이 실수열이고
이 실수라고 하자. 의 값이 커짐에 따라 항 의 값이
에 ‘한없이’ 가까워진다 는 것은 과
의 거리
의 값이 에 가까워진다는 뜻이다. 이 값이 에 가까워진다는 것은, 이 임의의 양수일 때
이 될 수 있다는 뜻이다. 이 부등식이 모든 항 에 대하여 성립해야 하는 것은 아니며 의 값이 클 때 성립하면 충분하다. 이러한 관점에서 수열의 극한을 다음과 같이 정의한다.
정의 1.
이 수열이고
이 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 대하여 자연수
이 존재하 여
인 임의의 항번호 에 대하여
이 성립하면, “수열
이
에 수렴한다.”라고 말한다.
정의 1을 한정명제로 나타내면 다음과 같다.17)
∀ ∃
∈ℕ ∀
→
극한의 정의를 사용하여 수열
이
에 수렴한다는 증명을 ‘서술’하는 과정은 다음과 같다.18) 1단계. 양수 이 임의로 주어졌다고 가정한다.2단계. 적당한
을 정의한다.3단계.
을 가정하고
임을 설명한다.16) Karl Weierstrass, 1815-1897, 독일의 수학자.
17) 이 논리식에서 ‘∀’이 나타내는 의 범위는 ‘수열 의 항번호가 될 수 있는 모든 ’이다. 별다른 언급이 없다면 ‘∀’
이 나타내는 의 범위를 ‘모든 자연수 ’이라고 생각하여도 좋다.
18) 명제를 ‘증명’하는 것과 증명을 ‘서술’하는 것은 다르다.
보기 1. 일 때 극한
lim
→ ∞
의 증명은 다음과 같다.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
자연수 집합은 위로 유계가 아니므로
인 자연수
이 존재한다.
이라고 가정하면
이다.그러므로
이 에 수렴한다.수열의 극한을 증명할 때 ‘적당한
’을 찾는 과정이 복잡할 수도 있다. 적당한
을 ‘찾는’ 방법은 다음 과 같다.∙ 먼저 이 양수라고 가정하고 부등식
을 푼다.∙ 다음으로 위 부등식이 성립하도록 하는 ‘의 조건’을 구한다.
∙
일 때 위에서 구한 ‘의 조건’이 성립하도록 하는 자연수
을 구한다.예제 2. 일 때
lim
→ ∞
임을 증명하시오.
생각하는 과정( 을 찾는 과정)
이라고 두고, 이 양수라고 하자.
부등식
을 변형하면 다음과 같다.
⇔
⇔ ⇔
. 그러므로
≥ 인 자연수
을 택하면 충분하다.증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.
자연수 집합이 위로 유계가 아니므로
≥ 인 자연수
이 존재한다.
이라고 가정하면
이다. 그러므로
이 에 수렴한다.극한의 엄밀한 정의를 사용하여 수열의 극한의 성질을 증명할 수 있다. 여기서는 합의 성질과 조임 정리 의 증명만 살펴보자.
보기 3.
과
이 수렴하는 수열이고lim
→ ∞
,lim
→ ∞
일 때lim
→ ∞
임을 증명해 보자.
양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 도 양수이다.
수열
이
에 수렴하므로, 자연수
이 존재하여
인 모든 항번호 에 대하여
이 성립한다. 마찬가지로 수열
이
에 수렴하므로, 자연수
가 존재하여
인 모든 항 번호 에 대하여
이 성립한다.
max
라고 하자.19) 그러면
≥
이고
≥
이다.
이라고 가정하면,
이고
이므로
≤
이다. 그러므로
이
에 수렴한다.보기 4. 수열의 극한의 조임 정리를 증명해 보자.
,
,
이 실수열이고
이 실수이며lim
→ ∞
lim
→ ∞
이라고 하자. 또한 모든 항번호 에 대하여 ≤ ≤ 이 성립한다고 하자.
수열
이
에 수렴함을 증명하자.양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 수열
이
에 수렴하므로 자연수
이 존재하여
인 모든 항번호 에 대하여
이 성립한다. 이 부등식을 변형하면 다음을 부등식을 얻는다.
.마찬가지로 수열
이
에 수렴하므로 자연수
가 존재하여
인 모든 항번호 에 대하여
이 성립한다. 이 부등식을 변형하면 다음 부등식을 얻는다.
.
max
라고 하자. 그러면
≥
이면서
≥
이다.
이라고 가정하면,
이면서
이므로,
≤ ≤
즉
이다. 그러므로 수열
이
에 수렴한다.극한의 정의를 사용하여 수열이 수렴하지 않음을 증명할 수 있다.
19) 집합 가 공집합이 아니고 ℝ의 부분집합이며 최댓값을 가질 때, max 는 의 최댓값을 나타낸다.
정의 1의 부정을 한정명제로 나타내면 다음과 같다.
∃ ∀
∈ℕ ∃
∧
≥
즉 극한의 정의를 사용하여 수열
이
에 수렴하지 않음을 서술하는 과정은 다음과 같다.1단계. 적당한 양수 을 정의한다.
2단계. 자연수
이 임의로 주어졌다고 가정한다.3단계. [
이지만
≥ ]인 항번호 이 존재함을 설명한다.보기 5. 일 때 수열
이 에 수렴하지 않음을 증명해 보자. 이라고 하자. 그리고 자연수
이 임의로 주어졌다고 하자.
보다 큰 짝수 을 택하자. 그러면
이지만
이다. 그러므로
이 에 수렴하지 않는다.20)수열이 양의 무한대로 발산하는 경우와 음의 무한대로 발산하는 경우도 엄밀하게 정의할 수 있다.
이 실수열이라고 하자.
이 양의 무한대로 발산한다는 것은 큰 수
가 있더라도
일 수 있다는 뜻이다. 이 부등식이 모든 항 에 대하여 성립해야 하는 것은 아니며 의 값이 클 때 성립하면 충분하다. 음의 무한대로 발산하는 수열에 대해서도 같은 방법으로 생각할 수 있다.
이와 같은 관점에서 양의 무한대로 발산하는 수열의 극한과 음의 무한대로 발산하는 수열의 극한을 다음 과 같이 정의한다.
정의 2.
이 실수열이라고 하자. 이때 다음과 같이 정의한다.(ⅰ) 만약 임의의 실수
에 대하여 자연수
이 존재하여
인 임의의 항번호 에 대하여
가 성립하면, “수열
이 양의 무한대로 발산한다.”라고 말한다.(ⅱ) 만약 임의의 실수
에 대하여 자연수
이 존재하여
인 임의의 항번호 에 대하여
가 성립하면, “수열
이 음의 무한대로 발산한다.”라고 말한다.보기 6. 일 때 수열
이 양의 무한대로 발산함을 증명해 보자.실수
가 임의로 주어졌다고 하자.자연수 집합은 위로 유계가 아니므로
인 자연수
이 존재한다.
이라고 가정하자. 그러면
≥
이다. 따라서
은 양의 무한대로 발산한다.20) 이 보기에서는 “이 에 수렴하지 않는다.”라는 사실을 증명하였다. 만약 “이 어느 수에도 수렴하지 않는다.”를 증명하려면 어떻게 해야 할까?
보기 7. 일 때 수열
이 음의 무한대로 발산함을 증명해 보자.먼저 임의의 자연수 에 대하여 임을 상기하자. 이 부등식을 사용하여 증명하겠다.
실수
가 임의로 주어졌다고 하자.자연수 집합은 위로 유계가 아니므로
인 자연수
이 존재한다.
이라고 가정하자. 그러면