치환에 관한 최초의 연구 기록 중 하나는 18세기 이전의 어느 때에 이름 모를 유 태인이 쓴 『Sefer Yetsirah(창조에 관한 책)』이다. 그는 얼마나 많은 방법으로 히 브리 알파벳 문자를 배열할 수 있는지에 관심이 있었다. 어떤 면에서 그 질문은 수 수께끼 같은 것이었다. 유태인들은 그 문자들이 마력을 가지고 있기 때문에 적절히 배열하면 자연의 힘을 정복할 수 있다고 믿었다. 『Sefer Yetsirah』의 실제적 내용 은 매우 빈약해서 두 문자가 2개의 단어를 만들고 세 문자가 6개의 단어를, 네 문 자가 24개의 단어를, 다섯 문자가 120개의 단어를, 여섯 문자가 720개의 단어를, 일 곱 문자가 5,040개의 단어를 만든다고 쓰여 있다. 재미있게도 알파
벳 문자를 배열하는 것을 세는 이 생각은 8세기와 9세기의 이슬람 수학에도 나타난다. 13세기까지 이슬람 문화와 히브리 문화 모두 에게 치환에 대한 추상적인 생각은 뿌리를 내려서 현 모로코의 마 라케쉬 태생의 수학자 Abu-l-'Abbas ibn-Banna(1256〜1321)와 프 랑스의 율법학자이자 철학자, 수학자인 Levi ben Gerson이 계산
조합에 대한 다양한 결과를 증명하고 개의 원소를 가진 어떤 집합의 치환의 수가
임을 정확하게 증명할 수 있었다.
하지만 Levi와 그의 스승들은 주어진 유한집합을 단순히 배열하기 위한 치환에 관심이 있었다. 다항 방정식의 해에 관한 연구 덕분에 18세기 후반에 Lagrange와 몇몇은 치환을 주어진 방정식의 해들의 집합인 유한집합에서 자기 자신으 로 대응하는 함수로 생각하게 되었다. 또한, Augustin-Louis Cauchy(1789〜1857)는 치환이론의 기본 정리들을 상세히 발 전시켰다.
-「현대 대수학 (JOHN B.FRALEIGH)」중에서
예시 답안
풀어보기 1
이므로
이다. 같은 방법으로 이므로
이다. 그러므로
(
는 항등함수)이므로
,
이다.따라서
풀어보기 2
(1) (2)
풀어보기 3
이므로 .
논제 1
31)1-1.
1-2.
논제 2
다음과 같이 정의된 치환
를 사이클들의 곱으로 표현하면
을 얻는다. 그런데 정리 2를 이용하여
을 얻는다. 이것을 대입하면
임을 알 수 있다.
논제 3
항등치환이 개의 호환 들의 곱으로 표시된다고 하자. 즉,
⋯ .
호환 에 나타나는 임의의 수 를 선택한다. 가 나타나는 마지막 호환을
라 하자. 즉, 에는 가 나타나지 않는다. 만약 이라면,
과 는 서로 상쇄되어 은 개의 호환의 곱으로 표시된다.
이제 ≠이라 가정하면 다음 가지 경우를 생각할 수 있다.
(1) 이고 ≠ 인 경우: 이므로 가
번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.
(2) 이고 ≠ 인 경우: 이므로 가
번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.
(3) 이고 ≠ , ≠ 인 경우: 이므로 가
번째 호환에 마지막으로 나타나게 할 수 있다.
따라서 (1), (2), (3)의 경우 위의 과정을 반복하면 가 첫 번째 호환에 마지막으 로 나타나게 할 수 있는데, 이것은 에 의해 가 다른 수로 대응되므로 항등치환임 에 모순이다. 이것으로 문제의 첫 번째 주장이 증명되었다.
만일 이 홀수 개의 호환들의 곱으로 표시되었다면, 앞에서 증명한 사실에 따라
은 하나의 호환이 되므로 모순이다.
논제 4
치환 가 홀수 개의 호환의 곱으로 그리고 짝수 개의 호환의 곱으로 표시될 수 있다고 가정한다. 이제 ⋯ ⋯ (모든 , 는 호환)으로 쓰자.
그러면
⋯ ⋯
이 성립하여 이 홀수 개의 호환의 곱으로 표현되어 [논제 3]의 사실에 위배된다.