수학적 귀납법 - 문제의 조건을 만족한다 - EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 수학1 답지 정답

문제의 조건을 만족한다

10 수학적 귀납법

㉢ l=-3인 경우

_k=1Á¹⁰(|ak|-|bk|)=2+1+0+(-1)+(-2)+3+4+5 +6+7

=25

㉣ l=-4인 경우

_k=1Á¹⁰(|ak|-|bk|)=2+1+0+(-1)+2+3+4+5+6+7

=29

Ü -11ÉlÉ-5일 때 |a1|-|b1|=2,

|a2|-|b2|=(12+l)-(11+l)=1 k¾3인 자연수 k에 대하여

|ak|-|bk|={-12-(k-1)l}+{10+(k-1)(l+1)}

=k-3

Á10

k=1(|ak|-|bk|)=2+1+_k=3Á¹⁰(k-3)=31 Ý lÉ-12일 때

|a1|-|b1|=2,

|a2|-|b2|=(-12-l)-(-11-l)=-1이고, k¾3인 자연수 k에 대하여

|ak|-|bk|={-12-(k-1)l}-{-10-(k-1)(l+1)}

=k-3

이므로 Á10

k=1(|ak|-|bk|)=2+(-1)+_k=3Á¹⁰(k-3)=29

STEP 3

1단계1단계 순서쌍 (l, m)의 개수를 구한다.

Ú ~ Ý에서 구하는 모든 순서쌍 (l, m)은 (-11, 10), (-10, 9), (-9, 8), y, (-5, 4) 이므로 개수는 7이다.

답 7

문제의 조건을 만족한다.

01

a1=3

a2=a1+3=3+3=6 a3=2a2=2_6=12 a4=a3+3=12+3=15 a5=2a4=2_15=30 a6=a5+3=30+3=33

답 ③

02

a2=2

a3=3a2=3_2=6 a4=3a3=3_6=18 따라서 a4=18

답 ⑤

03

a1=88이고 an¾65인 경우 an+1=an-3이므로 수열 {an}은 an=88-3(n-1)=-3n+91

-3n+91¾65에서 nÉ:ª3¤:=8.666y n=9일 때, a9=a8-3=67-3=64 n>9일 때 an+1=;2!;aⁿ

따라서

01

⑴ -7 ⑵ 16 ⑶ 11 ⑷ 24

02

129

04

05

06

_;1Á0;

07

1023

08

n=1Áan=_n=1Áan+_n=9Áan

= 8(a¹+a8)

2 +a9[1-{;2!;}⁷] 1-;2!;

=620+127=747

답 747

04

조건 ㈏에서 이차방정식 x²-2'¶an x+an+1-3=0이 중근을 가지므 로 판별식을 D라 하면

D=4an-4(an+1-3)=0 즉, an+1-an=3

따라서 수열 {an}은 첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열이므로 a10=2+9_3=29

답 29

05

a1=6 a2=6+3 a3=6+3+3² a4=6+3+3²+3³ 따라서 a4=45

답 ③

06

a1=1이고 an+1=2nan-1이므로 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면 a2 =2_1_a1-1=2_1-1=1

a3 =2_2_a2-1=4_1-1=3 a4 =2_3_a3-1=6_3-1=17

답 ③

07

a4=2a3+1=31이므로 a3=15 a3=2a2+1=15이므로 a2=7

답 ①

08

수열 {an}을 첫째항부터 차례로 나열하면 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, y

수열 {bn}은 b1=(-1)⁰_5⁰=1 b2=(-1)¹_5⁰=-1 b3=(-1)²_5¹=5 b4=(-1)³_5¹=-5 b5=(-1)⁴_5¹=5 b6=(-1)⁵_5²=-25

b7=(-1)⁶_5²=25 b8=(-1)⁷_5²=-25 b9=(-1)⁸_5³=125 따라서

Á9

k=1bk=1-1+5-5+5-25+25-25+125=105

답 105

09

a3=3이므로

a2가 홀수이면 a3= a²+3

2 =3, 즉 a2=3 a2가 짝수이면 a3= a²

2=3, 즉 a2=6 a2=3이면 a1=3 또는 a1=6 a2=6이면 a1=9 또는 a1=12 a1¾10이므로 a1=12 a2=:Á2ª:=6

a3=3이므로 a4=a5=3

따라서 _k=1Á⁵ ak=12+6+3+3+3=27

답 27

10

a1=;5@;

a2=2_;5@;=;5$;

a3=2_;5$;=;5*;

a4=-;5*;+2=;5@;

a5=2_;5@;=;5$;

⋮

k=0, 1, 2, y에 대하여

a3k+1=;5@;, a3k+2=;5$;, a3(k+1)=;5*;

따라서

a4+a17=a3_1+1+a3_5+2=;5@;+;5$;=;5^;

답 ①

11

a1=1

a2=;1%;_a¹=5

a3=;3^;_a²=;3^;_5=10 a4=;5&;_a³=;5&;_10=14

(m+2)Sm+1-^m+1_k=1ÁSk

=(m+2)Sm+1-{_k=1Á^mSk+Sm+1} = (m+1) Sm+1-_k=1Á^mSk

=(m+1)(Sm+am+1)-_k=1Á^mSk

=(m+1)Sm+(m+1)am+1-_k=1Á^mSk

= (m+1) Sm+ (m+1)³-_k=1Á^mSk

=_k=1Á^mk³+(m+1)³ =^m+1_k=1Ák³이다.

따라서 n=m+1일 때도 (*)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.

따라서 f(m)=m+1, g(m)=(m+1)³이므로 f(2)+g(1)=3+2³=11

답 ⑤

16

Ú n=1일 때, a1= a¹²+1

2a1 에서 a12=1 a1>0이므로

(좌변)=a1=1, (우변)=1-0=1

따라서 n=1일 때, (*)이 성립한다.

Û n=m일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 am='¶m-'Äm-1이므로

m+1_k=1Áak

=_k=1Á^mak+am+1

=_k=1Á^m('§k-'Äk-1)+a^m+1

=('1-'0)+('2-'1)+y+('¶m-'Äm-1)+a^m+1 = '¶m +a^m+1

주어진 조건에서

m+1_k=1Áak=am+12+1 2am+1 이므로 am+12+1

2am+1 ='¶m+am+1

am+12+2'¶ma^m+1-1=0 am+1=-'¶m Ñ'Äm+1 am+1>0이므로 am+1='Äm+1 -'¶m

이다. 따라서 n=m+1일 때도 (*)이 성립한다.

a5=;7*;_a⁴=;7*;_14=16 따라서 a5=16

답 ①

12

a1=1

a2= 21+a1+1=;2@;+1=2 a3= 31+a2+1=;3#;+1=2 a4= 41+a3+1=;3$;+1=;3&;

따라서 a4=;3&;

답 ②

13

a1=2이고 an+1=;2!;(aⁿ)²+2이므로 a2=;2!;(a¹)²+2=;2!;_4+2=4 a3=;2!;(a2)²+2=;2!;_16+2=10 a4=;2!;(a3)²+2=;2!;_100+2=52

답 ①

14

an+1+an=2n²에서

n=1일 때, a2+a1=2_1²이므로 a2=2-a1

n=2일 때, a3+a2=2_2²이므로 a3=8-a2=6+a1

n=3일 때, a4+a3=2_3²이므로 a4=18-a3=12-a1

n=4일 때, a5+a4=2_4²이므로 a5=32-a4=20+a1

a3+a5=26+2a1=26이므로 a1=0 따라서 a2=2-a1=2

답 ②

15

Ú n=1일 때,

(좌변)=2S1-S1=1, (우변)=1이므로 (*)이 성립한다.

Û n=m일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 (m+1)Sm-_k=1Á^mSk=_k=1Á^mk³이다.

n=m+1일 때, (*)이 성립함을 보이자.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 an='§n-'Än-1이다.

따라서 f(m)='¶m, g(m)='Äm+1이므로 f(25)+g(35)=5+6=11

답 ④

17

Ú n=1일 때,

3²+1=2_5이므로 f(3²+1)=1이다.

따라서 n=1일 때 (*)이 성립한다.

Û n=k일 때 (*)이 성립한다고 가정하면 f(3^2k+1)=1

음이 아닌 정수 m과 홀수 p에 대하여 3^2k+1=2^m_p

로 나타낼 수 있으므로 3^2k+1= 2 _p 이다.

3^2(k+1)+1=9_3^2k+1=9(2p-1)+1

=2_( 9p-4 )

이고, p는 홀수이므로 9p-4 도 홀수이다.

따라서 f(3^2(k+1)+1)=1이다.

그러므로 n=k+1일 때도 (*)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 f(3²ⁿ+1)=1이다.

따라서 a=2, g(p)=9p-4이므로 a+g(11)=2+(9_11-4)=97

답 ②

18

1´2n+3´(2n-2)+5´(2n-4)+y+(2n-1)´2

=_k=1Áⁿ ( 2k-1 ){2n-(2k-2)}

=_k=1Áⁿ ( 2k-1 ){2(n+1)-2k}

=2(n+1)_k=1Áⁿ ( 2k-1 )-2_k=1Áⁿ (2k²-k)

=2(n+1){n(n+1)-n}-2

à

n(n+1)(2n+1)

3 - n(n+1)2

¡

=2(n+1)n²-;3!;n(n+1){2(2n+1)-3}

=2(n+1)n²-;3!;n(n+1)( 4n-1 )

= n(n+1)(2n+1)3 이다.

따라서 f(k)=2k-1, g(n)=4n-1, a=3이므로 f(3)_g(3)=5_11=55

답 ②

19

Ú n=1일 때,

(좌변)=1, (우변)=1이므로 (*)이 성립한다.

Û n=m일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 Ám

k=1k{k+(k+1)+y+m}=m(m+1)(m+2)(3m+1) 24

이다.

n=m+1일 때, (*)이 성립함을 보이자.

m+1_k=1Ák{k+(k+1)+y+(m+1)}

=_k=1Á^mk{k+(k+1)+y+(m+1)}+ (m+1)² =_k=1Á^mk{k+(k+1)+y+m}+(m+1)_k=1Á^mk+ (m+1)² =_k=1Á^mk{k+(k+1)+y+m}+ m(m+1)2 ² + (m+1)² =m(m+1)(m+2)(3m+1)

24 + m(m+1)2 ²+ (m+1)² =m(m+1)(m+2)(3m+1)

24 + (m+1)²(m+2) 2 =(m+1)(m+2){m(3m+1)+12(m+1)}

=(m+1)(m+2)(3m²+13m+12) 24

=(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4) 24

= (m+1){(m+1)+1}{(m+1)+2}{3(m+1)+1}24 따라서 n=m+1일 때도 (*)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (*)이 성립한다.

따라서 f(m)=(m+1)², g(m)=m(m+1)²

2 이므로

f(4)+g(2)=(4+1)²+ 2(2+1)

=34

답 ①

20

⑴ n=1일 때,

(좌변)=(2_1-1)_2⁰=1, (우변)=(2_1-3)_2¹+3=1 이므로 (*)이 성립한다.

⑵ n=m일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 Ám

k=1 (2k-1)2^k-1=(2m-3)2^m+3이다.

n=m+1일 때, (✽)이 성립함을 보이자.

m+1_k=1Á(2k-1)2^k-1

=_k=1Á^m(2k-1)2^k-1+{2(m+1)-1}_2^(m+1)-1 =_k=1Á^m(2k-1)2^k-1+( 2m+1 )_2^m

=(2m-3)2^m+3+( 2m+1 )_2^m =(4m-2)2^m+3

=2(2m-1)2^m+3 =( 2m-1 )_2^m+1+3

따라서 n=m+1일 때도 (*)이 성립한다.

⑴, ⑵에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (*)이 성립한다.

따라서 f(m)=2m+1, g(m)=2m-1이므로 f(4)_g(2)=9_3=27

답 ⑤

21

다음은 모든 자연수 n에 대하여 Á2n

k=1(-1)^k-1;k!;=_k=1Áⁿ 1

n+k yy (*)

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(*)에서

Sn=_k=1Á²ⁿ(-1)^k-1;k!;, Tn=_k=1Áⁿ 1

n+k 이라 하자.

Ú n=1일 때,

S1=1-;2!;=;2!; , T1= 11+1 =;2!;

S1=;2!;=T1이므로 (*)이 성립한다.

Û n=m일 때,

(*)이 성립한다고 가정하면 S^m=Tm이다.

n=m+1일 때, (*)이 성립함을 보이자.

Sm+1=Sm+ 1

2m+1 - {- 1 2m+2 } ,

Tm+1=Tm+{- 1m+1 } + 1

2m+1 + 1 2m+2 이다.

Sm+1-Tm+1=Sm-Tm+ 1m+1 - 2 2m+2 =Sm-Tm

Sm=Tm이므로 Sm+1=Tm+1이다.

따라서 n=m+1일 때도 (*)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 (*)이 성립한다.

따라서 a=;2!;, f(m)=- 12m+2 , g(m)=- 1

m+1 이므로 a+ g(5)

f(14)=;2!;+{-;6!;}_(-30)=:Á2Á: ^답 ③

22

주어진 식 (*)의 양변을 n(n+1)

2 로 나누면 1+;2!;+;3!;+y+;n!;> 2nn+1 yy ㉠ 이므로 n¾2인 자연수 n에 대하여

Ú n=2일 때, (좌변)=;2#;, (우변)=;3$; 이므로 ㉠이 성립한다.

Û n=k (k¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+;2!;+;3!;+y+;k!;> 2kk+1 yy ㉡ 이다. ㉡의 양변에 1

k+1 을 더하면 1+;2!;+;3!;+y+;k!;+ 1k+1> 2k+1k+1 이 성립한다. 한편,

2k+1k+1 - ㈏ = k

(k+1)(k+2) >0

㈏ = 2k+1k+1 - k (k+1)(k+2) =(2k+1)(k+2)-k

(k+1)(k+2) = 2k²+4k+2

(k+1)(k+2) = 2(k+1)²

(k+1)(k+2) =2(k+1)

k+2 이므로

1+;2!;+;3!;+y+;k!;+ 1k+1> 2(k+1)k+2 이다. 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 ㉠이 성립하므로 (*)도 성립한다.

따라서 p=;2#;, f(k)= 2(k+1) k+2 이므로 8p_ f(10)=8_;2#;_;1@2@;=22

답 ⑤

23

Ú n=2일 때, (좌변)=_k=1Á² 1

k³=1 1³+1

2³=1+;8!;= ;8(; 이고 (우변)=:Á8Á: 이므로 (*)이 성립한다.

Û n=m (m¾2)일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 Ám

k=1

k³<;2!;{3- 1 m²}이다.

n=m+1일 때,

n=k+1일 때,

3^2(k+1)-1= 3²_3^2k-1 ㉯

= 3²_(8m+1)-1

=9_8m+8

=8( 9m+1 ) ㉰

따라서 n=k+1일 때도 3²ⁿ-1은 8의 배수이다.

Ú, Û에서 모든 자연수 n에 대하여 3²ⁿ-1은 8의 배수이다.

따라서 a=8, b=3²=9, f(m)=9m+1이므로

a+ f(b)=8+(9_9+1)=8+82=90 ㉱

답 90

채점 기준 비율

㉮

³

²ⁿ

-1에 n=1을 대입하여 a의 값을 구한 경우 20%

㉯ 지수법칙을 이용하여 3^2(k+1)

-1=3

_3

^2k

-1로 전개

한 후 b의 값을 구한 경우

20%

㉰

3

^2k

=8m+1을 이용하여 f(m)=9m+1을 구한 경우 40%

㉱

a=8, b=9, f(m)=9m+1을 이용하여 a+ f(b)의

값을 구한 경우

20%

01

③

02

1등급

도전

본문 151쪽

01

풀이 전략 등차수열의 귀납적 정의를 이용하여 보기의 참·거짓을 판별한다.

문제 풀이

STEP 1

1단계1단계 조건 ㈎를 이용하여 ㄱ의 참·거짓을 판별한다.

ㄱ. P1(0, 0), P2(x2, x22)이고 직선 P1P2의 기울기가 a1이므로 a1=x22-0

x2-0 =x²=3 (참)

STEP 2

1단계1단계 조건 ㈏를 이용하여 ㄴ의 참·거짓을 판별한다.

ㄴ. 직선 PnPn+1의 기울기 an은 an=xn+12-xn2

xn+1-xn=xn+1+xn

조건 ㈎, ㈏에서 수열 {an}은 첫째항이 3이고, 공차가 d (d>3) 인 등차수열이므로

an=xn+1+xn=3+(n-1)d yy ㉠

㉠에 n=1, 2, 3, y을 차례로 대입하면 x2=3, x3=d, x4=3+d, x5=2d, y

x2n=3+(n-1)d, x2n-1=(n-1)d이므로 ^xx¹2^=0이므로+x1=3에서 x2=3 x+x=3+d에서 x=d

x20=3+9d, x19=9d x20=x19+3 (거짓) ㄷ. _k=1Á¹⁰(x2k+1-x2k)

=(x3-x2)+(x5-x4)+y+(x21-x20)

=(d-3)+(d-3)+y+(d-3)

=10(d-3)

10(d-3)É100에서 dÉ13 즉, d의 최댓값은 13이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

02

풀이 전략 정다각형의 대각선의 특징을 파악하여 an을 추론한다.

문제 풀이

STEP 1

1단계1단계 n의 값이 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 길이가 다른 대각선의 개수를 구한다.

정n각형의 한 꼭짓점에서 자기 자신 및 양쪽 옆의 꼭짓점에는 대각 선을 그을 수 없으므로 정n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각 선의 총 개수는 (n-3)이다.

Ú n=2k (k¾2)일 때

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 2k-3이고 지름을 제외하면 2k-4이다.

이때 지름을 기준으로 하면 지름의 윗부분과 아랫부분이 서로 대 칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는

2k-42 =k-2

따라서 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 서로 다른 길이의 대각선의 개수는 지름을 포함하여

(k-2)+1=k-1 Û n=2k+1 (k¾2)일 때

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (2k+1)-3=2k-2

이때 지름을 기준으로 하면 지름의 윗부분과 아랫부분이 서로 대 칭이므로 서로 다른 길이의 대각선의 개수는

2k-22 =k-1

따라서 Ú, Û에서 k-1에 각각 k=;2N;, k= n-12 을 대입하면 an=

à

;2N;-1 (n이 4 이상의 짝수)

n-32 (n이 5 이상의 짝수)

따라서 a22+a25=:ª2ª:-1+ 25-32 =10+11=21

답 21

x2k+1-x2k=kd-{3+(k-1)d}=-3+d

로 구할 수도 있다.

n-3 n-3에 2k를 대입

n=2k에서 k=;2N;

n=2k+1에서 k= n-12

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