제 2 교시 수 리 영 역

1 8

◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1.

¹⁾ _



log_  log_^의 값은?

[2점][2013년 10월]

① _



 ②  ③ _



 ④  ⑤ _





2.

²⁾ 두 행렬 

 

^{ }  , 



^{  } 



에 대하여 행렬  의 모 든 성분의 합은?

[2점][2013년 10월]

①   ②   ③   ④  ⑤ 

3.

^{3 )}

lim

 → ∞^ 

^  

의 값은?

[2점][2013년 10월]

① _



 ②  ③ _



 ④ _



 ⑤ 

4.

^{4 )}



_^{}   의 값은?

[3점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

5.

^{5 )} 개의 꼭짓점으로 이루어진 그래프 의 각 꼭짓점 사이의 연 결 관계를 나타내는 행렬 이 다음과 같을 때, 그래프 의 변 의 개수는? (단, , 는 상수이다.)

[3점][2013년 10월]









^{                    }



①  ②  ③  ④  ⑤ 

2013년 10월 고3 모의고사 문제지

제 2 교시 수 리 영 역

성명 수험번호 3

1

‘A’형

수 리 영 역

2 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

6.

⁶⁾



^{ }





^{의 전개식에서 의 계수는?}

[3점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

⁷⁾ 서로 배반인 두 사건 , 에 대하여 P _{  }



, P^∩^_{ }





일 때, P 의 값은? (단, ^은 의 여사건이다.)

[3점][2013년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





8.

⁸⁾ 다항함수 에 대하여

lim

 →   

 

  일 때,

lim

 → 

     

의 값은?

[3점][2013년 10월]

①   ②   ③  ④  ⑤ 

9.

^{9 )} 부등식

  log_

^ 

  을 만족시키는 정수 의 개수는?

[3점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

10.

¹⁰⁾ 같은 종류의 선물 개를 명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, 명의 학생만 선물을 받는 경우의 수는? (단, 선물끼리 는 서로 구별하지 않는다.)

[3점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

수 리 영 역

‘A’형 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

11.

¹¹⁾ 함수   ^ ^   의 극댓값이 일 때, 상수 의 값은?

[3점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④ 　 ⑤ 

12.

¹²⁾ 어떤 무선 수신기에서 수신 가능한 신호의 최소 크기 와 수신기의 잡음 지수 (dB) 그리고 수신기의 주파수 대역  (Hz)사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

   log (단, 는 상수이다.)

잡음 지수가  이고 주파수 대역이 _일 때의 수신 가능한 신 호의 최소 크기와 잡음 지수가 이고 주파수 대역이 _일 때 의 수신 가능한 신호의 최소 크기가 같을 때, _

_

_

의 값은?

[3점][2013년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④  ⑤ 

[13 ~ 14] 그림과 같이 곡선   ^이 축과 만나는 점을 A, 곡 선   log_가 축과 만나는 점을 B라 하자. 또, 직선

    가 두 곡선   ^,   log_와 만나는 점을 각각 C, D라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13.

¹³⁾ 사각형 ABDC가 정사각형일 때, 상수 의 값은?

[3점][2013년 10월]

①  ②  ^ ③ ^

④  ⑤  ^

14.

¹⁴⁾ 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 점 C의 좌표 라고 할 때, 선분 CD의 길이의 기댓값은?

[4점][2013년 10월]

① _



^

② _



^

③ _



^

④ _



^

⑤ _



^

수 리 영 역

4 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

15.

¹⁵⁾ 수열



_



^은 _ 이고

_{  }  

_ 

 ≥ 

을 만족시킨다. 다음은 일반항 _을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여  _{  } _  이다. _  _이라 하면 _{  } _ 가

이고, _ 이므로 _ 나  ≥ 

이다. 따라서 _  

나

 ≥ 

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각  이라 할 때,

  의 값은?

[4점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

16.

¹⁶⁾ 함수   의 그래프가 그림과 같다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2013년 10월]

< 보 기 >

ㄱ.

lim

→     

lim

→     ㄴ.

lim

→

 는 존재한다.

ㄷ. 함수   는   에서 연속이다.

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수 리 영 역

‘A’형 5

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

17.

¹⁷⁾ 어느 밭에서 수확한 딸기의 무게는 정규분포를 따른다고 한 다. 이 딸기 중에서 임의추출한 개의 무게를 조사하였더니 평 균이 g, 표준편차가 g이었다. 이 결과를 이용하여 이 밭에서 수확한 딸기 무게의 평균을 신뢰도 %로 추정한 신뢰구간이

    이다.  의 값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률 변수 에 대하여 P  ≤≤   이다.)

[4점][2013년 10월]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

18.

¹⁸⁾ 그림과 같이 두 점 A , B 에 대하여 삼각형 OAB 에 내접하는 원 가 있다. 원 의 반지름의 길이를 라 할 때,

lim

 →  

의 값은? (단, O는 원점이다.)

[4점][2013년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





19.

¹⁹⁾ 그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 안에 꼭 짓점 A, C를 중심으로 하고 선분 AB, CD를 반지름으로 하는 사분원을 각각 그린다. 두 사분원의 호로 둘러싸인 부분에 내접 하는 가장 큰 원을 그리고, 그 내부를 색칠하여 얻은 그림을 _ 이라 하자.

그림 _에서 두 꼭짓점 A, C로부터 두 사분원의 호와 원이 접 하는 두 점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정사각 형을 각각 그린다. 이 개의 정사각형 안에 그림 _에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 개의 원의 내부를 색칠하여 얻 은 그림을 _라 하자.

그림 _에 있는 작은 두 정사각형에서 두 꼭짓점으로부터 사분 원과 원의 접점 중 가까운 점까지의 선분을 대각선으로 하는 정 사각형을 각각 그린다. 이 개의 정사각형 안에 그림 _에서 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 개의 원의 내부를 색칠하 여 얻은 그림을 _이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 _에서 색칠된 부 분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

 → ∞

_의 값은?

[4점][2013년 10월]

…

①   ^  ②  ^  ③ ^  

④   ^  ⑤  ^ 

수 리 영 역

6 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

20.

²⁰⁾ 삼차함수   ^ 가 있다. 곡선    위의 점 A      에서의 접선이 이 곡선과 만나는 다른 한 점을 B라 하자. 또, 곡선    위의 점 B에서의 접선이 이 곡선 과 만나는 다른 한 점을 C라 하자. 두 점 B, C의 좌표를 각 각 , 라 할 때,      을 만족시킨다. 상수 의 값은?

[4점][2013년 10월]

①  ②  ③  ④  ⑤ 

21.

²¹⁾ 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A  , B  을 지나 는 직선과 곡선   ^(  ) 및 축으로 둘러싸인 부분 중에 서 제사분면에 있는 부분의 넓이를 _이라 하자. 또, 직선 AB와 곡선   ^ 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 _라 하자. __   일 때, 상수 의 값은?

[4점][2013년 10월]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





단답형

22.

²²⁾ 등차수열



_



^{에 대하여} _ , _ _ 일 때, _의 값을 구하시오.

[3점][2013년 10월]

23.

²³⁾ , 에 대한 연립방정식



   ^{ }

  

^ 

 

^

이   ,    이외의 해를 갖도록 하는 양수 의 값을 구하 시오.

[3점][2013년 10월]

수 리 영 역

‘A’형 7

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

24.

^{24) 수열}



^



^{에 대하여}



  

∞



  _

 일 때,

lim

→∞ 

_  의 값 을 구하시오.

[3점][2013년 10월]

25.

²⁵⁾ 주머니 속에 ‘대’, ‘한’, ‘민’, ‘국’의 글자가 각각 하나씩 적힌

장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 장의 카드를 꺼낼 때, 카드에 적힌 글자가 ‘한’과 ‘국’일 확률은 _



이다.   의 값 을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

[3점][2013년 10월]

26.

²⁶⁾ 최고차항의 계수가 인 삼차함수 와 실수 가 다음 조 건을 만족시킬 때, ′의 값을 구하시오.

[4점][2013년 10월]

(가)     

(나) ′   

27.

^{27) 양수} 에 대하여 log의 가수를 라 하자.



 ≤  ≤ 일 때, 방정식   log의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

[4점][2013년 10월]

수 리 영 역

8 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

28.

²⁸⁾ 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 ( ≤  ≤ )에서의 속도가 각각  ^  ,

^  ^   이다. 두 점 P, Q 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

[4점][2013년 10월]

29.

²⁹⁾ 함수 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  ≤   일 때,  



^  ≤    

^{   } ≤    이다.

(나) 모든 실수 에 대하여     이다.

닫힌 구간     에서 방정식     의 모든 실근의 합을 구하시오.

[4점][2013년 10월]

30.

³⁰⁾ 두 수열



_



^,



_



이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) _ _ 

(나) 수열



_



^{은 공차가} 인 등차수열이고, 수열



^



^{은 공비가 인 등비수열이다.}

수열



_



의 모든 항이 수열



_



의 항이 되도록 하는 보다 큰 모든 자연수 의 합을 구하시오.

[4점][2013년 10월]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

수 리 영 역

‘A’형 9

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2013년 10월 수리 A형 고3 모의고사 해설

1) ②

[출제의도] 로그를 계산하여 값을 구한다.



log_  log_^_{  }



log_^ log_^



 

  

 

2) ③

[출제의도] 행렬을 계산하여 성분의 합을 구한다.

 

 

^{ }   



^{  } 







 ^{  }



따라서 모든 성분의 합은  이다.

3) ①

[출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

lim

 → ∞^ 

^   



lim

 → ∞

  

^



  

 ^



   

    

 



4) ④

[출제의도] 정적분의 값을 계산한다.



_^{}    ^ ^ _^  5) ②

[출제의도] 그래프를 나타내는 행렬의 성질을 이해하여 값을 구한다.

그래프를 나타내는 행렬의 각 성분은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 대하여 대칭이다. 그러므로 , 는 행렬 의  성분,

 성분과 각각 같다.

∴   ,   

따라서 행렬 의 모든 성분의 합이 이므로 그래프 의 변의 개수는

이다.

6) ⑤

[출제의도] 이항정리를 이해하고 항의 계수를 구한다.



^{ }





^의 전개식의 일반항은

C_^^{  }



^





^{C  }

    에서   

따라서 ^의 계수는 _C_ 이다.

7) ①

[출제의도] 서로 배반인 두 사건의 확률의 덧셈정리를 이해하고 값을 구한다.

[출제의도] 미분계수의 정의를 이해하고 극한값을 구한다.

lim

 → 

   이므로

lim

 → 

  

∴  

lim

 →   

 



lim

→  

 

 ′ 

∴

lim

→

     



lim

→

   



lim

→ 

   

 ′  ×    9) ④

[출제의도] 로그부등식을 이해하고 그 해를 구한다.

  log_

^ 

 에서   

^ 

 

∴   ^ 

따라서   ±, ±, ±, ±, ±, ±, ± , ± 이므로 구하는 개수는 이다.

10) ①

[출제의도] 중복조합을 이해하고 경우의 수를 구한다.

(ⅰ)명의 학생 중에서 선물을 받을 명을 택하는 경우의 수는

C_ 이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 택한 명에게 개의 선물을 적어도 하나씩 나누어 주는

방법의 수는 각각 하나씩 나누어 주고 남은 개에서 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 _{    }C_ 이다.

∴ _C_×   

11) ⑤

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 이해하고 주어진 값을 구한다.

′  ^         

′  에서     또는   



함수 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

 ⋯   ⋯ 

 ⋯

′     

 ↗   ↘ 



^





^↗

함수 는    에서 극댓값을 가지므로

            

∴   

12) ②

수 리 영 역

10 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

log_ log_  , log _

_

  

∴ _

_

 ^{ } 



13) ④

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하고 주어진 값을 구한다.

A , B  이고 선분 AB가 정사각형의 한 변이므로 C , D  이다.

이때 직선      가 점 C  를 지나므로

     

∴    14) ②

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 통해 주어진 이산확률변수의 기댓값을 구한다.

주사위의 눈의 수를 이라 하면 C  ^, D ^ 이므로

CD



^^ ^  ^^^^ 

부터 까지의 값을 가지는 에 대하여 선분 CD의 길이 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

   ⋯ 

계

 ^^  ^^  ⋯ ^^  P   

 

 ⋯ 

 

따라서 의 기댓값은 E  _{  }



^{   × }_^

 

^



^  

^ 

 

 ×



 

^

15) ①

[출제의도] 수열의 일반항을 추론한다.

_{  }  

_ 

의 양변에   를 곱하면

  _{  } _ 

이다. 다시 양변에  을 곱하면

   _{  }   _  

이다. _  _이라 하면

_{  } _  

이다. _ 이고 _{  } _   이므로

_ __{  }^{  }



^{  }

   



^

  

  



 ^   ( ≥ )

이다.   _ ^  이므로

_   

^  

( ≥ )

   ,   ^  이므로

        

16) ③

[출제의도] 주어진 함수의 그래프에서 극한과 연속을 추측한다.

ㄱ.

lim

 →    

 

lim

 →   

        (참) ㄴ.

lim

 →   

  

lim

 →    

   

lim

 →   

  

lim

 →    

  

lim

 →   

  ≠

lim

 →   

 이므로 함수  는   에서의 극한값이 존재하지 않는다. (거짓) ㄷ.    ×     

lim

 →   

    ×    

lim

 →   

     ×     ∴

lim

 → 

     따라서   

lim

 → 

 이므로 함수  는   에서 연속이다. (참) 17) ④

[출제의도] 실생활과 관련하여 모평균에 대한 신뢰구간을 구한다.

딸기의 무게 가 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포 N ^을 따른다고 하자. 임의추출한 크기가 인 표본의 표본평균  , 표본표준편차   의 결과를 이용하여 모평균 을 신뢰도 %로 추정한 신뢰구간은







   × ^

     × ^

 





조건에서 신뢰구간이    이므로

   × ^

  ,    × ^

   위의 식을 풀면   ,   

∴    

18) ⑤

[출제의도] 주어진 도형을 통해 함수의 극한값을 구한다.

삼각형 OAB의 넓이를 , 원의 중심을 C라 하면

AB



^^ ,  △COA  △CBO  △CAB이므로

_{ }



   × 

   



^^  위의 식을 정리하면



 

   



^^ 



∴

lim

 →  



lim

→  

   



^^ 

   ^

  



19) ③

[출제의도] 주어진 도형에서 무한등비급수의 합을 추측하여 구한다.

_에 있는 원의 반지름의 길이는  ^이므로

_  ^ ^

_에 있는 작은 정사각형의 한 변의 길이를 라 하면

AC  ^    ^   ^

   ^

_에 있는 원과 _에 있는 작은 원의 넓이의 비는

수 리 영 역

‘A’형 11

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

^  ^ ^  



^{  }

^



^

따라서 _과 _{  }에서 각각 새로 그려지는 두 원의 넓이의 비는

 



^{  }

^



^이고 원의 개수의 비는   이다.

그러므로 구하는 무한급수의 합은 첫째항이 _  ^ ^이고, 공비가





^{  }

^



^{   }인 무한등비급수의 합과 같다.

∴

lim

 → ∞

_{ }

    ^ 

 ^ ^

 ^  

20) ③

[출제의도] 미분계수를 이용하여 접선의 방정식의 성질을 알고 주어진 값을 구한다.

  ^ 를 미분하면

′  ^ 

곡선    위의 점 A에서의 접선의 기울기는

′     

곡선    위의 점 A에서의 접선의 방정식은

           

이 접선이 곡선   와 만나는 점을 구하면

^           

^     ,   ^    

∴   

따라서 점 B의 좌표는    이다.

마찬가지로 점 B에서의 접선의 방정식은

          

이 접선이 곡선   와 만나는 점을 구하면

^          

^     ,   ^    

∴     주어진 조건에서

                  

∴   

[다른 풀이]

점 A에서의 접선의 방정식을   라 하면

      ^  

는 일차식이므로   는 이차항을 갖지 않는다. 즉, 이차항의 계수는 이므로

      ∴   

점 B에서의 접선의 방정식을   라 하면

      ^  

마찬가지로 이차항의 계수는 이므로

      ∴     따라서

 

    ^ …… ㉠

_









^{ }

  



^{ }



^



_{ }



^   

^







  

^   

^

  

^   





^{ }

  



  

^ …… ㉡

한편 __{ }



×  ×  이고 __   이므로

_{  × }



  

…… ㉢

㉡, ㉢에서  

^   



^     

       따라서   

 (∵     )

그러므로 ㉠에서  

   



∴   



22) 

[출제의도] 등차수열의 일반항을 계산한다.

수열



_



^{의 공차를} 라 하면 _ 이고

_ _ 

_  _   

     ∴   

∴ _ _      ×   

23) 

[출제의도] 연립일차방정식의 해를 이해하고 주어진 값을 구한다.

연립방정식



^   ^

  

^

 

^ ^이   ,    이외의 해를 가지므로 행렬



   ^{ }



이 역행렬을 갖지 않는다.

     ×   

      

∴   (∵   ) 24) 

수 리 영 역

12 ^‘A’형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

[출제의도] 확률의 정의를 이해하고 확률의 값을 구한다.

장의 카드에서 장을 뽑는 방법의 수는 _C_ 이고 이 중에서 ‘한’과

‘국’이 적힌 카드를 뽑는 경우의 수는 이다. 따라서 구하는 확률은



이다.

∴         

26) 

[출제의도] 삼차함수의 그래프를 이용하여 미분계수를 구한다.

조건 (가)에서       로 놓으면

            

    라 하면

      

        

그러므로           

를 미분하면

′                

조건 (나)에서 ′   이므로

       ∴   

∴ ′       ×     27) 

[출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 방정식의 해의 개수를 구한 다.

양수 에 대하여 log의 가수가 이므로   log에서 log의 가수는 log이다.

따라서 log   log (은 정수) …… ㉠



 ≤  ≤ 일 때,   ≤ log ≤  이것을 ㉠에 대입하면

  ≤  log  ≤ 

   log ≤  ≤   log

  log  이므로      

∴   ,  , ,  따라서 구하는 의 개수는 이다.

[참고]

의 값을 구하면 다음과 같다.

(ⅰ)   일 때

log    log, log  log × ^{ }

   ×^{ } 

 (ⅱ)   일 때

log    log, log  log × ^{ }

   ×^{ } 

 (ⅲ)   일 때 log  log

   (ⅳ)   일 때 log    log

  

따라서 구하는 는 

 , 

 , , 이다.

28) 

[출제의도] 정적분을 이용하여 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.

  ^ ,   ^ ^ 라 하자.

초 후의 두 점 P, Q 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 ^





 











^

 ^





 



 



_^ 라 하자.

′  

^ ^ ^ 

  ^ ^ 

      

′  에서   , , 

의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

  ⋯  ⋯ 

′     

  ↘  ↗ 

 





^ ^ ^ 







 ^ ^ 

  

^ ^ ^

  일 때

  





^ ^ ^







 

  일 때

  





^ ^ ^







 

따라서  는   에서 최댓값 를 갖는다.

29) 

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 주어진 방정식의 해의 합을 구한다.

(ⅰ)  ≤   일 때   에서 ^  ∴   log_ (ⅱ)  ≤   일 때   에서

^{   } ,      log_ ∴     log_

함수   는 주기가 인 주기함수이므로 닫힌 구간    에서

  인 값들을 차례대로 구하면 다음과 같다.

log_,   log_,   log_,   log_,   log_,   log_,

  log_, … ,   log_

따라서 이들을 모두 더하면



log_    log_



^



^{  log}    log_



 ⋯ 



^{  log}    log_



       ⋯  

수 리 영 역

‘A’형 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

 

 ×  

 

30) 

[출제의도] 두 수열의 일반항 사이의 관계를 추측하여 주어진 조건에 맞는 값을 구 한다.

수열



^



^{의 일반항은 }     

수열



_



^{의 일반항은} _  ^{  }

수열



_



의 모든 항이 수열



_



의 항이 되려면 모든 자연수 에 대하여  ^{  }    인 자연수 이 존재한다.

    ^{  } 

    

 ^{  } 

  ^{  } 





  ^{  }  

^{  }( ≥ )과 은 모두 자연수이므로 

도 자연수이다. 따라서 는

의 약수이다.

∴   , ,  (∵   )

그러므로 모든 자연수 의 합은       이다.

[다른 풀이]

_ _인 자연수 이 존재하므로

      에서

    

  

   





이 자연수이어야 하므로 는 의 약수이다.

(ⅰ)   일 때

_   , _ ․^{  } (ⅱ)   일 때

_   , _ ․^{  } (ⅲ)   일 때

_ , _ ^

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 모든 경우 임의의 자연수 에 대하여 _ _을 만족시키는 이 존재하므로 수열



_



의 모든 항은 수열



_



^{의 항이}

된다.

∴   , , 이고 모든 자연수 의 합은 이다.