보기 7. 일 때 수열
이 음의 무한대로 발산함을 증명해 보자.먼저 임의의 자연수 에 대하여 임을 상기하자. 이 부등식을 사용하여 증명하겠다.
실수
가 임의로 주어졌다고 하자.자연수 집합은 위로 유계가 아니므로
인 자연수
이 존재한다.
이라고 가정하자. 그러면
≤
이다. 따라서
은 음의 무한대로 발산한다.양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
이라고 하자. 그러면 는 양수이다.
라고 가정하자. 그러면
이다. 따라서 → 일 때 가 에 수렴한다.
보기 9.
가 구간이고 ∈
이며 가
의 를 제외한 모든 점에서 정의된 함수라고 하자. 또한
이 실수이고 가 이 아닌 상수라고 하자.만약
lim
→
이면,lim
→
임을 증명해 보자.양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 도 양수이다.
→ 일 때 가
에 수렴하므로, 양수 가 존재하여 인 모든 ∈
에 대하여
이 성립한다. 이때
⋅
이다. 따라서 → 일 때 가
에 수렴한다.보기 10. 함수 ℝ → ℝ가 라고 정의되어 있다. 이때
lim
→
를 증명해 보자.
생각하는 과정(를 찾는 과정) 이 양수라고 하자. 부등식 을 변형하면 다음과 같다.
⇔
⇔
⇔ 가 에 가까워지면 의 값은 에 가까워진다. 반면 은 에 가까워지지 않는다.
그러나 가 에 ‘충분히’ 가까울 때 의 값이 ‘적당한 양수’를 넘지 않도록 할 수 있다. 그렇다 면 를 에 얼마나 가깝게 만들어야 하고, 의 값은 얼마를 넘지 않게 할 것인가?
와 의 거리가 이하라고 가정해 보자. 즉 이라고 가정해 보자. 그러면 의 값의 범위 는 이므로 이다. 이 부등식으로부터 을 얻는다.
이 성립한다는 가정 하에 이 성립하도록 하는 의 범위를 찾자.
이므로 이면 충분하다. 그러므로 ≤ 이어야 한다.
≤ 이라는 범위를 찾는 동안 이라는 가정을 하였다. 이 가정은 이라는 부 등식으로부터 얻은 것이다. 그러므로 이 가정이 성립하도록 하려면 ≤ 이어야 한다.
따라서 min
로 두면, 는 우리가 바라는 역할을 하는 양수이다.증명 서술하기 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
min
이라고 하면 는 양수이다.21) 라고 가정하자. 그러면 이므로 이다.
또한 이므로
⋅
이다. 따라서 → 일 때 가 에 수렴한다.
극한의 정의를 사용하여, 함수가 수렴하지 않음을 증명할 수 있다.
정의 3의 부정을 한정명제로 나타내면 다음과 같다.
∃ ∀ ∃∈
∧
≥ 즉 극한의 정의를 사용하여 → 일 때 가
에 수렴하지 않음을 서술하는 과정은 다음과 같다.1단계. 적당한 양수 을 정의한다.
2단계. 양수 가 임의로 주어졌다고 가정한다.
3단계. [ 이지만
≥ ]인
의 원소 가 존재함을 설명한다.보기 11.
이고, 함수
→ ℝ가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자.
if ∈ ℚif ∉ ℚ → 일 때 가 에 수렴하지 않음을 증명해 보자.
이라고 하자.22) 그리고 양수 가 임의로 주어졌다고 하자.
무리수의 조밀성23)에 의하여, 와 를 모두 만족시키는 무리수 가 존재한다.
라고 하면 ∈
이고, 이면서 ≥
이다. 그러므로 → 일 때 가 에 수렴하지 않는다.
→ 일 때 가 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산하는 극한을 다음과 같이 정의한다.
21) 더 작은 값을 로 두어도 된다. 예컨대 min
로 두어도 바라는 결론인 을 얻을 수 있다.22) 이 증명에서 은 이하인 어느 양수를 택하여도 바라는 결론을 얻을 수 있다.
23) 서로 다른 두 실수 사이에 반드시 무리수가 존재한다는 정리이다.
정의 4.
가 구간이고 ∈
이며 가
의 를 제외한 점에서 정의된 함수라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.(ⅰ) 만약 임의의 실수
에 대하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여
가 성립하면, “ → 일 때 가 양의 무한대로 발산한다.”라고 말한다.(ⅱ) 만약 임의의 실수
에 대하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여
가 성립하면, “ → 일 때 가 음의 무한대로 발산한다.”라고 말한다.보기 12. 이 아닌 실수의 집합을 ℝ라고 하고, 함수 ℝ → ℝ가
과 같이 정의되어 있다고 하자. → 일 때 가 양의 무한대로 발산함을 증명해 보자.
실수
가 임의로 주어졌다고 하자.만약
이라면, 양수 를 임의로 하나 택하자. 예컨대 로 두어도 된다.만약
≠ 이라면
이라고 하자.
이제 라고 가정하자. 그러면 ≠ 이고 이므로
≥
≥
이다. 따라서lim
→
∞이다.
수열
의 극한은 → ∞일 때의 극한만 정의한다. 하지만 함수 의 극한은 → 일 때뿐만 아니 라 좌극한과 우극한, 그리고 → ∞일 때와 → ∞일 때의 극한도 정의한다.정의 5.
가 구간이고 ∈
이며 가
의 를 제외한 점에서 정의된 함수라고 하자. 또한
이 실수라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.24)(ⅰ) 가
의 내부의 점이거나
의 왼쪽 끝점이라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면, “ → 일 때 가
에 수렴한다.”라고 말한다.(ⅱ) 가
의 내부의 점이거나
의 오른쪽 끝점이라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 양수가 존재하여 인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면,“ → 일 때 가
에 수렴한다.”라고 말한다.(ⅲ)
가 위로 유계가 아니라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 실수
가 존재하여
인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면, “ → ∞일 때 가
에 수렴한다.”라 고 말한다.(ⅳ)
가 아래로 유계가 아니라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 실수
가 존재하여
인 임의의 ∈
에 대하여
이 성립하면, “ → ∞일 때 가
에 수렴한 다.”라고 말한다.보기 13. 일 때
lim
→ ∞
을 증명해 보자.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
log이라고 하자.25) 그러면
는 실수이다.
라고 가정하자. 그러면 log이므로 log 이다.따라서 → ∞일 때 → 이다.