함수 의 그래프의 개형은 다음과 같은 사항을 조사하여 그릴 수 있다.
① 함수의 정의역과 치역 ② 곡선과 좌표축의 교점 ③ 곡선의 대칭성과 주기
④ 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 ⑤ 그래프가 볼록한 방향, 변곡점 ⑥ 그래프의 점근선
보기 14. 함수 의 그래프를 그려 보자. 의 함수식을 인수분해하면
이다. 의 도함수를 구하면
′ ,
″
이다. 여기서 , ′ , ″ 인 점 를 구하고 이 점을 기준으로 의 증가와 감 소를 표로 만들면 다음과 같다.
… … … … …
′
″
이 표를 바탕으로 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
이 함수는 에서 최솟값 을 가지며 최댓값은 갖지 않는다. 함수 의 그래프는
인 범위와 인 범위에서 아래쪽으로 볼록하며, 인 범위에서 위쪽으로 볼록 하다. 또한 이 그래프의 변곡점은 과 이다.
한편 함수 가 모든 실수에서 연속이고, 임의의 실수 , 에 대하여
lim
→ ∞
∞,
lim
→ ∞
∞ 이므로, 의 그래프는 점근선을 갖지 않는다.
보기 15. 함수
의 그래프를 그려 보자.
의 정의역이 실수 전체 집합이고 이므로, 의 그래프는 원점을 지난다.
또한 이므로 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 그러므로 ≥ 일 때 의 그래프의 모양만 조사하면 충분하다.
′
, ″
이므로 ′ 또는 ″ 인 점 를 구하고 이 점을 기준으로 의 증가와 감소를 표로 만 들면 다음과 같다.
… … …
′
″
또한
lim
→ ∞
이므로 의 그래프의 점근선은 축이다. 가 모든 실수에서 연속이므로 의 그래프 는 수직점근선을 갖지 않는다.
따라서 함수 의 그래프를 그리면 다음과 같다.
이 함수는 에서 최댓값 을 갖고 에서 최솟값 을 가진다. 또한 의 그래프의 변곡점 은 세 점
, ,
이다.연습문제
개념에 익숙해지기 위한 문제
1. 함수 가 실수 전체 구간에서 다음과 같이 정의되어 있을 때, 함수 의 극값을 모두 구하시오.
(1) (2)
(3)
2. 함수 가 닫힌구간 에서 다음과 같이 정의되어 있다.
이때 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
3. 함수 와 구간
가 다음과 같을 때, 구간
에서 함수 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.(1) ,
(2)
,
(3) ,
(4) ,
4. 열린구간 에서 함수 cos 의 그래프가 위쪽으로 볼록한 의 범위를 구하시오.
5. 함수 가 열린구간 에서 sin 라고 정의되어 있을 때, 의 그래프의 변곡점을 모두 구하시오.
6. 함수 가 라고 정의되어 있을 때, 닫힌구간 에서 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
7. 다음 함수의 그래프를 그리시오.
(1)
(2)
8. 다음 함수의 그래프의 사선점근선을 구하시오.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
극한을 계산하지 않고 분수함수의 사선점근선을 구하는 방법이 존재하는가?
개념을 다지기 위한 문제
9. 닫힌구간 에서 함수 의 최솟값이 일 때, 상수 의 값을 구하 시오.
10. [ 이상인 모든 에 대하여 ]을 만족시키는 양수 를 구하시오.
11. 함수 가 라고 정의되어 있다. 이때 닫힌구간 에서 가 순증가 하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
12. 함수 가 다음과 같이 정의되어 있다.
이때 닫힌구간 에서 함수 가 순증가하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
13. 함수 가 라고 정의되어 있고, 닫힌구간 에서 의 최댓값이 이다. 이때 구간 에서 의 최솟값을 구하시오.
14. [ ≥ 인 모든 실수 에 대하여 ≥ ]가 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
15. 함수 와 가 다음과 같이 정의되어 있다.
그리고 .
구간 의 모든 점 에 대하여 가 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
16. 함수 가 다음과 같이 정의되어 있다.
그리고 .
이때 [모든 실수 에 대하여 ]가 성립하도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
17. 함수 가 이라고 정의되어 있다. 이때 함수 가 열린구간 에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
18. 에 대한 방정식 이 서로 다른 개의 근을 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
실력을 향상시키기 위한 문제
19. 에 대한 방정식 가 서로 다른 두 양의 근과 하나의 음의 근을 갖도록 하는 상수 의 값을 구하시오.
20. 에 대한 방정식 이 서로 다른 두 양의 근과 하나의 음의 근을 갖도록 하는 상수
의 값을 구하시오.
21. 함수 가 라고 정의되어 있고 와 는 상수이며 이다. 또한 닫힌구간
에서 의 최댓값은 이고 최솟값은 이다. 이때 의 값을 구하시오.
22. 함수 가 이라고 정의되어 있고, 이 함수의 최댓값과 최솟값의 합이
이다. 이때 상수 의 값을 구하시오.
23. 함수 가 라고 정의되어 있고 는 상수이다. 또한 함수 가 극댓값
과 극솟값 을 가지며
이다. 이때 상수 의 값을 구하시오.24. 함수 가 이라고 정의되어 있으며, 열린구간 에서 극 댓값을 갖고 열린구간 ∞에서 극솟값을 가진다. 이때 상수 의 값을 구하시오.
25.
가 길이가 양수인 열린구간이고 가
에서 정의된 함수라고 하자. 만약
의 임의의 점 에 대하 여 ∈
⊆
인 열린구간
가 존재하여 가
에서 상수함수이면, “가
에서 국소적으로 상수이 다”라고 말한다. 함수 가 구간
에서 국소적으로 상수이면, 는
에서 상수함수임을 보이시오.더 깊이 공부하고 싶은 사람을 위한 문제
26. 을 만족시키는 서로 다른 자연수 , 의 쌍을 모두 구하시오.
27. 함수 가 다음과 같이 정의되어 있다.
if ≠ if (1) 가 ℝ에서 연속임을 보이시오.
(2) 가 ℝ에서 미분 가능함을 보이시오.
(3) 임의의 자연수 에 대하여 의 계도함수 이 존재함을 보이시오.
(4) 임의의 자연수 에 대하여 임을 보이시오.
28. 함수 가 미분 가능할 때 는 연속이지만 도함수 ′은 연속이 아닐 수 있다. 그러나 가 미분 가능할 때 ′은 항상 사잇값 성질을 가진다. 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간
에서 미분 가능하며 ′≠ ′라고 하자. 만약 이 ′와 ′ 사이에 있는 점이라면
′
을 만족시키는 점 이 열린구간 에 존재함을 보이시오. 이 정리를 다르부의 정리 (Darboux's theorem) 또는 도함수의 사잇값 성질(intermediate value property)이라고 부른다.29. 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 의 예를 드시오.
(ⅰ) 함수 는 열린구간 에서 정의되어 있고, 이 구간에서 연속이다.
(ⅱ) 함수 는 에서 미분 가능하고 ′ 이다.
(ⅲ) 열린구간
가 ∈
⊂ 을 만족시키면, 함수 는
에서 단조증가함수가 아니다.열 번째 이야기