열세 번째 이야기
≤ 라고 하자. 그리고 가 ≤ 를 만족시킬 만큼 작은 양수라고 하자. 가 연속함수이 므로 닫힌구간 에서 는 최댓값과 최솟값을 가진다. 에서 의 최댓값을
이 라 하고, 에서 의 최솟값을 이라고 하자.그러면 다음이 성립한다.
≤
≤
각 변을 로 나누면
≤
≤
을 얻는다. 그런데 과
은 에서 각각 의 최솟값과 최댓값이므로,
,
인 점 , 가 구간 에 존재한다. 즉
≤
≤
이다. 과 가 구간 에 속하는 점이므로, → 일 때 → 이고 → 이다.
그런데 가 연속함수이므로
→ 이고
→ 이다. 그러므로 위 부등식에 → 인 극한을 취하면
≤
lim
→
≤ … ㉠
가 성립한다.
같은 방법으로, ≤ 일 때
≤
lim
→
≤ … ㉡
임을 보일 수 있다. 그러므로 ㉠과 ㉡을 결합하면 구간 의 임의의 점 에 대하여
′ 를 얻는다.이상을 정리하면 다음과 같다.
정리 1. 함수 가 길이가 양수인 닫힌구간 에서 연속이라고 하자. 만약
라고 하면, 의 임의의 점 에 대하여
′ 이다.함수 와
가 앞에서 정의한 것과 같은 함수라고 하자. 그리고 에서 의 한 역도함수를
라고 하자. 그러면 의 임의의 점 에 대하여
′
′ 이므로
와
는 상수 차이이다. 즉 상수
가 존재하여 의 임의의 에 대하여
… ㉢를 만족시킨다. 그런데
이므로 ㉢에 를 대입하면
즉
를 얻는다. 이 값을 ㉢에 대입하면
… ㉣이다. 한편
이므로 ㉣에 를 대입하면
이다. 여기서 적분변수 를 로 바꾸어도 같은 적분을 나타내므로, 다음 정리를 얻는다.
정리 2. 함수 가 길이가 양수인 닫힌구간 에서 연속이고,
가 에서 의 한 역도함 수라고 하자. 그러면
가 성립한다. 이 정리를 미적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)라고 부른다.48)
미적분학의 기본정리에서
를 다음과 같이 나타내기도 한다.
… ㉤또는
. … ㉥
㉤은
의 항이 하나일 때 주로 사용하고, ㉥은
의 항이 두 개 이상일 때 주로 사용한다.48) 정리 1을 ‘제 1 기본정리’라고 부르고, 정리 2를 ‘제 2 기본정리’라고 부르기도 한다.
보기 1. 미적분학의 기본정리를 사용하여 다음 정적분을 구해 보자.
,
이라고 하면
′ 이다. 그러므로
.
보기 2. 미적분학의 기본정리를 사용하여 다음 정적분을 구해 보자.
,
이라고 하면
′ 이다. 그러므로
.
역도함수를 구하는 연산은 미분의 역연산이므로, 역도함수와 정적분은 본래 서로 무관한 개념이다. 역도 함수를 사용하여 정적분을 계산할 수 있다는 점은 대단히 놀라운 일이다.
참고 정리 2에서 의 역도함수
중 어느 것을 택하여도 같은 결과를 얻는다. 예컨대
이 의 또 다른 역도함수라고 하자. 그러면
인 상수
이 존재한다. 이때
.이므로
대신
을 사용하여 계산한 결과 또한 유효하다. □이번에는 도함수를 적분할 때의 공식을 살펴보자.
함수 가 에서 미분 가능하고 ′이 에서 적분 가능하다고 하자. 그리고
⋯ ⋯ .
인 개의 점 를 생각하자. 평균값 정리에 의하여 과 사이에 점 가 존재하여
′
을 만족시킨다. 우변의 분모는 와 같으므로, 위 식으로부터 다음 식을 얻는다.
′
이 등식의 양변을 일 때부터 일 때까지 더하면 다음 식을 얻는다.
′
여기서 에 의하여 쪼개진 소구간의 길이가 에 수렴하는 극한을 취하면 위 등식의 우변은 에서
′의 정적분이 된다.
이로써 다음 정리를 얻는다.
정리 3. 함수 가 길이가 양수인 닫힌구간 에서 미분 가능하고 ′이 에서 적분 가능 하다고 하자. 그러면
′ 가 성립한다. 이 공식을 순변화량 정리(the net change theorem)라고 부른다.
정리 2는 피적분함수 가 연속일 때만 쓸 수 있지만 정리 3은 피적분함수 ′이 연속이 아닐 때도 쓸 수 있다.
보기 3. 함수 를
sin
if ≠
if 이라고 정의하면
′
sin
cos
if ≠
if
이다. ′이 에서 연속은 아니지만 에서만 불연속이고 에서 유계이므로 ′은 에 서 적분 가능하다.
그러므로 에서 ′의 정적분은 다음과 같다.
′ sin .
참고 함수 가 에서 미분 가능하더라도 도함수 ′은 에서 적분 가능하지 않을 수 있다.
예컨대 구간 에서 함수 를
sin
if ≠
if 이라고 정의하면
′
sin
cos
if ≠
if
이므로 ′은 근처에서 유계가 아니다. 그러므로 ′은 에서 적분 불가능하다.
따라서 정리 3에서 ′이 적분 가능하다는 조건은 완화될 수 없다. □