✾ [문제 1 (50점)]
제 시 문
(가) 도형의 대칭성에 대해 알아보자. 평면도형의 대칭성은 점대칭과 선대칭, 두 가지로 나눌 수 있다.
도형
가 점대칭이라는 것은, 특정한 점 가 존재하여 이 점 를 중심으로 도형
를 도 회전시키면 회전된 도형이 원래 도형에 겹쳐진다는 것을 뜻한 다. 이 때 점 를 도형
의 대칭의 중심이라 한다. 도형
를 둘러싸는 원이 존 재할 때
를 유계도형이라 하는데, 도형
가 유계도형이고 점대칭이면 대칭의 중심은 유일하다.평행사변형은 점대칭도형의 한 예이다. 두 대각선의 교점이 평행사변형의 대 칭의 중심이다. 사인함수의 그래프는 점대칭도형의 또 다른 예이다. 사인함수의 그래프는 유계도형이 아니며, 대칭의 중심도 무수히 많다.
다음으로, 도형
가 선대칭이라는 것은, 특정한 직선 이 존재하여 도형
를 직선 을 따라 접으면 도형의 두 부분이 완전하게 포개진다는 것을 뜻한다. 이 때 직선 을 대칭축이라 하며, 대칭축은 여러 개 있을 수 있다.이등변삼각형은 선대칭도형의 예이다. 등변이 아닌 변의 수직이등분선이 이등 변삼각형의 대칭축이다. 정사각형도 선대칭이며, 정사각형의 대칭축은 4개나 된 다. 일반적으로 정각형은 대칭축이 개인 선대칭도형이다.
(나) 도형
가 점 에 대해 점대칭이기 위해서는, 도형
의 임의의 점 의 대 칭의 중심 에 대한 대칭점 ′이 도형
에 포함되어 있으면 된다. 이 때 세 점 ′ 는 점 가 선분 ′의 중점이 된다는 관계를 만족한다.
′
〃 •
〃
•
•
<그림 Ⅰ-1>
같은 식으로, 도형
가 직선 에 대해 선대칭이기 위해서는, 도형
의 임의의
′
•
•
˝
┑˝
<그림 Ⅰ-2>
[문제 1-1] 도형
가 함수 의 그래프일 때 다음에 답하라.(1) (5점) 도형
가 좌표가 인 점 에 대하여 점대칭일 조건을 함수 에 관 한 식으로 나타내어라.(2) (15점) 도형
가 방정식 (단, ≠)로 주어진 직선 에 대하여 대 칭일 조건을 함수 에 관한 식으로 나타내어라.[문제 1-2] (10점) 차 함수 ≠의 그래프는 점대칭임을 보 여라.
[문제 1-3] 함수
의 그래프를
라 하자.(1) (10점)
의 두 점근선인 직선 와 -축이 이루는 예각을 이등분하는 직선의 방정식을 구하라.
(2) (10점)
가 에 대해 선대칭임을 보여라.제시문 분석
1. 제시문 (가)
평면도형의 대칭성은 점대칭과 선대칭으로 나눌 수 있으며 점대칭도형과 선대칭 도형을 정의하고 각각의 예를 들어 설명하고 있다.
2. 제시문 (나)
도형
가 점대칭도형이기 위한 조건과 선대칭도형이기 위한 조건을 설명하고 있다.논제 분석
[문제1] 제시문을 이용하여 도형
가 점대칭도형과 선대칭도형일 조건을 함수 에 관 한 식으로 나타낼 수 있는가?(1) 도형
위의 임의의 점 의 점 에 대한 대칭점 ′ 가 도형
에 포함되어 있으며 점 는 선분 ′의 중점이 됨을 식으로 표현하고 두 식을 연립하여 에 대한 식으로 표현한다.(2) 도형
의 임의의 점 의 대칭축 : 에 대한 대칭점 ′ 가 도형
에 포함되어 있으며 두 점 ′과 직선 은 직선 이 선분 ′의 수직 이등분선이 됨을 식으로 표현하고 이를 연립하여 에 대한 식으로 표현한다.[문제2] 주어진 삼차함수가 [1-1]의 (1)의 결과를 만족함을 보일 수 있는가?
주어진 삼차함수를 [1-1]의 점대칭도형의 에 관한 조건식에 대입하여 전개하고 이를 만족하는 실수 가 존재함을 보인다.
[문제3] 와 축이 이루는 예각을 이등분하는 직선을 구하고, 주어진 함수 가 [1-1]의 (2)를 만족함을 보일 수 있는가?
(1)
의 두 점근선이 이루는 예각을 구하고 이를 그림으로 나타내어 이등분선 위 의 임의의 점에서 축에 수선의 발을 내리고 삼각형의 성질을 이용하여 기울기를 구한다.(2)