logª 3
g(x)=logª 3x
점 (3, 0)을 E라 하자.
함수 y=g(x)의 그래프와 선분 DB, 선분 BC로 둘러싸인 부분의 넓이는 함수 y= f(x)의 그래프와 선분 AE, 선분 EB로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
즉, 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프와 선분 AD, 선분 BC로 둘러싸인 부분의 넓이는 사각형 AEBD의 넓이와 같다.
따라서 ADÓ=log2`3, AEÓ=2 이므로 구하는 넓이는 2_log2`3=2 log2`3
답 ②
46
두 점 A, B의 좌표를 각각 구하면 A(k, log2`k), B(k, log;4!;`k)
ABÓ=log2`k-log;4!;`k=;2#; log2`k 선분 AB의 길이를 자연수 n이라 하면
;2#; log2`k=n이므로 log2`k=;3@; n 이때 1<k<128이므로
log2`1<log2`k=;3@; n<log2`128
즉, 0<;3@; n<7이므로 n=1, 2, y, 10
따라서 조건을 만족시키는 k의 값을 kn(n=1, 2, y, 10)이라 하면 log2`M=log2`(k1_k2_y_k10)
=log2`k1+log2`k2+y+log2`k10
=;3@;_1+;3@;_2+y+;3@;_10
=;3@;(1+2+y+10)= 1103 따라서 3 log2`M=110
답 ④
47
y=log5`;5{;=log5`x-log5`5=log5`x-1
이 함수의 그래프는 y=log5`x의 그래프를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동시킨 것이다.
A
B
C D5 1
O
U x
y
y=log° x
y=log° x-1
위의 그림과 같이 곡선 y=log5`x-1과 선분 BD로 둘러싸인 부분 의 넓이를 U라 하자.
그림에서와 같이 선분 BD를 그으면 넓이 T는 평행사변형 ABDC 에서 U를 뺀 것과 같으므로
T=2△ADC-U yy ㉠
그런데 곡선 y=log5`x와 선분 AC로 둘러싸인 부분의 넓이는 곡선 y=log5`x-1과 선분 BD로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 U 이다.
즉, S=△ADC+U yy ㉡
㉠, ㉡에서 S+T=3△ADC
삼각형 ADC는 밑변의 길이가 4, 높이가 1인 직각삼각형이므로
△ADC=;2!;_4_1=2
따라서 S+T=3△ADC=3_2=6
답 ②
48
곡선 y=3x+1을 직선 y=x에 대하여 대칭이동시키면 y=log3`(x-1)
곡선 y=log3`(x-1)을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만 큼 평행이동시키면
f(x)=log3`(x-a-1)+b
곡선 y= f(x)의 점근선이 x=5이므로 a+1=5, a=4
곡선 y= f(x)가 곡선 y=3x+1의 점근선 y=1과 만나는 점의 x좌 표가 6이므로 곡선 y=f(x)는 점 (6, 1)을 지난다.
1=log3`(6-5)+b, b=1 따라서 a+b=5
답 5
49
지수함수 y=3
x-1
2 -4의 역함수를 구하기 위해 x와 y의 자리를 바꾸 고 정리하면
x=3y-12 -4, x+4=3y-12 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
log3`(x+4)= y-12 , 즉 y=2 log3`(x+4)+1 따라서 구하는 역함수는 y=2 log3`(x+4)+1이므로 a=2, b=4, c=1
따라서 a+b+c=7
답 ⑤
50
함수 y=3x-a의 역함수의 그래프가 두 점 (3, log3`b), (2b, log3`12)를 지나므로 함수 y=3x-a의 그래프는 두 점 (log3`b, 3), (log3`12, 2b)를 지난다.
즉, 3=3log£`b-a, 2b=3log£`12-a 3=b-a, 2b=12-a이므로 a=2, b=5 따라서 a+b=7
답 ①
51
함수 y=log2`(x-1)의 역함수를 구하면 x=log2`(y-1)에서 y=2x+1, 즉, g(x)=2x+1 log2`(a-1)=0에서 a-1=1, a=2
b=g(2)=22+1=5
5=log2`(c-1)에서 c-1=25, c=33 d=g(33)=233+1
따라서
log(b-1)`(c-1)(d-1)=log4`(32_233)
=log2Û` (25_233)
=:£2¥: log2`2=19
답 19
52
ㄱ. f(1)=h(1)=a이므로 점 B의 좌표는 (1, a)이다. (참) ㄴ. 점 A는 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프의 교점이므로
점 A의 x좌표가 4일 때, log2`4=21-4+a-1 2=;8!;+a-1, a=:ª8£:
BDÓ와 CAÓ가 평행하고, BDÓ=CAÓ=a이므로 사각형 ACBD는 평행사변형이다.
따라서 사각형 ACBD의 넓이는 3_:ª8£:=:¤8»: (참) ㄷ. CAÓ : AHÓ=3 : 2에서 2 CAÓ=3AHÓ
점 A의 x좌표를 k라 하면 CAÓ=a, AHÓ=log2`k이므로 2a=3 log2`k yy ㉠
점 A는 두 함수 y= f(x), y=g(x)의 그래프의 교점이므로 log2`k=21-k+a-1 yy ㉡
㉠, ㉡에서 21-k=1-;3A;
a>0에서 점 A의 x좌표 k는 1보다 크므로 0<21-k<1
따라서 0<1-;3A;<1에서 0<a<3 (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ⑤
53
두 곡선 y=log;2!;`x와 y=log2`x는 x축에 대하여 대칭이므로 다음 그림에서 S=S'이다.
O 1 1
x y y=2Å x=d y=x d
S d S' S''
b c a
a
y=logª x
y=log x
/2!/한편, 두 곡선 y=log2`x와 y=2x은 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 그림에서 S'=S"이다.
즉, S=S"이고, S+T=S"+T
따라서 S+T는 밑변의 길이가 c, 높이가 d인 직사각형의 넓이와 같다.
O 1 1
x
y y=2Å y=x
d
S d S''
b T c a
a y=log x
/2!/a=-3이므로 log;2!;`d=-3에서 d=8 2c=d에서 d=8이므로 c=3
따라서 S+T=cd=3_8=24
답 ⑤
54
A R B
P
Q S
O
x
y
f(t)
g(t) 2t
t
logªt logª2t
두 점 A, B의 좌표는 (log2 t, t), (log2 2t, 2t)이므로 두 사각형의 넓이 f(t), g(t)는
f(t)=;2!;(log2 t+log2 2t)(2t-t)=;2T; log2 2t2 g(t)=;2!;(t+2t)(log2 2t-log2 t)=;2#; t
f(t)
g(t)=;3!; log2 2t2
;3!; log2 2t2=n (n은 자연수)라 하면 2t2=23n이므로 t=2
3n-1 2
1<t<100을 만족시키는 자연수 n의 값은 1, 2, 3, 4 따라서 t의 값은 2, 2;2%;, 24, 2:Á2Á:이므로 모든 t의 값의 곱은 2_2;2%;_24_2:Á2Á:=213
답 ③
01
102
;2#;서술형
연습
본문 53쪽01
함수 y=log2`k(x+1)=log2`(x+1)+log2`k의 그래프는 함수 y=log2`x의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 log2`k만큼 평행이동시킨 것이므로 함수 y=log2`k(x+1)의 그래프 는 다음 그림과 같다.
O
x
y y=logª k(x+1)
logª k ㉮
함수 y=log2`k(x+1)의 그래프가 제4사분면을 지나지 않으려면
x=0일 때, 함수값이 0 이상이어야 한다. ㉯
x=0일 때, y=log2`k이므로
log2`k¾0, 즉 k¾1 ㉰
따라서 구하는 양수 k의 최솟값은 1이다. ㉱
답 1
채점 기준 비율
㉮ 함수 y=log2
`k(x+1)의 그래프를 그린 경우 30%
㉯ 함수 y=log2
`k(x+1)의 그래프가 제4사분면을 지나
지 않도록 조건을 파악한 경우
30%
㉰ 조건에 맞는 부등식을 세운 경우
30%
㉱ 구하는 양수 k의 최솟값을 구한 경우
10%
02
함수 f(x)=2x-m+n의 그래프와 그 역함수 y=g(x)의 그래프의 교점은 함수 f(x)=2x-m+n의 그래프와 직선 y=x의 교점과 같으 므로 함수 f(x)=2x-m+n의 그래프는 그 역함수 y=g(x)의 그래 프와 두 점 (1, 1), (2, 2)에서 만난다. ㉮ 두 점의 좌표를 각각 함수 f(x)=2x-m+n에 대입하면
21-m+n=1, 22-m+n=2 ㉯
두 식을 연립하여 풀면 m=1, n=0 ㉰
따라서 f(x)=2x-1, g(x)=log2`x+1 ㉱ 이므로
f(n)+g(m)=f(0)+g(1)=;2!;+1=;2#; ㉲
답 ;2#;
채점 기준 비율
㉮ 함수 f(x)=2