2013학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지(가형)

(1)

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2013학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지

수리 영역

(가 형)

5 지선다형

1.

log_  log__   의 값은? [2점] ①  _②  _③  _④  _⑤ 

2.

다항식    의 전개식에서 의 계수는? [2점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

3.

행렬

 

 _{ } 로 나타내어지는 일차변환을 라 하자. 실수 _, _와 ×_{행렬 }

 

  에 대하여  

 

  일 때,  _{의 값은? [2점]} ①  ②  ③  ④  ⑤ 

4.

다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성분 중 의 개수는? [3점] ①  _②  _③  _④  _⑤ 

제 2 교시

1

(2)

2 수리 영역

(가 형)

5.

쌍곡선 _   _   _{의 두 꼭짓점은 타원}_    _   _의 두 초점이다.   의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

6.

최고차항의 계수가 인 이차함수 와 함수     



   ≤             ≥  에 대하여 함수 _{가 실수 전체의 집합에서 연속이다.} 의 값은? [3점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

7.

밀폐된 용기 속의 액체에서 증발과 응축이 계속하여 같은 속도로 일어나는 동적 평형 상태의 증기압을 포화 증기압이라 한다. 밀폐된 용기 속에 있는 어떤 액체의 경우 포화 증기압 P₍mmHg_{) 와 용기 속의 온도}(℃) 사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다. log P   _{  }      용기 속의 온도가 ℃_{일 때의 포화 증기압을}P__, ℃_{일 때의} 포화 증기압을 P__{라 할 때,} _ P_ P_ 의 값은? [3점] ①   ②   ③   ④  _⑤  

(3)

수리 영역

(가 형)

3

8.

함수 가  인 모든 실수 에 대하여 부등식 ln   ≤  ≤ __{ } 을 만족시킬 때,

lim

→  의 값은? [3점] ①  _②  _③  _④  _⑤ 

9.

행렬



  _ _



으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점 A  _, B _, C _{가 옮겨진 점을 각각}A′_, B′_, C′ 이라 하자. 삼각형 ABC_{의 내부와 삼각형}A′ B′ C′_{의 내부의} 공통부분의 넓이는? [3점] ①  _② _   ③  _④ _   ⑤ 

10.

연속함수 가 모든 실수 에 대하여



_      를 만족시킬 때, ln 의 값은? (단, 는 상수이다.) [3점] ①  _②  _③  _④  _⑤ 

(4)

4 수리 영역

(가 형)

11.

첫째항이 이고, 각 항이 양수인 수열



_

_

의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라 하자.



    _    _{  }  _ 일 때, 의 값은? [3점] ①  _②  _③  _④  _⑤ 

12.

한 변의 길이가 인 정삼각형 AB_C__{이 있다. 그림과 같이} 선분 AB__{과 선분}AC__을  로 내분하는 점을 각각 B__, C__라 하고, 선분 B_C__{를 지름으로 하는 원의 호}B_C__{와 선분}B_C__로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하자. 정삼각형 AB_C__{에서 선분}AB__{와 선분}AC__를  _로 내분하는 점을 각각 B__, C__{이라 하고, 선분}B_C__{을 지름으로} 하는 원의 호 B_C__{과 선분}B_C__{로 둘러싸인 부분의 넓이를} _라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 부분의 넓이를 이라 할 때,



   ∞ _의 값은? [3점] ①   _ _ ②   _ _ ③   _ _ ④ _  _ ⑤ _  _

(5)

수리 영역

(가 형)

5

13.

함수    cos



_{  }  



 sin의 최댓값은? [3점] ①  _②  _③  ④  ⑤ 

14.

집합  가 



 _{ 은 이차정사각행렬이고 }__

_

일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  는 단위행렬이다.) [4점] <보 기> ㄱ.



_{   } 



∈ ㄴ. ∈_{ 이고  의 역행렬이 존재하면 }_{ 이다.} ㄷ. ∈_{ 이면 }_∈_{ 이다.} ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(6)

6 수리 영역

(가 형)

15.

수열



_

_

은 _ 이고, 



    _라 할 때, _{  }_{ } _ _ (≥ ) 을 만족시킨다. 다음은 을 구하는 과정이다. 주어진 식으로부터 __{ } _ _  이다.  ≥ _{일 때,} __{ } _{  } _{  }  _    _{  } _{  }  _    _{  }_{  } _{  } 이므로 _ _{  }  이다. 따라서 일반항 _을 구하면, 자연수 에 대하여    _{일 때,} _{  }     일 때, _ (가) 이다. 한편,    이므로 _       ×        이다. 위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때,  _{의 값은? [4점]} ①  ②  ③  ④  ⑤ 

16.

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 가   에서 미분가능하다. 보다 큰 모든 실수 에 대하여 점  과 점   사이의 거리가  일 때,  ′_{의 값은? [4점]} ①  ② _  _ ③ _  _ ④  _⑤  (가) (나)

(7)

수리 영역

(가 형)

7

17.

닫힌 구간    에서 정의된 함수   와     의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 _ _ ≥ _{} 을 만족시키는 정수 의 개수는? [4점] ①  ②  ③  ④  ⑤ 

18.

보다 큰 자연수 에 대하여     의 제곱근 중 실수인 것의 개수를 _이라 할 때,



   ∞ _ _ 의 값은? [4점] ① __ ② __ ③ __ ④ __ ⑤ __

(8)

8 수리 영역

(가 형)

19.

사차함수   의 그래프가 그림과 같을 때,

lim

→∞ 



    



_{ }  



  을 만족시키는 정수 _{의 개수는? [4점]} ①  _②  _③  _④  _⑤ 

20.

포물선  의 초점을 F_{, 준선이}축과 만나는 점을 P_, 점 P_{를 지나고 기울기가 양수인 직선}이 포물선과 만나는 두 점을 각각 A_, B_{라 하자.} FA  FB    _{일 때, 직선}_의 기울기는? [4점] ① _ _ ② __ ③ __ ④ _   ⑤ __

(9)

수리 영역

(가 형)

9

21.

함수    _{   } 과 실수 에 대하여 함수 를  



  ≥      라 하자. 가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, _{의 값은? [4점]} ①   ②   ③   ④   ⑤  

단답형

22.

무리방정식       _{의 해를 구하시오. [3점]}

23.

    _{일 때, 방정식} cos  cossin   을 만족시키는 모든 해의 합은 _이다. _{의 값을 구하시오.} [3점]

(10)

10 수리 영역

(가 형)

24.

함수 _{  }    ≥ 의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래프로 둘러싸인 부분을 _{축의 둘레로 회전시켜 생기는} 회전체의 부피는 _이다.   의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [3점]

25.

방정식         _{를 만족시키는 음이 아닌 정수해의} 순서쌍    _{의 개수를 구하시오. [3점]}

26.

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 가 있다. 곡선    위의 점  에서의 접선의 기울기는 _{이다. 함수}_{의 역함수를}_{라 할 때, 곡선}   위의 점  에서의 접선의 기울기는 이다.  _{의 값을 구하시오. [4점]}

(11)

수리 영역

(가 형)

11

27.

두 점 F , F ′  을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 P_, Q_{에 대하여 원점}O_{에서 선분}PF_{와 선분} QF′_{에 내린 수선의 발을 각각}H_와I_{라 하자.} 점 H_{와 점}I_{가 각각 선분}PF_{와 선분}QF′_{의 중점이고,}  OH× OI _{일 때, 이 타원의 장축의 길이를}_{이라 하자.} _{의 값을 구하시오. (단,} OH≠ OI_{) [4점]}

28.

수열



_

_

에서 _ 이고, ≥ 일 때 _{  }은 _{ }  _ _  _ 을 만족시키는 자연수 의 개수이다. _의 값을 구하시오. [4점]

(12)

12 수리 영역

(가 형)

29.

그림과 같이 길이가 인 선분 AB_{를 지름으로 하는 반원} 위에 두 점 P_, Q_를_{∠ABP  ∠BAQ       }   _{가 되도록} 잡는다. 두 선분 AQ_, BP_{와 호}PQ_{에 내접하는 원의 반지름의} 길이를 라 할 때,

lim

→ _   _    _{  }_이다. __{ } 의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.) [4점]

30.

보다 큰 자연수 에 대하여 을 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 라 하자. (가)  ≥  (나) 두 점  ,  log__{를 지나는 직선의 기울기는} _ 보다 작거나 같다. 예를 들어   이다.



    의 값을 구하시오. [4점]