적분법의 개념은 미분법의 개념과는 독립적으로 발달하였다. 그 기원은 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 방법을 처음으로 논의한 그리스 시대로 거슬러 올 라간다. 아르키메데스(Archimedes ; BC 212 ∼ BC 287)는 포물선과 직선으로 둘러 싸인 도형의 넓이를 다음과 같이 구하였다. 아래 그림과 같이 선분 의 중점을 지나고 포물선의 축에 평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 라고 하고, 선분 ,
의 중점을 지나고 포물선의 축에 평행한 직선이 포물선과 만나는 점을 각각 ,
라고 하자. 포물선의 기하학적 성질로부터 다음이 성립함을 밝혔다.
△△
△
아르키메데스는 이러한 생각을 반복하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓 이를 다음과 같이 구하였다.
△
△
△
△ ⋯
△
⋯
△그러나 이 때에는 엄격한 뜻에서 극한의 개념을 이용하여 넓이를 구한 것은 아니 며, 처음으로 극한의 개념을 도입하여 넓이를 구한 사람은 케플러(Kepler, J ; 1571
∼ 1630)이다. 케플러는 원의 넓이를 구하기 위해 원을 작은 삼각형으로 분할하여 삼각형의 넓이의 합의 극한으로 원의 넓이를 계산하였다. 그의 방법은 선을 합하면 서 면적을 구하려는 생각으로 적분법과는 다른 방법으로 이루어진 것이다. 이러한 극한에 의한 구분구적법은 뉴턴(Newton, I ; 1642 ∼ 1727)과 라이프니츠(Leibniz, G. W. ; 1646 ∼ 1716)에 의하여 정적분으로 연결되었다. 라이프니츠는 카발리에리 (Cavalieri ; 1598 ∼ 1647)의 방법을 따른 원리를 이용해 기하학적인 접선의 관점에
Gottfried Wilhelm von Leibniz 그림 출처 : www.somangnote.com
며 그의 업적은 구적법과 접선법을 합리화하고 등의 기호를 써서 그들 사이 의 규칙을 확립하였다. 라이프니츠는 카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴 어 sum의 첫 문자를 딴 S를 길게 늘인 문자로서 현대
적분 기호인
을 처음 사용하였다. 또한 그는 적분을
와 같이 쓰는 것과 마찬가지로 미분과 도함수를 오늘날 우리가 사용하는 것과 같이 쓰고 있 었다. 하지만 극한의 수학적인 정의를 사용하여 적분 의 개념을 정의함으로써 미적분학의 논리적 기초를 엄 밀하게 확립한 사람은 프랑스의 코시(Cauchy, A. L. ; 1789 ∼ 1857)였고, 그 후 19세기 말경에 독일의 리만 (Riemann, G. F. B. ; 1826 ∼ 1866)에 의하여 보다 엄 밀한 적분법이 확립되었다. 그러나 리만적분법도 적분 법으로서 완전한 것이 못되었고, 프랑스의 르베그(Lebesque, H. L. ; 1875 ∼ 1941)에 의하여 더욱 일반적인 적분론이 확립되었다.
적분이 실생활과 관련해서 사용되는 몇 가지 예로는 CT(Computed Tomography) 가 있다. CT란 병원에서 내장 기관의 상태를 알아 볼 때 쓰이는, 자르지 않고도 단 면을 볼 수 있는 장치이다. 우리말로는 ‘컴퓨터 단층촬영기’로 뇌를 단층촬영할 때 뇌를 빙 둘러 가면서 X-ray를 비추어 맞은편에서 그 강도를 측정하는 것이다. 그러 면 X-ray가 가는 길에 있는 조직의 밀도를 하나의 함수로 볼 때 그 정적분 값을 알 수 있게 된다. 이런 일을 계속해서 모든 방향에서의 적분값을 알면 계산에 의해 뇌의 2차원적 밀도분포함수를 알아낼 수 있게 된다. 즉 CT의 컴퓨터가 하는 일은 적분값으로부터 원래의 함수를 알아내는 것이다. 또한 댐이 받는 힘을 계산할 때도 적분이 활용된다. 정해진 수면의 깊이에서 댐에 수직으로 미치는 수압이 일정하고 댐의 폭과 댐에 일정 높이까지 물이 찾을 때 미치는 힘이 어떠한지 알아내려면 W (힘)S(면적)×P(수압)으로 계산할 수 있다. 그러나 댐의 모든 면에서 수압이 일정 하지 않아 깊이에 따라 수압이 변하는데, 이것을 미분방정식을 세워 적분시키면 일 반방정식으로 구할 수 있다. 그 계산 결과로 댐이 받는 힘에 따라 댐의 밑부분 두 께와 윗부분 두께를 변화시켜 나가는 것이다.
예시 답안
풀어보기 1
함수 를 로 다시 쓰고 에 대하여 풀면
, 즉
와 를 바꾸어 쓰면,
이므로 역함수는
이다.풀어보기 2
′
이므로 는 증가함수이고, 일대일대응이다.
따라서 역함수 가 존재하므로 ⇔ 이다. 그러므로
· · 풀어보기 3
⇔ 이므로
· · 이다. 따라서
이므로
이다.풀어보기 4
의 그래프가 의 그래프와 직선 에 대하여 대칭이므로 파랑색 이 칠해지는 두 부분의 넓이는 같다. 파랑색이 칠해지는 두 부분의 넓이를 각각
, 노랑색이 칠해지는 부분의 넓이를
라 하면
⋯ ㉠,
⋯ ㉡ 두 식을 연립하며 풀면
, 즉
풀어보기 5
주어진 식의lim
→∞
․
는 <그림 1>과 같고, 이는→∞ 일 때, <그림 2>의
부분의 넓이이다. 는 의 역함수이므로 주어진
부분의 넓이는
부분의 넓이
와 같다.그러므로
□의 넓이 의 넓이
논제 1
21)
이라는 항을 만들기 위해서는 을 적분하여야 한다. 인 경우
역함수는 , 즉