◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
1) log 의 값은?[2점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 두 행렬
,
에 대하여 행렬 의 모 든 성분의 합은?[2점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) 두 상수 에 대하여 lim →
일 때, 의 값은?
[2점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 점 을 지나고 직선
에 평행인 직 선이 점 를 지난다. 의 값은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
5.
5 ) 실수 에 대하여 연립부등식
≧
을 만족시키는 자연수 가 개일 때, 의 최댓값은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
2010년 11월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘가’형
수 리 영 역
2 ‘가’형
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6.
6) 의 숫자가 하나씩 적힌 개의 주머니에 각각개의 공이 들어 있다. 각 주머니에 들어 있는 흰 공의 개수는 주머니에 적힌 숫자와 같다. 개의 주머니 중에서 임의로 하나 를 택하여 한 개의 공을 꺼낸다. 꺼낸 공이 흰 공일 때, 이 공이 짝수가 적힌 주머니에서 나왔을 확률은?
[3점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
7.
7) 집합 에서 로의 함수 중에서, ≦ 을 만족시키는 함수 의 개수는?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 함수 가 에서 연속이 되도록 하는 함수 를 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최대 정수이다.)
[3점][2010년 11월]
<보기>
ㄱ.
≦
ㄴ.
≦
ㄷ.
≦
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
9.
9 ) 숫자가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다. 이 장의 카드 중 적혀 있는 숫자가 인 카드는 각각 두 장, 세 장, 다섯 장이다. 장의 카드 중에서 임의로 장의 카드를 뽑아 숫자를 확인한 후 다시 섞는 다. 이 시행을 번 하였을 때, 세 카드에 쓰여 있는 숫자의 합이 이하인 횟수를 확
률변수 라 하자. 가 이상 이하가 될 확률을 오른쪽 표 준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
[4점][2010년 11월]
① ② ③
④ ⑤
P ≦≦
수 리 영 역
‘가’형 3
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10.
10) 년도 어느 나라의 이산화탄소 배출량은 억 톤이었다.이 나라에서는 이산화탄소 배출로 인해 발생하는 지구 온난화 현상을 개선하기 위해 매년 전년도보다 씩 이산화탄소 배출 량을 감소시키는 정책을 년부터 추진하고 있다. 이 정책이 계획대로 추진된다고 할 때, 이산화탄소 배출량이 처음으로 억 톤 이하가 되는 시기는? (단, 측정 주기는 년이고,
log log log 로 계산한다.) [3점][2010년 11월]
① 년～년 ② 년～년
③ 년～년 ④ 년～년
⑤ 년～년
11.
11) 쌍곡선
의 점근선과 직선 가 제사분면에 서 만나는 점을 P라 하자. 중심이 원점이고 점 P를 지나는 원 이 쌍곡선과 제사분면에서 만나는 점을 Q, 축과 만나는 두 점을 각각 A B라 할 때, AQ × BQ의 값은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
12.
12) 다음은 이상의 자연수 에 대하여 부등식
가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
<증명>
자연수 ≧ 에 대하여
이라 하자.(1) 일 때, 이므로 성립한다.
(2) ≧ 일 때, 가 성립한다고 가정하자.
일 때,
×
×
⋯
(가) ×
×
⋯
(나) × 그런데, ≧ 이므로
(나) × 이다.
그러므로 (1), (2)에 의하여 이상의 자연수 에 대하여 주 어진 부등식이 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식의 합을 라 할 때,
의 값은?
[4점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘가’형
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13.
13) 이차정사각행렬 가
을 만족할 때, 행렬 의 모든 성분의 합은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
14.
14) 그림과 같이 점 O를 중심으로 하고, 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내부에 AC 인 점 C 를 잡고, ∆ABC의 내접원의 중심을 O′이라 하자. 선분 AO′의 연장선과 선분 BC의 교점을 N, 반원과의 교점을 P라 하고, 선 분 BC의 중점을 M, 선분 AM의 연장선과 선분 BP의 교점을 Q라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점][2010년 11월]
<보기>
ㄱ. AN∙ BQ ㄴ. AN
AB
AC ㄷ. AQ AM
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
15.
15) 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정육각형이 있다. 이 정 육각형의 한 변을 과 로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 이라 하자. 그림 의 정사각형들의 꼭짓점 중에서 정육각형의 내부 에 있는 꼭짓점들을 연결하여 정육각형을 만들고, 이 정육각형 의 한 변을 과 로 내분하는 두 점을 대각선의 양 끝점으 로 하는 정사각형을 각 변에 만들어 얻은 그림을 라 하자. 이 와 같은 과정을 계속하여 번 째 얻은 그림 의 모든 정사각 형의 둘레의 길이의 합을 이라 할 때, lim→∞
의 값은?
[4점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
‘가’형 5
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16.
16) 두 함수 과 log의 교점의 개수를 라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?(단, ≠ ≠ )
[4점][2010년 11월]
<보기>
ㄱ.
이면, 이다.
ㄴ. 이면, 이다.
ㄷ. 이면, 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
17.
17) 최고차항의 계수가 인 삼차함수 가 다음 조건을 만족 시킨다.(가)
(나) ′ ′ (단, )
그림과 같이 함수 위의 점 P 에서의 접선과
가 만나는 점을 Q 라 하고, 이고
≠ 인 점을 R 라 하자. 이때, 옳은 것만을 <보기>에 서 있는 대로 고른 것은? (단, ≦ ≦ 이다.)
[4점][2010년 11월]
<보기>
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ. lim
→
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
6 ‘가’형
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단답형
18.
18) 이차함수 는 상수가 lim →
를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010년 11월]
19.
19) 무리방정식 의 두 근을 라 할 때, 의 값을 구하시오.[3점][2010년 11월]
20.
20) 그림과 같이 두 점 P Q는 각각 , 에서 동시에 출발하여 점 P는 매초 의 속도로 축의 양의 방향으로 움직 이고, 점 Q는 매초 의 속도로 축의 양의 방향으로 움직인다.출발한 지 초 후의 위치를 각각 P′ Q′이라 하고 ∆OP′Q′의 넓이를 라 하자.
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010년 11월]
21.
21) 두 점 A , B 와 타원
위를 움직이는 점 P에 대하여, AB∙ AP가 최대가 되는 점 P에서의 접선의 방정 식은 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2010년 11월]
수 리 영 역
‘가’형 7
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22.
22) 수열 에 대하여
C 이다.
∞
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로 소인 자연수이다.)
[3점][2010년 11월]
23.
23) 그림과 같이 원점 O에서 두 점 A B 을 이은 선분 AB에 내린 수선의 발을 P이라 하자. 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q, 점 Q을 지나고 선분 AB와 평행한 직선 의 절편을 R, 점 R에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 P라 하자. 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q, 점 Q를 지나고 선분 AB와 평행한 직선의 절편을 R, 점 R에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 P이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 Q R P 을 정하여 나갈 때, 점 Q의 좌표 에 대하여 lim→∞ 이다. 의 값을 구하시오.
[4점][2010년 11월]
24.
24) 다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다.(가)
(나) 이면 ′ 이다.
이상인 자연수 과 ≦ ≦ 인 자연수 에 대하여, 곡선
′와 세 직선
,
, 으로 둘러싸인 도 형의 넓이를 라 하면
⋯
가 성립한다. 곡선 와 축, 축, 로 둘러싸인 도 형의 넓이가
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로 소인 자연수이다.)
[4점][2010년 11월]
25.
25) 좌표공간에 축, 축 및 축에 접하는 구
가 있다. 점 A 에서 구 에 그은 접선들과 평면의 교 점으로 이루어진 도형에서 두 점 P Q를 잡는다. 두 점 P Q사 이의 거리의 최댓값을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2010년 11월]
26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다. 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다.
수 리 영 역
8 ‘가’형
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미분과 적분
26.
26) sin cos 일 때, cos cos의 값은?
단
[3점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
27.
27) 함수 는
≦
≧
이다. 양수 에 대하여
라 할 때, → ∞lim의 값은?
[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
28.
28) 그림과 같이 점 A 에서 곡선 ln에 그은 접선이축과 만나는 점을 P, 접점을 Q라 하자. 점 Q에서 축에 내 린 수선의 발을 R, ∆PQR의 넓이를 라 할 때, 옳은 것만 을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, )
[3점][2010년 11월]
<보 기>
ㄱ. PR ㄴ. lim
→
ㄷ. lim
→ ∞
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
‘가’형 9
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29.
29) [그림 ]과 같이 빗변의 길이가 이고, 한 내각이
인 개의 합동인 직각삼각형들로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 이라 하자. [그림 ]와 같이 빗변의 길이가 이고, 한 내각이
인 개의 합동인 직각삼각형들로 둘러싸인 어두운 부분의 넓 이를 라 하자.
이와 같이 빗변의 길이가 이고, 한 내각이
인 개의 합동 인 직각삼각형들로 둘러싸인 도형의 넓이를 이라 할 때,
lim
→ ∞
의 값은?
[4점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
단답형
30.
30) 좌표평면 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위치가 sin cos sin cos
이다. 점 P의 속력의 최댓값을
라 할 때, 의 값을 구하 시오. (단, 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2010년 11월]
수 리 영 역
10 ‘가’형
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확률과 통계
31.
31) 다음은 어느 공장에서 하루에 생산하는 세 제품 A B C의 개수와 각 제품 개에 포함된 성분 K의 비율을 나타낸 것이다.구분 A B C
개수(개)
K의 비율
이 공장에서 생산하는 제품에 대하여 성분 K의 비율에 대한 가 중평균은? (단, 세 제품의 무게는 모두 같다.)
[3점][2010년 11월]
① ② ③
④ ⑤
32.
32) 주머니 속에 빨간색 구슬 개, 노란색 구슬 개, 파란색 구 슬 개가 들어있다. 이 주머니에서 구슬을 임의로 한 개를 꺼내 어 색깔을 확인한 후 다시 넣는다. 색깔이 빨간색, 노란색, 파란 색이면 각각 점의 점수를 얻는다. 이 시행을 번 할 때 얻은 점수의 합이 점일 확률은?[3점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
33.
33) A B C 세 도시는 행정 구역 통합에 관한 여론 조사를 실 시하였다. 그 결과 A도시 시민의
, B도시 시민의
, C도 시 시민의
이 행정 구역 통합에 찬성하였다. 세 도시에서 임 의로 각각 한 명씩 뽑은 세 명의 시민 중 통합에 찬성하는 시민 의 수를 확률변수 라 하자. 확률변수 의 기댓값은?
[3점][2010년 11월]
①
②
③
④
⑤
34.
34) 두 연속확률변수 는 각각 정규분포 N 을 따르고 다음 조건을 만족시킨다.
(가) P ≧ P≧
(나) P ≦ P≧
이때, 의 값은? (단, )
[4점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 11
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단답형
35.
35) A여론 조사 기관에서 어떤 드라마의 시청률을 조사하기 위 해 임의로 추출한 명을 대상으로 조사한 결과 명이 시 청하였다고 한다. 이 결과를 이용하여 전체 시청자의 시청률을 신뢰도 로 신뢰구간을 구하였더니 이었다. ≦ 를 만족시키려면 최소한 명을 임의 추출하여 조사 해야 한다. 이때, 의 값을 구하시오.
(단, P ≦≦ )
[4점][2010년 11월]
이산수학
36.
36) 같은 종류의 개의 공을 크기와 모양이 같은 개의 상자에 넣을 때, 빈 상자가 없도록 넣는 방법의 수는?[3점][2010년 11월]
① ② ③ ④ ⑤
37.
37) 다섯 명의 강사 A B C D E가 각각 시간 분량의 강의를 할 예정이다. 아래 표처럼 강사들도 다른 강사의 강의를 듣고 싶어 한다.강사 듣고 싶은 강의
A B의 강의, C의 강의 B C의 강의, D의 강의
C A의 강의
D C의 강의
E C의 강의, D의 강의
강사들이 듣고 싶어 하는 강의를 모두 들을 수 있도록 오후 시 부터 강의 시간을 배정할 때, 모든 강의가 끝나게 되는 가장 빠 른 시각은? (단, 강의는 휴식 없이 계속된다.)
[3점][2010년 11월]
① 오후 시 ② 오후 시 ③ 오후 시
④ 오후 시 ⑤ 오후 시
수 리 영 역
12 ‘가’형
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38.
38) 세 자녀 A B C는 부모로부터 집과 토지를 상속받을 예정 이다. 아래 표는 집과 토지에 대해 세 자녀가 생각하는 가치를 각각 적은 것이다. 이 재산을 세 자녀에게 공평하게 분배할 때, A가 상속받을 금액은 얼마인가?[3점][2010년 11월]
자 녀
재 산 A B C
집
토지
합계
(단위 : 만 원)
①만 원 ②만 원 ③만 원
④만 원 ⑤만 원
39.
39) 꼭짓점이 개인 그래프 G의 인접행렬을 라 할 때, 다음은을 나타낸 것이다.
그래프 G에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010년 11월]
<보 기>
ㄱ. 이 그래프의 변의 개수는 개이다.
ㄴ. 생성수형도를 만들기 위해서는 개의 변을 제거해야 한다.
ㄷ. 오일러 회로를 만들기 위해서는 적어도 개의 변을 추 가해야 한다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
단답형
40.
40) 두 문자 A B를 가지고 중복을 허용하여 만든 자리 문자열 이 있다. 이 중에서 A가 번 연속하여 나올 수 없는 문자열의 개수를 이라 하자. 예를 들어, 세 자리 문자열은 AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB이므로 이다. 이때, 의 값을 구하시오.[4점][2010년 11월]
수 리 영 역
‘가’형 13
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2010년 11월 대전 수리 가형 고3 모의고사 해설
1 ⑤ 2 ④ 3 ⑤ 4 ① 5 ②
6 ④ 7 ① 8 ③ 9 ③ 10 ②
11 ③ 12 ④ 13 ① 14 ⑤ 15 ①
16 ③ 17 ⑤ 18 25 19 27 20 29 21 21 22 11 23 12 24 83 25 72
미분과 적분
26 ③ 27 ② 28 ③ 29 ④ 30 14 확률과 통계
26 ③ 27 ② 28 ③ 29 ② 30 588 이산수학
26 ① 27 ② 28 ④ 29 ③ 30 44 1) ⑤
[출제의도] 지수와 로그를 포함한 식을 간단히 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
log log
2) ④[출제의도] 역행렬을 구하고 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
이므로
3) ⑤
[출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→
이고, lim
→
이므로,
lim
→
이다. 즉, 이므로
lim
→
lim
→
이다.
이므로 이다.
4) ①
[출제의도] 좌표공간에서 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 을 지나고 방향벡터가 인 직선의 매개변수방정식은 이다.
일 때 이므로 조건에 맞는 직선은 점 을 지난다. 따라서, 이다.
5) ②
[출제의도] 분수부등식과 고차부등식의 연립부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이 다.
≧ 에서 좌변을 통분하여 정리하면
≧ ≠ ≠
∴ ≦ 또는 ⋯ ㉠
에서 항상 이므로
⇔ ⋯ ㉡
㉠과 ㉡의 공통범위에서 조건을 만족하는 의 범위를 구하면
≦ 이므로 최댓값은 이다.
6) ④
[출제의도] 조건부확률의 개념을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ⅰ) 홀수번호의 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은
×
×
×
ⅱ) 짝수번호의 주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은
×
×
×
따라서, 구하는 확률은
7) ①
[출제의도] 규칙을 찾아 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
i 일 때, 을 정한 후, 를 정하면 되므로 C×C
ii 일 때, 을 정하는 것은 개에서
개를 정하는 경우이므로 C×C
따라서, 구하는 경우의 수는
C×CC×C
8) ③
[출제의도] 함수의 연속성의 정의에 대해 알고 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. lim
→
lim
→
(연속)
ㄴ. lim
→
lim
→
(불연속)
ㄷ. lim
→
lim
→
(연속) 9) ③
[출제의도] 이항분포에서의 확률을 정규분포에서의 확률을 이용하여 구할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
i 한 번의 시행에서 5가 쓰여 있는 카드가 한 번도 나오지 않으면 세 수의 합이 9이하이고, 이때의 확률은
C
C
ii가 쓰여 있는 카드가 한 번 나오면, 가 쓰여 있는 카드가 번 나올 때만 세 수의 합이 이하이고, 이때의 확률은
C
C×C
따라서, 한 번의 시행에서 세 숫자의 합이 이하일 확률은
한편, 세 숫자의 합을 확률변수 로 하는 확률분포는 이항분포 B
을 따른다. 그러므로 는 근사적으로 정규분포 N 을 따른다.따라서 구하는 확률은 P ≦≦ P
≦≦
P ≦≦ 10) ②
[출제의도] 등비수열의 공비를 찾고 식을 만들 수 있는가를 묻는 문제이다.
년 후 이산화탄소 배출량은 × 억 톤이므로
수 리 영 역
14 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
× ≦ ≦
양변에 상용로그를 취하면 log ≦ log log
≧ ≧
따라서, 년 후에 억 톤 이하가 된다.
11) ③
[출제의도] 쌍곡선의 정의와 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
주어진 원과 축과의 교점을 A B 이라 하자.
두 점 A B 는 쌍곡선의 초점이다.
AQ BQ 라 하면 쌍곡선의 정의에 의해 이고, 직각삼각형 ∆ABQ에서 이다.
에서 AQ × BQ 이다.
12) ④
[출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.
자연수 ≧ 에 대하여
이라 하자.
(1) 일 때, 이므로 성립한다.
(2) ≧ 일 때, 가 성립한다고 가정하자.
일 때,
×
×
×
⋯
×
⋯
×
×
⋯
그런데, ≧ 이므로
× 이다.
그러므로 (1),(2)에 의하여 이상의 자연수 에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.
따라서,
이므로 이다.
13) ①
[출제의도] 행렬 사이의 관계를 통해 역행렬의 정의를 알고 있는가를 묻는 문제이 다.
에서
이고ㄱ. AB는 원의 지름이고, ∠APB 이므로 내적은 이다. (참) ㄴ. ∆ABC에서 AN은 ∠CAB의 이등분선이므로
BA AC BN NC 이다.
따라서, AN
AB
AC이다. (참) ㄷ. AB AC 라 하자.
AN∙ BQ ⇔ AN∙AQ AB
⇔ AN∙AM AB
⇔
∙
⇔ ∙
∙ 이므로,
이다.
따라서,
AQ AM ⇔ AQ AM이다. (참) 15) ①
[출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
E
A B D C
그림과 같이 ∆∆ 이다.
CD
∠A C D AD
DE
∴ AE
주어진 정육각형과 첫 번째 만들어진 정육각형의 닮음비는
이므로
lim
→ ∞
×
16) ③
[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질과 관계를 파악할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
수 리 영 역
‘가’형 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
수 있는가를 묻는 문제이다.
삼차함수 는 원점대칭이므로 , 접선은 라 놓을 수 있다.
ㄱ. 의 이차항의 계수가 이므로
의 세 근 의 합은 이다. 즉, 이므로
이다. (참)
ㄴ. 는 원점대칭이므로 이고, 인 경우를 생각하면, ㄱ에 의해 이므로 이다. (참)
ㄷ. 이므로
lim
→
lim
→
′
이고, ′ 에서
′ 이므로 lim
→
이다. (참)
18) 25
[출제의도] 함수의 극한의 정의를 이용하여 주어진 함수의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→
에서 이고 ′ 이므로
이다.
19) 27
[출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
로 놓으면
, ∴ 그런데 ≧0 이므로 양변을 제곱하여 정리하면
. , 이므로
20) 29
[출제의도] 직선 운동하는 점의 위치를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
초 후의 P Q의 좌표는 각각 이다. 그런데
≦ 에서 Q의 좌표가 음수이므로
≦
≦ ≦
이다. 따라서,
21) 21
[출제의도] 내적의 정의와 이차곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
점 P에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 P′이라 하면, 두 벡터의 내적 AB∙ AP AB× AP′이다.
AP′가 최대가 되는 점 P는 직선 AB와 수직인 기울기를 갖고, 타원에 접하는 접점 중에서 제사분면 위의 점이다.
따라서, 접선의 기울기는 이고, 접선의 방정식은
22) 11
[출제의도] 이항정리를 이용하여 무한등비급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
C 에서
C 이다.∴
∞
∞
∞
∞
∴
23) 12
[출제의도] 수열의 점화식을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이 다.
점 Q의 좌표는
이므로
점 Q의 좌표는 이므로 점 Q을 지나고 AB에 평행한 직선의 방정식은
따라서 점R의 좌표는
이므로 점 R을 지나고 AB에 수직인직선의 방정식은
이고, 이 직선과 AB의 교점P 의
좌표가 이므로
,
이다.
∴lim
→∞
이므로 ×
24) 83
[출제의도] 구분구적법의 정의를 알고, 이를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
⋯ 에 대하여
⋯
′
이므로,
이다.따라서 곡선 와 축, 축, 로 둘러싸인 도형의 넓이 는
lim
→ ∞
lim
→ ∞
25) 72
[출제의도] 공간도형과 이차곡선에 관한 수학 내적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
꼭짓점이 A이고 구에 접하는 접선들로 이루어진 직원뿔을 평면으로 자른 단면은 타원이므로, 두 점 P Q는 타원 위의 점이다. 따라서, 타원의 장축은 직선 위에 존재하고, 장축의 한 끝점은 원점이다.
수 리 영 역
16 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
그림과 같이 원점을 O, 구의 중심을 O′, O′에서 축에 내린 수선의 발을 T, 원점이 아닌 장축의 다른 끝점을 R, AR과 구의 접점을 U, 점 T에서
AO′에 내린 수선의 발을 H라 하자.
A T U
R
O′
A
T
O R
H U
OT O′T AT AU AO′ 이므로
∠′ ∠ 라고 하면 tan
′
, tan
tan
tan
tan
26) ③
[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
sin cos
sin
cos
sin
이므로 sin
이다.
따라서,
⇒
이다. 그런데,
이므로 이고
이다.
∴ cos cos cos
cos
×
×
27) ②
[출제의도] 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
따라서, lim
→ ∞
lim
→ ∞
28) ③
[출제의도] 접선의 방정식과 함수의 극한을 이용하는 여러 가지 성질을 알 수 있는 가를 묻는 문제이다.
접점을 Q ln라 하면, 접선 의 방정식은 다음과 같다.
ln
ln
따라서 두 점 P R의 좌표는 P ln R ln이다.
ㄱ. PR ln ln (참)
정다각형의 한 변의 길이는 cos
이고, 정다각형의 중심에서 한 변까지의 길이를 이라 하면,
tan
cos
이므로,
tan
cos
이다.
따라서,
×
× ×
cos
tan
cos
tan
× sin
이다. 그러므로
lim
→ ∞
lim
→ ∞
tan
× sin
lim
→ ×tan
sin
치환
×lim
→
sin
×lim → tansin
××
30) 14
[출제의도] 평면 운동하는 점의 속력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
cos sin
cos이므로 점 P의 속력 는
cos sin cos
sin sin
sin sin
sin 라 하면 ≦≦ 이고
이므로
는
일 때, 최댓값
이다.
31) ③
[출제의도] 비율의 가중평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
생산하는 제품의 개수는 모두 개이므로 제품 A B C 별 가중치는 각각
,
,
이다. 따라서, 성분 K의 비율에 대한 가중평균은
수 리 영 역
‘가’형 17
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
i 일 때, C
ii 일 때, C
따라서, i과 ii에 의하여 구하는 확률은
33) ③
[출제의도] 기댓값의 정의를 이용하여 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
i 일 확률은 세 시민 모두가 반대하는 경우이므로
×
×
ii 일 확률은 세 시민 중 한 명만 찬성하는 경우이므로
×
×
×
×
×
×
iii 일 확률은 세 시민 중 한 명만 반대하는 경우이므로
×
×
×
×
×
×
iv 일 확률은 세 시민 3명 모두 찬성하는 경우 이므로
×
×
따라서, 구하는 기댓값은
×
×
×
×
34) ②
[출제의도] 정규분포를 표준화하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
P ≧ P
≧
P
≧
,P ≧ P
≧
P
≧
이므로(가)에서
∴ ⋯⋯① (나)에서
P ≦ P≧
P
≦
P
≧
P
≦
P
≧
이므로
⋯⋯②
①, ②를 연립하여 풀면, 이다.
35) 588
[출제의도] 표본비율로부터 모비율을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.
표본비율은
이고, 표본비율 는 근사적으로 정규분포
N
×
을 따른다.따라서, 표본의 크기가 일 때, 모비율 에 대한 신뢰도 %의 신뢰구간은
에서 ×
이다. 따라서
×
× ≦ 에서 ≧ 이므로 이다.
36) ①
[출제의도] 수를 분할하는 방법을 알고 있는가를 묻는 문제이다.
을 개의 자연수의 합으로 나타내는 방법을 구하면 된다. 즉,
와 같이 가지 방법이 있다.
37) ②
[출제의도] 최소색칠문제를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
강사 ABCDE를 꼭짓점으로 하고 한 강사가 다른 강사의 강의를 듣고 싶은 경우, 두 강사 사이를 변으로 연결한 그래프는 아래와 같다.
A
B C
D E
이때, 이 그래프의 색채수가 강의를 위해 필요한 최소한의 시간수이다. 이 그래프를 적절하게 색칠하는데 필요한 최소의 색의 개수는 이므로
시간만 있으면 강사들이 듣고 싶은 강의를 모두 들을 수 있도록 시간배정이 가능하다.
따라서 오후 시부터 강의가 시작되므로 오후 시면 모든 강의를 끝마칠 수 있다.
38) ④
[출제의도] 재산을 공평하게 분배하는 방법을 알고 있는가를 묻는 문제이다.
집과 임야를 가장 높은 가격으로 책정한 A와 C에게 각각 배정한다.
배정된 재산과 각 사람이 예상하는 몫과의 차이를 계산하여 그 차만큼 현금으로 지불하게 한다. 즉, A는 만원인 집을 받았는데 예상하는 몫이 만원이므로 그 차는 이다. 이 금액을 현금으로 지불한다.
다시 A가 지불한 만원으로 자기 몫보다 적게 배정받은 사람의 몫을 채워준다. 즉, B에게 만원, C에게 만원을 배정한다.
몫을 채워주고 남은 돈이 있으면 등분하여 각자에게 추가 배정한다. 즉,
만원이 남았으므로 A B C모두에게 각각 만원씩 추가로 배정한다. 최종적으로 세사람에게 배정된 재산과 그 금액은 다음과 같다.
구분 A B C
예상하는 몫
배정받은 재산 집 없음 토지
지불할 금액
상속받는 금액
그러므로 A가 상속받는 금액은 만원이다.
39) ③
[출제의도] 인접행렬을 그래프로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 행렬 A의 성분은 한 꼭짓점에 연결된 변의 개수를 나타내므로
의 꼭짓점을 차래대로 A B C D E라고 할 때, 각 꼭짓점에 연결된 변의 개수는 이므로 이것을 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다.
A
B
C D
E
그러므로 변의 개수는 이다. (참)
수 리 영 역
18 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ㄴ. 아래 그림은 주어진 그래프의 생성수형도 중 하나이다. 따라서 생성수형도를 만들기 위해서는 개의 변을 제거해야 한다. (참)
A
B
C D
E
ㄷ. 오일러 회로는 모든 꼭짓점의 차수가 짝수가 되어야 하므로, 꼭짓점 D와 E를 연결하는 하나의 변을 추가하면 오일러 회로를 만들 수 있다.
(거짓) A
B
C D
E
40) 44
[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 일반항들 사이의 관계식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
을 문제의 조건을 만족시키는 자리의 문자열의 개수라고 할 때
(ⅰ) 처음의 문자가 B인 경우:
처음의 문자를 제외한 나머지 문자열들은 A가 연속으로 번 이상 나오지 않는 자리수이며 이런 문자열의 개수는 이다.
(ⅱ) 처음의 문자가 A인 경우:
이 경우 A다음으로 A또는 B가 나올 수 있으므로
① 처음 두 자리가 AB인 경우:
처음의 두 자리의 문자열을 제외한 나
