#2-1
#2-2
제 2 장의 구성
9 2.1 아날로그 신호와 디지털 신호 9 2.2 위상과 주파수
9 2.3 통신신호의 수학적 표현
9 2.4 신호의 시간영역과 주파수영역 표현 9 2.5 주파수 해석 (Fourier 해석)
9 2.6 푸리에 급수 (Fourier series) 9 2.7 푸리에 계수 구하기
9 2.8 푸리에 급수의 다양한 형태
#2-3
2.1 아날로그 신호와 디지털 신호
9 아날로그 (analog) 신호
연속적으로 변화하는 물리적인 양을 나타낸다.
9 디지털 (digital) 신호
한정된 이산(discrete) 원소로 구성된 신호
디지털 신호의 장점
z 보존성, 편집 및 재생산, 정보 공유 및 검색이 용이
z 유지보수 노력 시간과 비용 절감
디지털 신호의 단점
z 잡음에 강한 대신 에러가 없어야 한다.
z 보안성이 취약하다.
#2-4
아날로그 신호와 디지털 신호의 레벨
9 정보 (information)신호 : 데이터,음향,영상신호
8비트는 00000000~11111111 ⇒
2
8= 256 단계
#2-5
디지털 데이터의 품질
9 아날로그 오디오와 비디오 테이프
아날로그 방식은 복사하거나 재생할수록 음질이나 화질이 떨어짐
잡음에 취약
9 디지털 오디오와 비디오 테이프
잡음에 강한 대신
자연현상에서 볼 수 있는 원본데이터는 아날로그
z ⇒ 압축 정도에 따라 음질이나 화질에 차이가 남
높은 품질을 위해서는 디지털 비트 수가 많아짐
z ⇒ 많은 양의 데이터를 저장하고 고속으로 처리
#2-6
2.2 위상과 주파수
9
1라디안 : 원 주위를 따라 반지름 r만큼 진행한 각도#2-7
9
위상 x에 대한 신호의 크기 y를 원운동에서⇒직선운동으로 표현한 것
사인 (sine)파의 정의
#2-8
9
코사인파는 사인파보다 위상각만 π /2 앞서 있다.코사인 (cosine)파의 정의
#2-9
주기 T, 주파수 f 와 각속도 ω
9 주기 T : 사이클운동의 시간주기
9 주파수 f : 초당 사이클 회수[Hz] 혹은 [/sec]
9 각속도 ω : 초당 변화하는 위상각 [radian/sec]
주기 T 동안 변하는 비례관계에서 ω와 f는
시간특성과 주파수특성을 동시에 표현하면
#2-10
2.3 통신신호의 수학적 표현
9 많은 공학이론에서 신호를 해석할 때 , 기본 신호의 형태로 대부분 사인 (sine)파나
코사인 (cosine)파를 사용하는 이유
한 가지 주파수를 사용하므로 신호의 해석이 쉬워진다. ⇒수식이 간편해진다.
수학적으로도 타당
z 자연현상의 신호는 한 가지 주파수를 갖는 여러 가지 신호들이 모여서 만들어진다. (중첩의 정리)
9 통신신호를 표현하는 식은 정의하기 나름이다 .
z 그 식 이후의 수식전개가 달라질 뿐이다.
#2-11
통신신호 해석에 사용되는 삼각함수 기본공식
9 삼각함수의 합과 차와 곱
#2-12
오일러 (Euler)의 공식
9 오일러 (Euler)의 공식
#2-13
우함수와 기함수
9
우함수(even function) : y축 혹은 x=0 축에 좌우대칭9
기함수(odd function) : 원점 혹은 (x,y)=(0,0)에 대칭#2-14
우함수와 기함수의 이용
9 적분과정을 간단히 생략할 수 있다 .
기함수의 대칭구간의 정적분 값은 0이 된다.
우함수의 대칭구간의 정적분 값은 한쪽 대칭구간의 2배
#2-15
2.4 신호의 시간영역과 주파수영역 표현
#2-16
시간영역과 주파수영역으로 표현하는 이유
시간영역과 똑같은 신호를 해석이 편리한 주파수영역으로 옮겨서 해석하기 위함
#2-17
2.5 주파수 해석 (Fourier 해석)
9 주파수해석 혹은 푸리에 (Fourier) 해석
주파수영역에서 통신신호를 해석하는 것
9 푸리에 급수와 푸리에 변환의 이용 목적은 모두 신호의 주파수 특성을 얻고자 하는 것
푸리에 급수(Fourier series) ⇒ 2장
z 푸리에 변환에 포함됨. 주기함수를 해석
푸리에 변환(Fourier transform) ⇒ 3장
z 주기함수를 포함한 모든 함수를 해석
9 신호의 주파수 특성이란
주파수에 대한 신호의 진폭 및 위상특성
#2-18
푸리에 급수 : 주기함수의 해석에 사용
주기함수의 기본주파수 ω0의 배수 nω0 ( n은 정수)에 대응하는 고조파의 간격으로 나타나는 불연속한 이산적인 주파수 스펙트럼 형태
#2-19
푸리에 변환 : 일반신호의 해석에 사용
9 주기함수를 포함한 일반적인 함수의 해석
이산치가 아닌 연속함수의 형태
고조파의 간격 f0=0
#2-20
(－) 주파수대역은 존재하는가?
9 (－)주파수대역은 존재하는가?
물리적으로는 실제로 존재하지 않는다.
수학적으로만 －주파수대역이 나타나는 것
z (예) i=√-1 허수의 존재는? ⇒ 수학적으로만 도입
9 주파수 스펙트럼의 진폭특성은 우함수의 성질
진폭특성은 ω=0 축에 대하여 대칭 (3장참조)
－주파수대역은 ＋주파수대역과 좌우대칭
9 신호의 전력을 계산할 때는－주파수대역도 포함
시간영역과 주파수영역이 모두 같은 신호를 두고 표현하므로, 해석하는 영역이 다르더라도 신호의 전력은 서로 같아야 한다.
#2-21
2.6 푸리에 급수 (Fourier series)
9 급수 (series)
어떤 함수를 다른 함수의 합으로 표현
급수 전개 : 다른 함수 합으로 수식을 펼쳐 표현
보통은 무한급수⇒ 한정된 원소의 합은 근사식
9 푸리에 급수 (Fourier series)
프랑스 수학자 푸리에⇒임의의 주기함수는
사인과 코사인의 무한급수로 전개됨을 최초 증명
z 삼각함수를 많이 사용하므로, 푸리에 삼각함수 급수 (sine series 혹은 cosine series)라고도 함
#2-22
주기함수와 푸리에 급수
9 주기가 T 인 주기함수의 정의
일반적으로 삼각함수는 주기함수
상수도 주기함수이다.
9 푸리에 급수는 주기신호의 주파수 성분을
구하기 위해 , 원래의 신호를 여러 가지 주파수 성분을 갖는 함수들의 합으로 표현한다 .
f(t) 가 주기함수라면
#2-23
푸리에 급수와 푸리에 계수
9
ω0 : 기본파의 기본주파수(fundamental frequency) a0 직류성분(ω=0)이며
ω0 포함신호 : 기본파(fundamental wave) 성분
2ω0 포함신호 : 2차 고조파(second harmonics) 성분
nω0 포함신호 : n차 고조파(nth harmonics) 성분
9
f(t)를 다시 묶으면#2-24
푸리에 급수의 기본파 , 고조파, 합성파
#2-25
푸리에 급수로 구한 주파수특성
9 앞에서와 달리 , 푸리에 급수를 역으로 설명하면
⇒ 여러 가지 주파수 성분을 갖는 신호들을 모아 주기함수 f(t)를 합성파로 만들어낼 수 있다.
#2-26
2.7 푸리에 계수 구하기
9 푸리에 급수를 전개하는 것은 결국 푸리에
계수를 구하는 것
#2-27
주기 구간을 여러 가지로 표현
9
①,③ 주기 구간 표현을 사용했을 때의 푸리에 계수 공식#2-28
예제 2.1
#2-29
예제 2.1 (계속)
#2-30
예제 2.1 (계속)
#2-31
2.8 푸리에 급수의 다양한 형태
9 푸리에 급수를 삼각함수의 합성으로 표현
사인이나 코사인 항으로 묶어서 표현할 수 있다.
z 사인 항으로 묶은 경우
#2-32
푸리에 급수의 다양한 형태 (계속)
z 코사인 항으로 묶은 경우
#2-33
푸리에 급수의 복소지수 형식
9 복소지수 형식의 푸리에 급수
이 형식을 쓰면 적분의 계산이 매우 간단해진다.
#2-34