◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시
‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
log log 의 값은?1 )
[2점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
다항식 의 전개식에서 의 계수는?2)[2점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
3.
행렬
로 나타내어지는 일차변환을 라 하자.실수 , 와 × 행렬
에 대하여
일 때, 의 값은?3)
[2점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는?4)[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
5.
쌍곡선
의 두 꼭짓점은 타원
의 두 초 점이다. 의 값은?5)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
2012년 6월 고3 모의고사 문제지
제 2 교시 수 리 영 역
성명 수험번호 3
1
‘가’형
수 리 영 역
2 ‘가’형
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6.
최고차항의 계수가 인 이차함수 와 함수
≦
≧
에 대하여 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속이다.
의 값은?6)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
7.
밀폐된 용기 속의 액체에서 증발과 응축이 계속하여 같은 속도 로 일어나는 동적 평형 상태의 증기압을 포화 증기압이라 한다.밀폐된 용기 속에 있는 어떤 액체의 경우 포화 증기압
와 용기 속의 온도 ℃사이에 다음과 같은 관계식 이 성립한다.
log
용기 속의 온도가 ℃일 때의 포화 증기압을 , ℃일 때 의 포화 증기압을 라 할 때,
의 값은?7)
[3점][2012년 6월]
①
②
③
④ ⑤
8.
함수 가 인 모든 실수 에 대하여 부등식 ln ≦ ≦
을 만족시킬 때,
lim
→
의 값은?8)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
9.
행렬
으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점 , , 가 옮겨진 점을 각각 ′, ′, ′이 라 하자. 삼각형 의 내부와 삼각형 ′′′의 내부의 공통 부분의 넓이는?9)
[3점][2012년 6월]
① ②
③ ④
⑤
10.
연속함수 가 모든 실수 에 대하여
를 만족시킬 때, ln 의 값은? (단, 는 상수이다.)1 0)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
11.
첫째항이 이고, 각 항이 양수인 수열
의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하자.
일 때, 의 값은?11)
[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
12.
한 변의 길이가 인 정삼각형 이 있다. 그림과 같이 선분 과 선분 을 로 내분하는 점을 각각 , 라 하고, 선분 를 지름으로 하는 원의 호 와 선분로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하자.
정삼각형 에서 선분 과 선분 을 로 내분 하는 점을 각각 , 라 하고, 선분 를 지름으로 하는 원 의 호 와 선분 로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 부분의 넓이를 이라 할 때,
∞ 의 값은?12)[3점][2012년 6월]
①
②
③
④
⑤
13.
함수 cos
sin 의 최댓값은?13)[3점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
14.
집합 가은 이차정사각행렬이고 일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 는 단위행렬이다.)14 )
[4점][2012년 6월]
<보기>
ㄱ.
∈ㄴ. ∈이고 의 역행렬이 존재하면 이다.
ㄷ. ∈이면 ∈이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수 리 영 역
4 ‘가’형
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15.
수열
은 이고,
라 할 때,
≧
을 만족시킨다. 다음은 을 구하는 과정이다.
주어진 식으로부터
이다.
≧ 일 때,
이므로 이다.
따라서 일반항 을 구하면, 자연수 에 대하여 일 때,
일 때, 가
이다. 한편, 이므로
× 가 나
이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때,
의 값은?15)
[4점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
16.
양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 가 에 서 미분가능하다. 보다 큰 모든 실수 에 대하여 점 과 점 사이의 거리가 일 때, ′의 값은?16)
[4점][2012년 6월]
① ②
③
④ ⑤
수 리 영 역
‘가’형 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
17.
닫힌 구간 에서 정의된 함수 와 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식
≧
을 만족시키는 정수 의 개수는?17)
[4점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
18.
보다 큰 자연수 에 대하여 의 제곱근 중 실수 인 것의 개수를 이라 할 때,
∞ 의 값은?18)[4점][2012년 6월]
①
②
③
④
⑤
19.
사차함수 의 그래프가 그림과 같을 때,lim
→∞
을 만족시키는 정수 의 개수는?19)
[4점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
20.
포물선 의 초점을 , 준선이 축과 만나는 점을 , 점 를 지나고 기울기가 양수인 직선 이 포물선과 만나는 두 점을 각각 , 라 하자. 일 때, 직선 의 기울기는?20)[4점][2012년 6월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
6 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
21.
함수 과 실수에 대하여 함수를
≧
라 하자. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 의 값 은?21)
[4점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
단답형
22.
무리방정식 의 해를 구하시오.22)[3점][2012년 6월]
23.
일 때, 방정식cos cos sin
을 만족시키는 모든 해의 합은 이다. 의 값을 구하시오.23) [3점][2012년 6월]
24.
함수
≧ 의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래 프로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)24)
[3점][2012년 6월]
수 리 영 역
‘가’형 7
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25.
방정식 를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 의 개수를 구하시오.25 )[3점][2012년 6월]
26.
실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 가 있 다. 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 이 다. 함수 의 역함수를 라 할 때, 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 이다. 의 값을 구하 시오.2 6)[4점][2012년 6월]
27.
두 점 , ′ 을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 , 에 대하여 원점 에서 선분 와 선분′에 내린 수선의 발을 각각 와 라 하자. 점 와 점 가 각각 선분 와 선분 ′의 중점이고, × 일 때, 이 타원의 장축의 길이를 이라 하자. 의 값을 구하시오.
(단, ≠ )27)
[4점][2012년 6월]
28.
수열
에서 이고, ≧ 일 때, 은
을 만족시키는 자연수 의 개수이다. 의 값을 구하시오.28)
[4점][2012년 6월]
수 리 영 역
8 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
29.
그림과 같이 길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원 위 에 두 점 , 를 ∠ ∠
가 되도록잡는다. 두 선분 , 와 호 에 내접하는 원의 반지름의 길이를 라 할 때,
lim
→
이다. 의
값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)2 9)
[4점][2012년 6월]
30.
보다 큰 자연수 에 대하여 을 다음 조건을 만족시키 는 가장 작은 자연수 라 하자.(가) ≧
(나) 두 점 , log를 지나는 직선의 기울기는
보다 작거나 같다.
예를 들어 이다.
의 값을 구하시오.30)[4점][2012년 6월]
수 리 영 역
‘가’형 9
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2012년 06월 07일 평가원모의고사 가형
1 ② 2 ④ 3 ④ 4 ② 5 ④
6 ① 7 ③ 8 ③ 9 ③ 10 ①
11 ① 12 ② 13 ④ 14 ⑤ 15 ③ 16 ⑤ 17 ② 18 ① 19 ⑤ 20 ⑤ 21 ② 22 23 24 25
26 27 28 29 30
1) ② log
×
log 2) ④
다항식 의 전개식의 일반항은
의 계수는
3) ④
, , ∴ 4) ②주어진 그래프를 행렬로 나타내면
선분 개이므로 성분의 총합은
따라서 × 행렬의 의 개수는 개다.
5) ④
이므로 ∴
6) ①
(a) 에서 연속이어야 하므로
×
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
×
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
× 따라서, 이므로
(b) 에서 연속이어야 하므로
(a), (b)에 의하여 이므로
7) ③
log ⋯⋯ ㉠ log
⋯⋯ ㉡
㉡㉠에서 log
∴
8) ③
일 때
ln
≦
≦
이고
일 때
ln
≧
≧
이므로
∴
lim
→
9) ③
′ , ′ , ′ 이므로
∆와 ∆′′′를 좌표평면에 도시하면
공통부분의 넓이는
× × 이다.
10) ①
이므로 ∴ 준식의 양변을 미분하면 따라서 ln 이다.
11) ①
이므로
이므로 ∴
수 리 영 역
10 ‘가’형
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
cos
sin
cos cos
sin sin
sin
sin
sin cos 이므로
∴최대값
14) ⑤
ㄱ. (참)
∈ ㄴ. (참) , ∴ ㄷ. (참) , 일 때 ∈ 15) ③ 에서 (a) 일 때 ≥
수열
은 첫째항이 이고 공차가 1인 등차수열이므로 ∙ ≥
(b) 일 때
≥
수열
은 첫째항이 이고 공차가 1인 등차수열이므로 ∙ ≥ 이므로
×
따라서 ,
∴
16) ⑤
일 때
에서 이므로
∴ ′
lim
→
lim
→
17) ②
부등식
≧ (단, ≠ , ≠ ) 따라서 , , 는 구하는 정수 가 아니다.
구간 내의 인 세 근을 , , 라 하자.
ⅰ) 에서 , 이므로 ≧ 인 정수 는 , 이다.
18) ①
≧ 에서
⋅
이 실수이므로
일 때,
일 때, (단, 는 자연수)
∴
∞ ⋯
⋯
⋯
19) ⑤
lim
→∞
lim
→∞
이므로
이므로 개다.
20) ⑤
, (단, ) 이라 하면
포물선의 정의에서 준선 에서 , 까지의 거리의 비도
이다.
, ⋯⋯ ㉠
과 , 의 기울기에서
, ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하면
, 이므로
∴ 의 기울기는
21) ②
인 라 하면
에서 미분가능하므로
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
∴ 또는
그래프를 그려보면, 일 때 이고 는 실수 전체의
수 리 영 역
‘가’형 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
∴ 는 무연근
23)
cos cos 이므로
cos cossin
cos cos sin
cos cos sin (a) sin 에서
(b) cos 을 만족시키는 는 에 존재안함 (c) cos
에서
또는
모든 해의 합은 ∴
24)
구하는 회전체의 부피는
∴
25)
순서쌍 의 개수는 , , , 의 개 중에서 중복을 허락하여 개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
∴
⋅⋅
⋅⋅
(개) 26)
주어진 조건에서 , ′
의 역함수는
, ,
⋅
′
⋅′
∴
27)
′ 와 를 연결하여
′ , 라 하면 타원의 정의에 의해 ′ ′ 이고
∠′ ∠′ 이므로
∴ ′ ′,
∆′에서
× ×
∴
위의 그림에서 ∠ 이고, sec
tan , 이므로
sec tan
∴ sec
tan
라 하면
lim
→
lim
→
lim
→
sec
tan
lim
→
tan
tan
×
∴ 30)
주어진 조건에서 log
≦
이어야 한다,
log ≦
( ≧
을 지나는 로그함수와 기울기
이고 을 지나는 직선의 위치관계를 만족하는 가장 작은 자연수 를 이라 정의하고 있으므로
⋯
⋯ 그러므로
≤ ≤ ≥
∴
× ×
