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교육학석사 학위논문

중학생들의 상관관계에 대한 비형식적 지식 분석

산점도와 적합선 중심으로

년 월

서울대학교 대학원

수학교육과

이 다 연

국문초록

이변량 자료 지도의 중요성은 꾸준히 강조되어오고 있다 이와 관련된 . 핵심적인 개념이 바로 상관관계이다 상관관계는 내용의 중요성과 세계. 적인 추세를 반영하여 2007 개정 교육과정에서 삭제된 이후 2015 개정 교육과정에서 복원되었다 상관관계에 대한 개념의 범위와 도입 방법은 . 제 차 교육과정에서부터 논의되어왔음에도 불구하고 현행 교육과정에서 7 , 복원된 내용 요소들을 보면 여전히 직관적으로 산점도와 상관관계를 파 악하는 수준에 머물러있다 최근까지 상관관계에 대한 연구는 상관관계. 에 관련된 개념과 추론을 이론적으로 밝히거나 학생들의 추론 수준을 확 인하는 연구들이 대다수이며 그 가운데 학생들이 학교 수학에서 상관관 계를 배우지 않아도 비형식적으로 상관관계에 대한 지식을 형성하고 있 음을 알 수 있는 연구 결과가 존재한다 하지만 실제로 우리나라 학생. , 들이 상관관계를 배우지 않은 상태에서 상관관계를 파악하기 위해 어떤 전략을 쓰며 그에 대한 비형식적 지식의 특성이 무엇인지 그리고 꾸준, 히 논의되어왔던 상관관계와 일차함수의 연계성 측면에서 보았을 때 학, 생들의 적합선에 대한 비형식적 지식의 특성이 무엇이며 상관관계 추론, 전략과의 연관성이 존재하는지 등 학생들의 추론 및 이해에 관한 연구는 부족한 편이다.

따라서 본 연구는 상관관계를 배우지 않은 중학생들이 가지고 있는 비 형식적 지식을 조사 분석하여, 수학적 연결성을 고려한 상관관계의 지도 방향에 대한 시사점을 얻는 데 목적이 있다 이를 위해 근거이론에 입각. 하여 이론적 표본추출에 따라 상관관계를 배우지 않은 중학교 2, 3학년 학생 명을 연구대상으로 설문 검사를 실시한 후 명의 학생들을 선정40 12 하여 면담을 시행하였다 실험과제의 내용은 . ‘산점도 그래프 해석하 기 와 ’ ‘산점도에서 적합선 그리기 이며 과제를 통해 학생들의 비형’ , 식적인 상관관계 추론전략과 그에 따른 이해를 분석하였고 학생들의 비 형식적인 적합선 그리기 전략을 조사한 후 상관관계 추론전략과의 연관 성을 분석하였다.

연구 결과 첫째 학생들의 비형식적 상관관계 추론전략은 맥락적 지식 , 사용전략 가지(3 ), 분포 파악 전략 가지(3 ), 패턴 파악 전략 가지 의 세 가(4 ) 지 차원으로 구분할 수 있었으며 세 전략은 독립적으로 사용되기보다 서 로 밀접한 관련을 맺고 있었다 학생들은 산점도에서 상관관계를 파악하. 기 위해 기본적으로 분포 파악 전략과 패턴 파악 전략을 사용하며 맥락 적 지식 사용전략은 부분적으로 통합하는 경향이 있었다 분포 파악 전. 략과 패턴 파악 전략을 기준으로 학생들의 전략을 비교 분석했을 때 가8 지 상관관계 추론전략 유형을 도출하였다.

둘째, 8가지 상관관계 추론전략의 특징을 살펴본 결과 대체로 분포 파, 악 전략과 패턴 파악 전략 수준이 높을수록 상관관계에 대한 이해 수준 이 높았으나 분포 파악 전략과 패턴 파악 전략은 상호보완적 역할을 하, 기도 하며 맥락적 지식은 통합 형태에 따라 문제해결에 도움이 되기도, , 방해가 되기도 하였다 이때 상관관계에 대한 이해 수준은 학년별 차이. , 가 유의미하지 않았으며 전략별 문항 오답유형을 분석했을 때 추후 개, , 념의 형식화 과정에서 오개념이 될 수 있는 사례와 학생들의 비형식적 지식과 형식적 지식 간의 유사점 차이점을 발견할 수 있었다, .

셋째 학생들의 비형식적 적합선 그리기 전략은 선행연구에서 발견된 , 사례 이외의 전략을 포함하여 가지가 발견되었으며 적합선 그리기 전15 , 략은 모델링의 정교화 수준에 따라 중심 형태에 대한 대략적 추측‘ · ’,

부분적 자료의 조작을 통한 일반화 체계적 분석을 통한 정당화

‘ ’, ‘ ’

로 구분할 수 있었다 이때. , 90%의 학생들이 상관관계의 방향성에 맞게 직선을 그릴 수 있었다.

넷째 상관관계 추론전략과 적합선 그리기 전략의 연관성을 살펴본 결, 과 상관관계 추론전략 수준이 높을수록 적합선 그리기 전략의 정교화 , 수준이 높았으며 학생들은 양 음의 상관관계에 따라 전략이 변화하기도 , / 하였는데 문항별 적합선 그리기 전략의 범주 변화 유형은 상향 이동, (5 가지), 하향 이동 가지(5 ), 같은 범주 내 이동 가지 으로 구분할 수 있었(9 ) 다 이러한 변화는.

수학적 모델링의 과정에서 학생들이 겪은 어려움 및

대처방식으로 해석할 수 있었다.

분석 결과를 바탕으로 본 연구는 통계 교육에서 비결정론적 세계관 맥, 락 의존적 성격 자료 기반적 논증을 고려한 통계적 사고의 지도에 대한 , 기초 자료를 제공할 수 있으며, 상관관계와 일차함수를 연계한 도입의 가능성과 학생들의 비형식적 지식을 활용한 개념 형식화의 필요성을 시 사한다.

주요어 상관관계 비형식적 지식 산점도 적합선 연결성: , , , , 학 번 : 2019-25802

목 차

서론 .

Ⅰ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1

이론적 배경 .

Ⅱ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7

산점도와 적합선

1. ··· 7 가 산점도와 상관계수

. ··· 8 나 회귀직선과 적합선

. ··· 10 상관관계에 관한 추론 및 이해

2. ··· 14 가 상관관계에 관한 추론과 발달

. ··· 14 나 상관관계와 적합선에 대한 학생들의 이해

. ··· 20 비형식적 지식으로서의 상관관계

3. ··· 27 가 비형식적 지식의 의미와 중요성

. ··· 27 나 상관관계와 적합선에 관한 비형식적 지식 고찰

. ··· 29

연구방법 .

Ⅲ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 35

연구의 대상과 표집

1. ··· 35 실험과제

2. ··· 37 가 설문 검사 문항. ··· 37 나 면담 추가 문항. ··· 42

자료수집 및 분석과정

3. ··· 45

결과분석 .

Ⅳ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50

학생들의 상관관계 추론전략

1. ··· 50 상관관계 추론전략에 따른 문항별 이해

2. ··· 63 가 문항

. 1 ··· 63

나 문항

. 2 ··· 68

다 문항 . 3 ··· 75

적합선에 대한 비형식적 지식 3. ··· 81

가 학생들의 적합선 그리기 전략과 그 결과 . ··· 81

나 . 상관관계 추론전략과 적합선 그리기 전략의 연관성 ··· 86

다 . 모델링 관점에서 문항별 적합선 그리기 전략의 변화 ··· 104

결론 및 논의 . Ⅴ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·112

참고문헌 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·122

부록 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·131

Abstract · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·137

표 목 차

표 눈과 머리카락 색에 대한 분할표

[ Ⅱ-1] ··· 14 표 심리학에서 연구된 상관관계에 대한 추론과 그 발달 수준 [ Ⅱ-2]

(P rez Echevarr a, 1990;

é í

Batanero et al., 1996 재인용) ··· 16 표 공변동적 추론에 대한 수준

[ Ⅱ-3] (Thompson & Carlson, 2017, p.441) ··· 20

표 상관관계에 대한 오개념과 그 원인

[ Ⅱ-4] (Liu et al. 2009, p.801)

··· 21 표 연구 진행 과정

[ Ⅲ-1] ··· 36 표 설문 검사 문항 범주표

[ Ⅲ-2] ··· 37 표 와 의 근거이론 코딩 과정 요소 [ Ⅲ-3] Strauss Corbin(1990) 3 ·· 46

표 상관관계 추론전략에 대한에 대한 개방 코딩 결과

[ Ⅲ-4] ··· 47

표 상관관계 추론전략의 세 가지 차원에 따른 범주 구체화 [ Ⅳ-1]

··· 51 표 상관관계 추론전략 사례별 빈도수와 비율

[ Ⅳ-2] ··· 51 표 상관관계 추론전략의 가지 유형과 특징

[ Ⅳ-3] 8 ··· 61 표 상관관계 추론전략의 학년별 빈도수와 비율

[ Ⅳ-4] ··· 62 표 문항 양 음의 상관관계 의 언어적 표현과 [ Ⅳ-5] 1-(1),(2). ‘ / ’

이해양상 ··· 64 표 문항 상관관계 없음 의 언어적 표현과

[ Ⅳ-6] 1-(3). ‘ ’

이해양상 ··· 65 표 상관관계 추론전략별 문항 의 응답결과

[ Ⅳ-7] 1 ··· 66 표 상관관계 추론전략별 문항 의 응답결과

[ Ⅳ-8] 2 ··· 68 표 상관관계 추론전략별 문항 의 응답결과

[ Ⅳ-9] 3 ··· 75 표 상관관계 추론전략별 문항 의 오답유형과 원인

[ Ⅳ-10] 3-(1) · 77

표 상관관계 추론전략별 문항 의 오답유형과 원인

[ Ⅳ-11] 3-(2) · 78

표 상관관계 추론전략별 문항 의 오답유형과 원인

[ Ⅳ-12] 3-(3) · 79

표 학년별 문항 와 의 오답 빈도수와 비율

[ Ⅳ-13] 2 3 ··· 80 표 학생들의 적합선 그리기 전략과 표현 범주에 따른 문항별 [ Ⅳ-14]

빈도수··· 81 표 평균을 고려한 적합선 그리기 전략의 가지 사례와 구분

[ Ⅳ-15] 3

··· 83 표 기울기 조정 영역 좁히기 전략을 사용하여 그린 [ Ⅳ-16] ‘ ’, ‘ ’

적합선과 회귀직선 비교 ··· 84 표 문항 에서 적합선 그리기 전략 범주별 결과

[ Ⅳ-17] 4-(3),(4) · 85

표 상관관계 추론전략별 양의 상관관계에서 적합선 그리기 [ Ⅳ-18]

전략의 연관성 ··· 86 표 상관관계 추론전략별 음의 상관관계에서 적합선 그리기 [ Ⅳ-19]

전략의 연관성 ··· 87 표 상관관계 추론전략별 적합선 그리기 전략 분할표

[ Ⅳ-20] ··· 88

표 상관관계 추론전략별 문항 응답결과

[ Ⅳ-21] 4-(5) ··· 97 표 문항별 양 음의 상관관계 적합선 그리기 전략 범주의 [ Ⅳ-22] ( / )

연관성 ··· 104 표 문항별 적합선 그리기 전략 변화 사례

[ Ⅳ-23] ··· 105

그 림 목 차

그림 산점도에 따른 상관계수 비상교육 지도서

[ Ⅱ-1] ( , p.267)···· 10 그림 중앙값 기울기 알고리즘을 이용한 적합선 그리기 과정 [ Ⅱ-2] -

(Edwards, 2005, pp.416-417) ··· 13 그림 산점도에서 미니툴을 이용한 분포비교의 예

[ Ⅱ-3]

(Cobb et al., 2003, p.59) ··· 17 그림 오개념의 예

[ Ⅱ-4] M1 (Liu et al. 2009, p.801)··· 21 그림 급여와 직업만족도의 산점도

[ Ⅱ-5] (Sorto et al., 2011, p.50)

··· 25 그림 두 개의 다른 적합선

[ Ⅱ-6] (Sorto et al., 2011, p.51) ··· 25 그림 각 변수의 평균으로 나뉜 산점도

[ Ⅱ-7] (Franklin et al., 2007, p.49) ··· 31 그림 각 변수의 평균을 기준으로 산점도를 분할표로 변환한 [ Ⅱ-8]

결과(Franklin et al., 2007, p.96) ··· 32 그림 문항 의 산점도 상관계수

[ Ⅲ-1] 1 ( : 0.93, -0.91, 0.03)··· 38 그림 문항 의 산점도 상관계수

[ Ⅲ-2] 2 ( : 0.93, -0.97, 0.01)··· 39 그림 문항 의 산점도 상관계수

[ Ⅲ-3] 3 ( : 0.99, 0.56, -0.99, -0.56, -0.04, 0.01, 0.01, 1) ··· 39

그림 의 과제에서 학생들이 표현한 적합선과 [ Ⅲ-4] Casey(2015)

최소제곱적합선의 비교(Casey, 2015, p.15) ··· 40 그림 문항 의 산점도

[ Ⅲ-5] 4 ··· 41 그림 예비검사 중 인지적 장애를 일으킨 산점도

[ Ⅲ-6] ··· 42 그림 함수적 지식 파악을 위한 면담 추가 문항 과

[ Ⅲ-7] 1 2··· 43 그림 분포에 대한 이해 파악을 위한 면담 추가 문항 과

[ Ⅲ-8] 3 4

··· 44 그림 면담 추가 문항 의 그래프

[ Ⅲ-9] 5 ··· 45

그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-1] C1 1··· 52 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-2] C1 2··· 53 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-3] C2 ··· 54 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-4] D1 ··· 55 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-5] D2 ··· 56 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-6] D3 1··· 56 그림 에 해당하는 학생 의 예시

[ Ⅳ-7] D3 S3j 2··· 57 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-8] P0 ··· 58 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-9] P1 ··· 58 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-10] P2 ··· 59 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-11] P3 1··· 59 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-12] P3 2··· 60 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-13] P3 3··· 60 그림 에 해당하는 학생의 예시

[ Ⅳ-14] P3 4··· 60 그림 전략에 해당하는 학생 의 문항 에 대한 설명 [ Ⅳ-15] D1P0 S3l 2

··· 69 그림 전략에 해당하는 학생 의 문항 에 대한 설명 [ Ⅳ-16] D1P1 S2j 2

··· 70 그림 전략에 해당하는 학생 의 면담 추가 문항 에

[ Ⅳ-17] D1P1 S2o 4

대한 설명 ··· 72 그림 전략에 해당하는 학생 의 면담 추가 문항 에

[ Ⅳ-18] D1P1 S3b 3

대한 설명 ··· 73 그림 전략에 해당하는 학생 의 면담 추가 문항 에

[ Ⅳ-19] D2P1 S2h 3

대한 설명 ··· 73 그림 에서 직선을 끊기게 그린 예

[ Ⅳ-20] D1, D2 ··· 89 그림 에서 평균을 고려한 예

[ Ⅳ-21] D2 ··· 89 그림 에서 가깝게 그린 예

[ Ⅳ-22] D2 ‘ ’ ··· 90

그림 음의 상관관계에서 수평선을 그린 예

[ Ⅳ-23] ··· 91 그림 에서 원점과 기울기를 고려한 예

[ Ⅳ-24] P2 ··· 92 그림 전략에서 개수 맞추기 로 그린 예

[ Ⅳ-25] D2P2 ‘ ’ ··· 92 그림 전략에서 반으로 나누기 로 그린 예

[ Ⅳ-26] D2P2 ‘ ’ ··· 92 그림 전략에서 직선 근처로 가깝게 그린 예

[ Ⅳ-27] D3P3 ‘ ’ ···· 93 그림 전략에서 평균점 잡기 로 그린 예

[ Ⅳ-28] D3P2 ‘ ’ ··· 93 그림 전략에서 평균점 계산 으로 그린 예

[ Ⅳ-29] D3P3 ‘ ’ ··· 94 그림 전략에서 시작점 을 고려한 예

[ Ⅳ-30] D3P3 ‘ ’ ··· 94 그림 전략에서 특이점을 배제한 예

[ Ⅳ-31] D3P3 ··· 95 그림 전략에서 특이점을 배제한 상태에서 직선을 [ Ⅳ-32] D3P3

생각한 후 다시 특이점을 고려하여 기울기를 조절한 예 ··· 95 그림 전략에서 영역 좁히기 의 예

[ Ⅳ-33] D3P3 ‘ ’ ··· 95 그림 전략에서 최적합선을 구하기 위한 계산의 예

[ Ⅳ-34] D3P3 1 96

그림 전략에서 최적합선을 구하기 위한 계산의 예

[ Ⅳ-35] D3P3 2 96

그림 전략 학생의 적합선 그리기 전략

[ Ⅳ-36] D2P3 ··· 98 그림 전략 학생의 적합선 그리기 전략

[ Ⅳ-37] D3P1 ··· 99 그림 전략 학생의 문항 에서 직선 를 선택한 이유 [ Ⅳ-38] D3P1 4-(5) 2

··· 100 그림 적합선이 상관관계 추론에 도움이 된 사례 학생

[ Ⅳ-39] 1( S3x)

··· 101 그림 적합선이 상관관계 추론에 도움이 된 사례 학생

[ Ⅳ-40] 2( S2i)

··· 101 그림 적합선을 상관관계 추론에 활용하지 못한 사례 학생

[ Ⅳ-41] ( S3e)

··· 102 그림 전략에 해당하는 학생 의 적합선 인식 사례

[ Ⅳ-42] D2P3 S2c 103

그림 전략에 해당하는 학생 의 적합선 인식 사례

[ Ⅳ-43] D3P1 S3j 103

그림 수학적 모델링에서 가추적 사고의 작용과정 백도현

[ Ⅳ-44] ( ,

이경화, 2018, p.233) ··· 106 그림 상향이동 중 직선그리기를 거부한 사례

[ Ⅳ-45] ··· 108 그림 문항 에서 가능한 직선의 기울기를 통해 자료를 [ Ⅳ-46] 4-(1),(2)

예측한 예 ··· 109 그림 문항 에서 특이점을 제외하여 자료를 예측한 예 [ Ⅳ-47] 4-(1),(2)

··· 110

서론 .

Ⅰ

경제 교육 음식 의학 스포츠 여론조사 시청률 등 우리가 일상생활, , , , , , 에서 접하는 통계적 정보는 다양하다 현대사회를 살아가는 시민은 여러 . 가지 분야에 대한 통계적 정보를 접하고 실생활의 다양한 자료를 분석하 여 의미 있는 정보를 찾고 합리적인 의사결정을 내려야 한다.1) 더 나아 가 빅데이터 인공지능 등 데이터로부터 정보를 추출하는 미래 기술의 , 경쟁력을 갖추기 위한 통계 교육의 비전을 세워야 한다. 실제로 실생활 에서 우리는 날씨와 가정에서의 전기소비량 제품의 가격과 판매량 등과 , 같이 두 변수 간의 관계를 밝힘으로써 한 변수로부터 다른 변수의 값을 예측하기도 하고 일상생활의 다양한 문제를 해결할 방안을 강구하기도 한다 이와 관련된 핵심적인 개념이 상관관계이다. .

우리나라 2015 개정 수학과 교육과정에서는 실생활 중심의 통계적 소양 교육을 강조하는 방향으로 통계 교육과정을 재정립하여 내실화하고자 하 였다 박경미 외( , 2015). 이에 따라 중학교 학년 확률과 통계 영역에3 이 변량 자료 지도를 위한 ‘상관관계 가 추가’ 되었다.²⁾ 이변량 자료를 지 도할 필요성은 NCTM에서도 지속적으로 강조해 오고 있으며 예( , NCTM,

상관관계에 대한 이해는 학생들이 통계를 실생활과 1989; NCTM, 2000)

관련짓고 적용하는 데 필수적이므로 그 중요성과 국제적인 동향을 반영 하여 추가된 것이다 박경미 외( , 2015).

상관관계는 제 차 교육과정까지 중학교에서 다루어지다가 학습 부담 7 경감을 위해 2007 개정 교육과정부터 삭제되었는데, 2015 개정 교육과정 에 상관관계가 새롭게 추가된 내용인 만큼 그간의 우리나라에서 상관관 계와 관련된 논점들을 고려하여 통계 교육에 도입할 필요가 있다 그간 . 국내에서의 상관관계와 관련된 논점들을 살펴보면 크게 연계성을 고려한

1) 2015 개정 수학과 교육과정에서는 다양한 자료를 수집 정리 해석하여 미래를 예측하, , 고 합리적인 의사결정을 하는 민중 시민으로서의 기본 소양을 기르는 것이 통계 교육의 목표임을 명시하고 있다 교육부( , 2015).

2) 성취기준으로 “ 수[9 05-08] 자료를 산점도로 나타내고 이를 이용하여 상관관계를 말, 할 수 있다.”라고 명시하고 있다 교육부( , 2015).

내용조직 및 도입 시기 예 이경화( , , 2004; 이영하 최지영, , 2005; 최지영, 김화경 외 와 상관관계에 대한 개념 이해 노아라 유연주

2004; , 2016) ( , ,

에 대한 연구로 나눌 수 있다

2013) .

제 차 교육과정 당시 이경화 는 학문적 지식으로서의 상관관계가

7 (2004)

어떠한 교수학적 변환을 거쳐 가르칠 지식으로서 교과서에 제시되는지 비교한 결과 학교 수학에서 상관관계가 연계되지 않은 고립된 지식으로 , 다루어지는 경향이 있으며 특히 상관계수와 특이점의 교수학적 변환과, 정을 다시 모색할 필요가 있고 상관도가 아니라 산점도에 나타난 자료의 특성을 파악하는 것에 좀 더 강조점을 둘 필요성이 있음을 제기하였다.

이영하 최지영, (2005)은 당시 9-나 단계에 있는 상관관계에 대한 내용은 두 변량 사이의 상관관계를 직관적으로 파악할 수는 있는 수준에 머물러 있기 때문에 수학적 연결성을 고려한 상관관계 지도방안으로 자료를 분 석할 때 상관관계가 있는지 없는지 판단하는 것에 그칠 것이 아니라 자 료를 예측할 수 있도록 일차함수를 활용할 것을 제안하였다 이와 같이 . 상관관계를 일차함수와 연계하여 고려할 때 최지영, (2004)는 일차함수와 상관관계의 도입 시기가 년의 격차가 생기기 떄문에 당시 1 9-나 단계의 통계를 8-나 단계로 이동할 필요성이 있다고 하였다 이는 상관관계의 . 개념을 현행 교육과정과 같이 직선의 근방에 분포되어 있다는 점을 강조 하여 정의한다면 상관관계의 도입 시기에 대한 논의가 필요하다는 것을 의미한다. 2007 개정 교육과정에서 상관관계가 삭제된 이후에 이영하, 김소현(2012)은 중 과정의 상관관계 내용 변화가 삭제보다는 개선이 더 3 나았을 것이며 상관관계의 재도입을 고려했을 때 회귀 문제로 확장하여 직관적으로 적합선을 그리게 하는 활동 또는 테크놀로지 기기의 활용을 제안하였다 노아라 유연주. , (2013)는 제 차 교육과정에서 산점도 분할표7 , 에 관한 초보적인 수준의 지식만을 학습한 우리나라 고등학생들의 상관 관계 개념에 대한 이해도를 조사한 결과 학생들의 이해도가 그리 높지 , 않은 수준이며 여러 가지 오개념을 가지고 있음을 밝힘으로써 교육과정 개정 방향에 시사점을 제시하였다.

이렇게 우리나라의 상관관계에 관련된 논점에서 새롭게 복원된 상관관

계 내용을 살펴보면, 2015 개정 교육과정에서 제시된 내용은 제 차 교육7 과정의 내용과 큰 차이가 없으며 회귀직선이나 이상치를 도입하지 않은 채 비형식적인 방식으로 설명하고 있는 등 제 차 교육과정 당시 연구에7 서 지적된 상관관계 교육의 문제점이 크게 개선되지 않았다 김화경 외( ,

이성민 이에 선행연구의 논점을 재조명하여 상관관계를 다 2016; , 2020).

루는 개념의 범위와 방식에 대한 연구가 필요하며 이를 위해서는 , 학생 들이 상관관계를 배우지 않은 상태에서 두 변수 사이의 관계를 어떻게 이해하고 있는지 즉 상관관계의, 비형식적 지식에 대한 고찰이 선행되어 야 할 필요가 있다.

두 변량 사이의 상관관계를 추론하는 것은 일상생활의 다양한 상황에 서 필요한 핵심적인 능력인 만큼 심리학 수학교육 통계교육 과학교육 , , , 등 다양한 분야에서의 연구가 존재한다 예( , Inhelder & Piaget, 1958;

통계가 수학과는 달리 Carlson et al., 2002; Zieffler & Garfield, 2009).

비결정론적 맥락 의존적 자료 기반적인 특성을 갖고 있기 때문에 실생, , 활 경험으로부터 자연스럽게 비형식적 지식을 습득할 수 있는데 이때, 비형식적 지식은 형식적인 학습이 이뤄지기 전에 실생활 경험으로부터 학생이 자연스럽게 획득한 지식 또는 사전지식 그리고 스스로 발명한 지 식도 포함한다(백선수 김원경, , 2005).

상관관계에 대해 학생을 대상으로 한 우리나라 연구는 RME이론에 근 거하여 상관관계 개념 지도 관점을 분석하고 적용한 연구 조동민( , 2007), 우리나라 고등학생들의 상관관계 개념의 이해도를 조사한 연구 노아라( , 유연주, 2013), 7제 차 교육과정의 산점도와 상관관계 단원을 중심으로 통 그라미를 활용한 수업에서 중학교 학년 학생들의 통계적 사고 수준 연3 구 오인석( , 2019), 중학교 학년 고등학교 학년 학생을 대상으로 기울기2 , 2 에 대한 학습량에 따른 적합선 개념 연구 이문경( , 2020) 등이 있다 학생. 들의 비형식적 지식은 학교 수학에서 습득한 지식의 형식화를 위해 교 수 학습에 유용한 기초 자료로 활용될 수 있음에도 불구하고 상관관계· 의 정의를 모르는 학생들의 비형식적 지식에 관한 연구는 아직 부족하다 는 것을 알 수 있다 또한 상관관계 적합선에 대한 각각의 연구가 있을 . ,

뿐 그간 교수 학습에서 상관관계와 함수 단원의 수학적 연결성 구현에 · 대한 논의의 일환으로 상관관계와 적합선 두 가지 측면에서 한 개념이 ‘ 다른 개념의 획득에 어떤 영향 을 주는지 또는 한 절차가 다른 절차’ ‘ 의 획득에 어떤 영향’³⁾을 주는지 상호작용에 대한 연구가 부족한 실정 이다.

한편 상관관계를 교육과정에서 형식적으로 학습하기 전에 학생들이 이, 미 일상생활 및 경험 기초적인 그래프 교육 등에 의해 비형식적으로 지, 식을 형성하고 있음을 보여주는 연구 결과가 존재한다 예 문은혜 이광( , , 호, 2018; Swatton, 1994; Moritz, 2004; Casey, 2015). 문은혜 이광호, 은 우리나라 초등학생 학년을 대상으로 가상적 자료생성과정을

(2018) 5, 6

통해 공변동적 사고를 분석한 결과 초등학교 학년 학생의 , 5 39.1%, 6학 년 학생의 51.1%가 비형식적으로 두 변수의 상관관계를 그래프로 표현 할 수 있음을 밝혔다. 공변동은 이변량 자료 사이의 연관성에 관한 것으 로 공변동적 사고는 두 변량 간의 관계를 판단하고 해석하는 것과 관련 이 있다(Moritz, 2004; Zieffler & Garfield, 2009). 하지만 학생들이 산점 도를 해석하는 데 어려움을 겪는다는 것은 많은 연구들의 공통적인 결과 이다 예 노아라 유연주( , , , 2013; Moritz, 2004; Liu et al., 2009; Batanero

이에 대해 는 점들의 전체적인 경향을 파악하는 et al, 1996). Moritz(2004)

것 이변량 자료에 주목하는 것 사전신념을 잠시 보류하고 자료에 기초, , 한 판단을 하는 것이 필요하다고 하였다 산점도 그래프를 언어적으로 . 해석하는 과제를 통해 학생들의 공변동적 추론 수준을 제시한 의 연구에 의하면 같은 자료더라도 질문 형태에 따라 학생 Swatton(1994)

들의 반응이 달라지며, 6학년 학생들이 이변량 자료를 보고 패턴의 변화 를 비교적 잘 인지하였으나 그 이유를 진술하는데 적합한 방향성을 파, 악하여 이변량의 관계성을 묘사하는 비율은 상대적으로 낮은 것을 볼 수

3) 김진호(2002)는 수학에서 비형식적 지식과 형식적 지식 사이의 결합에 관한 관점으로 선행연구의 동향을 살펴보았을 때 형식적 지식을 대상으로 한 연구가 거의 대부분이며 , 한 개념이 다른 개념의 획득에 어떤 영향을 주는지 또는 한 절차가 다른 절차의

“ ” “

획득에 어떤 영향을 주는지” 등 같은 성질 내에서의 상호작용에 대한 영역이 등한시되 고 있다고 지적한 바 있다.

있다 이는 단순히 그래프 패턴을 파악할 수 있어도 그 전략 및 방법에 . 따라 개념을 형식화할 때 학생들이 겪을 어려움이 각기 다른 형태로 나 타날 수 있다는 의미이기도 하다 따라서 산점도의 언어적 해석을 공변. 동적 추론 수준으로 구분하기 전에 학생들이 산점도에서 상관관계를 어 떤 전략을 이용하여 비형식적으로 추론하는지 파악할 필요가 있다.

또한 공변동적 추론은 함수와 연계하여 두 변수 사이의 관계를 해석하 고 앞으로의 상황을 예측하고 진단할 수 있는데 이는 회귀분석과 연결된 다 미국 영국 호주 싱가포르 중국 대만 등 상당수의 국가들이 두 종. , , , , , 류의 측정 자료 사이의 상관관계를 분석하여 자료의 상관관계를 잘 표현 하는 적절한 함수 즉 적합선, (line of best fit)을 찾는 일련의 학습 과정 을 통해 일상생활의 다양한 문제를 기술하고 해결하도록 교육과정이 구 성되어 있다 김화경 외( , 2016) 특히 학생들의 비형식적 적합선 추론 방. 식을 연구한 Casey(2015)에 이어 Casey & Nagle(2016)의 연구에 따르면 직선의 기울기 개념이 적합선 추론에 영향을 준다. 또한 Groth et 의 연구에 따르면 학생들이 비형식적으로 적합선을 이해하고 활 al.(2018)

용하는 인지과정에서 직선은 자료추정의 도구로서 자료의 전체적인 경향 을 파악하는 것과 관련이 있으며, 자료의 전체적인 경향을 파악하는 것 은 산점도로 자료를 표현함과 관련이 있다 이는 적합선 추론이 기울기 . 개념 이외에도 산점도에서 자료의 전체적인 경향을 파악하는 즉 상관관, 계를 파악하기 위한 전략과 관련이 있다는 것을 함의한다.

종합해보면 상관관계 내용의 중요성과 세계적인 추세를 감안하여 , 2015 개정 교육과정에서 상관관계 내용이 중학교 학년에 추가된 만큼 학생들3 이 상관관계에 대해 어떠한 비형식적 지식을 구성하고 있으며 이를 토, 대로 상관관계 개념을 어디까지 다루어야 할지 어떻게 지도해야 하는 , 지에 대한 연구가 필요하다고 볼 수 있다.

따라서 본 연구는 상관관계를 배우지 않은 학생들이 산점도를 보고 상 관관계를 어떻게 파악하는지 적합선을 어떻게 그리는지 조사 분석하고 , · 상관관계를 파악하는 전략 수준에 따라 상관관계의 이해도가 어떠하며 적합선을 그리는 전략은 어떤 차이가 있는지 살펴보고자 한다. 이를 통

해 비형식적 지식과 수학적 연결성을 고려한 상관관계의 지도 방향에 대 한 시사점을 찾고자 한다. 본 연구는 통계 교육에서 비결정론적 세계관, 맥락 의존적 성격 자료 기반적 논증을 고려한 통계적 사고의 지도에 대, 한 기초 자료를 제공할 수 있으며 상관관계 개념 형식화와 학습위계에 , 대한 근거로 사용될 수 있을 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제 를 설정하였다.

1. 상관관계를 배우지 않은 학생들은 산점도를 보고 두 변량 사이의 관 계를 추론하기 위해 어떤 전략을 사용하는가?

2. 상관관계를 추론하는 전략에 따라 상관관계에 대한 이해도는 어떤 차 이가 있는가?

3. 학생들은 산점도에서 비형식적으로 적합선을 그리기 위해 어떤 전략 을 사용하며 상관관계를 추론하는 전략에 따라 적합선을 그리는 전략 은 어떤 차이가 있는가?

이론적 배경 .

Ⅱ

산점도와 적합선 1.

상관관계(correlation)는 두 변인들 간의 관계를 의미한다(Howell, 2004).

좁은 의미에서는 두 변량에 대하여 한 변량의 값이 변함에 따라 다른 변 량의 값이 변하는 경향이 있을 때 이 두 변량의 선형 관계를 의미한다,

강금식 정우석

( , , 2013) 두 변량 사이의 선형적 관계를 파악한 후 더 나. 아가 변화하는 두 변량 사이의 다양한 정보를 상관분석(correlation

과 회귀분석 으로 얻을 수 있다 상관분석이 analysis) (regression analysis) .

란 두 변량 사이의 선형 관계의 강도(strengt 와 방향h) (direction)을 요약 하는 수치를 구하는 기법이며 회귀분석이란 , 상관분석과 밀접한 관련이 있는 통계적 분석법으로 한 변량의 값으로 다른 변량의 값을 예측해야 할 경우, 두 변량 사이의 함수적 관계를 나타내는 수학적 회귀식

을 구하고 값을 예측하는 모델을 산출하는 기법이다 (regression equation)

강금식 정우석

( , , 2013).

상관관계는 주로 상관계수를 구하여 선형적 관계를 확인하는 과정으로 도입되는데 학교 수학에서 산점도를 통해 상관관계를 비형식적으로 다루 는 것은 자연스러운 교수학적 변환이라 할 수 있다 이경화( , 2004). 또한 상관관계는 모델링 관점에서 회귀분석과 함께 다룰 수 있는데 미국 영, 국 호주 싱가포르 중국 대만 교육과정에서는 회귀직선을 상관관계 관, , , , 련 내용 요소로서 다루기도 한다 김화경 외( , 2016). 우리나라에서도 상관 관계를 함수 영역과 연계하여 지도할 필요성이 꾸준히 강조되어 왔는데

예 김미경

( , , 2003; 이영하 최지영· , 2005; 이효선, 2012 이와 관련된 내) 용 요소가 바로 적합선이다. 따라서 본 연구에서는 상관관계에 대한 비 형식적 지식을 연구하기 위해 산점도와 적합선에 초점을 맞추고자 한다.

가 산점도와 상관계수 .

산점도(scatterplot)는 두 변량의 측정값을 순서쌍으로 하여 좌표평면 위 의 점으로 나타낸 그림이다 산점도를 보면 두 변량 사이의 대체적인 관. 계가 우상향하는지 우하향하는지 아니면 그 밖의 패턴이 있는지 두 변, 량 사이의 관련성을 시각적으로 쉽게 확인할 수 있기 때문에 두 변량 간 의 관련성 및 예측을 위한 분석을 할 만한 자료인지를 미리 판단할 때 사용한다.

이때 한 변량의 값이 증가함에 따라 다른 변량의 값도 대체로 증가하 는 경향이 있을 때 이 두 변량 사이에는 양의 상관관계가 있다고 하며, , 반대로 한 변량의 값이 증가함에 따라 다른 변량의 값이 대체로 감소하 는 경향이 있을 때 이 두 변량 사이에는 음의 상관관계가 있다고 한다, . 한편 양의 상관관계도 없고 음의 상관관계도 없는 경우에는 두 변량 사 이에 상관관계가 없다고 한다 또한 . 산점도에 찍힌 점들이 어떤 직선을 중심으로 흩어진 정도에 따라 상관관계의 강도를 대략적으로 파악할 수 있는데 산점도의 점들이 한 직선 주위에 가까이 모여 있을수록 양 또는 , ( 음 의 상관관계가 강하다고 한다 그러나 두 변량 사이의 선형적 관계의 ) . 강도를 산점도에서 시각적 판단만으로는 측정하기 어렵다 이 강도를 나. 타내 주는 척도가 바로 상관계수(correlation coefficient 이다) .

상관관계의 강도를 수치적으로 나타낸 값으로서 상관계수는 일반적으 로 피어슨(Pearson, K., 1857~1936)이 개발한 피어슨 상관계수를 가리킨 다 피어슨 상관계수. ()는 변량

, 의 순서쌍이 

_

 

_

, 

_

 

_

, ...,



_

 

_

일 때 다음과 같은 공식으로 정의된다

, .

   

  





_

  

^



_{  }^



^

 

^

  







_

  

_

 

식을 살펴보면 상관계수는 두 변량의 공분산(covariance)을 각 변량의 표준편차의 곱으로 나누어 계산하는데 이는 공분산을 표준화한 값이라는 것을 알 수 있다 이때 공분산은 이변량 자료에서 두 확률변수의 관계 . , 정도 및 방향을 측정하는 연관성의 척도로 다음과 같은 공식으로 계산한 다.

공분산    

  







_

  

_

 

공분산의 값이 양수이면 두 변량이 같은 방향으로 음수이면 반대 방향, 으로 평균으로부터 주로 변화함을 의미한다 만일 두 변량이 독립적이어. 서 선형 관계가 아니면 공분산의 값은

이 된다 공분산은 두 변량이 선

. 형으로 움직이는지 관계가 양, (+)인지 음(-)인지 방향을 밝혀줄 뿐이며 선형 관계의 강도를 알려주진 않는다 또한 공분산은 단위에 영향을 받. 지만 상관계수()는 단위에 영향을 받지 않고

 과 사이의 값을 갖게

되며,

이 에 가까울수록 양의 상관관계가 크다고 하고

1 ,

이  에 가

까울수록 음의 상관관계가 크다고 한다.

이 에 가까우면 상관관계가

0 없다고 판정한다.

피어슨 상관계수는 두 변량이 연속변수일 때 사용되며 두 변량이 이분 된 질적변수일 때는 파이 계수(phi coefficient), 두 변량이 서열척도에 의 한 비연속변수일 때는 스피어만 서열 상관계수(Spearman rank order

한 변량은 연속변수이고 다른 변량이 이분 변수일 때는 양 correlation),

류 상관계수(point-biserial correlation) 등 변량의 척도에 따라 구하는 상 관계수가 달라진다. [그림 Ⅱ-1]은 산점도에 따른 피어슨 상관계수를 나 타낸 것이다.

그림 산점도에 따른 상관계수 비상교육 지도서

[ Ⅱ-1] ( ,

p.267)

나 회귀직선과 적합선.

두 변량 사이의 선형적 관계를 파악하는 것에서 더 나아가 두 변량 사 이의 선형 관계를 수학적 함수 모델로 설정하는 것이 선형 회귀분석 (linear regression analysis)이다 이때 선형 회귀분석. 에 쓰인 선형함수 모 델을 회귀직선(regression line)이라 한다.⁴⁾

상관계수가



(또는

 

)이 아니라면 산점도에 나타난 점을 모두 연결하 여 직선을 그릴 수 없다 따라서 산점도에 나타난 점들을 대표하는 회귀. 직선에 대하여

값에 따라 회귀직선으로 추정된 값과 실측 자료값 사이

의 차이가 존재하며 가장 대표적인 직선을 회귀직선으로 선택하려면 그 , 차이를 최소화해야 한다. 이때, 대표적으로 선형함수 모델과 실측 자료 사이의 차이의 제곱합을 최소화하는 최소제곱법(least square method)이 쓰인다.

만약 모집단의 자료가 준비된다면 그로부터 회귀직선을 구할 수 있겠 지만 대체로 표본자료를 사용하여 추정하게 된다 모집단 회귀직선을 추.

4) 두 변량 사이의 관계가 직선 외의 다른 것 즉 곡선 , 에 의해 가장 잘 나타날때 비선형 적 관계(curvilinear relationship)라고 하는데 비선형적인 사례의 경우 또한, 하나 또는 두 변인 모두의 분포에서 극단치를 제거하는 등의 방법을 통해 직선으로 매우 우수한 근사 치를 얻을 수 있다(Howell, 2004).

정하기 위해 표본자료에 가장 잘 맞는 표본회귀직선(sample regression

을 이용하게 되는데 이를 추정회귀직선 이

line) (estimated regression line) 라고도 부른다 이를 식으로 표현하면 다음과 같다. .

  

_

 

_



이때



_는 가 일 때의 기대되는 의 값이고 회귀직선의 기울기 ,



_은

가 변할 때 가 변하는 정도이다 또한 두 변수

.

와 의 상관계수 을



_에 관한 식으로 표현하면 다음과 같다.

  

_

                 ,  는 각각 와 의 표준편차 식에서 알 수 있듯이 회귀직선의 기울기 은 상관계수와 관련이 있지 만 기울기 값이 크다고 상관관계가 강한 것은 아니다 즉 상관관계가 , . , 강하거나 약한 정도는 회귀직선의 기울기의 크기와는 관련이 없다.

상관관계가 두 변량 사이의 선형적 관계를 연구한다는 점에서 자연스 럽게 회귀직선과 연결되지만 최소제곱법을 이용하여 회귀직선을 구하는 것은 학교 수학에서 상관계수를 도입하지 않은 채 산점도를 통해 상관관 계를 파악하게 하는 것과 비슷한 이유로 복잡한 계산과 내용이 학생들, 에게 어려움을 발생시킬 수 있다 이때 비형식적으로 최적합선. , (line of

을 추정하는 과정은 상관관계와 관련된 회귀직선 및 회귀분석의 best fit)

기초학습이 될 수 있다. 여기서 적합선(line of fit or trend line)은 산점 도에 제시된 자료의 경향을 나타낸 직선이며 최소제곱법을 이용한 회귀, 직선은 최적합선을 추정하는 방법 중 한 알고리즘으로 구한 직선인 것이 다.

학생들의 적합선에 대한 지식을 연구하는 것은 추후 최소제곱적합선

과 같은 형식적인 회귀직선을 배우는 데에 발판이 되 (least squares line)

기 때문에 중요하다(Casey, 2015). NCTM 교육과정에서도 년 이상 동안20

예 적합선에 대한 내용이

( , NCTM 1989, NCTM 2000) 포함되어 있기도 하다.

최소제곱법의 대안으로 적합선을 그리는 방법에 대한 연구를 살펴보면, 은 최소절대편차법

Hung(1997) (least absolute deviation, LAD)⁵⁾을 이용하여 학생들이 컴퓨터계산 없이 손쉽게 그릴 수 있는지 조사하였는데 대체로 , 자료의 수가 적을수록 정답률이 높지만 많은 학생들이 , 이를 그리는 데 어려움을 느낀다고 하였다.

은 회귀직선을 도입하기 전 미적분학에 대한 지식이 없 Edwards(2005)

고 대수에 대한 지식도 미약한 학생들도 조합이나 펜과 종이 간단한 , , , 계산기 사용만으로 회귀 절차를 배울 수 있는 대안책을 제시하였다 바. 로 중앙값 기울기 알고리즘- (median-slope algorithm)을 이용한 적합선 그 리기이다. 이때 알고리즘을 통해 얻는 적합선의 식은 다음과 같다, .

  

  

여기서

개의 점 중 두 점을 지나는 가능한 모든 조합    

^{개의 직선들}

의 기울기 중앙값이

 , 절편 중앙값이  

이다.

은 다음과 같은 알고리즘의 예시로 적합선을 구하는 방법 Edwards(2005)

을 설명하고 있다 점 .

   ,    ,   ,    ,   이

찍힌 산점도에서 적합선을 구하기 위해 먼저

     개의 직선들의 기울

기와

절편을 구한다. 그림

[ Ⅱ-2]는 기울기와

절편의 중앙값을 구하기

위해 개의 직선들을 구하는 과정을 나타낸다10 .



값에 따라 회귀직선으로 추정된 값(_)과 실측 자료 값(_) 사이의 차이



  



_ _의 값을 최소화하는 것이다(Hung, 1997).

그림 중앙값 기울기 알고리즘을 이용한 적합선 그리기 과정

[ Ⅱ-2] - (Edwards,

2005, pp. 416-417)

이렇게 구한 10개의 기울기 값의 중앙값과

절편의 값의 중앙값을 구

한 후 중앙값 기울기 선을 계산하면 된다, - .

은 최소제곱 회귀직선의 기울기가

Lipovetsky & Conklin(2001)

개의 점

중 두 점을 지나는 가능한 모든 조합

   

개의 직선들의 기울기의 가중평 균으로 표현될 수 있음을 보였다 이때 가중치는 각 점이 평균으로부터 . 얼마나 떨어져 있는지 두 점 사이의 제곱 거리에 따라 결정된다.

상관관계에 관한 추론 및 이해 2.

그동안 심리학 과학교육 수학교육 통계학 등 다양한 분야에서 상관관, , , 계와 관련된 개념 추론 및 이해에 대한 연구가 이루어져 왔, 다. 남주현, 이영하(2005)는 이러한 선행연구들을 통계학적 관점에서 고찰했을 때 상, 관관계를 ‘조건부 분포의 변화 관계 로서 확률적 상관과 ’ ‘대략적인 일차함수의 관계 로서 함수적 상관으로 구분 지었다 이 절에서는 상관’ . 관계에 대한 비형식적 지식을 논하기 위해 상관관계에 관한 추론 및 이 해의 선행연구들을 살펴보고자 한다.

가 상관관계에 관한 추론과 발달 .

상관관계 개념의 발달에 관련된 연구는 심리학적 이론을 기반으로 처 음 시작되었는데 심리학자인 , Inhelder & Piaget(1958)의 연구에 따르면 상관관계 개념은 확률개념과 관련 있으며 상관관계를 이해할 수 있다는 것은 비례 확률 조합에 대한 이해가 가능함을 전제로 한다, , (Batanero et al., 1996). 따라서 Inhelder & Piaget(1958)은 상관관계 개념의 발달을 형 식적 조작기(stage Ⅲ⁶⁾)에서 확률개념에 관한 발달의 가장 마지막 단계 로 보아 형식적 조작기에 해당하는 학생들( -A, -B)Ⅲ Ⅲ 의 상관관계 개념 에 대해 연구하였다.

blue eye(



) brown eyes(



) blond hair(



)



(

  ∙

)



(

 ∙

) brown hair(



)



(

  ∙ 

)



(

 ∙ 

)

표 눈과 머리카락 색에 대한 분할표 [ Ⅱ-1]

6) Inhelder & Piaget(1958)는 보존 분포의 법칙도 없는 단계, (stage ), Ⅰ 산만한 확률적 반 응과 분포의 영역 결정 단계(stage ), Ⅱ 가능성 오차 변동을 기반으로 하는 법칙의 분포와 결정에 관한 설명 단계(stage )Ⅲ로 나누었다(남주현 이영하, , 2005).

그들은 표[ Ⅱ-1]과 같은 2×2 분할표에서

, , , 에 해당하는 그림

카드를 제시하여 학생들에게 눈과 머리카락 색에 대한 상관관계를 파악 하도록 하였는데 이때 학생들이 다음과 같은 상관계수, (



)를 수치로 나 타냈을 때 가장 형식화된 수준으로 보았다.



_{ }

      

      

식에서도 알 수 있듯이, Inhelder & Piaget(1958)가 말하는 상관계수는 비례 조합 확률과도 관련된 것으로 각 조합에 근거하여 , ,

와 , 와 을

각각 결합하여  와

  을 생각하고 이렇게 두 개의 개체를 구성

하여 그 차

    까지 고려한 후 확률을 계산해야 한다는 것이

다 이러한 대각선 관점에서의 상관관계에 대한 연구가 이후에도 진행되. 었는데 예( , Allan & Jenkins, 1983, Shaklee & Tucker, 1980), 상관관계를 위와 같이 대각선 관점에서 이해하는 것에 한계가 있다는 연구 결과가 등장하였다 남주현 이영하( , , 2005). 예를 들어, 표[ Ⅱ-1]에서

  ,   ,

  ,   일 경우   



와

   



의 값이

 



,

 



로 서로 같게 된다.

즉 눈의 색깔이 파란색이거나 갈색이거나 관계없이 금발이 확률은 항상 ,

 



인 것이다 눈의 색깔과 머리카락 색깔은 서로 독립사건이며 이는 상. 관관계 없음을 의미함에도 불구하고, Inhelder & Piaget(1958)가 말하는 상관계수를 구하면

이 아닌 수가 나온다 이에

. Jenkins & Ward(1965)는 대안책으로 상관계수를 다음과 같이 제시하였다.

∆

   

 

     

 

심리학에서의 연구는 대부분 분할표에서의 상관관계에 대한 추론에 관 심을 두고 있다. P rez Echevarr a(1990)é í 는 심리학에서 연구된 상관관계

에 대한 추론과 그 발달 수준을 다음과 같이 요약하였다(Batanero et al., 1996).

Level 1 분할표에서 하나의 부분 대체로 (



)에만 집중함. Level 2 분할표에서



와



또는



와



를 비교함.

Level 3 분할표에서



와



그리고



와



를 비교함.

Level 4 분할표에서



,



,



,



모두 고려하지만 가산적인 비교(additive comparisons)를 함. Level 5 분할표에서



,



,



,



모두 고려하며

승법적 비교(multiplicative comparisons)를 함.

표 심리학에서 연구된 상관관계에 대한 추론과 그 발달 [ Ⅱ-2]

수준(P rez Echevarr a, 1990; Batanero et al., 1996 é í 재인용)

남주현 이영하, (2005)는 Inhelder & Piaget(1958)의 실험에서 처음 연구 된 상관관계 개념을 통계학적 관점에서 고찰함으로써 Inhelder & Piaget 의 상관은 상관의 일부인 확률적 상관에 국한되어 있음을 밝혔다 예를 . 들어, Inhelder & Piaget(1958)의 실험에서 나타난 14살의 Vec은 상관계 수를 구하고자

   



,

   



를 계산하여 비교해보고,

  



,

  



를 계 산해서 비교하는 추론 과정을 보인다 이에 대해 남주현 이영하. , (2005)는

의 추론 과정이 완전하지는 않지만 조건부 확률분포의 개념으로 연

Vec ,

결되는 추론이라고 한다 즉. , Inhelder & Piaget의 상관관계 개념은 비례, 확률 조합에 국한되어 있지만 통계학적으로 상관관계 개념은 조건부 확, ( 률 분포로써 분포에 관한 이해도 필수적이다는 것이다 따라서 분할표 ) . 자체가 가지고 있는 조건부 확률 분포의 개념을 반영하여 상관관계를 분( ) 포개념이나 분포에 관한 추론의 일부로써 접근해야 한다는 것이다 또한 . 그들은 통계 또는 수학교육학에서 많은 연구들이 발달 단계와 관련하여 심리학적 의견을 따르기 때문에 고등학교 이상의 성인을 대상으로 진행 되고 있지만 분포의 비교를 통한 기초적인 상관관계의 도입 시기를 중, 학교 학년보다 더 앞당겨 지도할 필요가 있다고 주장하였다3 .

상관관계에서 분포에 관한 이해의 중요성은 몇몇 연구에서 강조되고

있다 예( , Cobb et al., 2003; Gravemeijer, 2000). Cobb et al.(2003)과 은 이변량 자료를 해석하기 위한 기초지식으로서 분포 Gravemeijer(2000)

에 대한 이해가 중요하다 하였다. Cobb et al.(2003)는 학생들이 단일변 량 분포에 대한 이해가 충분히 이루어진 상태라면 그림[ Ⅱ-3]와 같이 산 점도를 개의 셀로 나누어 각 셀에서 점의 개수를 파악하는 등 서로 다4 른 셀(vertical slices)에서 분포비교를 해봄으로써 이변량 자료를 잘 해석 할 수 있다고 가정하였다.

그림 산점도에서 미니툴을 이용한 분포비교의 예

[ Ⅱ-3] (Cobb et al., 2003, p.59)

는 학생들이 자료를 탐색하면서 분포에 대한 이해를 Cobb et al.(2003)

발달시키기 위해 미니툴(Minitool)이라는 소프트웨어를 이용하여 학생들 의 학습경로를 관찰한 결과 학생들은 이변량 분포의 서로 다른 셀들 안, 에서 분포를 비교할 수 있었고 이를 근거로 했을 때 학생들이 산점도에, 서 전체적인 자료의 경향과 패턴을 파악할 수 있을 거라는 가능성을 제 시하였다.

이영하 김소현, (2012)은 상관관계의 용어가 여러 분야에서 다르게 쓰인 다는 문제점을 지적하면서 용어를 구분하였는데, Inhelder & Piaget(1958) 가 생각한 상관관계는 “조건부 분포의 변화 관계 를 뜻하는 반면 우” ,

리나라나 외국 교과서에서의 상관관계(correlation) 내용은 대략적인 일“ 차함수의 관계 를 뜻하는 함수적 상관을 의미한다 이때 두 변수 사이” . , 에서 선형 관계의 방향 파악은 공변동(covariation)⁷⁾과 관련이 있다 그동. 안 다양한 분야에서 상관관계와 관련된 추론으로서 공변동적 추론

에 관한 연구가 이루어져 왔다

(covaritional reasoning) . Zieffler &

에 의하면 공변동적 추론은 선형함수와 같은 수학적 형식

Garfield(2009) ,

산점도를 통한 통계적 형식, ‘공부하는 시간이 많아질수록 시험성적이 잘 나온다 와 같이 일상에서 발견할 수 있는 사건에 대한 예측을 언어’ 로 나타내는 질적인 형식으로 표현된다.

앞서 살펴본 심리학에서의 연구는 대부분 분할표에서 상관관계를 분석 하고 어떤 현상 사이에 관계가 있다고 판단하는 근거와 원인이 무엇인가 에 관심을 둔다. Inhelder & Piaget(1958)의 연구 이후 사람들이 일상생활 에서 겪은 경험 고정관념으로 상관관계를 추론하기도 하여 수학적인 방, 법으로만 추론하지 않음을 보여준 연구들이 존재한다 예( , Jennings et al., 1982; Crocker, 1981; Batanero et al., 1996).

통계교육에서는 주로 공변동에 대한 추론 수준과 학생들이 직면하는 어려움에 관심을 두고 있다 예( , Batanero et al., 1996; Zieffler &

는 통계적 공변동에 대한 추론 Garfield, 2009; Moritz, 2004). Moritz(2004)

은 언어로 표현된 공변동을 그래프로 그려보는 가상적인 자료생성 산점, 도를 언어로 진술하거나 주어진 진술을 평가하는 언어적 그래프 해석, 어떤 값을 읽거나 내삽하는 수치적 그래프 해석의 세 가지 능력을 통해 알아볼 수 있다고 보며 각 능력에서 공변동에 대한 추론 수준을 수준0 - 비통계적, 1수준 단일측면 고려- , 2수준 부적절한 공변동- , 3수준 적절한 - 공변동으로 제시하였다.

과학교육에서도 언어적 그래프 해석에서 공변동에 대한 추론 수준을 연구한 결과가 존재하는데, Swatton(1994)은 학년 학생들을 대상으로 산6 점도 직선 그래프를 보여주고 두 변량 사이에서 발견할 수 있는 것을 ,

공변동은 두 변량이 어떻게 함께 변화하는지 방향성에 관한 것으로 앞에서 살펴본 공 분산으로 측정할 수 있다.

물어보는 과제를 통해 학생들이 언급한 변량의 개수에 따라 반응을 구분 한 결과 특정 변량에 집중하는 경향이 발견되었다 논리적 사고 중 하나. 인 상관논리⁸⁾가 과학이나 사회 영역 연구에 있어서도 중요한 역할을 하 듯이 우리나라 과학교육 분야에서도 상관 논리의 발달과 관련된 연구들 이 존재한다 예 임청환 정진우( , , , 1991; 박종윤 외, 2002).

수학교육에서의 연구는 대수나 미적분에서 흔히 쓰이는 함수개념 또는 이변량 자료의 추론에 관심을 두고 있는데 예( , Carlson et al., 2002;

이변량 자료의 추론이 미분이나 변화율을 이해하는 Nemirovsky, 1996),

데 중요한 역할을 수행하지만 학생들의 대부분이 이에 대한 해석이 미흡 하다는 결과이다 중학교에서 함수의 개념은 다양한 상황에서 한 양이 . 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용 하여 도입한다 함수의 도입내용과 상관관계는 실생활의 다양한 변화 현. 상 속에서 두 변량의 변화 관계를 파악한다는 점에서 매우 유사하다.

는 함수적 관계를 파악하는 방법으로써 공변과 Confrey & Smith(1994)

대응을 구분하였는데 학생들에게는 공변적 접근 방식이 더 쉽고 직관적, 임을 발견하였다 이때 공변은 . ,

의 값이 

_에서



_{  }로 움직일 때,



의 값이



_에서



_{  }로 조작적으로 움직이는 것이다(Confrey & Smith,

공변동에 대한 추론은 종종 이변량 자료의 대응이나 변량 사이의 1994).

변이에 초점을 맞추며 어느 한 측면을 토대로 다른 한 측면을 다룬다, 학생들은 함수적 관계를 일반화하는 과정에서 재귀적 패 (Moritz, 2004).

턴(recursive patterns), 공변적 관계(co-variation relationships), 대응 관계 의 세 가지 유형을 종종 사용하는데 함수를 (correspondence relationship) ,

깊게 이해하기 위해서는 재귀적 패턴을 파악하는 것 이상으로 공변적 관 계 대응 관계를 고려할 필요가 있다, (Confrey & Smith, 1991; Blanton et

여기서 재귀적 패턴은 단일 수열 값의 변이를 파악하는 것으 al., 2011).

로 단일 변수의 변화에만 집중하는 것이다 공변적 관계는 두 변량이 서.

8) 상관논리는 상관과 관련된 사고로서 논리적 사고력을 구성하는 논리 중 하나이다. 논 리적 사고력에는 보존 변인, 통제 확률 비례 조합 상관 논리가 있다 김영신 박현철, , , , ( , ,

상관논리는

2009). 비례 조합 확률논리를 바탕으로 하며 초기 형식적 조작기에도 형성, , , 되기 어려운 상위 사고 능력이다(Inhelder & Piaget, 1958).

로 어떻게 관련되어 변화하는지 파악한다 대응 관계는 재귀적 패턴과 . 공변적 관계를 넘어서서 두 양 사이의 일반화된 상관관계를 함수 규칙으 로 확인하는 것이다. Thompson & Carlson(2017)은 양적 추론을 기반으로 공변동적 추론에 대한 수준을 선행 이론을 통합하여 표[ Ⅱ-3]과 같이 공 변동적 추론을 여섯 가지 수준으로 설명하였다.

수준 설명

부드러운 연속 공변 (smooth continuous

covariation)

한 변수 값에서의 증가나 감소 이후 내용에서 변화 와 다른 ( , ) 변수 값에서의 변화를 동시에 발생하는 것으로 생각한다 모. 든 변수는 부드럽고 연속적으로 변하는 것으로 생각한다.

덩어리 연속 공변 (chunky continuous

covariation)

한 변수 값에서의 변화와 다른 변수 값에서의 변화를 동시 에 발생하는 것으로 생각한다 모든 변수는 덩어리 연속 변. 화(chunky continuous variation)로 변한다고 생각한다. 값의 조정

(coordination of value)

한 변수의 값()과 다른 변수의 값()의 순서쌍()들의 이 산적인 수집을 만드는 것에 관한 예상과 조정이다.

값의 전체적인 조정 (gross coordination of

values)

이 양은 증가하는 반면에 저 양은 감소한다 와 같이 함

“ , .”

께 변하는 양의 값에 대한 전체적인 이미지를 형성한다 개. 별적인 값들이 함께 변한다는 것을 생각하지 못한다 대신에 . 두 양의 값에서 전체적인 변화 사이에 곱셈적이지 않은 연 결을 상상한다.

값의 조정 전 (pre-coordination of

value)

두 변수는 함께 변하지만 동시에 발생하지 않는 것으로 생, 각한다 곱셈적인 대상으로 값의 순서쌍을 만드는 것을 생각. 하지 않는다.

조정없음 (no coordination)

함께 변하는 변수에 대한 이미지를 가지지 않는다 값의 조. 정을 하지 않고 두 변수 중 한 변수 변화에 초점을 둔다, . 표 공변동적 추론에 대한 수준

[ Ⅱ-3] (Thompson & Carlson, 2017, p.441)

나 상관관계와 적합선에 대한 학생들의 이해.

상관관계를 이해하는 것은 현대사회에서 중요한 문제이기 때문에 학생들 의 상관관계에 대한 이해 수준 오개념에 관한 연구가 지속적으로 진행되어 , 왔다 예( , Mevarech & Kramarsky, 1997; Liu et al., 2009; Moritz, 2004).

은 상관관계를 이미 학습한 대만의 고등학생 명

Liu et al.(2009) 25

살 을 대상으로 산점도

(grade-12, 18 ) 를 보고 판단하는 상관관계에 대한 지식을 연구하였는데 가지의 오개념과 그 원인을 표7 [ Ⅱ-4]와 같이 제시 하였다.

명칭 오개념 학생수

(%)

오개념의 원인 언어 일상

경험

사전 지식

학습 자료 M1 상관계수가 1(-1)인 산점도는

기울기가 1(-1)인 직선으로 표현된다.

17

(68%) *

M2 상관계수가 기울기와 관련이 있다. 15

(60%) * *

M3 상관계수가 이면 두 사건은 0 독립이다.

15

(60%) * *

M4 상관계수가 1(-1)일 때만 선형적 관계로 나타난다.

10

(40%) *

M5 양의 상관이 음의 상관보다 강하다. 10

(40%) *

M6 절댓값이 큰 음의 상관은 약한 상관이다.

5

(20%) *

M7 상관이 인과관계라고 생각한다. 5

(20%) * * *

표 상관관계에 대한 오개념과 그 원인

[ Ⅱ-4] (Liu et al. 2009, p.801

은 상관계수가 또는 인 산

M1 1 –1(perfect positive/negative correlation) 점도는 기울기가 1 또는 인 직선으로 그려진다고 생각하는 것이다 예–1 . 를 들어 그림[ Ⅱ-4]의 그래프 < 1>은 상관계수가 1 또는 –1인 산점도로 생각하고 그래프 는 그렇지 않다고 생각하는 것이다 그 이유는 교과< 2> . 서에서 상관계수가 또는 1( –1)인 산점도를 대부분 기울기가 또는 1( –1)로 만 제시하고 있기 때문임을 학생들의 인터뷰 결과에서 알 수 있다.

그래프

< 1> <그래프 2>

그림 오개념의 예

[ Ⅱ-4] M1 (Liu et al. 2009, p.801)

는 상관계수가 기울기와 관련이 있다고 생각하는 것이다 학생들이

M2 .

의 원인과 비슷하게 교과서 학습자료에서 유추할 수 있으며 그림

M1 , [ Ⅱ

의 그래프 과 같은 예시에서 기울기와 상관계수가 똑같이 이기

-4] < 1> 1

때문에 산점도에서 기울기와 상관계수 사이에 관련이 있고 서로 같다는 , 추론을 한다는 것이다.

는 상관계수가

M3 0(zero correlation)이면 두 사건이 아무런 영향을 주 지 않는다고 즉 독립사건이라고 생각하는 것이다, .⁹⁾ 그 이유로는 언어적 표현으로 ‘0’이라는 것이 아무것도 없다 라는 뜻으로 파악할 수 있‘ ’ 고 몇몇의 교과서에서는 상관계수가 이라는 것을 두 변수 사이에 아무0 런 관련이 없다고만 설명하고 상관관계가 특별히 선형적인 관계를 의미 한다는 것과 두 변수 사이에서 곡선적 관계와 같이 다른 관계가 존재할 수 있다는 것을 강조하지 않기 때문이라고 설명한다.

는 상관계수가 또는 일 경우에만 선형적 관계로 나타난다고 생

M4 1( –1)

각하는 것이다 그 이유를 교과서에서 상관계수가 또는 . 1( –1)일 경우에만 직선으로 표현되며 몇몇 교과서에서는 선형적 관계라는 것이 산점도에, 서 직선으로 표현되어야 한다는 의미가 아님을 설명하지 않기 때문이라 고 설명한다.

는 양의 상관을 음의 상관보다 강한 상관이라 생각하는 것이다 이

M5 .

것은 ‘양수가 음수보다 크다 라는 사전지식과 관련 있다 예를 들어 ’ . 이러한 오개념이 있는 학생은 상관계수가  와  인 것 중

인 관

계가 당연히 더 강한 상관관계라고 생각한다.

는 절댓값이 큰 음의 상관관계는 약한 상관관계라고 생각하는 것이 M6

다 이것 또한 .

  ≺ 이기 때문에 수치적 비교에 의해 생긴 오개념

이라 할 수 있다.

은 상관을 인과성과 관련짓는 것인데

M7 ,



축을 원인,



축을 결과라고

생각하여 상관이 인과관계를 설명하는 것처럼 잘못 해석할 수 있고 언, 어적 측면에서 상관을 인과관계로 받아들일 수도 있으며 경험을 통해 , 두 사건의 인과관계를 설명할 수도 있기 때문이다 이는 서로 상관이 있.

두 사건이 독립이라면 상관계수는 이 되지만 역은 성립하지 않는다0 .

는 지를 자신의 일상 생활적 경험에 근거한 주관적 판단에 의존할 수 있 으며 자료에 근거한 판단과 경험에 근거한 주관적 판단 간에 인지적 충 돌을 일으킨다(Jennings et al., 1982 Batanero et al., 1996; Moritz, 2004) 는 기존 연구와 같은 맥락이다.

이외에 산점도를 이용한 상관관계 연구에서 산점도의 측정 단위 때문 에 피험자들이 상관관계를 과소추정 또는 과대추정하는 연구 결과가 존 재한다(Cleveland et al, 1982; Stranhan & Hansen, 1978). 측정 단위가 달라짐에 따라 분포된 자료들이 더 멀리 떨어져 보이거나 가까이 밀집되 어 있거나 기울기가 다르게 보이는 등 시간적 표현 변이가 이루어진다.

또한 일부만 조사된 자료를 조사하지 않은 집단에까지 일반화하는 상관 추론의 일반화의 문제와 오류의 가능성을 무시한 채 몇 가지 상관관계 결과로 추이적으로 묶는 오류가 존재한다 김소현( , 2012).

우리나라에서도 제 차 교육과정에서 중학교 학년 때 상관관계를 배운 7 3 고등학생들을 대상으로 한 상관관계 개념 이해에 대한 조사연구 노아라( , 유연주, 2013)가 존재한다 연구 결과에 의하면 학생들은 산점도 상에 드. 러난 상관관계의 강도를 판단하는 올바른 근거를 갖고 있지 않다 회귀. 직선을 기준으로 점들이 직선과 얼마나 가까운지를 판단하기보다 점들의 밀집도나 회귀직선의 기울기 등과 상관관계의 강도를 혼동한다 이에 노. 아라 유연주, (2013)는 두 변량 사이의 선형적 관계성의 의미가 제대로 지 도되지 않고 있기 때문임을 밝히고 있다 또한 상관관계