✾ 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.
제 시 문
(가) 단위원 위를 점 에서 출발하여 시계 반대 방향으로 움직 이는 점 의 시각 에서의 좌표를 라고 하자. 타원 (단,
인 실수)은 두 점 , 에서 단위원에 접한다. 점 에서 축에 내린 수선이 타원과 처음 만나는 점을 라고 하자.
(나) 점 와 원점 를 이은 선분이 타원과 만나는 점을 이라 하자. 선분
와 선분 가 이루는 각을 , 선분 와 선분 가 이루는 각을 라고 하자. 선분 , 선분 과 타원의 호 로 둘러싸인 도형 의 넓이를 , 선분 , 선분 과 타원의 호 로 둘러싸인 도형 의 넓이를 라고 하자.
[논제 1-1] 점 가 단위원 위의 점 에서 출발하여 시계 반대 방향 으로 시각 에 따라 일정한 속도로 돌고 있다. 선분 , 선분 와 타 원의 호 로 둘러싸인 도형 의 넓이를
라고 하자.
의 시간 에 대한 변화율
가 상수임을 논리적으로 설명하시오.
[논제 1-2] 각 의 시간에 대한 변화율
가 각 의 시간에 대한 변화율
와 같
아지는 가 구간 ≤ ≤
에서 적어도 하나는 존재함을 논하고, 또한 이
때 와 사이의 관계식을 구하시오.
lim
→
를 구하시오.
[논제 1-3] 극한값
lim
→
를 구하시오.
제시문 분석
1. 제시문 (가)
좌표평면에서 ≥ 인 영역에서 단위원 과 타원 (단, 인 실수)이 두 점 , 에서 접하는 상황을 제시하고 있다.
2. 제시문 (나)
원점 에서 원 위의 한 점 , 에서 축에 내린 수선과 타원이 만나는 점 , 선분 와 타원이 만나는 점을 이라 할 때 나타나는 삼각형 모양의 도형 를 타원이 나누는 두 도형의 넓이 에 대한 설명을 제시하고 있다.
논제 분석
[논제 1-1]
평면도형과 함수의 관계를 도형의 형태 변화와 미적분의 응용으로 찾아내는 문제 이다. 기본적인 도형에 대한 수학적 추론을 통하여 함수들에 대한 이해를 묻는 문 제이다. 고등학교 교육과정을 고려한다면 원과 타원의 관계를 일차변환을 이용하여 접근하거나 카발리에리의 원리를 이용하면 되는 논제이다.
[논제 1-2]
도형의 성질을 이용하여 함수에 대한 이해를 묻는 문제이다. 교과 과정에서 다루 는 함수들에 대한 정확한 이해와 수학적 논증을 제시할 수 있는 능력을 측정하고자 한다. 구체적으로 말하면 논제 해결 과정에서 찾을 수 있는 연속 함수 에 대하 여 중간값의 정리를 이용해
(ⅰ)
인 곳이 ≤ ≤
안에 적어도 하나 존재함을 보이는 존재성 증명,
(ⅱ) 와 사이의 관계식을 구하는 과정,
ⅲ) 극한값
lim
→
를 구하는 과정
을 요구하는 논제로서 논제가 요구하는 내용을 논리적, 체계적으로 서술해야 한다.
[논제 1-3]
극한에 대한 개념과 평면 도형에 대한 이해를 묻는 문제이다. 평면도형의 성질을 함수로 표현 할 수 있는 능력과 함수의 극한에 대한 이해를 측정하고자 한다. 논제 해결 과정에서 도형의 넓이 , 의 상호관계를 깊이 이해하고 연관성을 논리적으로 파악하여 극한값을 구할 수 있어야 한다.
배경지식 쌓기
1. 카발리에리의 원리
(1) 두 개의 평면도형이 한 쌍의 평행선 사이에 끼어 있고 그 평행선들과 평행인 임의의 선으로 두 평면 도형을 잘랐을 때 생기는 두 선분의 길이가 항상 일정한 비 를 가지면 두 평면도형의 넓이도 또한 그 비를 갖는다.
(두 도형은 넓이가 같다.)
(2) 두 개의 공간 도형이 한 쌍의 평행면 사이에 끼어 있고 그 평행면들과 평행 인 임의의 면으로 그 두 공간 도형을 잘랐을 때 생기는 두 단면의 넓이가 항상 일 정한 비를 가지면, 두 공간 도형의 부피도 또한 그 비를 갖는다.
위 그림은 “밑면과 높이가 같은 두 개의 각뿔은 같은 부피를 갖는다.”라는 말이다.
2. 일차변환
(1)
인 경우: 축의 방향으로 확대
인 경우: 축의 방향으로 축소 (2)
인 경우: 축의 방향으로 확대
인 경우: 축의 방향으로 축소 3. 치환적분
구간 에서 연속인 함수 에 대하여 미분 가능한 함수 의 도함수
′ 가 구간 에서 연속이고 이면
′4. 중간값의 정리
닫힌구간 에서 정의된 연속함수 가 를 만족할 때, 임의의 실
풀어보기
1. 현재의 적분법을 이용하여 다음의 카발리에리의 원리가 성립함을 설명하시오.
(1) 한 평면 위의 두 도형이 그림과 같이 축에 평행한 임 의의 직선을 잘라내는 선분의 길이가 언제나 이 면 이들의 넓이의 비는 이다.
(2) 두 입체도형을 일정한 평면에 평행한 도형으로 잘랐 을 때, 두 단면의 면적의 비가 언제나 이면 이 들의 도형의 부피의 비는 이다.
2. 카발리에리의 원리를 이용하여 원 과 타원
사이의 넓이 관계에 대해서 논술하시오.
3. 보다 큰 실수 에 대하여
라 할 때, 과 같은 것은?(2007 대수능)
① ② ③ ④ ⑤
4. 실수전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 두 함수 와 에 대하여 정적분
′ ′ 의 값을 라 하자. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (2010 대수능)
<보 기>
ㄱ.
′ ′ ㄴ. 이고 이면 이다.ㄷ.
이고 이면 이다5. 좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 °이고 반지름의 길이가 인 부채 꼴 가 있다. 점 가 점에서 출발하여 호 를 따라 매초 의 일정한 속력 으로 움직일 때, ∠ °가 되는 순간 점의 좌표의 시간(초)에 대한 변화 율은? (2007 평가원)