㉠_2+㉡을 하면 +>2x+2y=20 +>≥ 3x-2y=15
+>5x-2y=35 ∴ x=7 x=7을 ㉠에 대입하면 7+y=10 ∴ y=3
따라서 맞힌 문제의 수는 7문제이다.
05 이룸이가 걸어간 거리를 x m, 숨마가 걸어간 거리를 y m라 고 하면 둘이 만날 때까지 걸어간 거리의 합은 1200 m이므로 x+y=1200
걸어간 시간이 서로 같으므로
;2”0;=;3’0;, 30x-20y=0 연립방정식을 세우면 [
㉠_2+㉡÷10을 하면 +>2x+2y=2400 +>≥ 3x-2y=0
+>5x-2y=2400 ∴ x=480 x=480을 ㉠에 대입하면
480+y=1200 ∴ y=720
따라서 숨마는 이룸이보다` 720-480=240(m)더 걸었다.
x+y=1200 yy`㉠
30x-20y=0 yy`㉡
x+y=10 yy`㉠
3x-2y=15 yy`㉡
유형 (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1) 1-1 ②, ④ 1-2 ②, ⑤ 1-3 a=-1, b=5 유형 a=1, b=3
2-1 ⑴ 방정식 x+2y=8의 해：
(6, 1), (4, 2), (2, 3) 방정식 2x+y=10의 해：
(1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)
⑵ (4, 2)
2-2 ⑴ ㄱ ⑵ ㄹ 2-3 ⑤ 유형 ⑴ x=-2, y=-7 ⑵ x=3, y=1
3-1 x-6, 11, 11, 5, 11, 5 3-2 ①
3-3 ⑤ 3-4 7 3-5 3 3-6 a=2, b=3
유형 x=3, y=2
4-1 x=-11, y=-9 4-2 ④
4-3 ⑴x=2, y=4 ⑵x=;5*;, y=-;5!;
유형 a=4, b=-5
5-1 ④ 5-2 -;3!;
5-3 ⑤
유형 8 6-1 43세 6-2 ② 6-3 4 km 6-4 3 %의 소금물：90 g
6 %의 소금물：180 g 6-5 4일
6-6 남학생 수：306명 여학생 수：644명
유형 EXERCISES
148~151쪽2
3 1
5
6 4
유형``
2x+y=9에 x=1, 2, 3, y을 대입하여 y의 값을 구하면
이때 x, y는 모두 자연수이므로 구하는 해는 (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4, 1)
1-1 ① 좌변이 x에 대한 이차식이므로 일차방정식이 아니다.
x 1 2 3 4 5 y
y 7 5 3 1 -1 y
1
유형``
2x-(3x-1)=3, 2x-3x+1=3
∴ x=-2
x=-2를 ㉠에 대입하면 y=-6-1=-7
y=3x-1 yy`㉠
2x-y=3 yy`㉡
3
개념BOOK
유형``
[
각 방정식의 계수를 정수로 만들기 위해
㉠_10, ㉡_6을 하면 [
㉢_4-㉣_3을 하면 +>12x+16y=68 ->≥ 12x+ 9y=54
+> 12x-17y=14 ∴ y=2 y=2를 ㉢에 대입하면
3x+8=17, 3x=9 ∴ x=3
4-1 주어진 연립방정식을 괄호를 풀고 정리하면
㉠_3-㉡_4를 하면 +>12x- 9y=-51 ->≥ 12x-16y=12
+> 12x-17y=-63 ∴ y=-9 y=-9를 ㉡에 대입하면
3x+36=3, 3x=-33 ∴ x=-11 4x-3y=-17 yy`㉠
3x-4y=3 yy`㉡
‡
3x+4y=17 yy`㉢
4x+3y=18 yy`㉣
0.3x+0.4y=1.7 yy`㉠
;3@;x+;2!;y=3 yy`㉡
⑵ [
㉠-㉡_5를 하면 +> -22x-5y=1 ->≥-25x-5y=70
+>-23x-5y=-69 ∴ x=3 x=3을 ㉡에 대입하면
15-y=14 ∴ y=1
3-1 ㉠을 ㉡에 대입하면
2x-3( )=7, 2x-3x+18=7
∴ x=
x= 을 ㉠에 대입하면 y=
따라서 연립방정식의 해는 x= , y= 이다.
3-2 주어진 연립방정식에서
㉠을 ㉡에 대입하면 (7y+8)-2y=3, 5y=-5
따라서 5y=A에서 A의 값은 -5이다.
3-3 x를 소거하려면 두 방정식에서 x의 계수의 절댓값이 같 아야 한다.
3, 2의 최소공배수가 6이므로 절댓값이 6이 되게 하려면
㉠_2, ㉡_3을 하면 된다. 이때 x의 계수의 부호가 같 으므로 두 식을 뺀다.
따라서 x를 소거하기 위해 필요한 식은
㉠_2-㉡_3이다.
3-4
㉠+㉡_2를 하면 +>16x-2y=10 +>≥14x+2y=10
+>10x+2y=20 ∴ x=2 x=2를 ㉡에 대입하면
4+y=5 ∴ y=1 따라서 a=2, b=1이므로 3a+b=3_2+1=7
3-5 x : y=1 : 2에서 y=2x
주어진 연립방정식의 해는 연립방정식 의 해와 같다.
4x-y=4 yy`㉠
y=2x yy`㉡
‡
6x-2y=10 yy`㉠
2x+y=5 yy`㉡
‡
5 11 5 11
11 x-6 2x-5y=1 yy`㉠
5x-y=14 yy`㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 4x-2x=4 ∴ x=2 x=2를 ㉡에 대입하면 y=4
따라서 x=2, y=4를 x+2y=7+a에 대입하면 2+8=7+a ∴ a=3
3-6 두 연립방정식의 해가 서로 같으므로 두 연립방정식의 해 는 연립방정식
[ 의 해와 같다.
㉠+㉡을 하면 -x=-4 ∴ x=4 x=4를 ㉡에 대입하면
-12+y=-11 ∴ y=1
x=4, y=1이 두 일차방정식 ax-6y=2, 6x-5by=9 의 해이므로 각각 대입하면
4a-6=2, 4a=8 ∴ a=2 24-5b=9, -5b=-15 ∴ b=3
2x-y=7 yy`㉠
-3x+y=-11 yy`㉡
4
유형``
[
두 방정식에서 y의 계수가 같아지도록 ㉡_2를 하면 4x+2y=2b
이 방정식과 ㉠의 x의 계수와 상수항도 각각 같아야 하므로 a=4이고 2b=-10에서 b=-5
5-1 ④
㉡_2를 하면 4x-2y=2
이 방정식을 ㉠과 비교해 보면 x의 계수, y의 계수가 각각 같고 상수항만 다르므로 이 연립방정식의 해는 없다.
5-2
연립방정식의 해가 없으므로 두 일차방정식은 x의 계수, y의 계수가 각각 같고 상수항은 달라야 한다.
㉡에서 x항을 좌변으로 이항하면 -ax+y=1이고, 양변에 3을 곱하면 -3ax+3y=3
㉠과 x의 계수가 같아야 하므로 -3a=1 ∴ a=-;3!;
5-3
연립방정식의 해가 무수히 많으므로 두 방정식이 완전히 일치해야 한다. 상수항이 같아지도록 ㉠_2, ㉡_3을 하 면
[
x의 계수가 같아야 하므로 2a=6 ∴ a=3 y의 계수가 같아야 하므로 3b=-6 ∴ b=-2
∴ a+b=3-2=1 2ax-6y=6 6x+3by=6
ax-3y=3 yy`㉠
2x+by=2 yy`㉡
‡
x+3y=8 yy`㉠
y=ax+1 yy`㉡
‡
4x-2y=5 yy`㉠
2x-y=1 yy`㉡
‡
ax+2y=-10 yy`㉠
2x+y=b yy`㉡
4-2
각 방정식의 계수를 정수로 만들기 위해
㉠_10, ㉡_10을 하고 괄호를 풀어 정리하면 [
㉢_4-㉣을 하면 +>8x+4y=72 ->≥ 5x+4y=30
+>3x-1y=42 ∴ x=14 x=14를 ㉢에 대입하면 28+y=18 ∴ y=-10 따라서 a=14, b=-10이므로 a-b=14-(-10)=24
4-3 ⑴ 주어진 방정식을 연립방정식
[ 로 고친 후 정리하면
[
㉠_2-㉡을 하면 +>4x-2y=0 ->≥ 3x-2y=-2 +> 2x-2y=2 x=2를 ㉠에 대입하면 4-y=0 ∴ y=4
⑵ 주어진 방정식을 연립방정식
=1 yy`㉠
로 고친 후 -y=1 yy`㉡
각 방정식의 계수를 정수로 만들기 위해
㉠_3, ㉡_2를 하면 [
㉢_2+㉣을 하면 +>4x+2y=6 +>≥3x-2y=2
+>5x-2y=8 ∴ x=;5*;
x=;5*;을 ㉢에 대입하면
;;¡5§;;+y=3 ∴ y=-;5!;
2x+y=3 yy`㉢
x-2y=2 yy`㉣
13x2 11132x+y3 ( { 9
2x-y=0 yy`㉠
3x-2y=-2 yy`㉡
3x+2y=5x+y 5x+y=2x+3y-2
2x+y=18 yy`㉢
5x+4y=30 yy`㉣
0.2(x+y)-0.1y=1.8 yy`㉠
;2!;x+;5@;y=3 yy`㉡
‡
5개념BOOK 유형``
사과를 x개, 배를 y개 샀다고 하면 합하여 14개를 샀으므로 x+y=14
구입한 사과와 배의 값이 9400원이므로 500x+800y=9400, 5x+8y=94 연립방정식을 세우면
[
㉠_5-㉡을 하면 -3y=-24 ∴ y=8 y=8을 ㉠에 대입하면 x+8=14 ∴ x=6 따라서 배의 개수는 8이다.
6-1 현재 어머니의 나이를 x세, 아들의 나이를 y세라고 하면 어머니와 아들의 나이의 합은 58세이므로
x+y=58
13년 후에 어머니의 나이가 아들의 나이의 2배가 되므로 x+13=2(y+13), x-2y=13
연립방정식을 세우면 [
㉠-㉡을 하면 +>x+ y=58 ->≥ x-2y=13
+> x-3y=45 ∴ y=15 y=15를 ㉠에 대입하면 x+15=58 ∴ x=43
따라서 현재 어머니의 나이는 43세이다.
6-2 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라고 하면 각 자리의 숫자의 합은 9이므로
x+y=9
이 수의 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수 는 처음 수보다 9가 크므로
10y+x=10x+y+9, -9x+9y=9 x-y=-1
연립방정식을 세우면 [
㉠+㉡을 하면 2x=8 ∴ x=4 x=4를 ㉠에 대입하면
x+y=9 yy`㉠
x-y=-1 yy`㉡
x+y=58 yy`㉠
x-2y=13 yy`㉡
x+y=14 yy`㉠
5x+8y=94 yy`㉡
6 4+y=9 ∴ y=5
따라서 처음 수의 십의 자리의 숫자는 4이다.
6-3 올라간 거리를 x km, 내려온 거리를 y km라고 하면 내려온 거리는 올라간 거리보다 2 km 짧으므로 x-y=2
올라가는 데 걸린 시간은 ;3{;시간, 내려오는 데 걸린 시간은 ;4};시간이고 모두 3시간이 걸렸으므로
;3{;+;4};=3, 4x+3y=36 연립방정식을 세우면 [
㉠_3+㉡을 하면 7x=42 ∴ x=6 x=6을 ㉠에 대입하면 6-y=2 ∴ y=4
따라서 내려온 거리는 4 km이다.
6-4 3 %의 소금물을 x g, 6 %의 소금물을 y g 섞었다고 하 면 두 소금물을 섞어서 270 g이 되었으므로
x+y=270
소금물에 녹아 있는 소금의 양은 변하지 않으므로 x_;10#0;+y_;10^0;=270_;10%0;
3x+6y=1350, x+2y=450 연립방정식을 세우면 [
㉠-㉡을 하면
-y=-180 ∴ y=180 y=180을 ㉠에 대입하면 x+180=270 ∴ x=90
따라서 3 %의 소금물은 90 g, 6 %의 소금물은 180 g 섞어야 한다.
6-5 전체 일의 양을 1로 보고, 예진이가 하루에 할 수 있는 일 의 양을 x, 진서가 하루에 할 수 있는 일의 양을 y라고 하면 예진이가 일을 3일 한 후에 진서가 6일 하면 마칠 수 있 으므로 3x+6y=1
또 예진이가 일을 5일 한 후에 진서가 2일 하면 마칠 수 x+y=270 yy`㉠
x+2y=450 yy`㉡
x-y=2 yy`㉠
4x+3y=36 yy`㉡
01 ①, ② : 미지수가 1개인 일차방정식이다.
③ : x의 차수가 2이므로 일차방정식이 아니다.
④ : 미지수가 2개인 일차방정식이다.
⑤ : 좌변이 x에 대한 이차식이므로 일차방정식이 아니다.
02 x+5y=20에 y=1, 2, 3, y을 대입하여 x의 값을 구하면
이때 x, y는 모두 자연수이므로 구하는 해는 (15, 1), (10, 2), (5, 3)
03 일차방정식의 해를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 다음과 같다.
① (4, 1), (5, 3), (6, 5), …
② (5, 1), (2, 2)
③ (2, 2)
④ (1, 12), (2, 8), (3, 4)
⑤ 자연수인 해가 없다.
04 x=1, y=-1을
ax-y=3에 대입하면 a+1=3 ∴ a=2 5x+by=1에 대입하면 5-b=1 ∴ b=4
∴ a+b=2+4=6
05 +> x-y=8 +>≥ 3x+y=4
+>4x =12 ∴ x=3 x=3을 x-y=8에 대입하면 3-y=8
∴ y=-5
x 15 10 5 0 y
y 1 2 3 4 y
있으므로 5x+2y=1 연립방정식을 세우면 [
㉠-㉡_3을 하면 -12x=-2 ∴ x=;6!;
x=;6!;을 ㉠에 대입하면
;2!;+6y=1, 6y=;2!; ∴ y=;1¡2;
예진이가 하루에 할 수 있는 일의 양은 ;6!;, 진서가 하루에 할 수 있는 일의 양은 ;1¡2;이므로 둘이 함께 일을 하면 하 루에 {;6!;+;1¡2;}만큼의 일을 할 수 있다. 둘이 함께 a일 동 안 일을 하여 마쳤다고 하면
{;6!;+;1¡2;}a=1, ;4!;a=1 ∴ a=4
따라서 둘이 함께 일을 하면 4일 만에 일을 마칠 수 있다.
6-6 작년 남학생 수를 x명, 작년 여학생 수를 y명이라고 하면 작년 학생 수는 1000명이었으므로
x+y=1000
전체 학생 수는 5 % 감소하여 1000_;10%0;=50(명)이 줄 었으므로
x_;10@0;-y_;10*0;=-50 2x-8y=-5000, x-4y=-2500 연립방정식을 세우면
[
㉠-㉡을 하면
5y=3500 ∴ y=700 y=700을 ㉠에 대입하면 x+700=1000 ∴ x=300 따라서 올해의 남학생 수는 300_{1+;10@0;}=306(명) 올해의 여학생 수는 700_{1-;10*0;}=644(명)
x+y=1000 yy`㉠
x-4y=-2500 yy`㉡
3x+6y=1 yy`㉠
5x+2y=1 yy`㉡
01④ 02(15, 1), (10, 2), (5, 3)
03⑤ 046 05⑤ 06④
07⑴ x=2, y=1 ⑵ x=5, y=-3 086 09⑴ x=-;5*;, y=;5(; ⑵ x=1, y=2 10-15 11-1 12③, ④ 13a=3, b=-1 14200 g 1516회 16⑤ 17-1
184 19②
20소금물 A : 1 %, 소금물 B : 13 % 21시속 15 km 22600 m