1. 에 대한 방정식
가 서로 다른 두 개의 근을 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
2. 일 때 ln ≤ 임을 보이시오.
3. [모든 양수 에 대하여 ln ln ≥ ]가 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
4. 에 대한 방정식 ln 의 근이 실수 범위에서 존재하지 않도록 하는 상수 의 값을 구하 시오.
5. 일 때, 에 대한 방정식 가 서로 다른 세 개의 실근을 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
6. [모든 실수 에 대하여 ≤ ]가 성립하도록 하는 상수 의 최솟값을 구하시오.
7. 임의의 실수 , 에 대하여 sin sin≤ 임을 증명하시오.
8. 함수 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 에서 미분 가능하다고 하자. 또한
이고, 구간 의 임의의 점 에 대하여 ′≠ 이라고 하자. 이때 방정식
의 근이 열린구간 에 단 하나 존재함을 보이시오.
9. 이 이상인 자연수이고 함수 → ℝ가
이라고 정의되어 있다고 하 자. 이때 구간 에 방정식 의 서로 다른 근이 개 존재함을 보이시오.속도와 가속도
1. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 에서 위치가 이고, , 일 때, 에 서 점 P의 속도, 속력, 가속도, 가속도의 크기를 구하시오.
2. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 에서 위치가 이고,
,
이다.
(1) 점 P의 속력이 일 때의 시각 를 구하시오.
(2) 점 P의 속력이 일 때, 점 P의 속도를 구하시오.
3. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 에서 위치가 이고,
sin , sin (는 양수인 상수)
이다. 또한 에서 점 P의 가속도의 크기가 이다. 다음 물음에 답하시오.
(1) 상수 의 값을 구하시오.
(2) 에서 점 P의 속도와 속력을 구하시오.
일차근사함수
1. 다음 함수 와 점 에 대하여, 에서 의 일차근사함수를 구하시오.
(1) , . (2) , .
(3) , . (4) , .
(5) , . (6) , .
(7) , . (8) sin , .
(9) ln, . (10) , .
(11) , . (12) , .
(13) cos, . (14) sin , . 2. 일차근사함수를 사용하여 다음 값의 근삿값을 구하시오.
(1) [ , 을 사용한다.]
(2) sin
[ sin, 을 사용한다.](3) [ , 을 사용한다.]
(4) [ , 을 사용한다.]
3. 반지름의 길이가 cm인 원이 있다. 이 원의 반지름의 길이를 cm 만큼 늘렸을 때 증가하는 원의 넓이의 근삿값을 일차근사함수를 사용하여 구하시오. [반지름의 길이가 cm인 원의 넓이를
cm으로 두고, 에서 의 일차근사함수를 구한다.]
4. 밑면의 반지름의 길이가 cm이고 높이가 cm인 원뿔이 있다. 이 원뿔의 밑면의 반지름의 길이 를 cm만큼 늘렸을 때 증가하는 원뿔의 부피의 근삿값을 일차근사함수를 사용하여 구하시오.
[밑면의 반지름의 길이가 cm이고 높이가 cm인 원뿔의 부피를 cm으로 두고, 에서 의 일차 근사함수를 구한다.]
5. 함수 가 점 에서 미분 가능하다고 하자. 그리고 가 에서 의 또 다른 일차근사함수라고 하자. (여기서 과 는 상수이다.) 만약 근처에서 일차근사함수 의 오차
가 에 충분히 가까우면 함수
′ 대신 를 에서 의 일차근사함수로 사용해도 될 것이다. 이제
가 에서 의 일차근사함수로 서 가장 적절한 함수임을 보이려고 한다. 함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다고 가정하자.(ⅰ)
(ⅱ)lim
→
이때 ′ 임을 보이시오.
로피탈의 법칙
1. 로피탈의 법칙을 사용하여 다음 극한을 구하시오.
(1)
lim
→
sin
(2)
lim
→
(3)
lim
→
(4)
lim
→
cos
(5)
lim
→ sin
(6)
lim
→ sin
(7)
lim
→ ∞
(8)
lim
→ tan sec
2. 로피탈의 법칙을 사용하여 다음 극한을 구하시오.
(1)
lim
→ ∞
sin
(2) → lim
ln (3)
lim
→
sin
(4) → ∞lim
(5)
lim
→ ∞
ln ln (6)
lim
→
ln
3. 로피탈의 법칙을 사용하여 다음 극한을 구하시오.
(1)
lim
→ ∞
(2)
lim
→
(3)
lim
→
(4)
lim
→ ∞
ln
(5)
lim
→ ∞
ln (6)
lim
→
ln 4. 가 상수일 때 다음을 보이시오.
lim
→ ∞
5. 코시의 평균값 정리에 기하학적 의미를 부여하려고 한다. 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 에 서 위치가 이고 , 라고 하자. 두 점 A 과 B 를 잇는 매끄러운 곡선을 그리면, 곡선에 접하는 직선 중 기울기가 ′′와 같은 것이 존재함을 설명하시오.
최적화 문제
1. 포물선 위의 점 중에서 점 에 가장 가까운 점을 구하시오.
2. 쌍곡선 위의 점 중에서 점 에 가장 가까운 점을 구하시오.
3. 넓이가 m인 직사각형 모양의 꽃밭을 만들기 위해 울타리를 치려고 한다. 울타리의 길이가 최소 가 되려면 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이를 얼마로 해야 하는지 구하시오.
4. 부피가 cm인 직사각기둥 모양의 상자를 만드려고 한다. 아래쪽 밑면은 cm당 원의 비용 이 들고 위쪽 밑면은 cm당 원의 비용이 들며 옆면은 cm당 원이 비용이 든다. 이때 비용을 최소화하기 위해서는 상자의 모서리의 길이를 얼마로 해야 하는지 구하시오.
5. 직사각형 모양의 종이에 인쇄를 하는데 위쪽과 아래쪽 여백은 각각 cm만큼, 왼쪽과 오른쪽 여백 은 각각 cm만큼 두고, 인쇄된 영역의 넓이가 cm가 되도록 하려고 한다. 종이의 넓이가 최소 가 되도록 하려면 종이의 가로 길이와 세로 길이를 얼마로 해야 하는지 구하시오.
6. 반지름의 길이가
cm인 원이 있다. 이 원에 내접하는 직사각형 중에서 넓이가 가장 큰 직사각형 의 가로의 길이와 세로의 길이를 구하시오.7. 반지름의 길이가
cm인 원이 있다. 이 원에 내접하는 이등변삼각형 중에서 넓이가 가장 큰 이등 변삼각형의 밑변의 길이와 높이를 구하시오.8. 부피가
cm인 원기둥을 만드려고 한다. 원기둥의 겉넓이가 최소가 되도록 하려면 원기둥의 밑 면의 반지름의 길이와 높이를 각각 얼마로 해야 하는지 구하시오.9. 반지름의 길이가
cm인 구가 있다. 이 구에 내접하는 원기둥 중에서 부피가 가장 큰 원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 높이를 구하시오.10. 반지름의 길이가
cm인 구가 있다. 이 구에 내접하는 원뿔 중에서 부피가 가장 큰 원뿔의 밑면의 반지름의 길이와 높이를 구하시오.연계변화율
1. 와 가 의 함수이고 이다. 일 때 를 구하시오.
2. 와 가 의 함수이고 이다. 일 때 를 구하시오.
3. 와 가 의 함수이고 이다. 이고 일 때 를 구하시오.
4. 와 가 의 함수이고 이다. 이고 일 때 를 구하시오.
5. 와 가 의 함수이고 이다. 이고 , 일 때 를 구하시 오.
6. 와 가 의 함수이고 이다. 이고 일 때 를 구하시오.
7. 와 가 의 함수이고
이다. , 이고 , 일 때
를 구하시오.8. , , 가 의 함수이고 이다. , 이고 , 일 때
를 구하시오.
9. 키가 cm인 사람이 m 높이에 가로등이 설치된 기둥을 향해 ms의 속력으로 다가간다.
사람과 기둥 사이의 거리가 m일 때, 다음 물음에 답하시오.
(1) 가로등 불빛에 의해 생긴 사람의 그림자의 머리 끝부분이 기둥을 향해 다가가는 속력을 에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 가로등 불빛에 의해 생긴 사람의 그림자의 길이가 변하는 속력을 에 대한 식으로 나타내시오.
10. 로켓을 지표면에 수직인 위쪽 방향으로 ms의 속력으로 쏘아올렸을 때 초 후 로켓의 높이가
m이다. 지표면에서 로켓이 출발한 곳으로부터 m 떨어진 지점에서 로켓까 지의 거리의 시간 에 대한 변화율을 구하시오.
11. 넓이가 cm인 직사각형이 있다. 이 직사각형이 넓이가 변하지 않으면서 세로의 길이가 초당
cm씩 일정한 빠르기로 길어진다. 다음 물음에 답하시오.
(1) 이 직사각형의 가로의 길이가 초당 cm의 빠르기로 짧아지는 순간 이 직사각형의 가로의 길이를 구하시오.
(2) 이 직사각형의 가로의 길이가 초당 cm의 빠르기로 짧아지는 순간 이 직사각형의 대각선의 길이의 시간에 대한 변화율을 구하시오.
12. 평면에서 점 P가 곡선 , 을 따라 움직이는데, 점 P의 좌표는 초당 만큼 증가한다. 점 P의 좌표가 가 되는 순간 점 P의 좌표의 시간에 대한 변화율을 구하시오.
13. 구 모양의 풍선에 분당 m 만큼의 공기를 일정한 속력으로 넣는다. 풍선의 반지름의 길이가
cm가 되는 순간 시간에 대한 풍선의 반지름의 길이의 증가율을 구하시오.
14. 구의 반지름이 초당 cm씩 일정한 빠르기로 커진다. 이 구의 겉넓이가 cm이 되는 순간 시간 에 대한 이 구의 부피의 변화율을 구하시오.
더 깊이 공부하고 싶은 사람을 위한 문제
1. 미분 가능한 함수 가 주어졌을 때 방정식 의 근을 구하는 방법인 ‘뉴턴의 방법(Newton’s
method)’을 조사해 보자. 또한 함수 가 다음과 같이 주어졌을 때 뉴턴의 방법을 사용하여 방정식
의 근을 구하기 위한 수열
을 구성하고,
의 극한을 구해 보자.(1) , . (2) , . (3) , (4) , . (5) , . (6) , .
영어로 표현하기
(미분)□ A function is said to be differentiable at a point ∈ℝ if and only if is defined on some open interval
containing and the limitlim
→
exists. In this case, this limit is called the derivative of at , and denoted ′.
□ ′ is read as “ prime of ,” and
is read as “the derivative of with respect to ”, or “ by .”
□ Let be a function that has a derivative at every point in its domain. We can then define a function that maps every point to the value of the derivative of at . This function is written ′ and is called the derivative function or the derivative of .
□ Sometimes has a derivative at most, but not all, points of its domain. The function whose value at equals ′ whenever ′ is defined and elsewhere is undefined is also called the derivative of . It is still a function, but its domain may be smaller than the domain of .
□ The second derivative, or the second order derivative, of a function is the derivative of the derivative of .
□ If a function is differentiable at , then is continuous at . The converse of this statement in general is false.
□ Let and be real functions. If is differentiable at and is differentiable at , then ∘ is differentiable at with ∘ ′ ′ ′.
□ Suppose that and are real numbers with . If is continuous on , differentiable on , and if , then ′ for some ∈ .
□ Suppose that and are real numbers with . If is continuous on and differentiable on , then there is a ∈ such that
′ .
□ If ′ at each point of an open interval
, then is a constant function on
. If ′ ′ at each point in an open interval
, then there exists a constant
such that
for all ∈
, that is, is a constant function on
.□ Suppose that is continuous on and differentiable on . If ′ at each point ∈ , then is increasing on . If ′ at each point
∈ , then is decreasing on .
□ Let be twice-differentiable on an interval
. If ″ on
, the graph of over
is concave up. If ″ on
, the graph of over
is concave down.□ Suppose that is a critical point of a continuous function , and that is differentiable at every point in some interval containing except possibly at itself.
Moving across this interval from left to right, if ′ changes from negative to positive at , then has a local minimum at .
□ A point where the graph of a function has a tangent line and where the concavity changes is a point of inflection.
□ Suppose that ″ is continuous on an open interval that contains . If ′ and
″ , then has a local maximum at .
□ We use as a notation for an expression known as an indeterminate form. Other meaningless expression often occur, such as ∞∞, ∞⋅, ∞ ∞, , and ∞, which cannot be evaluated in a consistent way; these are called indeterminate forms as well.
□ Suppose that , that and are differentiable on an open interval
containing , and that ′≠ on
if ≠ . Thenlim
→
lim
→ ′ , ′
assuming that the limit on the right side of this equation exists.
□ Suppose that is a differentiable function of satisfying . Use implicit differentiation to find .
□ Find the line tangent to the graph of at .
□ Find the point(s) on the hyperbola closest to the point .
□ The length of a rectangle of constant area 800 square meters is increasing at the rate of 4 meters per second. What is the width of the rectangle at the moment the width is decreasing at the rate of 0.5 meter per second?
□ Suppose that and are differentiable functions of . If and , then what is when ?
열한 번째 이야기