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3 단조수렴 정리

보기 13.   일 때

lim

 →  ∞

   을 증명해 보자.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

 log이라고 하자.25) 그러면

는 실수이다.

 

라고 가정하자. 그러면   log이므로    log 이다.

따라서  →  ∞일 때  → 이다.

단조수렴 정리를 사용하여 수열이 수렴함을 증명하는 예를 살펴보자.

보기 14.

이 실수열이고  이며 임의의 에 대하여   

  이라고 하자.

이때

이 수렴함을 증명해 보자.

먼저   ≤ 이다. 다음으로 자연수 에 대하여 ≤ 가 성립한다고 가정하면

  

  ≤    

이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 대하여 ≤ 이다. 즉

은 위로 유계인 수열이다.

한편

의 모든 항이 양수이고

  

    ≥      × ≥ × 

이므로

은 단조증가수열이다. 즉 임의의 에 대하여  ≥ 이다. 그러므로

은 아래로도 유계이다. 즉

은 유계이다.26) 따라서 단조수렴 정리에 의하여

은 수렴한다.

시작한 김에

의 극한값까지 구해 보자.

의 극한값을

이라고 하자. 그러면

lim

 → ∞

lim

 → ∞

  

lim

 → ∞

  

  → ∞

lim

 

이다. 방정식

 

을 풀면

 를 얻는다.

따라서

은 수렴하고, 그 극한값은 이다.

보기 15.     일 때 수열

이 에 수렴함을 증명해 보자.

우선 임의의 자연수 에 대하여   ×     이므로

은 감소수열이다.

다음으로 임의의 자연수 에 대하여  이므로

은 아래로 유계이다.

따라서 단조수렴 정리에 의하여

은 수렴한다.

의 극한값을

이라고 하자. 그러면

lim

 → ∞

lim

 → ∞

  

lim

 → ∞

×

lim

 → ∞

 

 이다. 여기서     이므로,

이 성립하려면

 일 수밖에 없다.

그러므로

은 에 수렴한다.

귀납적으로 정의된 수열의 극한을 조사할 때 수렴한다는 사실을 증명하지 않으면 잘못된 결론에 다다를 수 있다. 다음 보기를 살펴보자.

보기 16.

이 실수열이고   이며 임의의 에 대하여       이라고 하자.

이 수렴하리라는 잘못된 믿음을 가지고서

의 극한값을

이라고 해보자. 그러면

lim

 → ∞

  

lim

 → ∞

   

lim

 → ∞

  

lim

 → ∞

 

이다. 방정식

 

을 풀면

 을 얻는다. 그런데

의 모든 항이  이상이므로,

의 극한 값이 이 될 수 없다.

26)이 단조증가수열이라면 이 위로 유계라는 사실만 보여도 단조수렴 정리를 적용할 수 있다.

연습문제

개념에 익숙해지기 위한 문제

1. 가 양수인 상수일 때, 일반항이 다음과 같은 수열

이 수렴함을 단조수렴 정리를 사용하여 보이시오.

 

2. 가 양수일 때 수열

이 수렴함을 단조수렴 정리를 사용하여 보이시오.

3. 수열

이 다음과 같이 정의되어 있다.

 , 임의의 자연수 에 대하여    

 

.

이때

의 극한이 수렴함을 보이시오.

4. 일반항이 다음과 같은 수열

이 발산함을 보이시오.

 



5. 두 수열

에 대하여, 수열

에 수렴하고 수열



 



이 에 수렴한다고 하자. 이때 수열

에 수렴함을 보이시오.

6. 수열의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)   일 때

lim

 → ∞

 이다.

(2)  

 일 때

lim

 → ∞

 이다.

(3)     일 때 

lim

 → ∞

  이다.

7. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)     일 때

lim

 → 

    이다.

(2)     일 때

lim

 → 

    이다.

(3)     일 때

lim

 →  

    이다.

8. 수열

에 수렴하고 

이면 수열

이 

에 수렴함을 보이시오.

9.

이 실수열이고

이 실수라고 하자. 만약 두 수열



  

이 모두

에 수렴하면

에 수렴함을 보이시오.

10. 수렴하는 수열은 유계임을 보이시오. 즉

이 수렴하는 수열이면, [임의의 항번호 에 대하여

]을 만족시키는 양수

이 존재함을 보이시오.

개념을 다지기 위한 문제

11.

가 닫힌구간이고 수열

의 모든 항이

에 속한다고 하자. 만약

에 수렴하면

임을 보이시오.

12.

가 닫힌구간이고 함수  

의 함숫값이 모두

에 속한다고 하자. 만약  → 일 때

   →

이면

임을 보이시오.

13. 수열

이 다음과 같이 정의되어 있다.

 , 임의의 자연수 에 대하여    

 

.

이때

이 수렴함을 보이시오.

14.

이 실수열이고    이며, 임의의 자연수 에 대하여

  

,    

 

을 만족시킨다. 이때 두 수열

이 모두 수렴하고 그 극한이 일치함을 보이시오.

15. 단조수렴 정리를 사용하여 일반항이 다음과 같은 수열

이 수렴함을 보이시오.

 ⋅⋅⋅ ⋯  

⋅⋅⋅ ⋯   

16. 수열의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)   

  일 때

lim

 → ∞

 이다.

(2)  일 때

lim

 → ∞

 ∞이다.

(3) 

일 때  → ∞

lim

 ∞이다.

(4)   일 때

lim

 → ∞

 ∞이다.

(5)     일 때

lim

 → ∞

 ∞이다.

(6)   일 때

lim

 → ∞

 ∞이다.

17. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)      일 때

lim

 → 

    이다.

(2)      일 때

lim

 → 

    이다.

(3)    일 때

lim

 →     이다.

(4)     

 일 때

lim

 → 

   이다.

(5)      일 때  

lim

 →  

   이다.

(6)     

  

일 때

lim

 →     이다.

실력을 향상시키기 위한 문제

18. 함수 의 정의역이

이고 가 실수일 때, 다음 극한의 엄밀한 정의를 기술하시오.

[직접 정의해 보고, 자료를 검색하여 찾은 결과와 자신의 정의를 비교해 보자.]

(1)

lim

 →  

    ∞ (2)

lim

 →  

    ∞ (3)

lim

 →  

    ∞ (4)

lim

 →  

    ∞ (5)

lim

 → ∞

    ∞ (6)

lim

 → ∞

    ∞ (7)

lim

 →  ∞

    ∞ (8)

lim

 →  ∞

    ∞

19. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)    일 때

lim

 → 

    ∞이다.

(2)     

 일 때

lim

 → 

    ∞이다.

(3)    일 때

lim

 →  

    ∞이다.

(4)     

 일 때

lim

 →  

    ∞이다.

(5)       

 일 때

lim

 →  

    ∞이다.

(6)       

 일 때

lim

 →  

    ∞이다.

(7)       

 일 때

lim

 →   

    ∞이다.

(8)     

  

일 때

lim

 →  

    ∞이다.

20. 함수의 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)    일 때

lim

 → ∞

   이다.

(2)        일 때

lim

 →  ∞

   이다.

(3)   일 때

lim

 → ∞

   ∞이다.

(4)  

일 때  →  ∞

lim

   이다.

(5)    일 때

lim

 → ∞

   ∞이다.

(6)    일 때

lim

 →  ∞

   ∞이다.

(7)     

  일 때

lim

 → ∞

   ∞이다.

(8)    

  일 때

lim

 →  ∞

   ∞이다.

21. 가 실수이고 두 함수 , 가  → 일 때 수렴하며

lim

 → 

   

,

lim

 → 

  

이라고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)

lim

 → 

     

(2)

lim

 →    

(단, 는 상수) 22. 두 함수 , 가  → ∞일 때 수렴하며

lim

 → ∞

   

,

lim

 → ∞

  

이라고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)

lim

 → ∞

     

(2)

lim

 → ∞

   

(단, 는 상수)

23.

이 유계인 수열이고

이 양의 무한대로 발산하는 수열일 때, 극한의 엄밀한 정의를 사용하 여 다음을 증명하시오.

(1)

lim

 → ∞

 

 ∞

(2)

lim

 → ∞

 

 ∞

24.

이 수열이고 모든 에 대하여 ≤ 이라고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1) 만약

lim

 → ∞

 ∞이면

lim

 → ∞

 ∞이다.

(2) 만약

lim

 → ∞

 ∞이면

lim

 → ∞

 ∞이다.

25.

가 열린구간이고 가

의 점이며, 함수 , , 가

에서 정의되어 있다고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1) 만약 를 제외한

의 임의의 점 에서  ≤ 이고

이 실수이며

lim

 → 

   

,

lim

 → 

  

이면

이다.

(2) 만약 를 제외한

의 임의의 점 에서  ≤  ≤ 이고

이 실수이며

lim

 → 

   

lim

 → 

  

이면,  → 일 때 가 수렴하고

lim

 → 

  

이다.

26.

가 위로 유계가 아닌 구간이고 함수 가

에서 정의되어 있으며 수열

의 모든 항이

에 속 한다고 하자. 만약

이 실수이고

lim

 → ∞

   

,

lim

 → ∞

 ∞ 이면

lim

 → ∞

임을 보이시오.

27.

이 수렴하는 수열이고

 → ∞

lim

,

lim

 → ∞

이라고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)

lim

 → ∞





(2)

lim

 → ∞

 

(단, 모든 에 대하여 ≠ 이고

≠ )

28. 두 함수 , 가  → 일 때 수렴하고

lim

 → 

   

,

lim

 → 

  

이라고 하자. 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 다음을 증명하시오.

(1)

lim

 → 

   



(2)

lim

 →  

  

 

(단,

≠ )

29. 수열

을 다음과 같이 정의하자.

  

(1) 가 실수이고 이 자연수이며   이고   일 때 다음이 성립함을 보이시오.

       

(2) 이   인 자연수일 때 다음이 성립함을 보이시오.

  

   

(3) 이   인 자연수일 때 다음이 성립함을 보이시오.

  

    

  

(4) 이 자연수일 때 다음이 성립함을 보이시오.

 

  



 ≤  

  

  

(5) 단조수렴 정리를 사용하여 수열

이 수렴함을 보이시오.

30.

가 길이가 양수인 구간이고 함수 가

에서 정의되어 있다고 하자. 또한 구간

에서 함수 가 단조라고 하자.

(1) 가 구간

에 있는 점이고

의 왼쪽 끝점은 아니라고 하자. 그러면 에서 의 좌극한이 존재 함을 보이시오.

(2) 가 구간

에 있는 점이고

의 오른쪽 끝점은 아니라고 하자. 그러면 에서 의 우극한이 존 재함을 보이시오.

이와 같은 성질을 함수의 점 극한의 단조수렴 정리라고 부른다.

31.

가 구간이고 함수 가

에서 정의되어 있다고 하자.

(1) 구간

가 위로 유계가 아니고, 구간

에서 함수 가 단조이고 유계라고 하자.  → ∞일 때

  가 수렴함을 보이시오.

(2) 구간

가 아래로 유계가 아니고, 구간

에서 함수 가 단조이고 유계라고 하자.  →  ∞일 때 가 수렴함을 보이시오.

이와 같은 성질을 함수의 무한대 극한의 단조수렴 정리라고 부른다.

32. ‘극한의 유일성’의 개념을 조사해 보자. 또한 수열의 극한의 유일성과 함수의 극한의 유일성을 각각 증명해 보자.

수학을 사랑하는 사람을 위한 문제

1.

가 ℝ의 부분집합이고 ∈

라고 하자. 만약 ∈

인 열린구간

가 존재하면, 를

내점(interior point)이라고 부른다. 집합

의 내점들의 모임을

의 내부(interior)라고 부르고

고 나타낸다. 만약

이면

를 열린집합(open set)이라고 부른다. 다음을 증명하시오.

(1)

가 열린집합이면

도 열린집합이다.

(2)

∈

의 모든 원소가 열린집합이면

∈

도 열린집합이다.

2.

가 ℝ의 부분집합이고 가 실수라고 하자. 만약 ∈

인 임의의 열린구간

에 대하여

≠ ∅ 이면 를

의 집적점(cluster point)이라고 부른다.

의 집적점들의 모임을

의 도집합(derived set) 이라고 부르고

′이라고 나타낸다. 만약

′ ⊆

이면

를 닫힌집합(closed set)이라고 부른다. 즉 닫힌집합이란 자신의 집적점을 모두 원소로 갖는 집합이다. 다음을 증명하시오.

(1) 집합

가 열린집합이기 위한 필요충분조건은 ℝ╲

가 닫힌집합인 것이다.

(2)

가 닫힌집합이면

도 닫힌집합이다.

(3)

∈

의 모든 원소가 닫힌집합이면

∈

도 닫힌집합이다.

3.

가 ℝ의 부분집합이라고 하자.

를 포함하는 닫힌집합 중 가장 작은 것을

의 폐포(closure)라고 부르고 

와 같이 나타낸다. 즉

를 포함하는 모든 닫힌집합의 모임을

∈

라고 할 때

∈

라고 정의한다. 이때 

′임을 보이시오.

4.

가 닫힌집합이고 수열

의 모든 항이

에 속한다고 하자. 만약 수열

에 수렴하면

임을 증명하시오.

영어로 표현하기

(수열의 극한과 함수의 극한)

□ A sequence is an enumerated collection of objects in which repetitions are allowed and order matters. A sequence is formally defined as a function whose domain is an interval of integers.

□ An infinite sequence is a function whose domain is ℕ. A sequence  whose terms are

   will be denoted by

. In this book, unless otherwise noted, a sequence always refers to an infinite sequence.

□ A sequence has a limit

if the elements of the sequence become closer and closer to the value

, and they become and remain arbitrarily close to

, meaning that given a real number  greater than zero, all but a finite number of the elements of the sequence have a distance from

less than .

□ We call

the limit of the sequence

, if for each real number   , there exists a natural number

such that, for every natural number  

, we have



 

 .

□ If

is not a convergent sequence, then we say that

diverges, or alternatively that the limit of

does not exist.

□ If

and

are convergent sequences, then

 

is also a convergent sequence, and can be computed as follows:

 → ∞

lim 

 

lim

 → ∞

lim

 → ∞

.

□ If  becomes arbitrarily large as  → ∞, we write

lim

 → ∞

 ∞.

In this case we say that the sequence diverges to infinity.

□ If a sequence

does not converge, and if

does not tend to positive infinity nor to negative infinity, then say that

oscillates.

□ The limit of a geometric sequence

converges if and only if     ≤ .

□ Suppose that a function  is defined near , not necessarily at . If  can be made as close to

as desired, by making  close enough, but not equal, to , then we say that  converges to

as  approaches .

□ We call

the limit of the function  as  approaches , if for every real   , there exists a real    such that for all real  in the domain of ,       implies that 

 .

□ The limit of the function  as  approaches  from right is

if, for every   , there exists a    such that 

  whenever       .

□ If  is a polynomial function and  is a real number, then the limit of  as  approaches  coincides , the value of  at .

□ A real number

is called an upper bound of a sequence

if ≤

for all ∈ℕ.

If there exists an upper bound of a sequence

, then

is said to be bounded above.

□ A sequence

is said to be bounded below if and only if the set

 ∈ℕ

is bounded below.

is said to be bounded if and only if it is bounded both above and below.

□ Show that every convergent sequence is bounded.

□ If a sequence

is monotone and bounded, then

converges to a finite limit.

□ By a subsequence of a sequence

, we shall mean a sequence of the form

, where each ∈ℕ and   ⋯.

□ If a sequence

converges to

and if

is a subsequence of

, then

also converges to

.

□ Decide which of the following limits exist and which do not; prove that your answer is correct.

□ Find the value of  for which the limit of  as  →  converges.

□ Use the monotone convergence theorem to prove that the sequence

, defined recursively as   and   

   for all ∈ℕ, converges.

□ Use the precise definition of the limit to show that 

  

→  as  → ∞.

□ Suppose that

is a closed interval and every term of a sequence

belongs to

. Show that if

converges to

, then

belongs to

.