✾ 다음 <제시문 1>을 읽고 [논제 1-1]와 [논제 1-2]를 풀이와 함께 답하시오.
제 시 문 1
세 종류의 물질 의 농도는 시간에 따라 변한다. 시간 에서 물질 의 농도를 각각
라 할 때 초기의 농도는 각각
이다. 세 물질이 반응을 시작하여 초 후 농도와 초 후 농도는 다음 관계식을 만족한다.
여기서
는 양의 상수이고, 은 보다 크거나 같은 정수이다.[논제 1-1] 물질 농도의 합은 시간에 관계없이 항상 일정함을 보이고, 그 값을 구하시오.
[논제 1-2]
이고
이라고 하자. 시간 초에서 물질 와
의 농도의 합
을 구하시오. 또한 이 한없이 커질 때 물질 의 농도
이 어떤 값으로 수렴하는지 구하시오.✾ 다음 <제시문 2>를 읽고 [논제 2-1]과 [논제 2-2]를 풀이와 함께 답하시오.
제 시 문 2
성균이는 다음의 카드놀이 게임을 하고자 한다. 에서 까지 숫자가 적힌
장의 카드가 상자 안에 있다(여기서 은 양의 정수이다). 이 중에서 한 장의 카드를 뽑아 숫자를 확인한 후 남은 장의 카드 중에서 한 장을 더 뽑는다 고 한다. 성균이는 두 번째 카드의 숫자를 확인하기 전에 이미 숫자를 확인한 첫 번째 카드의 숫자보다 두 번째 카드의 숫자가 클 것인지 작을 것인지 정한 다. 두 번째 카드의 숫자를 확인하여 성균이의 예상과 맞으면 게임을 이기고, 예 상과 다르면 게임을 지는 것으로 한다. 만약 첫 번째 카드의 숫자가 보다 작 거나 같다면 성균이는 두 번째 카드의 숫자가 첫 번째 카드의 숫자보다 클 것 으로 예상하기로 했다. 또한 첫 번째 카드가 보다 큰 값이 나온다면 두 번째 카드의 숫자는 첫 번째 카드보다 작은 숫자가 나올 것으로 예상하기로 했다.
[논제 2-1] 인 경우, 즉 에서 까지의 숫자가 적힌 장의 카드를 가지고 게 임을 할 때, 성균이가 게임을 이길 확률을 구하시오.
[논제 2-2] 이 한없이 커짐에 따라 성균이가 게임을 이길 확률이 어떤 값으로 수렴 하는지 구하시오.
제시문 분석
1. 제시문 1
세 종류의 물질 의 농도에 관한 점화식을 설명하고 있다.
2. 제시문 2
논제 해결에 필요한 확률적 상황에 대해 설명하고 있다.
논제 분석
[논제 1-1]
주어진 점화식에 관한 기초적인 변형을 할 수 있는가를 묻는 논제이다.
[논제 1-2]
초기조건을 통해 점화식의 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 논제이다.
[논제 2-1]
일반화하여 논제를 해결하기에 앞서 특수한 경우를 통해 확률값을 구하는 과정을 묻는 논제이다.
[논제 2-2]
[논제 2-1]을 바탕으로 일반적인 경우의 확률값을 구하는 과정을 묻는 논제이다.
배경지식 쌓기
1. 수열의 점화식
수학에서 점화식(Recurrence relation)이란 수열의 항 사이에서 성립하는 관계식 을 말한다. 즉, 수열
의 각 항 이 함수 를 이용해서
⋯
처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 를 수열
의 점화식이라고 하며, 또한, 수열
은 점화식 에 의해 정의된다.점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열
의 일반항 을 의 명시적 인 식(Explicit formula)으로 나타내는 것을 말한다.2. 확률의 덧셈정리 (addition theorem of probability)
어떤 개의 사건(event)
와
가 동시에 나타날 수 없는 경우에 이 두 사건을 서로 배반사건이라고 한다. 개의 사건
와
가 배반사건일 경우에
또는
가 일어날 확률을
∪
라고 하면
∪
인데, 이를 확률의 덧셈정리라고 한다.풀어보기
1. 자연수 에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 열에 개, 열에 개,
열에 개, ⋯ , 열에 개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다.
블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의
만큼의
블록을 그 열에서 들어낸다.
블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, 열부터 열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 이라 하자.
예를 들어, 이다.
lim
→∞
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) 22)
2. 주머니 안에 스티커가 개, 개, 개 붙어 있는 카드가 각각 장씩 들어 있다.
주머니에서 임의로 카드 장을 꺼내어 스티커 개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을
라 하자. 시행을 번 하였을 때, 회부터회까지는 사건
가 일어나지 않고, 회에서 사건
가 일어날 확률을 라 하
자. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)23)