디지털필터 강의자료

디지털 필터

호남대학교

최성율

차례 -1

•

_{전기회로와 전자회로}

•

_{키르히호프 법칙과 각종 법칙 (DC 입력 )}

•

_{정현파 입력에서의 각종 법칙 적용}

•

_{페이저 변환}

• 전달함수

•

_{푸리에 변환}

•

_{라플라스 변환}

차례 -2

• Z 변환

• Analog

와 Digital

계의 관계

• DFT ( Discrete Fourier Transform )

• Digital Filter

-

주파수 특성

전기회로 전자회로

• * An electric circuit, or electric network

• : A collection of electrical elements interconnected in s

ome way.

• * A general two-terminal element :

• - Resistors, inductors, capacitors, and sources

• * An example of an electric circuit of six two-terminal

elements :

a b d c

키르히호프 법칙과 각종 법칙 (DC 입력 )

-KCL

• The algebraic sum of the currents enteri

ng any node is zero

•

a b Node1 Node2 Node3 Node2 Node1 Node3

( a ) Three node cct ( b ) Same cct redrawn

5A _i

-3A 2A

키르히호프 법칙과 각종 법칙 (DC 입력 )

-KVL

• The algebraic sum of voltage drops arou

nd any closed path is zero

•

a b c d + -+ -+ - v 3 v ₂ v ₁

정현파 입력에 법칙 적용

Ex.) Let's find the forced mesh current in the series cct.

+ -2H 15 cos 2 t [V] i  F 101   해 1: By KVL, 이를 풀면

해 2 : Replacing the sinusoidal source by the complex source , by KVL,

페이저변환

o L o C wL jwL Z wc jwc Z R R Z 90 90 1 1         + -2H 15 cos 2 t [V] i _ F 101 해 3 o 0  J2*2= j4 2 5 10 1 2 1 1 j j jwC   2 1 tan 5 3 2 1 tan 5 0 15 1 2 0 15 5 2 4 0 15 1 1                j j j i

전달함수 -1

• The transfer function gives the input-output relation

.

H ( s )

V _i ( s ) V _o( s )

: "frequency response

func-tion"

 

Consider a cct with transfer function_{Find the steady-state output} .

 

<Solution>

・ Frequency response equation :

since and ,       예 :

• ・ Frequency response : magnitude(gain)

and phase(shift) response

|H ( j )|, gain 1 1 RC  1 2 H ( j ), phase shift  1 RC _  90  45

전달함수 -2

S

영역 등가회로

R 1/ s C sL I _R ( s ) v _C (0-)/ s + -+ -V _R ( s ) _V L ( s ) Li _L ( 0- ) I _L ( s ) V _C ( s ) + -I _C ( s ) + -+

-30H F 5 1  12[1+ u ( t )]V i_L ( t ) v _C ( t ) +  + -+ v _L ( t )  i_C ( t ) + -30 s s 5  + -+ -s 24 60 V ( s ) s 12 I _L ( s ) I _C ( s )

S

영역 등가회로

KCL equation      

s-domain element laws( -forms) :

s-Domain equivalents of elements : Norton forms

S

영역 등가회로

R I_R ( s ) + -V _R( s ) sL V _L( s ) IL( s ) + -Cv _C (0-) V _C ( s ) IC( s ) + -i_L( 0- ) s 1 Cs

푸리에급수 ( 주기파형 )

dc component of : first harmonic, or fundamental with

fre-quency

: second harmonic with frequency (one octave above the

fundamen-tal)

주기파형의 응답 1

Find the forced response in the cct below, where the input

예 : t v ( t ) 6 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 + -v ( t ) i ( t ) 2  1 4 F 4  + -V _n 2 4 I_n 4 j 해 :

・ Impedance and current of the cct

 

  wher e   ・ If we let , and we replace by .      

・ If we define the function   then   ・ In the limit, and   푸리에 시리즈의 푸리에 변환화

주기파형의 응답 2

・ Currents to and :   o V :  

the Fourier series

of with :       Overall response : where

푸리에 변환

: 주기파형의 입출력 관계 식

: 비주기 파형을 위한 신호 변환식

라플라스변환

Consider the single-mesh cct with the following mesh equation

for . Just before the unit step acts, the

ccts is in the dc steady state with _{and . Determine the mesh current}

. 예 + -2  1H - v _C ( t ) + i ( t ) 1V u ( t ) 1 5 F + -  해

라플라스변환

A cct is stable if all natural responses in the cct decay to zero with time. The stability of a cct is equivalent to for every cct pole

. In other words, stability requires that all the ploes of the cct lie in the left half(LHP) of the complex plane.

만일 pole 이 다음과 같다면

A single pole :

연속신호와 이산신호 관계

이산 신호의 스펙트럼이 마다 반복된다는 것은 이산 신호의 모든 주파 수들이 범위에서 존재한다는 의미

1

^



f

5 . 0 5 . 0  ^   f

이산 신호의 최고 주파수는 0.5 가 되고 주기 T 는 2 가 된다 복소수를 포함하는 일반적인 연속 시간의 주기 신호 : 연속 시간 푸리에 급수를 통해서 기본 주파수의 정수배 주파수들 의 합으로 표현





     





k kt T j k k t kf j k

e

X

e

X

t

x

  2 2 ₀

)

(

dt

e

t

x

T

X

j T kt T k  2

)

(

1

  





이산푸리에 급수

기본 주파수 을 가지는 이산 주기 신호의 주파수 해석 N f^₀  1 연속 시간 푸리에 급수의 표본화





      N k kn N j k N k f kn j ke X e X n x   ˆ 2 2 ₀ ] [ 이산 푸리에 급수의 계수



  



N n kn N j k

x

n

e

N

X

 2

]

[

1

이산 신호의 스펙트럼은 주기적으로 반복 - 한 주기에 해당하는 N 개의 주파수 성분이 모든 주파수 정보를 표현하며 , 한 주기가 푸리에 급수와 푸리에 급수의 계수의 합의 범위가 되는 것 - 이산 신호에서는 N 개의 주파수 성분만 더하면 원 신호가 합성된다는 뜻

이산푸리에 급수의 스펙트럼

가 1 의 범위 구간마다 스펙트럼이 주기적으로 반복 이산 푸리에 급수 계수 는 의 위치에 존재 ^ f k X ^ 0 ^ N k kf f  

이산푸리에 급수

  Nn N j kn N j N n n N k N j N n N k

e

e

n

x

N

e

n

x

N

X

   2 2 2

]

[

1

]

[

1

        









1

2 2





  Nn _{j n} N j

e

e

  이므로 k kn N j N n N k

x

n

e

X

N

X







  



 2

]

[

1

Z 변환



   



n n

z

n

x

z

X

(

)

[

]





[

2

]

2

[

1

]

1

[

0

]

0

[

1

]

1

[

2

]

2

]

[

     

_

_

_

_

_

_

_



x

n

z

x

z

x

z

x

z

x

z

x

z

n n

S

변환과 Z

변환의 관계

s t y t y dt dy            ) ( ) ( lim / 0

T

n

y

T

n

y

s





(



)



(

)

이를 z 변환하면

)

(

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

z

Y

z

z

Y

z

zY

T

n

y

T

n

y

s

T























이산계에서의 전달함수와 입출력관계

)

(

)

(

)

(

z

X

z

H

z

Y



]

[

]

[

]

[

n

x

n

h

n

y









 











N k M k k k

y

n

k

b

x

n

k

a

n

y

1 0

]

[

]

[

]

[

)

(

)

(

0 0

z

X

z

b

z

Y

z

a

M k k k N k k k































   





   



_M k k k N k k k

z

a

z

b

z

H

0 0

)

(

아날로그신호의 디지털처리

안티 엘리어싱 필터 샘플링 ,양자화 나이키스트샘플링 이론 복원 필터 ,선형 보간법 주파수 영역에서 본 샘플링 과정



           k T c c p X j k T j P j X j X ( )* ( ) 1 ( ( )) 2 1 ) ( 

연속 신호로의 복원

) (t

디지털 신호의 생성 과정 연속 시간 신호 이산 시간 신호 디지털 신호 샘플링 양자화 이산 시간 신호의 종류와 변환 이산 시간 신호 주기 신호 비주기 신호 이산 시간 푸리에 급수 이산 시간 푸리에 변환 z- 변환 이산 웨이블 릿 변환

임펄스 응답 h[n] 을 갖는 LTI 시스템의 수식적 표현 주파수 영역에서 입력과 출력의 관계 Z 영역에서 선형 시스템의 입력과 출력의 관계 유한 차원 선형 시불변 이산 시간 시스템 주파수 응답 함수 선형 시불변 이산 시간 시스템의 입력과 출력의 관계 입력과 출력의 관계의 수식적 표현

주파수 응답 함수

이산계의 전달함수

주파수 응답 함수 선형 시불변 이산 시간 시스템의 입력과 출력의 관계 입력을 복소 지수 함수라 가정하면 , 출 력은 다음과 같다 에서의 복소 지수 함수 를 입력으로 했을 때 출력으로 나타나는 상수 를 그 시스템의 주파수 응답 함수 라 한다 .

주파수 응답함수

주파수 응답 함수 수식적 이해 : 임펄스 응답의 이산 시간 푸리에 변환 특징 한 주기가 2π 인 주기 함수 다음과 같은 크기 응답과 위상 응답을 갖는다 . 크기응답 위상응답

이산시간시스템

 _{위상 왜곡과 지연} 선형 시불변 이산 시간 시스템의 위상 응답의 의미 이상적인 지연 시스템 : 주파수 응답 : 크기 응답과 위상 응답 : - 위상 응답은 시간 영역에서 천이 (shift) 를 의미한다 . - 따라서 출력신호의 위상 왜곡은 입력 신호와 비교 해서 시간 지연이 발생함을 의미 . - 위상 응답의 선형성이 보장되지 않으면 , 특정 시간 에 나타나는 출력 신호가 어떤 입력에 의해 발생한 출 력인지 예측 불가능하다 . 군지연 : 위상 왜곡의 선형성을 측정하는 측도

이산시간시스템

 _{주파수 영역에서 선형 시불변 이산 시간 시스템} 선형 시불변 시스템의 출력 신호 의 이산 시간 푸리에 변환 합의 순서를 바꾸면 , 컨벌루션에 대한 푸리에 변환 성질을 이용하면 , 다음과 같이 표현된다 . 따라서 선형 시불변 이산 시간 시스템의 주파수 응답 함수는 입력 신호의 푸리에 변환과 출력 신호의 푸리에 변환의 비로 나 타낼 수 있다 .

이산신호시스템의 전달함수

 _{주파수 영역에서 선형 시불변 이산 시간 시스템} 선형 시불변 이산 시간 시스템의 입력과 출력의 관계를 z 변환된 형태로 나타낸 것을 전달 함수라 한다 . 의 z 변환을 각각 라 하면 는 다음과 같이 표 현된다 .

위 식을 전달 함수 (Transfer function) 또는 시스템 함수 (System

디지털필터 -FIR

FIR 필터의 전달 함수 시간 영역에서 FIR 필터의 입력과 출력의 관계 : 컨벌루션 양변에 z 변환을 취하면 따라서 FIR 필터의 전달함수는 다음과 같다 . 위 식에서 을 만족할 때 , 인과 (causal) FIR 필터라 한 다 . 모든 폴은 z 평면에서 원점에 위치하기 때문에 인과 FIR 필터의 전달 함수의 ROC 는 원점을 제외한 z 평면 전체가 된다 .

디지털필터 -IIR

 IIR 필터의 전달 함수 IIR 필터의 경우 전달 함수는 다음과 같은 유리 함수 형태로 표현된다 . . 위 식에서 분자 , 분모는 각각 M 개와 N 개의 인수로 인수분해 가능하다 . 다 시 말해서 , 분자와 분모 각각의 복소 계수를 갖는 M 차 , N 차 방정식이라고 가 정하면 각각은 M 개와 N 개의 해를 갖는다 . 따라서 , IIR 필터의 전달 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다 . IIR 필터 전달 함수의 ROC : N>M 일 경우 , 원점에 N-M 개의 제로가 부가적 으로 존재하고 , M>N 일 경우 , 원점에 M-N 개의 폴이 부가적으로 존재 . IIR 필터가 인과 필터라고 가정하면 가장 큰 값을 갖는 폴을 기준으로 다음과 같은 바 깥쪽 영역을 포함해야 한다 . 이 때 , ROC 가 단위원을 포함하면 안정한 시스템이라 한다 .

간단한 필터 -1

 _{제로 위상과 선형 위상} 디지털 필터 설계시 중요한 요소중 하나는 위상 왜곡 위상 왜곡을 막기 위한 두 가지 방법 : 제로 위상 , 선형 위상 제로 위상을 갖게 하는 필터 시스템 구조 왼쪽 시스템과 오른쪽 시스템은 다음과 같이 쓸 수 있다 . 과 을 가정하면 따라서 입출력 관계를 다음과 같이 쓸 수 있다 . 위 결과는 제로 위상과 의 크기 응답을 갖는 제로 위상 필터가 된다 .

간단한 필터 -2

 _{제로 위상과 선형 위상} 선형 위상을 갖는 주파수 응답의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다 . 입력이 로 주어졌을 때 출력은 다음과 같다 . 이 경우 출력은 입력 신호에 대해 전체적으로 군 지연 (group delay) 값 D 만큼의 지연만 있을 뿐 위상 왜곡은 발생하지 않는다 .

All-pass 필터

 _{전통과 전달 함수} 주파수 응답 크기가 전 대역에 걸쳐 상수인 시스템을 전통과 (allpass) 시 스템이라 한다 . 다음과 같은 IIR 시스템은 1 의 크기를 갖는 전통과 시스템이다 . 일반적인 형태 : 만약 분모의 다항식을 이라고 하면 , 다음과 같이 쓸 수 있다 .

아날로그계와 디지털계의 비교

전달 함수와 주파수 응답 : 아날로그계 : H(s jw),H(s jw) 디지털계 : _H(_zesT _e(jw)T),_H(_zejT _esT) 안정영역 :  0 w  안정영역 :  0 1 | | | | | |_z  _eT_ejwT  _eT  반경 1 1 2. 주파수 응답은 아날로그 계에서는0 s 영역 Z 영역 w 아날로그계 : |H(w)| 디지털계 : T  | ) ( |_{H e}jT 0  3    3 

H(s)

에서 H(z) 구하기 -1

1. 임펄스 불변법 nT t t h nT h( ) ( )|_ : t=nT 의 시점에서 임펄스 응답이 같도록 하는 방법 p s A s H   ) ( pt  Ae  ) (t h _이므로 pt Ae nT h( )  



_ 



_   _{ }     0 ( ) 0 ₁ 1 ) ( n n pT n pnT n e z A z e A z nT h A z H 순서 1. 먼저 H(s) 를 부분분수로 전개하여 h(t) 를 구한다 . 2. 주기 T 로 표본화한다 . 3. 구한 h(nT) 를 z 변환한다 . 문제점 : 2 번에서 T 로 표본화함은 로 대역 제한됨을 의미 따라서 로 대역제한 되지 않으면 aliasing 발생 - 따라서 협대역 저역통과 필터의 설계에만 이용 가능 2 / | |w w_s 2 / | |w w_s

H(s)

에서 H(z) 구하기 -2

2. 쌍 1 차 z 변환법 (BLT) 1 1    z z s _혹은 s s z    1 1 s<->z 사상의 성질 1) S – 평면의 좌반부는 z- 평면의 단위원 내부에 해당된다 . : 안정영역 2) S – 평면의 우반부는 z- 평면의 단위원 외부에 해당된다 . 3) S – 평면의 jw 축은 z- 평면의 단위원에서 0-> 에 해당된다 . 4) S – 평면의 - jw 축은 z- 평면의 단위원에서 0->-  에 해당된다  증명 :s   jw _{를 대입하면} 1 . ... 1 ) 1 ( ) 1 ( | | _{2 2} 2 2 2 _{ }      a w a w a z 1 } ) 1 ( 4 { 1 . ... ) 1 ( ) 1 ( | | ₂ 2 / 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2             k w k k k a k w a w a z D 가 0 보다 크면 k>1a>0 : 단위원 외부 1>k>0-> a<0 : 단위원 내부

H(s)

에서 H(z) 구하기 -2

1 1    z z s _혹은 s s z    1 1 에서

s



jw

A , T jw_D

e

z



를 대입한다 . 여기서 s 평면상에서

w

A 와 z 평면상에서 는 서로 대응된다 . w D 따라서

1

1







_jwjw _TT A _D D

e

e

jw

_{이 되고 이를 정리하면} ) 2 tan(w T w D A  가 된다 . 또 이 되고 여기서 H(s) 는 원하는 특성을 가지는 아날로그 필터이고 H(z) 는 해당 DT 필터이다 . T D jw A z e jw s H z s H( )| _  ( )| _