함수 의 역도함수를 구하는 문제는
… ㉠
를 만족시키는 함수 를 구하는 것과 같다. 이처럼 미분연산자가 포함된 식에서 미분하기 전 함수를 찾는 방정식을 미분방정식(differential equation)이라고 부르며, 미분하기 전 함수를 미분방정식의 해 (solution)라고 부른다.
일반적으로 ㉠을 만족시키는 함수 는 무수히 많을 수 있다. 하지만 특정한 점 에서 함숫값 이 정해진다면 ㉠을 만족시키는 함수의 개수를 줄일 수 있다. 이와 같은 조건 , 을 초기조건 (initial condition)이라고 부르고, 초기조건과 미분방정식이 결합된 문제를 초깃값 문제(initial value problem) 라고 부른다.
보기 8. 다음 초깃값 문제의 해를 구해 보자.
, .
라고 하면 ′ 이므로 는 주어진 미분방정식의 한 해이다. 따라 서 주어진 미분방정식의 일반해는
(
는 상수) 이다. 이 식에 초기조건 , 을 대입하면 ×
이므로
이다. 그러므로 초깃값 문제의 해는 이다.㉠의 도함수를 이계도함수로 바꾸어도 같은 방법으로 초깃값 문제의 해를 구할 수 있다.
보기 9. 다음 초깃값 문제의 해를 구해 보자.
,
, .먼저 ′을 구하자.
이므로 일반해는 ′
이며, 여기에 초기조건 , ′ 을 대입하면
이다. 따라서
이다.45)다음으로 를 구하자.
′
이므로 일반해는
이며, 여기에 초기조건 , 를 대입하면
×
즉
이다. 그러므로 초깃값 문제의 해는 이다.
보기 10. 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 에서의 속도가 이 라고 하자. 시각 에서 점 P의 위치를 구해 보자.
시각 에서 P의 위치를 라고 하자. 그러면 이 문제는 두 조건
′ , 을 만족시키는 를 구하는 초깃값 문제이다.
(
는 적분상수)이므로 일반해는
이며, 이 식에 초기조건 , 을 대입하면 을 얻는다. 이 식에 를 대입하면
×
이다. 그러므로 시각 에서 점 P의 위치는 이다.
45) 여기서 은 적분상수이므로 본래 ‘임의의 상수’이다. 하지만 미분 방정식을 푸는 과정에서 “ 이다.”와 같은 표현은 여러 개의 역도함수 중 하나를 택하는 과정을 간단하게 표현한 것이다.
연습문제
개념에 익숙해지기 위한 문제
1. 다음 함수 의 부정적분을 구하시오.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
2. 다음 부정적분을 구하시오.
(1)
(2)
(3)
(4)
(는 상수)(5)
⋅ (6)
(는 이 아닌 상수) (7)
(8)
(9)
(10)
3. 다음 조건을 만족시키는 함수 를 구하시오.
(1) ′ , . (2) ′ , .
(3) ′ , . (4) ′ , .
(5) ′ , . (6) ′ , .
개념을 다지기 위한 문제 4. 다음 부정적분을 구하시오.
(1)
cos (2)
sin (3)
cos (4)
sin (5)
cos sin (6)
sin cos
(7)
sin cos (8)
sin (9)
sin (10)
cos (11)
sin (12)
cos 5. 함수 가 미분 가능한 함수이고 ′ ⋯ 이며 이다. 이때
의 값을 구하시오.
6. 함수 가 다항함수이고
가 의 한 역도함수이다. 또한 임의의 실수 에 대하여
을 만족시키고, 이다. 이때 를 구하시오.7. 와 가 다항함수이고
,
이며 , 를 만족시킨다. 이때 와 를 구하시오.
더 깊이 공부하고 싶은 사람을 위한 문제
8. 변수를 분리할 수 있는 미분 방정식(separable equation)의 개념을 조사하고, 다음 미분방정식의 해 를 구하시오.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
9. 일계선형미분방정식(first-order linear differential equation)의 해를 구하는 방법을 조사하고, 다음 미 분방정식의 해를 구하시오.
(1)
, (2)
, (3) ′ ln , (4) ′
sin , (5) ′ , (6) ′ (7) ′ (8) ′
(9) ′ ln (10)
cos
,
..
열두 번째 이야기