◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
1) 두 행렬 에 대하여
일 때, 의 모든 성분의 합은?
[점][2012년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2)
log
log의 값은?[점][2012년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
3 ) 지수부등식 ․의 해가 일 때, 의 값은?[점][2012년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
4 ) 무리방정식 의 모든 실근의 곱은?[점][2012년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
2012학년도 7월 전국연합학력평가 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘가’형
수 리 영 역
2 ‘가’형
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5.
5) , , , , , 여섯 명으로 구성된 어느 수학 동아리에 서 회장과 부회장을 각각 명씩 뽑으려고 한다. 또는 가 회 장으로 뽑혔을 때, 가 부회장으로 뽑힐 확률은?[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
6.
6) 양의 실수를 정의역으로 하는 두 함수 , ln에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 가 있다. 이때,의 값은?
[점][2012년 7월]
(가) ′ ′
(나)
① ② ③ ④ ⑤
7.
7 ) 식품의 부패 정도를 수치화한 식품손상지수 와 상대습도 (%), 기온 (℃) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.
×
상대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를 , 상 대습도가 %, 기온이 ℃일 때의 식품손상지수를 라 할 때,
의 값은? (단, 로 계산한다.)
[점][2012년 7월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
8 ) 체중이 각각 ㎏, ㎏인 갑과 을이 개월짜리 다이어트 프 로그램에 참가하여 동시에 다이어트를 시작하였다. 갑은 매일 전날에 비해 %의 체중이 감소하였고, 을은 매일 전날에 비해%의 체중이 감소하였다고 할 때, 갑과 을의 체중이 같아지는 때는 다이어트 시작일로부터 며칠 후인가? (단, log , log , log , log 로 계산한다.)
[점][2012년 7월]
① 일 ② 일 ③ 일 ④ 일 ⑤ 일
수 리 영 역
‘가’형 3
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9.
9) 구 을 평면으로 자른 단면 을 밑면으로 하고, 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
10.
10) 그림과 같이 두 직선 , 위의 두 점 A, B 와 교점 P를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 PAB가 있다.∠B ˚이고 PB 일 때, PA의 값은?
[점][2012년 7월]
B
A
P
O
① ② ③
④ ⑤
11.
11) 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보 기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, 는 보다 크지 않은 최 대의 정수이다.)[점][2012년 7월]
O
<보 기>
ㄱ. lim
→
ㄴ. 함수 는 에서 연속이다.
ㄷ. 함수 는 에서 미분가능하다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
12.
12) 곡선 과 축 및 축으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피는?[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
4 ‘가’형
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13.
13) 다항함수 의 도함수 ′의 그래프가 그림과 같 을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[점][2012년 7월]
O
′
<보 기>
ㄱ. 구간 에서 의 변곡점은 개이다.
ㄴ. 구간 에서 가 극대가 되는 의 개수는 개이 다.
ㄷ. 구간 에서 의 최댓값은 이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
14.
14) 그림과 같이 원점 O를 지나고 기울기가 tan인 직선 과 점 A 이 있다. 점 O를 중심으로 하고 OA을 반지름으 로 하는 원과 직선 이 만나는 점을 B이라 하자. B을 지나고축에 평행한 직선 이 축과 만나는 점을 C이라 하고, 직선
위에 OC BA가 되는 점 A를 잡는다. 점 B을 중심으 로 하고 BA를 반지름으로 하는 원과 직선 이 만나는 점을 B라 하자. B를 지나고 축에 평행한 직선 가 축과 만나 는 점을 C라 하고, 직선 위에 CC BA이 되는 점 A을 잡는다. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 부채꼴 B BA의 호의 길이를 AB이라 할 때,
∞AB
이다. BC의 값은?
단, 이고 B은 원점이다.
[점][2012년 7월]
O C C
A
A A
B B
B
⋰
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 5
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15.
15) 이차함수 와 삼차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식
을 만족시키는 모든 정수 의 값 의 합은?
[점][2012년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
16.
16) 그림과 같이 정육각형 OABCDE에 대하여 O , A 이고, 직선 OB 위의 점 P는 OP OB를 만족한다. 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음변환 와 원점을 중심으로 만큼 회 전시키는 회전변환 의 합성변환 ∘ 에 의하여 점 A가 점 P 로 옮겨질 때, 합성변환 ∘ 를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합은?
단,
[점][2012년 7월]
O A
B D C
E
P
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
6 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
17.
17) 수열 을 ,
으로 정의할 때, 다음은 수열 의 일반항을 구하는 과정이다.
이라 놓으면 이므로
가
⋯ ⋯ (★) 식 (★)에 ⋯ ≥ 를 대입하면
⋮
좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,
⋯
≥
따라서 ,
나
≥ 이다.위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 라 할 때,
의 값은?
[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
18.
18) 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수일 확률은?[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
19.
19) 좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원 O와 네 점 A B C D 을 꼭짓점으 로 하는 정사각형 ABCD가 있다. 원 O의 중심이 축을 따라 양의 방향으로 매초 의 일정한 속력으로 움직인다. 초 후 원 의 내부와 정사각형 ABCD의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 라 하자. 원 O의 중심이
을 지나는 순간, 넓이 의 시간 (초)에 대한 변화율은? (단, ≤ ≤ )[점][2012년 7월]
O
A
B C
D
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
‘가’형 7
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20.
20) 그림과 같이 F 을 초점으로 하는 포물선 와 F 과 F′ 을 초점으로 하는 쌍곡선
이 제사분면에서 만나는 점을 A라 하자.
AF , cos∠AFF′
일 때, 의 값은?
[점][2012년 7월]
O F
F′
A
① ② ③ ④ ⑤
21.
21) 그림과 같이 정사면체 ABCD의 모서리 CD를 로 내분 하는 점을 P라 하자. 삼각형 ABP와 삼각형 BCD가 이루는 각 의 크기를 라 할 때, cos의 값은?
단,
[점][2012년 7월]
A
D
C B
P
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
8 ‘가’형
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단답형(22 ~ 30)
22.
22)
의 전개식에서 의 계수를 구하시오.[점][2012년 7월]
23.
23) 원 과 축의 두 교점을 초점으로 하고, 원의 중심을 지나는 타원의 장축의 길이를 구하시오.[점][2012년 7월]
24.
24) 다항함수 에 대하여 lim→
일 때, lim
→
의 값을 구하시오.
[점][2012년 7월]
25.
25)
를 만족시키는 함수 에 대하여 의 값을 구하시오.
[점][2012년 7월]
수 리 영 역
‘가’형 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
26.
26) 모든 항이 양수인 수열 이 lim → ∞
를 만족시킬 때, lim
→ ∞
의 값을 구하시오.
[점][2012년 7월]
27.
27) ≤ ≤ 일 때, 방정식 sin cos cos 을 만족시 키는 모든 실근의 합은
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[점][2012년 7월]
28.
28) 아래와 같은 순서로 두 용기 , 에 물과 소금을 넣어 소 금물을 만들고자 한다.
Ⅰ. 용기 , 에 각각 g과 g의 물을 넣는다.
Ⅱ. g의 소금을 모두 용기 , 에 나누어 넣되, 용기
에 더 많이 넣는다.
Ⅲ. 용기 만 가열하여 용기 에 넣은 소금의 양 만큼 물을 증발시킨다.
이때, 용기 , 의 소금물의 농도를 각각 (%), (%)라 하자.
일 때, 용기 에 넣은 소금의 양(g)을 구하시오.
[점][2012년 7월]
수 리 영 역
10 ‘가’형
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29.
29) 다음은 층 카드탑에 대한 설명이다.
Ⅰ. 층 카드탑 : 두 장의 카드를 맞대어 세운 것.
Ⅱ. 층 카드탑 : 층 카드탑 두 개를 나란히 세우고 그 위에 가로로 한 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것.
Ⅲ. 3층 카드탑 : 1층 카드탑 세 개를 나란히 세우고 그 위 에 가로로 두 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에 층 카드탑을 쌓은 것.
Ⅳ. 층 카드탑 : 1층 카드탑 개를 나란히 세우고 그 위 에 가로로 장의 카드를 올려놓은 후 그 위에
층 카드탑을 쌓은 것.
1층 카드탑
2층 카드탑
3층 카드탑
⋮ ⋮
층 카드탑을 만드는데 필요한 카드의 개수를 이라 할 때,
의 값을 구하시오.
[점][2012년 7월]
30.
30) 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 같은 도 로망이 있다.집 서점
도서관
철수가 집에서 도로를 따라 최단거리로 약속장소인 도서관으로 가다가 어떤 교차로에서 약속장소가 서점으로 바뀌었다는 연락 을 받고 곧바로 도로를 따라 최단거리로 서점으로 갔다. 집에서 서점까지 지나 온 길이 같은 경우 하나의 경로로 간주한다.
예를 들어, [그림1]과 [그림2]는 연락받은 위치는 다르나, 같은 경로이다.
도서관
집 서점
✆
집 서점
도서관
✆
[그림1] [그림2]
철수가 집에서 서점까지 갈 수 있는 모든 경로의 수를 구하시 오. (단, 철수가 도서관에 도착한 후에 서점으로 가는 경우도 포 함한다.)
[점][2012년 7월]
수 리 영 역
‘가’형 11
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2012년 7월 평가원모의고사 가형
1 ① 2 ④ 3 ④ 4 ② 5 ④
6 ③ 7 ① 8 ⑤ 9 ② 10 ①
11 ③ 12 ⑤ 13 ③ 14 ③ 15 ④ 16 ③ 17 ③ 18 ⑤ 19 ④ 20 ② 21 ② 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1) ①
[출제의도] 행렬 계산하기
∴모든 성분의 합은
2) ④
[출제의도] 로그 계산하기
log
log 3) ④
[출제의도] 지수부등식 계산하기
, ,
∴ 4) ②
[출제의도] 무리방정식 계산하기
( ≥ ) 라 하자.
, ∴
,
의 두 근을 , 라 하면 근과 계수의 관계에 의해 5) ④
[출제의도] 조건부확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
또는 가 회장으로 뽑히는 사건을 , 가 부회장으로 뽑히는 사건을
라 하면, P
P ∩
P
ln
× ∴
∴ ln
∴ 7) ①
[출제의도] 지수의 성질을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
,
8) ⑤
[출제의도] 상용로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
log log log log
log log
×
∴
9) ②
[출제의도] 공간좌표 이해하기
O
구 를 평면으로 자른 단면은 원
이 되므로, 밑면의 넓이는 가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 이다.
∴원뿔의 부피의 최댓값은
10) ①
[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
O
A B
P
수 리 영 역
12 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
ㄱ.lim
→
(참) ㄴ. 라 하면, , lim
→
이므로 는 에서 불연속이다. (거짓) ㄷ. lim
→
(참) 12) ⑤
[출제의도] 치환적분을 이용하여 회전체의 부피 계산하기
라 하면
․
13) ③
[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기
ㄱ. 함수 는 원점 O와 , , 에서 변곡점을 가진다. (참) ㄴ. 는 에서 극대가 된다. (참)
ㄷ. 구간 에서 최댓값은 이다. (거짓) 14) ③
[출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 수열
AB
은 첫째항이
이고 공비가 cos인 등비수열이다.
∞AB cos
cos
BC sin 15) ④
[출제의도] 부등식 이해하기
의 그래프와 의 그래프는 다음과 같다.
- -
O
의 해는
의 해와 일치하므로 일 때 또는
일 때
∠AOB
, OB 이므로
,
이다. ∘ 를 나타내는 행렬은
∴모든 성분의 합은 17) ③
[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항 추론하기
이라 놓으면 이므로
⋯ ⋯ (★) 식 (★)에 ⋯ ≥ 를 대입하면
⋮
좌변과 우변을 각각 곱하여 정리하면,
⋯
≥ ∴
≥ ,
∴
18) ⑤
[출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
개의 공에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 (홀수, 홀수, 짝수), (짝수, 짝수, 짝수)의 두 가지 경우이므로
C
C·C
C
C
19) ④
[출제의도] 도함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
O O′
P
Q
수 리 영 역
‘가’형 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
cos 에서 sin
이다.
원과 정사각형 ABCD가 겹치는 부분의 넓이
sin
cos sin
sin
cos
sin
원 O의 중심이
을 지나는 순간은 이다.
일 때,
이다.
∴원 O의 중심이
을 지나는 순간 넓이 의 시간(초)에 대한 변화율은
20) ②
[출제의도] 포물선과 쌍곡선의 성질 이해하기
F′ O F H
A
-
점 A에서 축에 내린 수선의 발을 H라 하면, cos∠AFH
이므로
FH
포물선의 정의에 의하여
∴ A 이므로
AF′
쌍곡선의 정의에 의하여 AF′ AF
∴ 21) ②
[출제의도] 정사영의 성질 이해하기 A
점 A에서 삼각형 BCD에 내린 수선의 발을 G라 하면, 점 G는 삼각형 BCD의 무게중심이다.
삼각형 BGP의 넓이는 삼각형 BCD의 넓이의
이므로 삼각형 BGP의
넓이는
cos
∴ cos
22) 60
[출제의도] 이항계수 계산하기
C
C ∴
의 계수는 C
23) 12
[출제의도] 타원의 성질 이해하기
O
F′ F C
원 의 중심을 C, 타원의 초점을 각각 F, F′이라 하면
장축의 길이는 F′C CF
24) 14
[출제의도] 미분계수의 성질 이해하기 lim
→
′
′
lim
→
′
25) 4
[출제의도] 정적분의 성질 이해하기
라 하면, 이다.
∴ 수 리 영 역
14 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
lim
→ ∞
lim
→ ∞
lim
→∞
lim
→ ∞
27) 11
[출제의도] 삼각방정식 이해하기
sin cos sin
sin sin cos
sin sin
sin 또는 sin
≤ ≤ 이므로
∴모든 실근의 합은
28) 50
[출제의도] 분수방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기 용기 에 넣은 소금의 양을 라 하면
이므로
×
×
,
∴
∵
29) 610
[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 규칙성 추론하기
수열 의 계차수열의 일반항
30) 296
[출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
집 서점
도 서 관
ⅰ) 연락 받은 교차로가 에 있는 경우:
