삼각함수의 활용

08

10'3

09

3'3

10

'¶

11 6 11 ¹² ₇

^'3

개념

확인 문제

본문 95쪽

01

⑤

02

⑤

03

①

04

32

05

②

06

⑤

07

⑤

08

②

09

①

10

25

11

④

12

100

13

20

14

⑤

15

②

16

50

17

⑤

18

10

19

④

20

②

21

192

22

②

23

③

유형 연습

내신

&

학평 본문 96~102쪽

07 ^{삼각함수의 활용}

sin`30ù =ACÓ 12 sin`45ù

ACÓ=sin`30ù_ 12sin`45ù =;2!;_12 '22

=6'2

따라서 ACÓ ²=(6'2)²=72

답 ①

04

호 AB에 대한 원주각의 크기는 같으므로

∠ADB=∠ACB=30ù

삼각형 ABD에서 사인법칙에 의하여 sin`45ù =ADÓ 16'2

sin`30ù

따라서 ADÓ=16'2_2_ '22 =32

답 32

05

중심이 O인 원의 반지름의 길이를 r라 하면 pr²=100p, r=10

호 AB의 길이가 반지름의 길이의 2배이므로 µAB=rh에서 20=10h, h=2

A

B P

O 10 h

h242

위의 그림과 같이 원 위에 호 AB 위의 점이 아닌 점 P에 대하여

∠APB=;2!;∠AOB=;2!;h=1이므로 삼각형 PAB에서 사인법칙에 의하여

sin`(∠APB)ABÓ =2r

따라서 ABÓ=2r`sin`(∠APB)=20`sin`1

답 ②

06

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여

sin`A= a2R , sin`B= b

2R , sin`C= c 2R 이것을 주어진 등식에 대입하면

a_ a2R =b_ b

2R +c_ c 2R a²

2R =b² 2R + c²

2R a²=b²+c²

따라서 삼각형 ABC는 ∠A=90ù인 직사각형이므로 삼각형 ABC 의 넓이는 ;2!;bc이다.

답 ⑤

07

AQÓ⊥PQÓ, ARÓ⊥PRÓ이므로 네 점 A, Q, P, R는 한 원 위의 점이다.

즉, APÓ는 △AQR의 외접원의 지름이다.

삼각형 AQR에서 사인법칙에 의하여 sin`A =APÓ=6QRÓ

이때 삼각형 ABC는 직각삼각형이므로 sin`A=;1¤0;=;5#;

따라서 QRÓ=6`sin`A=6_;5#;=:Á5¥:

답 ⑤

08

A

B 5 C

4 1411

h

코사인법칙에 의하여 cos`h= 4²+5²-('¶11 )²

2_4_5 =;4#0);=;4#;

답 ②

09

A D

B E C

F

k

k

h

/3@/k /3@/k

243

k

243

k

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 k라 하면 BCÓ를 1 : 2로 내분하는 점이 E이므로 BEÓ=;3K;, CEÓ=;3@;k

DCÓ를 1 : 2로 내분하는 점이 F이므로 DFÓ=;3K;, CFÓ=;3@;k

AEÓ=AFÓ=¾¨k²+{;3K;}²= '¶103 k EFÓ=¾¨{;3@;k}²+{;3@;k}²= 2'23 k 삼각형 AEF에서 코사인법칙에 의하여

a=6k, b=4k, c=3k (k는 양수)라 하면 삼각형 ABC에서 코사인 법칙에 의하여

cos`C= a²+b²-c² 2ab

= (6k)²+(4k)²-(3k)² 2_6k_4k

= 43k² 48k²=;4$8#;

답 ④

12

120ù

x13 m x13 m

x

13 m

300 m

A'

A'' A

O C

B

그림과 같이 배의 위치를 A, 점 A를 두 해안 도로에 대하여 대칭이 동한 점을 각각 A', A"이라 하자.

이때 두 해안 도로 위의 두 점 B, C에 대하여 ABÓ=A'BÓ, ACÓ=A"CÓ이므로

ABÓ+BCÓ+CAÓ=A'BÓ+BCÓ+CA"Ó¾A'A"Ó

따라서 수영코스의 최단길이는 선분 A'A"의 길이와 같다.

두 해안 도로가 만나는 점을 O라 하면 OAÓ=OA'Ó=OA"Ó=x'3(m)

∠A'OA"=2∠BOC=120ù

삼각형 OA"A'에서 코사인법칙에 의하여

300²=(x'3)²+(x'3)²-2_x'3_x'3_cos`120ù 300²=9x², x²=100²

따라서 x=100

답 100

13

A M B

p O H 246

P

점 O에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 M이라 하면 삼각형 OAB는 직각이등변삼각형이므로

AMÓ=BMÓ

삼각형 OAM에서 OAÓ=2, ∠OAM=;4Ò; 이므로 cos`h={ '¶103 k}+{ '¶103 k}-{ 2'23 k}

2_ '¶103 k_'¶10 3 k

=:Á9ª:k² :ª9¼:k²=;5#;

답 ①

10

BEÓ=;6!;`BCÓ=1, ECÓ=;6%;`BCÓ=5이므로 직각삼각형 ABE에서

AEÓ="3²+1²='¶10 직각삼각형 ACD에서 ACÓ="6²+3²=3'5

삼각형 AEC에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= ('¶10)²+(3'5)²-5²

2_'¶10_3'5 = 30 30'2= '22 0<h<;2Ò;이므로 h=;4Ò;

따라서 50`sin`h cos`h=50_ '22 _'2 2 =25

답 25

다른 풀이

삼각형 AEC의 넓이는

;2!;_'¶10_3'5_sin`h=:Á2°:

이므로 sin`h= '22 , cos`h= '22 {0<h<;2Ò;}

따라서 50`sin`h cos`h=25

11

BCÓ=a, CAÓ=b, ABÓ=c, 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 D

A E

B

F C

a

b

c

S=;2!;_a_ADÓ=;2!;_b_BEÓ=;2!;_c_CFÓ이므로 a= 2S

ADÓ, b=2S

BEÓ, c=2S CFÓ a : b : c= 2S

ADÓ : 2S BEÓ : 2S

CFÓ

= 1 ADÓ : 1

BEÓ : 1 CFÓ

=;2!; : ;3!; : ;4!;=6 : 4 : 3

AMÓ=OMÓ=BMÓ='2 삼각형 ABH에서

∠BAH=;6Ò; 이므로 BHÓ=ABÓ`sin ;6Ò;='2 삼각형 BHM에서

BMÓ=BHÓ='2, ∠ABH=;3Ò; 이므로 삼각형 BHM은 정삼각형이다.

따라서 HMÓ='2, ∠BMH=;3Ò;

삼각형 OMH에서

∠OMH=;6Ò;, OMÓ=HMÓ='2이므로 코사인법칙에 의하여

OHÓ ²=('2)²+('2)²-2_'2_'2_cos`;6Ò;

=4-2'3

따라서 m=4, n=-2이므로 m²+n²=20

답 20

14

120ù 30ù 60ù-h

h 120ù 2'13 A

B F

E

G C

D

ㄱ. ∠BGF=h이므로 ∠BFG=60ù-h ∠BFE =∠BFG+∠EFG

=(60ù-h)+30ù  

=90ù-h (참) ㄴ. 삼각형 EFG에서

FGÓ=2_(EFÓ`cos`30ù)=2_2_ '3 2 =2'3 삼각형 BGF에서 사인법칙에 의하여 2'3

sin`120ù = BFÓ sin`hù   BFÓ sin`120ù=2'3`sin`h BFÓ=4`sin`h (참)

ㄷ. 삼각형 EFB에서 코사인법칙에 의하여

BEÓ ²=BFÓ ²+EFÓ ²-2_BFÓ_EFÓ_cos`(90ù-h)

=(4 sin`h)<sup>2</sup>+2<sup>2</sup>-2_4 sin`h_2_sin`h

=4

BEÓ>0이므로 BEÓ=2

따라서 선분 BE의 길이는 2로 항상 일정하다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

15

삼각형 ABC에서

BCÓ=a, CAÓ=b, ABÓ=c라 하면 사인법칙에 의하여 a

sin`A = b sin`B = c

sin`C 이므로 a : b : c=2 : 3 : 4

a=2k, b=3k, c=4k (k>0)이라 하면 코사인법칙에 의하여

cos`C= 4k²+9k²-16k²

2_2k_3k =- 3k12k²² =-;4!;

답 ②

16

코사인법칙에 의하여

BCÓ ²=5²+6²-2_5_6_cos`A=25 BCÓ>0이므로 BCÓ=5

0<A<p에서 sin`A>0이므로 sin`A=¾¨1-{;5#;}²=;5$;

사인법칙에 의하여 sin`A =2RBCÓ

따라서 R=5_;4%;_;2!;=:ª8°:이므로 16R=50

답 50

17

ㄱ. a=5이면 △ABC는 ∠A=90ù인 직각삼각형이므로 변 BC는 원의 지름이다. 즉, R=;2%; (참)

ㄴ. 사인법칙에 의하여 a=2R`sin`A

R=4이면 a=2_4_sin`A=8 sin`A (참) ㄷ. 코사인법칙에 의하여

cos`A= 3²+4²-a²

2_3_4 =25-a² 24 1<a²É13이므로 ;2!;Écos`A<1

따라서 0<AÉ60ù이므로 ∠A의 최댓값은 60ù이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답 ⑤

18

삼각형 ABC에서 ∠ABC=h이고 cos`h= '53 이므로

sin`h="1-cos<sup>2</sup>`h=

¾¨

^1-{ '53 }

2=;3@;

ABÓ=15이고 삼각형 ABC의 넓이가 50이므로

50=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`h

=;2!;_15_BCÓ_;3@;=5BCÓ 따라서 BCÓ=10

답 10

19

ADÓ=CEÓ=a (a>0)이라 하면 삼각형 ADE에서 코사인법칙에 의하여 ('¶13)²=a²+(a+1)²-2a(a+1)cos`;3Ò;

a²+a-12=0, (a+4)(a-3)=0, a=3

△ADE=;2!;_4_3_sin`;3Ò;=3'3

△ABE=;2!;_4_1_sin`;3Ò;='3 따라서 △BDE=△ADE-△ABE=2'3

답 ④

20

A

B O p5333 5333p

C P

원의 중심을 O라 하자.

∠AOB=∠BOC=;6!;_2p=;3Ò;

즉, 두 삼각형 OAB와 OBC는 정삼각형이므로 ABÓ=BCÓ=3

삼각형 ABC에서 ∠ABC=;3@;p이므로 코사인법칙에 의하여 ACÓ ²=3²+3²-2_3_3_cos`;3@;p=27

ACÓ=3'3

사각형 ABCP가 원에 내접하므로

∠ABC+∠APC=p, 즉 ∠APC=;3Ò;

APÓ=x, CPÓ=y라 하면

삼각형 ACP에서 코사인법칙에 의하여 (3'3)²=x²+y²-2xy cos`;3Ò;

27=(x+y)²-3xy x+y=8이므로 xy=:£3¦:

삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_3_3_sin`;3@;p= 9'34

삼각형 ACP의 넓이는

;2!;_x_y_sin`;3Ò;= 37'312

따라서 사각형 ABCP의 넓이는

△ABC+△ACP=9'3 4 +37'3

12 =16'3 3

답 ②

21

삼각형 ABD에서 ∠ADB=a라 하자.

삼각형 ABD의 외접원의 반지름의 길이가 6이므로 사인법칙에 의하여 3'3

sin`a =12 sin`a= 3'312 ='3

4

cos`a="1-sin<sup>2</sup>`a=

¾¨

^1-{ '34 }

2= '¶134 ABÓ=CDÓ이므로 ∠ADB=∠CBD

즉, 선분 AD와 선분 BC는 평행하므로 사각형 ABCD는 둥변사다 리꼴이다.

A B

C D Hª

HÁ

a

두 점 B, C에서 선분 AD에 내린 수선의 발을 각각 H1, H2라 할 때, DH1Ó=BDÓ cos`a=8'2_ '¶134 =2'¶26

BH1Ó=BDÓ sin`a=8'2_ '34 =2'6

AH1Ó=DH1Ó이므로 사각형 ABCD의 넓이 S는 S=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_BH¹Ó

=;2!;_{(DH¹Ó+AH1Ó)+(DH1Ó-DH2Ó)}_BH1Ó =DH1Ó_BH1Ó

=2'¶26_2'6 =8'¶39 따라서 S²

13 =(8'¶39)² 13 =192

답 192

22

∠BOC=;4#; p이므로

△OCB=;2!;_1_1_sin`;4#; p=;2!;`sin`;4Ò;= '24

따라서

ABCD=3△OCD-△OCB

=3_{;2!;_1_1_sin`;4Ò;}- '24

= 3'24 -'2 4 ='2

2

답 ②

23

∠BAC=h라 하면 ∠PAU=180ù-h이므로

△PAU=;2!;_AUÓ_APÓ`sin (180ù-h)

=;2!;bc`sin`h

이때 △ABC=;2!;bc`sin`h이므로

△PAU=△ABC 같은 방법으로

△QRB=△ABC, △CST=△ABC

한편  APQB,  BRSC,  CTUA의 넓이는 각각 cÛ`, aÛ`, bÛ`이고,

△ABC의 넓이는 ;2!; ab이므로 육각형 PQRSTU의 넓이는 cÛ`+aÛ`+bÛ`+4_;2!;ab=cÛ`+cÛ`+2ab=2(cÛ`+ab)

답 ③

01

25('3+3)

2 02

12+4'3

서술형

연습

본문 103쪽

01

삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여 sin`45ù =10 ACÓ

sin`60ù ACÓ= '32 _10

'22

=5'6 ㉮

ABÓ=x라 하면 코사인법칙에 의하여

AC Ó ²=AB Ó ²+BC Ó ²-2_ABÓ_BCÓ_cos`60ù 즉, 150=x²+100-2_x_10_;2!;

x²-10x-50=0

x>0이므로 x=5+5'3=ABÓ ㉯

따라서 삼각형 ABC의 넓이 S는

S=;2!;_ACÓ_ABÓ_sin`A =;2!;_5'6_(5'3+5)_sin`45ù =25('3+3)

2 ㉰

답 25('3+3) 2

채점 기준 비율

㉮ 삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여 ACÓ의 길이를 구

한 경우

30%

㉯ 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여 ABÓ의 길이를

구한 경우

40%

㉰ 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 삼각형 ABC의 넓이를

구한 경우

30%

02

삼각형 ABC의 외접원의 중심을 O라 하면 µAB : µBC : µCA=3 : 4 : 5에서

∠AOB : ∠BOC : ∠COA=3 : 4 : 5이므로

∠AOB=2p_;1£2;=;2Ò;

∠BOC=2p_;1¢2;=;3@;p

∠COA=2p_;1°2;=;6%;p ㉮

삼각형 AOB, BOC, COA의 넓이를 각각 S1, S2, S3이라 하면 S1=;2!;_4_4_sin`;2Ò;=8

S2=;2!;_4_4_sin`;3@;p=4'3

S3=;2!;_4_4_sin`;6%;p=4 ㉯ 따라서 삼각형 ABC의 넓이는

S1+S2+S3=12+4'3 ㉰

답 12+4'3

채점 기준 비율

㉮ 부채꼴의 호의 길이의 비 µAB : µBC : µCA=3 : 4 : 5

로부터 세 중심각의 크기를 구한 경우

30%

㉯ 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 세 삼각형 AOB,

BOC, COA의 넓이를 구한 경우

50%

㉰ 삼각형 ABC의 넓이를 구한 경우

20%

01

50

02

28

03

50

04

103

sin`h="Ã1-cos<sup>2</sup>`h=®É1-;2»5;=;5$;

삼각형 BCD의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의 0<h<p이므로 sin`h>0이다.

PMÓ=x, PNÓ=y라 하면

따라서 p=3, q=25이므로 p+q=3+25=28

답 28

OAÓ=OBÓ, ∠OHA=∠BO'O=;2Ò; 이므로

△AOHª△OBO' yy ㉢

문서에서 EBS 올림포스 전국연합학력평가 기출문제집 수학1 답지 정답 (페이지 59-65)