⑷ 제
1사분면의 각 또는 제 2사분면의 각 10
sin`h=-;5$;, tan`h=;3$;11
cos`h= 2'23
, tan`h=- '24 12
-;8#;13
'22
개념
확인 문제
본문 71쪽01
②02
⑤03
③04
④05
③06
⑤07
④08
④09
2710
④11
④12
①13
⑤14
515
②16
⑤17
1918
2019
④20
321
③22
⑤23
11유형 연습
내신
&
학평 본문 72~77쪽
05 삼각함수
이때 삼각형 OAB는 정삼각형이다.
따라서 삼각형 OAB의 넓이는
;2!;_32_sin`;3Ò;= 9'34
답 ②
02
반지름의 길이가 6, 중심각의 크기가 ;6%;p이므로 (부채꼴의 호의 길이)=6_;6%;p=5p
답 ⑤
03
반지름의 길이가 4, 중심각의 크기가 ;6Ò;이므로 (부채꼴의 호의 길이)=4_;6Ò;=;3@;p
답 ③
04
반지름의 길이가 3, 중심각의 크기가 h=;3@;p이므로 (부채꼴의 호의 길이)=3_;3@;p=2p
답 ④
05
부채꼴의 중심각의 크기를 h라 하면
부채꼴의 호의 길이가 6p, 반지름의 길이가 8이므로 6p=8h
따라서 h=;4#;p
답 ③
06
부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면 (부채꼴의 넓이)=;2!; r2_;4Ò;=8p 따라서 r=8 (r>0)
답 ⑤
07
부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면 (부채꼴의 넓이)=;2!; r2_2=36이므로 r=6 (r>0)
따라서 부채꼴의 호의 길이는 6_2=12
답 ④
08
각 h를 나타내는 동경과 각 6h를 나타내는 동경이 일치하므로
6h-h=2np (n은 정수), h= 2n5 p
;2Ò;<h<p이므로 n=2일 때, h=;5$;p
답 ④
09
B h
A H O
C
반원의 중심을 O라 하면 반원의 지름의 길이가 12이므로 OBÓ=6
∠COB=h라 하면 호 BC의 길이가 4p이므로 6_h=4p, h=;3@;p
∠COH=p-h=;3Ò;
삼각형 CHO는 직각삼각형이고 OCÓ=6이므로 CHÓ=OCÓ_sin`;3Ò;
=6_ '32 =3'3 따라서 CHÓ 2=(3'3)Û`=27
답 27
10
O Q A
P H
4-r
r
r C
B 246p
반원 C의 중심을 Q, 반지름의 길이를 r라 하면 OAÓ=4이므로 OQÓ=4-r
선분 OB와 반원 C의 접점을 H라 하면 QHÓ=r
부채꼴의 중심각의 크기가 ;6Ò;이므로 직각삼각형 OQH에서 sin`;6Ò;= r4-r 이므로
;2!;= r4-r , 즉 r=;3$;
S1=;2!;_42_;6Ò;=;3$;p S2=;2!;_p_{;3$;}2=;9*;p 따라서 S1-S2=;9$;p
답 ④
13
O -15 -1
B A
C x
y
y=2
ba직선 y=2가 원 x2+y2=5와 제2사분면에서 만나는 점 A의 좌표는 x2+22=5, x2=1, x=-1 (x<0)에서 A (-1, 2)
OAÓ='5이므로 sin`a= 2'5
직선 y=2가 원 x2+y2=9와 제2사분면에서 만나는 점 B의 좌표는 x2+22=9, x2=5, x=-'5 (x<0)에서 B (-'5, 2)
OBÓ=3이므로 cos`b=- '53
따라서 sin`a_cos`b= 2
'5_{- '53 }=-;3@;
답 ⑤
14
8`sin`;6Ò;+tan`;4Ò;=8_;2!;+1=5
답 5
15
O
A B
P
x C
y
y=log x
246p243p 13
원의 지름에 대한 원주각의 크기가 ;2Ò;이므로 ∠APB=`;2Ò;
즉, 삼각형 APB는 APÓ='3이고 빗변의 길이가 2인 직각삼각형이 므로
cos (∠BAP)=APÓ
ABÓ= '32 에서 ∠BAP=`;6Ò;
원점을 O라 하면 ∠BOP=`;3Ò;이고 점 P의 좌표는 {cos`{-`;3Ò;}, sin`{-`;3Ò;}}, 즉 {;2!;,- '32 } 점 P는 함수 y=loga`x의 그래프 위의 점이므로 - '32 =loga`;2!;
a- '32=;2!;, a'32=2
따라서 a'3=22=4 답 ②
11
삼각형 OAM에서 ∠OMA=;2Ò;, ∠AOM=;2½;이므로 MAÓ= sin`;2½;
이다. 한편, ∠OAM=;2Ò;-;2½;이고 MAÓ=MPÓ이므로
∠AMP=p-2_{;2Ò;-;2½;}= h 이다. 같은 방법으로
∠OBM=;2Ò;-;2½;이고 MBÓ=MQÓ이므로
∠BMQ= h
이다. 따라서 부채꼴 MPQ의 넓이 S(h)는 S(h)=;2!;_{ sin`;2½; }2_ p-2h 이다.
A sin - h242 242p
h242 M B P Q
O
h
이때 f(h)=sin`;2½;, g(h)=h, h(h)=p-2h이므로
f{;3Ò;}=sin`;6Ò;=;2!;, g{;6Ò;}=;6Ò;, h{;4Ò;}=p-;2Ò;=;2Ò;
따라서 f{;3Ò;}_g{;6Ò;}
h{;4Ò;} =;2!;_;6Ò;
;2Ò; =;6!;
답 ④
12
두 원 C1, C2의 반지름의 길이가 각각 r1, r2 (r1>r2)이므로 실경은 r1-r2 , 정주는 2p_ {r2+r1-r2
2 } (실경)_(정주)={ r1-r2 }_{2p_ r1+r2
2 }
=pr12-pr22
=(환의 넓이)
㈎, ㈏에 알맞은 식을 더하면 r1-r2+r2+ r1-r2
2 =;2#; r1-;2!; r2 따라서 p=;2#;, q=-;2!;이므로 8( p2+q2 )=8[{;2#;}2+{-;2!; }2]=20
답 ①
1-2`sin`h`cos`h=;4!;
2`sin`h`cos`h=;4#;
따라서 8`sin`h`cos`h=;4#;_4=3
답 3
21
sin`h+cos`h= '62 의 양변을 제곱하면
sin2`h+2`sin`h`cos`h+cos2`h=;2#;
sin2`h+cos2`h=1이므로 1+2`sin`h`cos`h=;2#;
2`sin`h`cos`h=;2!;
따라서 sin`h`cos`h=;4!;
답 ③
22
sin`h+cos`h=;3@;의 양변을 제곱하면 sin2`h+2`sin`h`cos`h+cos2`h=;9$;
sin2`h+cos2`h=1이므로 1+2`sin`h`cos`h=;9$;
sin`h`cos`h=-;1°8;
따라서
sin3`h+cos3`h=(sin`h+cos`h)3-3`sin`h`cos`h(sin`h+cos`h)
=;2¥7;-3_{-;1°8;}_;3@;
=;2@7#;
답 ⑤
23
sin`h+cos`h=sin`h`cos`h의 양변을 제곱하면 sin2`h+2`sin`h`cos`h+cos2`h=(sin`h`cos`h)2 1+2`sin`h`cos`h=(sin`h`cos`h)2
(sin`h`cos`h)2-2`sin`h`cos`h-1=0 sin`h`cos`h=t로 놓으면
t2-2t-1=0 t=1Ñ'2
이때 -1ÉtÉ1이므로
t=1-'2, 즉 sin`h`cos`h=1-'2 따라서 a=1, b=-1이므로
10a-b=10+1=11 답 11
16
sin2`h+cos2`h=1이므로 sin2`h=1-cos2`h=1-;2!5^;=;2»5;
p<h<;2#;p에서 sin`h<0이므로 sin`h=-;5#;
따라서 tan`h= sin`hcos`h=-;5#;
-;5$;=;4#;
답 ⑤
17
sin2`h+cos2`h=1이므로 cos2`h=1-sin2`h=1-;3!6&;=;3!6(;
따라서 36`cos2`h=19
답 19
18
sin2`h+cos2`h=1이므로 주어진 등식에 cos2`h=1-sin2`h를 대입 하면
2`cos2`h-sin2`h =2(1-sin2`h)-sin2`h
=2-3`sin2`h=1 따라서 sin2`h=;3!;이므로 60`sin2`h=20
답 20
19
sin2`h+cos2`h=1이므로 sin2`h=1-cos2`h=1-;9!;=;9*;
p<h<;;2#;p에서 sin`h<0이므로 sin`h=- 2'23
tan`h= sin`hcos`h=- 2'23 -;3!; =2'2
따라서 tan`h-sin`h=2'2-{- 2'23 }=8'2 3
답 ④
20
sin`h-cos`h=;2!;의 양변을 제곱하면 sin2`h-2`sin`h`cos`h+cos2`h=;4!;
sin2`h+cos2`h=1이므로
01
;2!7#;02
'3서술형
연습
본문 78쪽01
sin`h-cos`h=;3!;의 양변을 제곱하면
sin2`h-2`sin`h`cos`h+cos2`h=;9!; ㉮ sin2`h+cos2`h=1이므로
2`sin`h`cos`h=;9*;
sin`h`cos`h=;9$; ㉯
따라서
sin3`h-cos3`h=(sin`h-cos`h)3+3`sin`h`cos`h(sin`h-cos`h)
㉰
={;3!;}3+3_;9$;_;3!;
=;2!7#; ㉱
답 ;2!7#;
채점 기준 비율
㉮ 주어진 식의 양변을 제곱하여 전개한 경우
20%
㉯ sin
2
`h+cos
2`h=1임을 이용하여 sin`h`cos`h의 값을
구한 경우
30%
㉰ sin