실수의 집합은 유리수의 집합처럼 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 성질을 가지 고 있으며, 임의의 두 실수의 크기를 비교할 수 있으며 극한도 자유롭게 사용할 수 있다. 이와 같이 극한을 이용하여 함수의 다양한 성질을 밝히는 수학 분야를 ‘해석 학(Analysis)’이라고 한다.
17세기에 창안되어 급격히 발전한 수학의 분야로 미적분학을 들 수 있다. 이 분 야는 극한 개념을 기초로 이루어진 것으로, 극한 개념을 제대로 다루려면 실수의 성질을 완벽하게 이해할 필요가 있다. 물론 초창기의 미적분학은 다분히 직관적인 방식으로 다루어졌다. 실수라는 것도 이미 인간이 어느 정도 알고 있는 것으로 치 부되었다. 그러나 미적분학의 수준이 점점 높아지면서, 유리수와는 다른 실수의 성 질 때문에 직관과는 다른 결과들이 발견되기 시작하였다. 이런 상황에서 미적분학 을 엄밀히 다루려면 실수가 무엇인지 제대로 설명할 수 있어야 하였다. 여기에 성 공한 두 위대한 인물이 독일의 수학자 데데킨트
(Richard Dedekind)와 칸토어(Georg Cantor)였다.
그들은 유리수를 이용하여 실수를 구성하는 독창적인 방법을 제시하였다. 데데킨트는 유리수를 두 집합으로 나누는 절단(cut, 독일어로 Schnitt)이라는 개념을 이용 하였고, 칸토어는 유리수로 이루어진 무한수열을 이용 하였는데, 나중에 수학자들은 이 두 방법이 사실상 같은 결과를 나타낸다는 것을 증명할 수 있었다. 여기서 두 수학자의 방식을 엄밀하게 설명하기는 어려우니, 고대 수학자들이 실수를 다룬 방식과 관련지어 설명하겠다.
먼저 데데킨트의 방식은 다루려는 실수보다 작은 유 리수와 큰 유리수의 두 집합으로 나누어 집합 자체를 수처럼 다루는 방식이다. 즉, 실수 하나가 유리수 집합
을 둘로 절단한다. 이것은 실수의 모델인 수직선에서 착안한 것으로, 수직선 위를 빼곡히 채우고 있는 유리수를 이용하여 유리수로 채우지 못하는 빈틈인 무리수를 설명하려는 것이다.
한편 칸토어의 방식은 무한소수를 이용한 것이다. 무한소수가 실수를 나타내므로, 무한소수를 직접 다룰 수는 없다. 따라서 유한소수를 무한히 늘어놓는 수열을 생각
이렇게 만들어진 실수는 유리수와는 다른 특징이 많다. 실수와 유리수 모두 무한 히 많지만, 집합론의 관점에서는 무한한 정도가 다르다. 이를 농도라고 한다. 자연 수, 정수, 유리수의 농도는 모두 같으나, 실수는 더 큰 농도를 갖는다. 또, 유리수로 이루어진 수열이 어떤 값에 무한히 가까워진다고 해서 그 값 자체가 유리수라고는 할 수 없지만, 실수로 이루어진 수열이 어떤 값에 무한히 가까워진다면 그 값은 반 드시 실수가 된다. 이것은 실수의 모델인 수직선이 빈틈없이 연결되어 있다는 점을 생각하면 당연해 보이기도 한다. 이와 같은 성질을 완비성(completeness)이라 한다.
이것은 유리수와 실수를 구분하는 가장 큰 특징이기도 하며, 이 때문에 실수를 이 해하기 위해서는 극한의 개념이 반드시 필요하다.
예시 답안
풀어보기 1
(조화수열) 과
풀어보기 2
⋅
⋅
⋅ ′
⋅ ⋅
그런데, ′이고 이므로 ′
∴
⋅
⋅ (∵ → )
논제 1-1
급수
∞ 이
로 수렴한다고 하면lim
→∞
lim
→∞
이다.
에서lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
lim
→∞
논제 1-2
모든 자연수 에 대하여 ≤
≤ 이고,
∞ 가 수렴하므로
∞
라 둘 수 있다. 라 하자. ② 번에 의해
∞
도 수렴하므로 그 합 을
′ 라 두면
∞
′ 이다. 이고
∞
∞
∞
∞
′이므로 무한급수는
∞
′ 으로 수렴한다.논제 1-3
함수 를
≥ 로 두면, 는 감소함수이므로
⋯ ≥
이고, ⋯ ≤
이다.(아래 그림참조)
따라서
⋯ ≤
‧ ․
․ 이고, ⋅⋅ ⋯
이다. 그러므로
lim
→∞
lim
→∞
이다. 따라서
⋯
⋯ ‧
이다. 또한
가 확률밀도함수이므로
lim
→∞
이고
lim
→∞
이다.lim
→∞
lim
→∞ ⋯ ‧
⋯ ․
이다. 즉
lim
→∞
이다.