수학 및 연습 2 기말고사 (2018년 7월 27일 오전 11:00 – 오후 1:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1 [15점] 다음 적분값을 구하시오. Z 1 0 Z1−z 0 Z 1−y−z 0 (x − 3z + 1) dx dy dz 문제 2 [25점] rθ평면에서 다음 식에 의해 정의되는 영역이 극좌표 계 치환에 의해 xy평면에서 차지하는 영역을 D라 할 때 아래 물음에 답하시오. arccos r + 1 2 ≤ θ ≤ π 3, (0 ≤ r ≤ 1) 0 ≤ θ ≤ π 3, (1 ≤ r ≤ 2) 0 ≤ θ ≤ arccos r − 1 2 , (2 ≤ r ≤ 3) (a) (15점) 영역 D의 넓이를 구하시오. (b) (10점) 영역 D의 기하학적 중심 (¯x, ¯y)를 구하시오. 문제 3 [15점] 다음 적분값을 계산하시오. Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ p x2+ y2+ z2e−x2−y2−z2dx dy dz 문제 4 [20점] 0 < a ≤ b인 실수 a, b에 대하여 다음 두 타원판의 공통부분의 넓이는 4ab arctana b임을 보이시오. x2 a2 + y2 b2 ≤ 1, x2 b2 + y2 a2 ≤ 1 문제 5 [20점] 일급함수 f : Rn → R가 항등식 f (tX) = tnf (X), t ∈ R, X ∈ Rn 을 만족할 때, 벡터장 F(X) = X f (X)의 발산도가 0임을 보이시오. h 연습용 여백 i 1
수학 및 연습 2 기말고사 문제 6 [20점] xy평면의 1사분면에서 1 2 ≤ r ≤ sin 2θ의 식을 만족하 는 영역을 D라고 하고, D의 경계 중 r = sin 2θ를 만족하는 곡선을 C라고 할 때 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 영역 D의 넓이를 구하시오. (b) (10점) C에서 단위 법벡터 n을 영역 D의 바깥 방향으로 정할 때, 벡터장 F(X) = 1 |X|2 + 1 X 가 C를 통해 빠져나가는 플럭스 Z C F · n ds를 구하시오. 문제 7 [20점] 반구면 x2+ y2 + z2 = 1, z ≥ 0 중에서 타원기둥 x2+ 2y2≤ 1의 내부에 있는 부분의 넓이를 구하시오. 문제 8 [20점] 좌표공간상의 곡면 S는 x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 으로 정의될 때, 다음 면적분의 값을 계산하시오. Z Z S 1 px2+ y2+ z23 dS 문제 9 [30점] 다음 물음에 답하시오. (a) (10점) 삼차원공간에서 정의되는 함수 h와 벡터장 F에 대하여 다음 식이 성립함을 보이시오.
curl(hF) = grad h × F + h curl F
(b) (20점) 다음과 같이 정의되는 곡면 S와 벡터장 F에 대하여 Z Z S curlF · dS를 계산하시오. (단, S의 향은 n · k < 0이 되도록 주어진다.) S : z = x2+y 2 2 ≤ 4 F(x, y, z) =y + eysin(π 2z) (z, −x, y) 문제 10 [15점] 곡선 C 는 다음과 같이 정의된다. X(t) = (sin t, cos t, − cos 2t) (0 ≤ t ≤ 2π) 이때 곡선 C 를 따르는 다음 선적분을 구하시오.
Z
C
(y + sin x)dx + (x2+ cos y)dy + x3dz
h 연습용 여백 i
