✾ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.
제 시 문
(가) 양의 실수 에 대하여 자연로그함수 는 다음과 같이 정의한다.
일 때 는 <그림 1>과 같이 구간 에서 함수
의 그래프
와 -축 사이의 영역의 넓이를 뜻한다. 한편, 이면
는구간 에서 함수
의 그래프와 -축 사이의 영역의 넓이에 마이너 스(-) 부호를 붙인 값과 같다. 이로부터 이면 이고, 이면
임을 알 수 있다. 또, 임은 당연하다.
<그림 1>
(나) 함수의 그래프 아래의 넓이와 미분의 관계를 함수 의 예를 통 해 알아보자. <그림 2>와 같이 임의의 수 에 대해, 에서 까지
의 그래프 아래의 넓이를
라 하자. 이때 의 증분 에 대한
의 증분을
라 하면
이다. 그런데 <그림 2>에서 구간 사이의 빗금 친 부분은 밑변의 길이가 , 높이가 인 직사각형 에 포함되고, 높이가 인 직사각형을 포함하므로 부등식
이고, 극한
lim
→
으로부터
lim
→
이 된다. 즉
이다.
<그림 2> 정적분과 미분의 관계
[문제 1] 제시문 (가)에서 정의한 자연로그함수 에 대하여 ≠ 일 때, 미 분공식
을 제시문 (나)에서 설명한 방법을 사용하여 유도하고, 정적분
의 값을 구하시오.[문제 2] 오른쪽 그림과 같이 함수
위의 임
의의 점
에서 접선이 -축, -축과 만나는 점을 각각 라 하고, 점 에서 -축에 수직인 직선과 점 에서 -축에 수직인 직선이 함수
과 만나는 점을
각각 이라 하자. 그리고 을 잇는 선으로 둘러 싸인 영역의 넓이를
이라 하고, 를 잇는 선으로 둘러싸인 영역의 넓이를
라 할 때,
임을 보이시오.제시문 분석
1. 제시문 (가)
의 구간에 따라 자연로그함수 를 정적분으로 정의하고 있다.
2. 제시문 (나)
예를 이용하여 정적분과 미분의 관계, 즉 미적분학의 기본정리를 증명하고 있다.
논제 분석
[문제 1] (나)의 증명을 이용하여 자연로그의 미분을 증명하고, 그 결과를 이용하여 분 수함수의 정적분을 계산할 수 있는가?
(나)의 설명처럼 과 의 구간으로 나누어
의 범위를 구하고,lim
→
을 계산하여 자연로그함수 의 도함수가
임을 증명한다. 또한 그 결
과를 활용하면 분모가 일차식이고 분자가 상수인 분수함수의 정적분은 자연로그함 수의 꼴이 됨을 알 수 있다.
[문제 2]
과
를 정적분을 이용하여 계산할 수 있는가?
에서의 접선의 방정식을 구하고
과
를 적당한 영역으로 나누어 정적 분과 다각형의 넓이 공식을 이용하면
과
의 넓이를 계산할 수 있다.배경지식 쌓기
1. 부분분수
2. 접선의 방정식
위의 점 에서의 접선의 방정식
풀어보기
1.35) 다음 함수를 미분하시오.
2. 다음 정적분의 값을 구하시오.
3.36) 미분가능한 함수 가
를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.<그림 4> Isaac Barrow