A C B
x y
y=f(x) y=g(x)
y=k
양수 a에 대하여 점 A의 x좌표를 -a라 하면 점 B의 x좌표는 5a이다.
두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 {;2!;}-a-1=45a-1, 2a+1=210a-2 a+1=10a-2, a=;3!;
점 B{;3%;, k}를 y=g(x)에 대입하면 k=4;3%;-1=4;3@;
따라서 k3={4;3@;}3=42=16
답 16
43
두 점 A, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하자.
O A
A' B'
B
x y
y=log£ (5x-3)
점 A의 좌표를 (a, log3`(5a-3))이라 하면 점 B의 좌표는 (2a, log3`(10a-3)) 삼각형 AOA'과 삼각형 BOB'은 닮음이므로 OA'Ó : OB'Ó=AA'Ó : BB'Ó=1 : 22 AA'Ó=BB'Ó
즉, 2 log3`(5a-3)=log3`(10a-3) 25a2-30a+9=10a-3
25a2-40a+12=0 (5a-2)(5a-6)=0 a=;5@; 또는 a=;5^;
진수 조건에서 a>;5#;이므로 점 A의 좌표는 {;5^;, 1}
직선 AB의 기울기는 직선 OA의 기울기와 같다.
직선 OA의 기울기는 ;pQ;= 1-0
;5^;-0=;6%;
따라서 p+q=11
답 11
44
log2`x2=2 log2`x이므로 주어진 연립방정식
à
log2`x+log2`y=7 yy ㉠2 log2`x-log2`y=-1 yy ㉡
㉠+㉡을 하면 3 log2`x=6, log2`x=2 즉, x=22=4
x=4를 ㉠에 대입하면 2+log2`y=7, log2`y=5 즉, y=25=32
따라서 a=4, b=32이므로 a+b=4+32=36
답 36
45
A C
E D
B
O
x
y y=2Å
y=-
¦/2!/¥Å +t
점 A, B의 x좌표를 각각 a, b (a<0<b)라 하면 a, b는 방정식 2x=-{;2!;}x+t, 즉 (2x)2-t_2x+1=0의 두 근이므로 2a+2b=t, 2a_2b=1
따라서 a+b=0, b=-a
네 점 A(a, 2a), B(b, 2b), C(0, 1), D(0, t-1)에 대하여 ㄱ. CDÓ=t-1-1=t-2 (참)
ㄴ. ACÓ=¿¹(-a)2+(1-2a)2
=¿¹b2+(2b-t+1)2 (-a=b, 2a=t-2b을 대입) DBÓ=¿¹b2+(2b-t+1)2
따라서 ACÓ=BDÓ (참) ㄷ. ADÓ=¿¹a2+(2a-t+1)2
=¿¹(-b)2+(-2b+1)2=CBÓ
ACÓ=DBÓ, ADÓ=CBÓ이므로 사각형 ACBD는 평행사변형이고 두 대각선의 교점을 E라 하면
CEÓ=DEÓÓ이므로 점 E의 좌표는 {0, ;2ÿ;}
△ABD=△AED+△BDE
=;2!;_(-a)_DEÓÓ+;2!;_b_DEÓÓ
=;2!; DEÓÓ_(-a+b)
=;2!;{ t-22 }_(-a+b)
= (t-2)(-a+b)
4 =b(t-2) 2 △AOB=△OEA+△OBE
=;2!;_(-a)_OEÓÓ+;2!;_b_OEÓÓ
= t(-a+b) 4 =bt
2
따라서 삼각형 ABD의 넓이는 삼각형 AOB의 넓이의 t-2 t 배 이다. (참)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
46
2f(x)É4x에서 2f(x)É22x 밑이 1보다 크므로 f(x)É2x
함수 y= f(x)의 그래프와 직선 y=2x의 교점의 좌표를 구하면
O /5^/
6
12 x
y
y=2x
y=f(x)
Ú x<3일 때, -3x+6=2x에서 x=;5^;
Û x¾3일 때, 3x-12=2x에서 x=12
Ú, Û에서 부등식 f(x)É2x의 해는 ;5^;ÉxÉ12
즉, 실수 x의 최댓값은 M=12, 최솟값은 m=;5^;이다.
따라서 M+m=12+;5^;=:¤5¤:이므로 p+q=71
답 71
47
진수 조건에서 x>0, log2`x>0이므로 x>1 log4`(log2`x)É1에서 log4`(log2`x)Élog4`4 밑이 1보다 크므로
log2`xÉ4, 즉 xÉ16
A={x|1<xÉ16}
x2-5ax+4a2<0에서
(x-a)(x-4a)<0, 즉 a<x<4a B={x|a<x<4a}
A;B=B이면 B,A이므로 a¾1이고 4aÉ16, 즉 1ÉaÉ4
따라서 구하는 자연수 a는 1, 2, 3, 4이므로 그 개수는 4이다.
답 ①
48
35(1-x)É{;3!;}xÛ`-1에서 35(1-x)É3-(xÛ`-1) 밑이 1보다 크므로
5(1-x)É-x2+1
x2-5x+4É0, (x-1)(x-4)É0 1ÉxÉ4 …… ㉠
(log2`x)2-4 log2`x+3<0에서 x>0이고 (log2`x-1)(log2`x-3)<0 1<log2`x<3
2<x<8 …… ㉡
㉠, ㉡에서 2<xÉ4
따라서 구하는 모든 자연수 x는 3, 4이므로 그 곱은 12이다.
답 12
49
{;2!;}f(x-2)<2-g(x+1)에서{;2!;}f(x-2)<{;2!;}g(x+1) 밑이 1보다 작은 양수이므로
f(x-2)>g(x+1)
함수 f(x-2)의 그래프는 함수 f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 2 만큼 평행이동한 것이고 함수 g(x+1)의 그래프는 함수 g(x)의 그 래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 그래프는 다 음과 같다.
-2
2 3
O
x
y y=f(x-2)
y= g(x+1)
따라서 f(x-2)>g(x+1)을 만족하는 x의 값의 범위는 x<0 또는 x>2
답 ③
50
점토 A의 하중강도가 3.2`kg/cm2와 6.4`kg/cm2일 때의 간극비가 각각 0.5, 0.3이므로 압축지수 Cc의 값은
Cc= 0.5-0.3
log`6.4-log`3.2 = 0.2 log`2
하중강도가 x`kg/cm2일 때의 간극비가 0.1이므로 log`20.2 = 0.3-0.1
log`x-log`6.4= 0.2 log` x
6.4 log` x
6.4=log`2, x 6.4=2 따라서 x=12.8
답 ③
51
첫 번째 일요일 하루 동안 달릴 거리는 5`km 두 번째 일요일 하루 동안 달릴 거리는 5(1+0.1)=5_1.1(km)
세 번째 일요일 하루 동안 달릴 거리는 5_1.1_(1+0.1)=5(1.1)2(km) ⋮
x 번째 일요일 하루 동안 달릴 거리는 5_(1.1)x-1`km이므로
5_(1.1)x-1¾20에서 (1.1)x-1¾4 양변에 상용로그를 취하면 (x-1)_log`1.1¾2 log`2 x-1¾0.6020
0.0414=14.541 y x¾15.541 y
따라서 구하는 날은 16번째 일요일이다.
답 ②
52
Cg=2, Cd=;4!;, x=a, n=;20!0; 이므로
;20!0;=;4!;_2_10;5$;(a-9) 10;5$;(a-9)=10-2, ;5$;(a-9)=-2
따라서 a=:Á2£:
답 ④
01
802
110서술형
연습
본문 68쪽01
loga`b=logb`a에서 log`b log`a =log`a
log`b 이므로 ㉮
(log`a)2-(log`b)2=0
(log`a-log`b)(log`a+log`b)=0
log`a=log`b 또는 log`a=-log`b ㉯ 이때 a+b이므로 log`b=-log`a
b=a-1, 즉 b=;a!; ㉰
따라서
(2a+1)(b+2)=2ab+4a+b+2
=2+4a+;a!;+2 {b=;a!;을 대입}
=4a+;a!;+4
¾2®É4a_;a!;+4
{단, 4a=;a!;, 즉 a=;2!;일 때 등호가 성립한다.}
=2_2+4
=8
이므로 (2a+1)(b+2)의 최솟값은 8이다. ㉱
답 8
채점 기준 비율
㉮ loga
`b=log
b`a를
log`b log`a=log`alog`b로 변형한 경우
20%
㉯ 로그가 포함된 방정식 log`b log`a=log`a
log`b를 푼 경우
30%
㉰
a와 b가 서로 다른 수임을 이용하여 b= ;a!;을 구한 경우 30%
㉱ 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여
(2a+1)(2b+1)의 최솟값을 구한 경우 20%
02
xlog`x-;10!0;x3=0에서 xlog`x=;10!0;x3 ㉮
양변에 상용로그를 취하면 log`x_log`x=log`;10!0;+3 log`x
(log`x)2-3 log`x+2=0 ㉯
log`x=t로 놓으면 t2-3t+2=0 (t-1)(t-2)=0
t=1 또는 t=2 ㉰
즉, log`x=1 또는 log`x=2이므로
x=10 또는 x=102=100 ㉱
따라서 두 실근의 합은 10+100=110 ㉲
답 110
채점 기준 비율
㉮