함수 에서 의 값이 가 아니면서 에 한없이 가까워질 때, 의 값 이 일정한 값
에 한없이 가까워지면 “함수 가
에 수렴한다.” 또는“에서 의 극한이 존재한다.”라고 말한다. 이때
을 에서 의 극 한값 또는 극한이라고 부르고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim
→
또는 “ → 일 때 →
”보기 1. 함수 를 생각하자. 이 함수는 을 원소로 갖는 구간에서 정의되어 있다. 의 값이 에 가까워지면 의 값은 에 가까워진다. 그러므로 에서 의 극한값은 이다. 즉
lim
→
이다.
보기 2. 함수 가
이라고 주어졌다고 하자. 비록 일 때 가 정의되지 않지만
는 의 주변에서 정의되므로 → 일 때 의 극한값을 생각할 수 있다.12) ≠ 일 때
이므로 ≠ 이면서 가 에 다가갈 때 의 값이 에 다가간다. 그러므로
lim
→
이다.
12) “극한값을 생각할 수 있다.”라는 말이 “극한이 존재한다.”라는 뜻은 아니다.
“리미트 x가 a로 갈 때 f x는 L”
위 보기에서 보다시피 어떤 점에서 함숫값이 존재하지 않더라도 그 점에서 극한값이 존재할 수 있다.
참고 함수의 극한의 정의에서 ‘의 값이 에 가까워진다’라는 표현이 있으므로, 의 정의역의 점이
주변에 있을 때만 에서 의 극한이 정의된다. 예컨대 무리함수 는 가 음수일 때 정의 되지 않는다. 그러므로 이 함수에 대해서는
→
lim
와 같은 극한을 생각하지 않는다. 또한, 만약 함수 가 정수인 점에서만 정의된다면
lim
→
와 같은 극한을 생각하지 않는다. 왜냐하면 의 값이 와 일치하지 않으면서 에 다가갈 수 없기 때문
이다. □13)
보기 3. 라고 하자. 여기서 ⋅는 최대정수함수(greatest integer function)를 나타낸다.14)
의 값이 에 가까워질 때 의 값은 에 가까워지기도 하고 에 가 까워지기도 한다. 가 보다 작으면서 에 가까워지면 의 값은 에 가까워지며(사실은 인 상태가 되며), 가 보다 크면서 에 가 까워지면 의 값은 에 가까워진다.
그러므로 의 값이 에 가까워질 때 의 값은 ‘하나의’ 값에 가까워지지 않는다. 즉 → 일 때 의 극한은 존재하지 않는다.
보기 3과 같이 → 일 때 의 극한이 존재하지 않는 경우 “에서 가 발산한다.” 또는 “에서 의 극한이 존재하지 않는다.”라고 말한다.15)
수열의 발산을 몇 가지 형태로 구분한 것처럼 함수의 발산도 몇 가지 형태로 구분할 수 있다.
함수 에서 의 값이 가 아니면서 에 한없이 가까워질 때 의 값이 한없이 커지면 “에서
가 양의 무한대로 발산한다.”라고 말하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.
lim
→
∞ 또는 “ → 일 때 → ∞ ”
또 함수 에서 의 값이 가 아니면서 에 한없이 가까워질 때, 의 값이 한없이 작아지면 “에서
가 음의 무한대로 발산한다.”라고 말하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.
lim
→
∞ 또는 “ → 일 때 → ∞ ”
에서 함수 가 수렴하지 않고 양의 무한대로 발산하지 않고 음의 무한대로 발산하지도 않으면 “에서
가 진동한다.”라고 말한다.
13) 눈치챘겠지만 이 책에서 문단 끝에 붙은 네모 표시 ‘□’는 설명이 끝났음을 나타낸다.
14) 즉 는 이하의 정수 중 가장 큰 값을 나타낸다. 최대정수함수를 ‘가우스 함수’라고 부르기도 한다.
최대정수함수는 ⌊⌋와 같이 나타내는 게 맞지만, 이 책에서는 로 나타내기도 한다.
15) 함숫값이 무한히 커지거나 무한히 작아지지 않더라도, 수렴하지 않는 모든 경우를 통틀어 ‘발산한다’라고 말한다.
보기 4. 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하는 함수의 극한의 예를 살펴보자.
(1) 일 때
lim
→
∞이다.
(2) 일 때
lim
→
∞이다.
보기 5. 이라고 하자. 이면서 가 에 한없이 가까워지면 의 값은 한없이 커진다. 반면 이면서 가 에 한없이 가까워지면 의 값은 한없이 작아진다. 그러므로 에 서 는 수렴하지 않고 양의 무한대에 발산하지 않고 음의 무한대에 발산하지도 않는다. 즉 에서
는 진동한다.
수열
의 극한에서 의 값이 한없이 커질 때를 생각한 것처럼 함수 의 극한에서도 의 값이 한없 이 커지거나 한없이 작아질 때 함숫값 의 움직임을 생각할 수 있다.함수 에서 의 값이 한없이 커질 때 의 값이 일정한 값
에 한없이 가까워지면 “양의 무한대에 서 가
에 수렴한다.”라고 말하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.lim
→ ∞
또는 “ → ∞ 일 때 →
”또 함수 에서 의 값이 한없이 작아질 때 의 값이 일정한 값
에 한없이 가까워지면 “음의 무한 대에서 가
에 수렴한다.”라고 말하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다. → ∞
lim
또는 “ → ∞ 일 때 →
”함수 에서 → ∞ 또는 → ∞일 때, 의 값이 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하는 것을 각각 기호로 다음과 같이 나타낸다.
lim
→ ∞
∞,
lim
→ ∞
∞,
lim
→ ∞
∞,
lim
→ ∞
∞
함수 에서 → ∞ 또는 → ∞일 때 의 값이 수렴하지 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으면, 각 경우를 “양의 무한대에서 가 진동한다.” 그리고 “음의 무한대에서 가 진동한다.”라고 말한다.
보기 6. 양의 무한대에서의 극한과 음의 무한대에서의 극한의 예를 살펴보자.
(1) 일 때
lim
→ ∞
이고
lim
→ ∞
이다.
(2) 일 때
lim
→ ∞
∞이고
lim
→ ∞
∞이다.
(3) 일 때
lim
→ ∞
∞이고
lim
→ ∞
∞이다.
(4) 일 때
lim
→ ∞
∞이고
lim
→ ∞
∞이다.
(5) 라고 하자. → ∞일 때 는 진동하며, → ∞일 때도 는 진동한다.
(6) sin라고 하자. → ∞일 때 는 진동하며, → ∞일 때도 는 진동한다.
의 값이 보다 작으면서 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 → 와 같이 나타내고, 의 값이 보다 크면서 에 한없이 가까워지는 것을 기호로 → 와 같이 나타낸다.
함수 에서 → 일 때 의 값이
에 한없이 가까워지면
을 에서 함수 의 좌극한(left-hand limit)이라고 부르고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.
lim
→
또는 “ → 일 때 →
”또 함수 에서 → 일 때 의 값이
에 한없이 가까워지면
을 에서 함수 의 우극한 (right-hand limit)이라고 부르고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다. →
lim
또는 “ → 일 때 →
”함수 의 극한
lim
→
에서 기호 ‘ → ’는 의 값이 에 한없이 가까이 다가감을 뜻한다. 이때 에 다가가는 방향에 상관없 이 의 값은
에 가까워진다. 그러므로 “ → 일 때 →
”이 성립하려면 → 일 때에 도 →
이고 → 일 때에도 →
이어야 한다.정리 1. 함수 가 의 주변에서 정의되어 있고
이 실수라고 하자. 이때lim
→
이기 위한 필요충분조건은 →
lim
그리고lim
→
이 모두 성립하는 것이다.보기 7. 앞의 보기 3에서 살펴본 최대정수함수 를 다시 살펴 보자. 가 보다 작으면서 에 가까워지면 의 값은 에 가까워지며,
가 보다 크면서 에 가까워지면 의 값은 에 가까워진다. 그러므 로 에서 의 좌극한은 이며, 에서 의 우극한은 이다.
일반적으로, 만약 이 정수라면 에서 의 좌극한은 이고 의 우 극한은 이다. 즉 에서 의 좌극한과 우극한은 각각 존재하지만, 에서
의 극한은 존재하지 않는다.
만약 가 정수가 아니라면, 에서 의 좌극한과 우극한은 일치하며 그 값은 이다. 즉 정수가 아닌 점 에서 의 극한이 존재한다.
“리미트 x가 a의 왼쪽에서 a로 갈 때 f x는 L”