01⑤ 02ㄴ, ㅁ 03-3 047
058 06① 07-8…b…1
08③ 09ㄴ, ㄷ 10;;¡4∞;; 11;2!;
12① 130<k<;2!; 14④
15y=3x-2 16y=-3x+5
17⑴ y=4000-100x ⑵ 15초
18③ 19-8 20;4&; 213 226 2312 24y=-;2!;x-1, 풀이 참조 25y=-2x+1 26y=4000-400x, 10분
대단원 EXERCISES
222~225쪽01 ① x+y=1에서 y=-x+1 (함수이다.)
②
③즉, x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지므로 y는 x의 함수이다.
③ y=200-x (함수이다.)
④ y=2x (함수이다.)
⑤ x=8일 때, y의 값은 다음과 같다.
⑤가로 : 1 cm, 세로 3 cmΔ넓이 : y=3
⑤가로 : 2 cm, 세로 2 cmΔ넓이 : y=4
⑤즉, x의 값에 대응하는 y의 값이 2개 이상이므로 y는 x 의 함수가 아니다.
02 ㄱ. x가 분모에 있으므로 일차함수가 아니다.
ㄷ. y=(`x에 대한 이차식) 꼴이므로 일차함수가 아니다.
ㄹ. 괄호를 풀고 정리하면 y=2
x의 일차항이 없으므로 일차함수가 아니다.
따라서 y가 x에 대한 일차함수인 것은 ㄴ, ㅁ이다.
03 f(3)=-9+2=-7 ∴ a=-7 f(b)=-3b+2=-10 ∴ b=4
∴ a+b=(-7)+4=-3
04 120=2‹ _3_5이므로
f(120)=(120의 서로 다른 소인수의 개수)=3 또, 210=2_3_5_7이므로
f(210)=(210의 서로 다른 소인수의 개수)=4
∴ f(120)+ f(210)=3+4=7
05 y=ax+b에 x=0, y=1을 대입하면 1=a_0+b ∴ b=1
y=ax+1에 x=1, y=3을 대입하면 3=a+1 ∴ a=2
y=2x+1에 x=c, y=11을 대입하면 11=2c+1 ∴ c=5
따라서 a=2, b=1, c=5이므로 a+b+c=2+1+5=8
06 y=-;3@;x의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-;3@;x+2
y=-;3@;x+2에 x=6, y=a를 대입하면 a={-;3@;}_6+2=-2
07 y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래 프의 식은 y=3x+b
y=3x+b의 그래프가 점 A(1, 4)를 지날 때 b의 값이 가장 크고, 점 B(3, 1)을 지 날 때 b의 값이 가장 작다.
y=3x+b에 x=1, y=4를 대입하면 4=3_1+b ∴ b=1
y=3x+b에 x=3, y=1을 대입하면 1=3_3+b ∴ b=-8 따라서 b의 값의 범위는 -8…b…1
08 y=ax-1, y=-x+4의 그래프가 x축에서 만나려면 x절편이 같아야 한다.
1 x 1 4
3 A
B y y=3x+b
O x
y
1 2 3 4 5 6 7 y
6 6 6 12 30 6 42 y
y절편
▶
y=-x+4에 y=0을 대입하면 0=-x+4 ∴ x=4 즉, y=-x+4의 x절편은 4이다.
y=ax-1의 x절편도 4이므로 y=ax-1에 x=4, y=0 을 대입하면 0=4a-1, 4a=1 ∴ a=;4!;
09 ㄱ. y=-3x+6과 y=3x+6의 그래프는 기울기가 같지 않으므로 평행하지 않다.
ㄴ. y=-3x+6에 y=0을 대입하면 ㄷ.0=-3x+6 ∴ x=2
ㄷ.즉, x절편은 2이고, y절편은 6이므로 x절편과 y절편의 합은 8이다.
ㄷ. y=-3x+6의 그래프는 오른쪽 그림 과 같이 제3사분면을 지나지 않는다.
ㄹ. 기울기가 -3이므로 x의 값이 1만큼 증가할 때, y의 값은 3만큼 감소한다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
10 두 일차함수 y=-2x+4, y=-2x+1의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 도형은 다음 그림에서 색칠한 부분과 같 다.
(구하는 도형의 넓이)
=(큰 삼각형의 넓이)-(작은 삼각형의 넓이)
=;2!;_2_4-;2!;_;2!;_1
=4-;4!;=;;¡4∞;;
11 y=-;2!;x+2의 그래프의 x절편은 4, y절편은 2이므로 A(0, 2), B(4, 0)
∴ △AOB=;2!;_4_2=4
두 직선의 교점을 P(m, n)이라고 하면
△POB=;2!;_4_n=2 ∴ n=1
△PAO=;2!;_2_m=2 ∴ m=2
O B4
A P 2 n x
m
y y=ax
y=- x+21 2 x
y=-2x+4
y=-2x+1
O 4
1 2 y
x y
O 6
2
따라서 y=ax의 그래프가 점 P(2, 1)을 지나므로 y=ax 에 x=2, y=1을 대입하면
1=2a ∴ a=;2!;
12 주어진 y=ax+b의 그래프에서 (기울기)=a<0, (`y절편)=b<0이므로 y=bx-a의 그래프에서 (기울기)=-b>0, (`y절편)=-a>0이다.
따라서 y=-bx-a의 그래프는 ①과 같다.
13 y=(2k-1)x+3k의 그래프가 제 1, 2, 4사분면을 지나려면 오른쪽 그림 과 같이 (기울기)<0, (y절편)>0 즉, 2k-1<0, 3k>0이어야 하므로 k<;2!;이고 k>0 ∴ 0<k<;2!;
14 ① y=ax+b에 y=0을 대입하면
④ax+b=0 ∴ x=-;aB;
③ y=ax+b에 x=1을 대입하면 y=a_1+b=a+b
④ a>0일 때,
④b>0이면 제 1, 2, 3사분면을 지나고,
④b<0이면 제 1, 3, 4사분면을 지난다.
15 두 점 A(-1, -7), B(2, 2)를 지나는 직선은 (기울기)= =3이므로 일차함수의 식을 y=3x+b로 놓고 x=2, y=2를 대입하면 2=3_2+b ∴ b=-4
∴ y=3x-4
따라서 이 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그 래프의 식은 y=3x-4+2 ∴ y=3x-2
16 조건 ㈎`에서 y절편이 x절편의 3배이므로 x절편을 k라고 하면 y절편은 3k이다.
즉, 두 점 (k, 0), (0, 3k)를 지나므로 (기울기)= =-3
조건 ㈏`에서 두 점 (1, m), (m, -1)을 지나는 직선의 기 울기가 -3이므로 (기울기)= =-3
-1-m=-3(m-1), -1-m=-3m+3 2m=4 ∴ m=2
1111-1-mm-1 1110-3kk-0
2-(-7) 111122-(-1)
x y
O
개념BOOK
연립방정식 를 풀면 x=1, y=2
따라서 ax+y=5에 x=1, y=2를 대입하면 a_1+2=5 ∴ a=3
22 3x+2y-2=0에서 y=-;2#;x+1 ax+4y+3=0에서 y=-;4A;x-;4#;
두 일차함수의 그래프는 평행해야 하므로 -;2#;=-;4A; ∴ a=6
23 두 그래프의 교점의 좌표를 각각 구해 보자.
를 풀면 x=3, y=2Δ(3, 2) 를 풀면 x=1, y=-2Δ(1, -2)
를 풀면 x=7, y=-2Δ(7, -2) 따라서 구하는 도형의 넓이는
오른쪽 그림에서 색칠된 삼각 형의 넓이와 같으므로
;2!;_6_4=12
⑴
24 y=-;2!;x+3의 그래프를 y축의 방향으로 p만큼 평행이동 한 일차함수의 식은 y=-;2!;x+3+p yy㉠
이 식에 x=2, y=-2를 대입하면
-2={-;2!;}_2+3+p ∴ p=-4 ……❶ 즉, 평행이동한 일차함수의 식은 ㉠에 p=-4를 대입하면
y=-;2!;x-1 ……❷
따라서 y=-;2!;x-1의 그래프는 기울기가 -;2!;, y절편이 -1이므로 오른쪽 그림과 같다. `……❸
O x -1 -2
y x y=-2
2x-y=4
x+y=5 2
1 -2
7 O 3
y x+y=5
‡y=-2 2x-y=4
‡y=-2 x+y=5 2x-y=4
‡
x-y=-1 y=-;2!;x+;2%;
따라서 구하는 일차함수의 식을 y=-3x+b로 놓고
‡
y=-3x+b에 x=1, y=2를 대입하면 2=(-3)_1+b ∴ b=5
∴ y=-3x+5
17 x초 후에 BP”=4x ∴ CP”=80-4x
⑴ y=(80+80-4x)_50_;2!;=4000-100x
∴ y=4000-100x
⑵ y=4000-100x에 y=2500을 대입하면 2500=4000-100x ∴ x=15
따라서 점 P가 점 B를 출발하고 15초 후에 사각형 APCD의 넓이가 2500 cm¤ 가 된다.
18 ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;
이때 ab>0이므로 -;bA;<0
ab>0, ac<0이므로 ;bC;<0 ∴ -;bC;>0
따라서 (기울기)<0, (`y절편)>0이므로 제`3사분면을 지나 지 않는다.
19 y축에 평행한 직선의 방정식은 x=k 꼴이므로 두 점의 x 좌표가 같아야 한다.
즉, a-3=2a+5이므로 a=-8
20 두 직선의 교점의 좌표를 (2, b)라 하고 x+2y=8에 x=2, y=b를 대입하면 2+2_b=8 ∴ b=3
즉, 연립방정식의 해가 x=2, y=3이므로 ax-;2#;y=-1에 대입하면
a_2-;2#;_3=-1 ∴ a=;4&;
21 두 점 P(-3, 4), Q(1, 2)를 지나는 직선의 기울기는
=-;2!;이므로 직선의 방정식을 y=-;2!;x+b로 놓고 x=-3, y=4를 대입하면
4=-;2!;_(-3)+b ∴ b=;2%;
따라서 주어진 연립방정식의 해는 세 일차함수
ax+y=5, x-y=-1, y=-;2!;x+;2%;의 그래프의 교점 이다.
1112-3-14-2
❶p의 값 구하기
❷평행이동한 일차함수의 식 구하기
❸평행이동한 일차함수의 그래프 그리기
40 % 20 % 40 %
채점 기준 배점
25 두 점 (-1, 1), (2, -5)를 지나는 일차함수의 그래프의
y=4000-(250x+150x)=4000-400x ……❶ 두 사람이 만나려면 두 사람 사이의 거리가 0이어야 하므로 y=4000-400x에 y=0을 대입하면
4000-400x=0 ∴ x=10
따라서 두 사람은 출발한 지 10분 후에 만난다. ……❷ 112-63
111122-(-1)-5-1
❶기울기 구하기