2 삼각함수
정리 6. 역삼각함수의 도함수는 다음과 같다
(1) sin 일 때 ′
(2) cos 일 때 ′
(3) tan 일 때 ′
∈ℝ
연습문제
개념에 익숙해지기 위한 문제 1. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
(1) (2)
(3) (4)
(5)
(6) (7)
(8) (9) (10)
(11)
(12)
(13) (14) (15)
(16)
2. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
(1) ln (2) ln ln
(3) ln
(4) ln (5) ln (6) ln ln
(7) ln
ln (8) ln
(9) ln
(10)
ln
(11) ln
(12) ln 3. 다음 함수의 도함수를 구하시오.
(1) sin (2) cos
(3) cos (4) cos
(5) cos (6) sin (7) sin (8) cos (9) cos sin (10) sin (11) cos sin (12) sin cos
(13) lncos (14) sinln
(15) cosln (16) lnsin
개념을 다지기 위한 문제
4. 다음 수열의 극한을 구하시오.
(1)
lim
→ ∞
(2) → ∞lim
(3)
lim
→ ∞
(4) → ∞lim
(5)
lim
→ ∞
(6) → ∞lim
5. 다음 함수의 극한을 구하시오.
(1)
lim
→ ∞
(2)
lim
→ ∞
log log
(3)
lim
→
(4)
lim
→
ln
(5)
lim
→
(6)
lim
→
sin
(7)
lim
→ tan
(8)
lim
→ cos cos sin
(9)
lim
→ sin cos
(10)
lim
→ sin tan
6. cossin일 때 다음 극한을 구하시오.
lim
→
7. 다음 극한을 구하시오.
lim
→ sin cos
8. 매개변수 방정식 tan, sec 에 의하여 정의된 곡선을
라고 하자. 곡선
위의 점
에서 이 곡선에 접하는 직선의 기울기를 구하시오.9. 곡선 cos 위의 점 에서 이 곡선에 접하는 직선의 기울기를 구하시오.
10. 가 의 함수이고 등식 를 만족시킨다. 이때
을 구하시오.11. 가 양수일 때, 매개변수 로 나타낸 함수 sin, cos의 그래프 위의 점
에서 이 곡선에 접하는 직선의 기울기를 구하시오.
12. 매개변수 로 나타낸 함수 sin , 에 대하여 일 때 를 구하시오.
13. 매개변수 로 나타낸 함수 , 의 그래프 위의 점 에서 이 그래프에 접하 는 직선의 방정식을 구하시오.
14. 매개변수 로 나타낸 함수 cos , sin 에 대하여 일 때 를 구하시오.
15. 매개변수 로 나타낸 함수 , 에 대하여 일 때 이 함수의 그래프에 접하는 직 선의 방정식을 구하시오.
16. 가 양수일 때, 매개변수 로 나타낸 함수 cos, sin에 대하여 일 때 이 함수의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하시오.
실력을 향상시키기 위한 문제
17. 다음이 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
lim
→ ∞
log log
18. 다음이 성립하도록 하는 상수 와 의 값을 구하시오.
lim
→ sin cos
19. 함수 ℝ → ℝ가 다음과 같이 정의되어 있다.
sin cos if ≥ if
이때 가 에서 미분 가능하도록 하는 상수 와 의 값을 구하시오.
20. 다음 극한을 구하시오.
lim
→ ∞
⋯
21. 가 의 함수이고 , 이며 을 만족시킨다. 이때 를 구하시오.
22. 함수 가 두 번 미분 가능한 함수이고 다음을 만족시킨다.
cos cos
이때 ″
를 구하시오.23. 함수 의 그래프에 접하고 점 을 지나는 직선의 개수가 가 되도록 하는 상수
의 값을 구하시오.
24. 함수 ln의 그래프와 함수 ln의 그래프의 교점을 P라고 하자. 두 함수 , 의 그래프 모두에 접하고 점 P를 지나는 직선의 방정식을 구하시오.
25. 가 양수일 때, 매개변수 로 나타낸 함수 cos, sin에 대하여 와
을
구하시오.
26. 다음 극한이 수렴함을 보이고, 그 값을 구하시오.
→ ∞
lim
27. 다음 극한이 수렴함을 보이시오.
→ ∞
lim
28. 함수 ℝ → ℝ가 다음과 같이 정의되어 있다.
sin
if ≠
if
(1) 함수 가 ℝ에서 미분 가능함을 보이시오.
(2) 도함수 ′이 에서 불연속임을 보이시오.
29. 함수 ℝ → ℝ가 다음과 같이 정의되어 있다.
if ∈ ℚif ∉ ℚ이때 함수 가 에서만 미분 가능하고 다른 점에서는 미분 불가능함을 보이시오.
30. ‘로그 미분법’을 조사하고, 로그 미분법을 사용하여 다음 함수의 도함수를 구하시오.
(1) (2) ln (3)
(4)
더 깊이 공부하고 싶은 사람을 위한 문제
31. 쌍곡선함수(hyperbolic function)를 다음과 같이 정의한다.
∙ 쌍곡사인 sinh
∙ 쌍곡코사인 cosh
∙ 쌍곡탄젠트 tanh cosh sinh
∙ 쌍곡코시컨트 csch sinh
∙ 쌍곡시컨트 sech cosh
∙ 쌍곡코탄젠트 coth sinh cosh
쌍곡선함수의 도함수를 구하시오.
32. 다음을 보이시오.
(1) cosh sinh
(2) sinh sinh cosh cosh sinh
(3) cosh cosh cosh sinh sinh
(4) tanh tanh tanh tanh tanh
(5) cosh
cosh
(6) sinh
cosh
33. 다음을 보이시오.
(1) sinh ln
(2) cosh ln
≥ (3) tanh
ln
(4) csch ln
≠ (5) sech ln
≤ (6) coth
ln
..
“In mathematics you don’t understand things. You just get used to them.”
― John von Neumann
아홉 번째 이야기