이상을 정리하면 다음과 같다.
정리 4. 함수 가 열린구간
에서 미분 가능하다고 하자. 만약 ∈
이고 가 에서 극값을 가지 면 ′ 이다.함수 의 정의역에 속하는 점 중에서 의 미분계수가 이거나 가 미분 불가능한 점을 의 임계점 (critical point)이라고 부른다. 정리 4에 의하면 닫힌구간에서 정의된 함수 의 최댓값과 최솟값을 구하려 면 구간의 끝점과 의 임계점에서만 의 함숫값을 조사하면 된다.
보기 3. 구간 에서 이라고 정의된 함수 의 최댓값과 최솟값을 구해 보자.
함수 의 도함수는 ′ 이므로 ′ 인 점은 뿐이다. 즉 의 임계점은 뿐이다.
이제 구간의 끝점과 의 임계점에서 의 함숫값을 구하자.
, , .
이 중에서 가장 큰 값은 이며, 가장 작은 값은 이다.
그러므로 함수 는 에서 최솟값 을 가지며, 에서 최댓값 를 가진다.
보기 4. 함수 를 살펴보자. ′ 이므로 모든 에 대하여 ′ 이 다. 그러므로 는 어떤 점에서도 극값을 갖지 않는다.
보기 5. 함수 을 살펴보자. ′ 이므로 ′ 인 점은 뿐이다. 그러나
일 때
이므로 는 모든 곳에서 순증가하는 함수이다. 즉 는 에서 극값을 갖 지 않는다. 이 예를 통해 정리 4의 역이 성립하지 않음을 확인할 수 있다.함수가 미분 가능하면 극값을 갖는 점에서 미분계수가 이다. 그러나 미분계수가 이라고 해서 함수가 그 점에서 반드시 극값을 갖는 것은 아니다. 하지만 몇 가지 조건이 추가되면 미분계수가 인 점에서 함수가 극값을 가진다.
함수 가 열린구간
에서 미분 가능하고 ∈
이며 ′ 이라고 하자.∙ 만약 점 의 좌우에서 ′의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 는 의 좌우에서 순증가하다가 순감소하 므로 에서 극댓값을 가진다.
∙ 만약 점 의 좌우에서 ′의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 는 의 좌우에서 순감소하다가 순증가하 므로 에서 극솟값을 가진다.
따라서 미분 가능한 함수 가 점 에서 극값을 갖는지 여부는 ′의 부호의 변화를 조사하여 다음과 같이 판정할 수 있다.
정리 5. 함수 가 열린구간
에서 미분 가능하고 ∈
이며 ′ 이라고 하자.(1) 만약 의 좌우에서 ′의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 는 에서 극대이고, 극댓값 를 가진다.
(2) 만약 의 좌우에서 ′의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 는 에서 극소이고, 극솟값 를 가진다.
보기 6. 함수 의 극값을 구해 보자.
′
이므로 ′ 인 점은 과 뿐이다.
일 때 ′ 이고 일 때 ′ 이므로 는 에서 극댓값을 가진다.
일 때 ′ 이고 일 때 ′ 이므로 는 에서 극솟값을 가진다.
보기 7. 구간 에서 정의된 함수 의 최댓값과 최솟값을 구해 보자.
′ 이므로 ′ 인 점은 뿐이다.
일 때 ′ 이고, 일 때 ′ 이므로 는 에서 극솟값을 가진다.
이제 구간의 양 끝점인 , 과 의 미분계수가 인 점 에서 의 함숫값을 비교하자.
, , 이므로 는 에서 최솟값 을 가지며, 에서 최댓값 를 가진다.
이계도함수를 사용하여 함수의 극대와 극소를 판정해 보자.
함수 가 열린구간
에서 연속인 이계도함수를 갖고 ∈
이며 ′ 이라고 하자.∙ 만약 ″ 이면 이계도함수의 연속성에 의하여 이 아니면서 에 가까운 에 대하여 열린구간
에서 ″ 이 성립한다. 이때 열린구간 에서 ′은 순감소하고
′ 이므로 의 좌우에서 ′의 부호가 양에서 음으로 바뀐다. 따라서 는 에서 극대이다.
∙ 같은 방법으로, 만약 ″ 이면 함수 가 에서 극소임을 알 수 있다.
이상을 정리하면 다음과 같다.
정리 6. 함수 가 열린구간
에서 연속인 이계도함수를 갖고 ∈
이며 ′ 이라고 하자.(1) 만약 ″ 이면 는 에서 극대이고, 극댓값 를 가진다.
(2) 만약 ″ 이면 는 에서 극소이고, 극솟값 를 가진다.
보기 8. 함수 를 살펴보자.
′
이므로 ′ 인 점은 과 뿐이다. 그런데
″
이므로 ″ 이고 ″ 이다.
그러므로 함수 는 에서 극댓값 를 가지며, 에서 극솟값 를 가진다.