1. 도형 의 대칭이동 (ⅰ) 축 대칭이동 : (ⅱ) 축 대칭이동 : (ⅲ) 원점 대칭이동 : (ⅳ) 대칭이동 : (ⅴ) 대칭이동 : (ⅵ) 에 대한 대칭이동 : (ⅶ) 에 대한 대칭이동 :
(ⅷ) 점 에 대한 대칭이동 : 2. 직선 에 대한 대칭이동
점의 대칭이동 : 점 의 직선 에 대한 대칭점을 ′′ ′ 이라 하면 (ⅰ) 중점 조건 : ′의 중점이 직선 위에 있다.
(ⅱ) 수직 조건 : 두 점 ′을 지나는 직선은 직선 과 수직이다.
즉, ( ′ 의 기울기)×(의 기울기) 3. 일차변환
좌표평면 위의 각 점을 그 평면 위의 다른 점으로 대응시키는 함수를 변환이라고 하며 특히, 변환 ⟶ ′ ′에서 ′ ′이 다음과 같이 상수항이 없는 에 대한 일차식으로 나타낼 때, 변환 를 일차변환이라고 한다. 또한 이러한 일차변 환을 행렬로 표현하면
′ ′ ⇔
′′
, 는상수4. 여러 가지 일차변환의 행렬표현 (ⅰ) 축에 대한 대칭변환
(ⅱ) 축에 대한 대칭변환
(ⅲ) 원점에 대한 대칭변환
(ⅳ) 직선 에 대한 대칭변환
(ⅴ) 직선 에 대한 대칭변환
(ⅵ) 닮음의 중심이 원점이고, 닮음비가 인 닮음환은
(ⅶ) 원점을 중심으로 각 만큼 회전이동하는 회전변환은
풀어보기
1. 일차변환 →′ ′이 직선 에 대한 대칭변환일 때, 일차변환 의 행렬을 구하시오.
2. 최고차항의 계수가 인 삼차함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) 함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 서로 다른 세 점 , , (단, ＜＜ )에서 만나면 의 값에 관계없이
이다.함수 의 그래프와 함수 의 그래프가
다음 그림과 같이 서로 다른 세 점에서 만나고 가운데 교점의 좌표의 값이 일 때,
의 값을 구하시오. (2006 평가원).
예시 답안
풀어보기 1
임의의 점 의 에 의한 대칭점 ′′ ′ 이라 하면 ′의 중점
′
′
은 위의 점이다.
따라서, ′ ′ …①
또한, 선분 ′은 와 수직이므로 선분 ′의 기울기는
이다.
따라서, ′ ′ …② ①, ②를 연립하면
′
, ′
이다.
따라서,
′′
이고 일차변환 의 행렬은
이다.풀어보기 2
이므로 로 놓을 수 있다.
또한 (나)의
에 의하여 어두운 부분의 넓이가 같으므로 이다.
이때, 와 의 교점의 좌표가 이므로 의 근이 이다.
따라서, 이고 이것을 풀면 이다.
=
[1-2]
[문제 2 (50점)]
제 시 문
1827년 영국의 식물학자 로버트 브라운은 액체 속의 꽃가루를 현미경으로 관 찰하던 중 꽃가루 알갱이가 액체 속에서 끊임없이 불규칙한 운동을 하며 떠다 니는 것을 발견하였다. 브라운은 꽃가루의 운동이 꽃가루 내부의 생명에너지에 의해 일어난다고 생각했으나, 물리학자들은 내부 유체의 불규칙한 유동현상(유 체분자의 충돌에 의해 일어남)이 꽃가루를 통하여 보여 지는 것이라고 결론지었 다. 그리고 이 현상을 발견한 과학자의 이름을 따서 브라운 운동이라 하였다. 또 물리학자들은 온도가 높거나 입자의 알갱이가 작을수록 브라운 운동이 활발해 짐을 발견했다. 특히, 아인슈타인은 입자들의 평균 이동거리를 확률적 방법을 응 용하여 계산하였다. 브라운 운동은 분자 수준의 모든 자연 현상에서 일어나며, 가장 간단한 예로 투명 용액 속에 붉은 잉크를 한 방울 떨어뜨릴 때 잉크가 확 산되어 전체 용액이 오랜 시간 후 엷은 색의 용액으로 바뀌는 현상을 들 수 있 다. 현대에는 브라운 운동이 물리적 현상뿐만 아니라, 정보망을 통한 정보의 확 산과정, 주식의 가격 변동 등 경제 현상을 설명하는 중요한 수학적 도구로 활용 되고 있다. 우리는 간단한 격자 상의 불규칙한 유동현상(이를 랜덤 워크 random walk라 부른다) 실험을 통하여, 이 현상을 이해하고자 한다.
다음의 그림과 같이 개의 연결된 점 , , , 에 총질량 그램의 물질이 분포하고 있다.
A B
C D
매초마다 물질은 일정한 규칙에 따라 확산한다. 즉, 만일 를 초 후의 각 점에서의 물질의 질량이라 하면 초 후의 각 점에서의 질 량은 점화식
을 만족한다. 예를 들어, 초기에 물질의 분포가
[문제 2-1] (10점) 시간이 갈수록(→∞) 각 점에서의 질량 분포
이 수렴한다고 가정할 때, 그 수렴 값
을 구하는 과정을 기술하고 그 값을 구하라.
[문제 2-2] (10점) 유한 시간 초에 수렴 값에 도달할 수 있는지 판단하고 그 이유를 기술하라.
[문제 2-3] 초기에 물질의 분포가 이라 하자.
(1) (20점) 시간 에서 두 점 사이의 질량 차이를 다음과 같이 정의한다:
.
→∞일 때 는 모두 으로 수렴함을 보여라.
(2) (10점) 각 점에서의 질량 분포 은 →∞일 때 수렴함을 보여라.
제시문 분석
1. 아인슈타인은 입자들의 평균이동 거리를 확률적 방법을 응용하여 계산하였다.
2. 브라운 운동의 예를 들고, 간단한 격자 상의 불규칙한 유동현상 실험으로 설명하고 있다.
3. 차원 격자상의 불규칙한 유동현상 실험에서 초 후의 각 점에서의 질량은 점화식
,
,
,
을 만족한다.
논제 분석
[문제 2-1] 수열이 수렴한다는 조건 하에 점화식을 연립하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가?
lim
→∞
이면
lim
→∞
임을 활용하여 →∞일 때 각 점에서의 질량 분포
의 수렴값을 이라 두고 제시문의 점화식을
으로 나타내고 임을 이용하여 수렴값을 구 한다.
[문제 2-2] 직접증명이 어렵다는 것을 알고 간접증명법으로 판단할 수 있는가?
귀류법에 의해 유한시간에 수렴한다고 가정하였을 때 모순점이 존재함을 논리적 으로 기술한다.
[문제 2-3] 논제의 질량 차이의 정의와 제시문의 점화식을 적절하게 연립하여 에 관 한 점화식으로 표현할 수 있는가?
(1) 논제에서 질량 차이의 정의와 제시문의 점화식을 연립하여 에 관한 점화식을 유도하고 이를 연립하여 에 관한 점화식으로 정리한다. 이 점화식으로 부터 가 으로 수렴하도록 논리적 비약 없이 설명할 수 있어야 한다. 모든 식이
에 대해 대칭을 이루므로 도 같은 논의를 할 수 있음을 언급하고 결 론을 지으면 된다.
(2) 과 (1)을 이용하여 의 수렴값을 구 한다.
배경지식 쌓기
가. 기본적인 점화식
수열
에서 …… 일 때(1) (일정) → 공차 인 등차수열 (2) ÷ (일정) → 공비 인 등비수열 (3) → 등차수열
(4) × → 등비수열 (5)
→ 조화수열
나. 중요한 점화식
(1) ⋯⋯ 꼴 :
은 수열 의 계차수열임을 이용하면
(2) × ……꼴 :
이 상수이면 공비 =인 등비수열이고 이 변수이면
․․․․ ⋯⋯ ․ 을 정리해 본다.
(3) ⋯⋯꼴 :
로 변경하면 이 공비가 인 등비수열이다.
(4) 꼴 :
일 때,
으로 변형한다.
(5)
꼴 :
역수를 취하여
이라 두면 (3)의 꼴이 된다.
(6) 거듭제곱․거듭제곱근 꼴 :
꼴이면 양변에 로그를 취한 후 치환한다.
(7) 꼴 : 각 항의 최소 공배수로 나눈다.
풀어보기
1. 수열
,
에 대하여 이고,
⋯ ㉠⋯ ㉡ 을 만족한다. 수열
,
의 일반항을 구하시오.2. 두 수열
,
이 자연수 에 대하여
을 만족시킨다. 이하인 두 자연수 에 대하여 와 의 곱이 홀수가 되는 순서쌍 의 개수를 구하시오. (2008 평가원)
3. 수열
은 이고, ⋯
≥ 을 만족시킨다. 일반항
을 구하시오. (2011 대수능)
예시 답안
풀어보기 1
⋯ ㉠⋯ ㉡㉠에서 ⋯ ㉢이고 ㉢의 양변에 대신 을 대입하면
⋯ ㉣ ㉢, ㉣을 ㉡에 대입하면
이고 이를 정리하면
으로 놓으면
수열
는 첫째항이
, 공비가 인 등비수열이고, ㉠의 양변에 을 대입하면 ∴
따라서,
․ 이므로
∴
위의 식을 ㉢에 대입하면
이다.
풀어보기 2
은 초항이 이고 공차가 인 등차수열이므로 부터 중 홀수인 항은 개이다.
[2-2]