3+26=29
29
이차방정식 4(1+log a)x¤ +2(1+log a)x+1=0의 판별 식을 D라 할 때, 실근이 존재하지 않으므로
=(1+log a)¤ -4(1+log a)<0 (log a)¤ -2 log a-3<0
(log a+1)(log a-3)<0
∴ -1<log a<3
즉, log 10—⁄ <log a<log 10‹ 이므로
<a<1000
따라서 자연수 a의 최댓값 M=999이고 최솟값 m=1이다.
∴ M-m=999-1=998 1 log™ x+log™ (x+6)æ4 yy`㉡
4
f(x)=[log™ x]+[log™ ]=n+(-n)=0
¤ 0<a<1일 때,
log™ x=n+a이고 log™ =-log™ x=-n-a이므로
f(x)=[log™ x]+[log™ ]
=[n+a ]+[-n-1+(1-a)]
=n+(-n-1)=-1
∴ S∞=a¡+a™+a£+a¢+a∞
=(2⁄ +2¤ +2‹ +2› +2fi )
-(log™ 1+log™ 2+log™ 3+log™ 4+log™ 5)
=62-log™ (1_2_3_4_5)
=62-log™ 120
이때, 2fl <120<2‡ 이므로 6<log™ 120<7 62-7<62-log™ 120<62-6
∴ 55<62-log™ 120<56
∴ [S∞]=[62-log™ 120]=55
⑤
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|f(x)|<|g(x)| yy`㉡
위의 그림에서 ㉠, ㉡을 모두 만족시키는 x의 범위는
-8<x<-4 또는 -4<x<-2 또는 2<x<4 또는 4<x<8
∴ a¡º=a¡+(10-1)¥d
=3+9¥4 (8'2)¤ =a_32
32a=128
r‹ =-8
=20_1.1⁄ ‚ =20_2.6=52
52 a¢=1+3d, a¶=1+6d이므로 a¢+a¶=20에서
(1+3d)+(1+6d)=20 9d=18, d=2
∴ a¡+a™+a£+y+a¡º= a«<0에서 2n-25<0, n< 이므로 n…12이면 a«<0이고,
næ13이면 a«>0이다.
|a¡|+|a™|+|a£|+y+|a¡™|=23+21+19+y+1,
=(3¥10¤ +2¥10)-(3¥4¤ +2¥4)
=320-56
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10_a(1+0.05)⁄ ‚ =10_a_1.6=16a(만 원) 이므로 16a=3200에서 a=200
①
본문 93`쪽
Level 1 기초 연습
1④ 2⑤ 3② 412 5②
공차를 d라 하면 a∞=a™+3d이므로 12=3+3d에서 d=3
∴ a•=a∞+3d=12+3¥3=21
④
∴ a™+a£+a¢+a∞=(a™+a∞)+(a£+a¢)
=12+12
r¤ +2r-8=0, (r-2)(r+4)=0
∴ r=2 (∵ r>0)
㉠에서 a=4-b=4-8=-4
∴ b-a=8-(-4)=12
12
a¡+a™+a£+y+a¡º= =120
∴ a¡(2⁄ ‚ -1)=120 yy ㉠
a¡+a£+a∞+a¶+aª=S라 하면
a™+a¢+a§+a•+a¡º=2a¡+2a£+2a∞+2a¶+2aª
=2(a¡+a£+a∞+a¶+aª)
=2S
∴ a¡+a™+a£+y+a¡º=S+2S=120
∴ S=40 a¢=a¡+3d=1, a§=a¡+5d=5이므로
1
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이때, a∞a¶=(16-d)(16+d)=247 256-d¤ =247, d¤ =9
d>0이므로 d=3
a§=a¡+5_3=16에서 a¡=1 a™=a¡+d=1+3=4이므로
=(12n-n¤ )-{12(n-1)-(n-1)¤ }
=(12n-n¤ )-(-n¤ +14n-13)
3
p=f(1)=1+a, q=f(2)=4, r=f(3)=9-a이고, 세 수 a+1, 4, 9-a가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
a¡+a™+a£+y+a™¡= a¡+10_ a¡=40, 4a¡=40
∴ a¡=10, d=3
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따라서 16+10c=46에서 c=3=1+2¥ +9=100
100
a«=1¥2n-1=2n-1이고, aª=a¡+ b˚이므로
b¡+b™+b£+y+b•= b˚=aª-a¡
=2° -1=255