지수함수와 로그함수의 활용

2x=-x-1, 3x=-1 따라서 x=-;3!;

답 ②

04

{;8!;}^2-x=2^x+4에서 2^-6+3x=2^x+4, -6+3x=x+4 따라서 x=5

답 ⑤

05

방정식 2^x+3-2^x=n에서 7_2^x=n 주어진 방정식이 정수인 해를 갖기 위해서는 n=7_2^k(k는 음이 아닌 정수)꼴이어야 한다.

이 조건을 만족하는 두 자리 자연수 n은 k=1, 2, 3일 때 14, 28, 56 이므로 그 합은

14+28+56=98

답 98

06

3^x-3^4-x=24의 양변에 3^x을 곱하면 (3^x)²-24_3^x-81=0

3^x=t (t>0)으로 놓으면

t²-24t-81=0, (t+3)(t-27)=0 t=27, 즉 3^x=27

따라서 x=3

답 3

07

2^x=t (t>0)으로 놓으면 주어진 방정식은 2t²-17t+8=0, (2t-1)(t-8)=0 t=;2!; 또는 t=8, 즉 2^x=;2!; 또는 2^x=8 x=-1 또는 x=3

따라서 모든 실근의 합은 -1+3=2

답 2

08

2^x- 42^x=2'5에서 2^x=t (t>0)으로 놓으면 t-;t$;=5, t²-2'5t-4=0

t=3+'5, 즉 ('2)^x="Å2^x=¿¹3+'5= '¶10+'22 따라서 a+b=10+2=12

답 12

09

2^x=t`(t>0)으로 놓으면 주어진 방정식은 t²-2kt+16=0 yy ㉠

근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 양수이므로 방정식 tÛ`-2kt+16=0은 양수인 중근을 갖는다.

이 방정식의 판별식을 D라 하면 D

4=(-k)²-16=k²-16=(k-4)(k+4)=0 이때 두 근의 합이 양수이므로 k=4

방정식 ㉠의 근이 4이므로 2^x=4=2²에서 x=a=2 따라서 k+a=6

답 ④

10

3^2x-2´3^x+1-3k=0에서 3^2x-6_3^x-3k=0 3^x=t(t>0)으로 놓으면 주어진 방정식은 t²-6t-3k=0

이차방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 하므로 Ú 판별식을 D라 하면

D=36+12k>0, k>-3 Û (두 근의 곱)=-3k>0, k<0 따라서 Ú, Û에서 -3<k<0

답 ④

11

지수방정식 3^2x-k´3^x+1+3k+15=0의 두 실근의 비가 1 : 2이므로 두 실근을 a, 2a로 놓을 수 있다.

이때 3^x=A (A>0)으로 놓으면 A에 대한 이차방정식 A²-3kA+3k+15=0 …… ㉠

은 3^a, 3^2a을 두 실근으로 갖는다.

이차방정식 ㉠에서 근과 계수의 관계에 의하여

à

³

a+3^2a=3k …… ㉡

3^a_3^2a=3k+15 에서 3^3a=3^a+3^2a+15 3^a=t (t>0)으로 놓으면 t³=t+t²+15

t³-t²-t-15=0 (t-3)(t²+2t+5)=0 t²+2t+5>0이므로 t=3 즉, 3^a=3이므로 a=1 a=1을 ㉡에 대입하면 3+3²=3k, 3k=12

따라서 k=4 ^답 ①

12

4^x-2É32에서 2^2x-4É2⁵

밑이 1보다 크므로 2x-4É5, xÉ;2(;

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 그 합은 1+2+3+4=10

답 10

13

3^x-4É;9!;에서 3^x-4É3^-2

밑이 1보다 크므로 x-4É-2, xÉ2

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2이므로 그 합은 1+2=3

답 3

14

9^xÉ3^x+4에서 (3²)^xÉ3^x+4, 3^2xÉ3^x+4 밑이 1보다 크므로 2xÉx+4, xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 그 합은 1+2+3+4=10

답 ③

15

{;2!;}^2x+1É{;8!;}^x-1에서 {;2!;}^2x+1É{;2!;}^3x-3 밑이 1보다 작으므로 2x+1¾3x-3, xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 그 합은 1+2+3+4=10

답 ③

16

4^x_5^2x-1É2_10^x+3에서 2^2x_;5!;_5^2xÉ2_10^x+3 2^2x_5^2xÉ10_10^x+3 10^2xÉ10^x+4

밑이 1보다 크므로 2xÉx+4, xÉ4

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3, 4이므로 그 개수는 4이다.

답 ②

17

4^x-10_2^x+16É0에서 2^2x-10_2^x+16É0

2^x=t (t>0)으로 놓으면 주어진 부등식은 t²-10t+16É0

(t-2)(t-8)É0

2ÉtÉ8, 즉 2É2^xÉ8이므로 1ÉxÉ3

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2, 3이므로 그 합은 1+2+3=6

답 ④

18

(3^x+1)(3^x-10)<12에서 3^2x-9_3^x-22<0

3^x=t (t>0)으로 놓으면 주어진 부등식은 t²-9t-22<0

(t+2)(t-11)<0

t+2>0이므로 t-11<0, t<11, 즉 3^x<11

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 1, 2이므로 그 개수는 2이다.

답 ②

19

A=B가 되어야 하므로 2^2x+3´2^x+1-a<0의 해는 x<3이다.

이때 x<3이므로 2^x<8

즉, 2^2x+3´2^x+1-a=(2^x-8)(2^x-k)<0 (k<0)이 성립하므로 2^2x+3´2^x+1-a=2^2x+6´2^x-a=(2^x-8)(2^x+14)

이어야 한다.

따라서 a=8_14=112

답 112

20

{;4!;}^x-(3n+16)_{;2!;}^x+48nÉ0 [{;2!;}^x-3n][{;2!;}^x-16]É0 Ú 3nÉ16일 때

3nÉ{;2!;}^xÉ16을 만족시키는 정수 x의 개수가 2가 되도록 하려면 2²<3nÉ2³이므로 n=2

Û 3n>16일 때

16É{;2!;}^xÉ3n을 만족시키는 정수 x의 개수가 2가 되도록 하려면 2⁵É3nÉ2⁶이므로 n=11, 12, y, 21

Ú, Û에서 모든 자연수 n의 개수는 12이다.

답 12

21

진수 조건에서 x+5>4, x>-1 log2`(x+5)=4에서 x+5=2⁴ 따라서 x=16-5=11

답 11

22

log2`x=4에서 x=2⁴=16

답 16

23

진수 조건에서 6-x>0, x>0이므로 0＜x＜6 log2`(6-x)=2 log2`x에서

log2`(6-x)=log2`x² 6-x=x², x²+x-6=0 (x+3)(x-2)=0 x=-3 또는 x=2 따라서 x=2

답 2

24

진수 조건에서 x+3>0, 3x+13>0이므로 x>-3 2 log2`(x+3)=log2`(3x+13)에서

log2`(x+3)<sup>2</sup>=log2`(3x+13) (x+3)²=3x+13, x²+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0

x=-4 또는 x=1 따라서 x=1

답 ④

25

{log2`;2{;}(log2`4x)=4에서 (log2`x-1)(log2`x+2)=4 log2`x=t로 놓으면

(t-1)(t+2)=4

t²+t-6=0, (t-2)(t+3)=0 t=2 또는 t=-3

즉, log2`x=2 또는 log2`x=-3이므로 x=2² 또는 x=2^-3

따라서 두 실근 a, b가 2², 2^-3이므로 64ab=64_2²_2^-3=32

답 32

26

(log3`x)<sup>2</sup>-4 log3`x+3=0에서 log3`x=X로 놓으면 X²-4X+3=0, (X-1)(X-3)=0

X=1 또는 X=3

즉, log3`x=1 또는 log3`x=3이므로 x=3 또는 x=27

따라서 a+b=30 ^답 ③

27

(log3`x)<sup>2</sup>+4 log9`x-3=0에서 (log3`x)<sup>2</sup>+2 log3`x-3=0 log3`x=X로 놓으면

X²+2X-3=0, (X+3)(X-1)=0 X=-3 또는 X=1

즉, log3`x=-3 또는 log3`x=1이므로 x=;2Á7; 또는 x=3

따라서 주어진 방정식의 모든 실근의 곱은 ;2Á7;_3=;9!;

답 ①

다른 풀이

(log3`x)<sup>2</sup>+4 log9`x-3=0에서 (log3`x)<sup>2</sup>+2 log9`x-3=0

이 방정식의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

log3`a+log3`b=-2

즉, log3`ab=-2이므로 ab=3^-2=;9!;

따라서 주어진 방정식의 모든 실근의 곱은 ;9!;이다.

28

로그방정식 (log4`x)<sup>2</sup>+log4`` 1x<sup>3</sup>-1=0에서 (log4`x)²-3 log4`x-1=0

log4`x=X로 놓으면 X²-3X-1=0 …… ㉠

X에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근이 log4`a, log4`b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

log4`a+log4`b=log4`ab=3 따라서 ab=4³=64

답 ④

29

나머지정리에 의하여

(log2`a)<sup>2</sup>+2 log2`a+3=(log2`2a)<sup>2</sup>+2 log2`2a+3 log2`a=X로 놓으면 주어진 방정식은

X²+2X+3=(X+1)²+2(X+1)+3 2X+3=0, X=-;2#;

즉, log2`a=-;2#;

따라서 a=2^-;2#;= '24

답 ①

30

{log³`;[(;}{log<sup>3</sup>`;3{;}+6=0에서 (2-log3`x)(log3`x-1)+6=0 log3`x=X로 놓으면

(2-X)(X-1)+6=0

X²-3X-4=0, (X-4)(X+1)=0 X=4 또는 X=-1

즉, log3`x=4 또는 log3`x=-1이므로 x=3⁴ 또는 x=;3!;

따라서 ab=3⁴_;3!;=27

답 27

31

진수 조건에서 x+3>0, x-3>0이므로 x>3 …… ㉠ log4`(x+3)-log2`(x-3)¾0에서

log4`(x+3)¾log2Û``(x-3)<sup>2</sup> log4`(x+3)¾log4`(x-3)² 밑이 1보다 크므로 (x+3)¾(x-3)²

x²-7x+6É0, (x-6)(x-1)É0

1≤x≤6 …… ㉡

㉠, ㉡에서 3<xÉ6

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 4, 5, 6이므로 그 합은 4+5+6=15

답 ③

32

진수 조건에서 x-2>0, x>2 yy`㉠

log2`(x-2)<2에서 log2`(x-2)<logª`2Û`

밑이 1보다 크므로

x-2<2², 즉 x<6 yy`㉡

㉠, ㉡에서 2<x<6

따라서 부등식을 만족시키는 모든 자연수 x는 3, 4, 5이므로 그 합은 3+4+5=12

답 12

33

진수 조건에서 x-2>0, 3x+4>0이므로 x>2 …… ㉠ 2-log

;2!;`(x-2)<log2`(3x+4)에서 log2`4+log2`(x-2)<log2`(3x+4) log2`4(x-2)<log2`(3x+4)

밑이 1보다 크므로

4x-8<3x+4, x<12 …… ㉡

㉠, ㉡에서 2<x<12

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 3, 4, 5, …, 11이므로 그 개 수는 9이다.

답 ④

34

진수 조건에서 x>0, x+5>0이므로 x>0 …… ㉠ 1+log2`xÉlog2`(x+5)에서

log2`2xÉlog2`(x+5) 밑이 1보다 크므로

2xÉx+5, xÉ5 …… ㉡

㉠, ㉡에서 0<xÉ5

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 합은 1+2+3+4+5=15

답 ①

35

진수 조건에서 x-3>0, x+5>0이므로 x>3 …… ㉠ 2 log2`(x-3)É2+log2`(x+5)에서

log2`(x-3)<sup>2</sup>Élog2`4(x+5) 밑이 1보다 크므로

(x-3)²É4(x+5), x²-10x-11É0 (x+1)(x-11)É0

-1ÉxÉ11 …… ㉡

㉠, ㉡에서 3<xÉ11

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x는 4, 5, …, 11이므로 그 개수는 8이다.

답 ④

36

함수 f(x)=-log3`(mx+5)가 -1ÉxÉ1에서 정의되므로 진수 조건에서 -m+5>0, m+5>0

즉, -5<m<5 …… ㉠ 또 f(-1)< f(1)이므로

-log3`(-m+5)<-log3`(m+5) log3`(m+5)<log3`(-m+5) 밑이 1보다 크므로

m+5<-m+5, m<0 …… ㉡

㉠, ㉡에서 -5<m<0

따라서 구하는 정수 m은 -4, -3, -2, -1이므로 그 개수는 4이다.

답 ④

37

(log2`x)<sup>2</sup>-log2`x⁶+8É0에서 (log2`x)<sup>2</sup>-6 log2`x+8É0

log2`x=X로 놓으면 주어진 부등식은 X²-6X+8É0, (X-4)(X-2)É0 2ÉXÉ4

즉, 2Élog2`xÉ4이므로 4ÉxÉ16

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 x는 4, 5, 6, …, 16이므로 그 개수는 13이다.

답 ②

38

{log_;9!;`x}{log<sup>3</sup>`;9{;}¾a에서 {-;2!; log3`x}(log3`x-2)¾a log3`x=t로 놓으면

{- t2 }(t-2)¾a t²-2t+2aÉ0 …… ㉠

주어진 로그부등식의 해가 ;9!;ÉxÉ81이므로 log3`;9!;Élog<sup>3</sup>`xÉlog3`81

-2ÉtÉ4이므로 (t+2)(t-4)É0 t²-2t-8É0 …… ㉡

㉠, ㉡이 같으므로 2a=-8 따라서 a=-4

답 ①

39

{log²`;a{;}(log<sup>2</sup>` x²

a }+2¾0에서

(log2`x-log2`a)(2 log2`x-log2`a)+2¾0 2(log2`x)<sup>2</sup>-3(log2`a)(log2`x)+(log2`a)²+2¾0 log2`x=X로 놓으면

2X²-3(log2`a)X+(log2`a)²+2¾0

주어진 부등식이 모든 양의 실수 x에 대하여 성립하려면 위 부등식 이 모든 실수 X에 대하여 성립하여야 하므로 판별식을 D라 하면 D=9(log2`a)<sup>2</sup>-8{(log2`a)²+2}É0

(log2`a)<sup>2</sup>-16É0 -4Élog2`aÉ4

;1Á6;ÉaÉ16

따라서 M=16, m=;1Á6;이므로 M+16m=17

답 17

40

두 점 A, B의 x좌표가 a이므로 A(a, log2`a), B(a, a)

두 점 A와 C의 y좌표가 같으므로 -log2`x=log2`a에서 x=;a!;

즉, C{;a!;, log²`a}

두 점 D, E의 y좌표가 a이고 a>1이므로 -log2`x=a에서 x=2<sup>-a</sup>={;2!;}<sup>a</sup> log2`x=a에서 x=2^a

즉, D{{;2!;}^a, a}, E(2^a, a) DEÓ=:Á4°:이므로

2^a-{;2!;}^a=:Á4°:

2^a=t(t>0)으로 놓으면 t-;t!;=:Á4°:

4t²-15t-4=0 (4t+1)(t-4)=0 t>0이므로 t=4 즉, 2^a=4이므로 a=2 따라서 CAÓ=a-;a!;=;2#;

답 ④

41

연립방정식

à

²

x+3-3^y-1=k yy ㉠

2^x-1+3^y+2=2 yy ㉡ 에서 2^x=X, 3^y=Y로 놓으면

㉠에서 8X-;3!;Y=k yy ㉢

㉡에서 ;2!;X+9Y=2 yy ㉣

4

O

X

Y 8X-/3!/Y=k

8X-/3!/Y=k /2!/X+9Y=2 /9@/

X>0, Y>0인 근이 존재하려면 두 직선 ㉢, ㉣이 제1사분면에서 만나야 한다.

직선 8X-;3!; Y=k가 점 {0, ;9@;}를 지날 때, k=-;3!;_;9@;=-;2ª7;

직선 8X-;3!; Y=k가 점 (4, 0)을 지날 때, k=8_4=32

따라서 -;2ª7;<k<32이므로 구하는 정수 k의 최댓값은 31이다.

답 ④

42

O 5a -a

A C B

x y

y=f(x) y=g(x)

y=k

양수 a에 대하여 점 A의 x좌표를 -a라 하면 점 B의 x좌표는 5a이다.

두 점 A, B의 y좌표가 같으므로 {;2!;}^-a-1=4^5a-1, 2^a+1=2^10a-2 a+1=10a-2, a=;3!;

점 B{;3%;, k}를 y=g(x)에 대입하면 k=4^;3%;-1=4^;3@;

따라서 k³={4^;3@;}³=4²=16

답 16

43

두 점 A, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라 하자.

O A

A' B'

B

x y

y=log£ (5x-3)

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