설문 검사 응답 결과 상관관계를 파악하는 데 어려움을 겪는 학생들도 적합선을 상관관계의 방향성과 맞게 그리는 특징이 발견되었다 이에 연. 구자는 학생들이 상관관계를 파악하는 데 적합선 그리기 활동이 도움이 되는지 알아보기 위해 추가 문항 를 구성하였다 추가 문항 는 문항 5 . 5 2 의 그래프 위에 최소제곱 회귀직선을 추가한 문항으로 학생들이 해결한 설문 검사 문항 와 같이 점들을 대표하는 직선을 하나 그릴 수 있다고 4 했을 때 문항 에 대한 해결과정에서 이전에 판단했던 것과 달라지는 , 2 게 있는지 적합선이 상관관계 추론에 도움이 되는지 알아보고자 하였, 다.
문항 반
< 2_1 > <문항2_2 >반 그림 면담 추가 문항 의 그래프
[ Ⅲ-9] 5
이때 이론과 관련된 범주의 속성과 차원을 확보하기 위한 자료수 2013).
집이 바로 이론적 표본추출이다.
본 연구에서는 앞서 말한 표집 절차에 따라 설문 검사 시 연구자는 40 명의 학생들의 문제해결 과정을 관찰하고 검사 직후 학생들의 답안을 , 살펴보며 글씨를 알아보지 못하는 경우 등 불분명한 답안에 대해 질문하 고 메모하였다 설문 검사 분석 직후 심층적인 비형식적 지식 분석을 위. 해 가능한 빠른 시일 내에 분명하지 않은 응답이나 특이점이 있는 명12 의 학생을 대상으로 개인 면담을 실시하였다 이렇게 수집한 설문 검사 . 응답 자료와 개인 면담을 전사한 자료가 본 연구의 연구자료이다 연구 . 문제를 해결하기 위한 분석과정은 크게 세 가지로 첫째 상관관계 추론, 전략과 적합선 그리기 전략 범주화 둘째 상관관계에 대한 이해도 조사, , , 셋째 상호작용적 관점에서 전략 및 특징 분석으로 나뉜다, .
먼저 학생들의 상관관계 추론전략과 적합선 그리기 전략을 분석하기 , 위해 Strauss와 Corbin(1990)이 제시한 개방 코딩 축 코딩 선택 코딩으, , 로 진행하였으며 코딩 결과는 수학교육 전공 전문가 인의 검토를 거쳐 , 3 타당도를 점검하였다.
개방코딩 (open coding)
→ 강제
축코딩 (axial coding)
→ 요약화
선택코딩 (selective coding) 자료의 해체, 검사,
비교 개념화 범주화 , , 과정 개방된 표본추. 출
핵심 코드 간의 관 계를 구조적 관계도 로 표현함 연관적이. 고 다양한 표본추출
식별된 코드 중에서 중요도가 높은 핵심 코드 선택 차별적 표. 본추출
표 와 의 근거이론 코딩 과정 요소
[ Ⅲ-3] Strauss Corbin(1990) 3
개방 코딩은 자료를 해체시켜 범주나 그 속성 그리고 차원의 위치를 알 아보는 절차로서 설문 검사 응답 자료를 선행연구와 비교하여 같은 현상 에 속하는 것처럼 보이는 전략들을 그룹지었는 데 그 예가 표, [ Ⅲ-4]이 다. Strauss & Corbin은 선행 이론이나 문헌이 경험의 차원을 생각해내
거나 개념적 질문을 만드는데 유용한 분석 도구가 되며 특히 이론적 표, 본 추출 과정에 필요한 초기 아이디어를 제공한다고 본다 윤견수( , 2013).
표 는 문항 에서 학생들의 상관관계 추론전략을 알기 위한 [ Ⅲ-4] 1, 2, 3
일차적인 시도로서 연구자가 사전에 선행연구로부터 만든 이론적 틀에 의해 현상을 구분한 것이다.
현상 속성과 차원
속성 빈도( ) 차원 사용 전략( ) 일상생활 경험
전혀 없음 일부분 모양 및 함수개념에 집중, 부분적 경험 모양 및 함수 +
빈번함 경험 부분+
일부분에 집중
전혀 없음 모양 및 함수개념에 집중 부분적 사용 부분 모양 및 비례개념+ 빈번함
최고 최저점 최빈값 밀집된 부분 우, , , , 측상단 하단 한 점에서의 , , x, y의 값의 차이
전체적인 모양에 집중
전혀 없음 경험 및 부분에 집중 부분적 사용 부분 모양 모양 함수개념+ , + 단독 사용 모양 형태,
구체적인 함수적 지식 도입
전혀 없음 경험 부분 모양에 집중, , 부분적 사용 모양 함수 부분 함수+ , + 표 상관관계 추론전략에 대한 개방 코딩 결과 [ Ⅲ-4]
그 결과 학생들은 문항별로 사용한 전략이 다양하였으며 같은 현상 속, 에서도 전략 속성과 차원이 다양하였다 특히 기울기 비례관계 함수식 . , , , 등 구체적인 함수적 지식을 도입한 현상에서는 단독적으로 함수적 지식 만을 사용하여 상관관계를 파악하는 학생이 없었고 최고점 최저점 최, , , 빈값 밀집된 부분 등 분포적 측면에 집중하는 학생들이 존재한다는 것, 과 경험 및 개인적인 의견에 의해서도 판단하는 점에 근거했을 때 일차, 원적으로 전략을 구분하기보다는 맥락 분포 패턴, , 을 파악하는 전략에 따라 다차원적으로 생각할 필요가 있었다.
예를 들어 상관관계를 언어적으로 표현한 문장 ‘값이 ○○할수록 대
체로
값이 □□하다
.’를 해석하기 위해 점들의 전체적 경향에 주목하기보단‘값보다 값이 ○○한 점이 다수이다.’라고 해석하거나 점들이
모여있는 부분에서 ‘값이 ○○할수록
값이 □□하다 와 같이 판단
’ 하는 경우가 존재하며, ‘대체로 라는 의미에 집중하여 ’ ‘상대적으로 많은 부분이값이 ○○할수록 값이 □□하다 라고 파악하거나 전체
’ , 점들의 추세가 ‘대체로 그러한 분포 라고 생각하는 경우가 존재하였’ 다 이러한 사례는 점들의 분포를 파악하는 관점에서 대체로 를 어떻. ‘ ’ 게 해석하는지 패턴 파악의 관점에서 , ‘값이 ○○할수록 값이 □□하 다 를 어떻게 해석하는지 알아볼 필요가 있음을 의미한다 따라서 이에 ’ . 대한 답을 찾기 위해 학생들의 응답 결과를 맥락 분포 패턴 파악, , 으로 구분하여 전략 유형을 분류하였고 분류가 애매한 경우와 분포 함수의 , , 이해 수준이 파악 불가한 경우 면담 추가 문항을 통해 면담을 진행하였 다 특히 분석과정에서 분포에 대한 이해는 부족하지만 비례 관계로 문. , 제를 비교적 잘 해결한 학생과 함수적 지식이 부족하지만 분포에 대한 이해로 문제를 해결한 학생의 오답 원인과 전략 사이의 상호작용을 분석 하기 위해 차별적 표본추출을 하였다.면담 종료 후 연구자료를 토대로 맥락 분포 패턴 파악 전략의 하위 , , 수준들을 구체적으로 차원화하여 축 코딩을 발전시켰고 표([ Ⅳ-1]), 총, 가지 가설적 전략 수준에 기초하여 연구자료를 다시 비교 36(=3×3×4)
분석한 결과와 같이 학생들의 상관관계 추론전략을 가지 유형으로 구분8 할 수 있었다 표([ Ⅳ-3]).
이러한 과정은 적합선 그리기 전략을 범주화하는 데에도 적용되었다. 문항 에서 학생들의 적합선 그리기 전략 역시 4 Sorto et al.(2011)과 의 연구에서 발견된 사례 이외에 점들과 최대한 가깝게 직선 Casey(2015)
을 그리는 방법을 구체적으로 제시한 사례가 존재하며 양 음의 상관관, / 계에 따라 다른 전략을 사용하거나 같은 문항에서 여러 전략을 통합하, 여 사용한 학생들도 존재하여 수학적 모델링의 관점에서 표현의 정교화 수준에 따라 표현 범주를 구분하였다 표([ Ⅳ-14]).
둘째 상관관계 추론전략별 상관관계에 대한 학생들의 이해를 알아보기 , 위해 문항 1, 2, 3에 대하여 전략별 문항 반응 빈도분석을 통해 학생들 의 오류 및 특징들을 살펴보았다.
셋째 상호작용적 관점에서 전략 및 특징을 분석하는 과정에서는 비모, 수 통계 분석 방법을 통해 대략적인 연관성을 확인 후 사례별 분석을 통 해 어떠한 차이가 있는지 분석하였다 상관관계 추론전략에 따른 적합선 . 그리기 전략의 특징을 알아보기 위해 서열측정치 가운데 Goodman,
의 의 와 의
Kruskal gamma, Kendall tau-b Stuart tau-c15), Somers의 를 통계 프로그램인 을 통해 유의 수준 에서 계산하였다
D(delta) R 0.05 .
분포 패턴 파악 전략과 적합선 그리기 전략은 코딩 결과 각각 서열척도, 로써 서열측정치를 계산하는 것이 적합하며 관련성에 대한 서열측정치, 는 한 변인 상에서의 한 개인의 순위가 다른 변인 상에서의 그 개인의 순위와 통계적 관련 정도를 기술해준다 민윤기 윤영채( , , 2004). 이러한 관 계성의 서열측정치는 만약 한 변인 상에서 높은 순위가 매겨진 개인이 다른 변인 상에서도 높은 순위가 매겨질 때 즉 일치 관찰 쌍의 개수와 , 반대로 다른 변인 상에서 낮은 순위가 매겨질 때 즉 불일치 관찰 쌍의 , 개수에 기초한다 예를 들어 변인들이 완전 순위화된 경우 . Kendall의
의 값이 이라면
tau-b 0.40 (0.70+0.30=1, 0.70-0.30=0.4 이기 때문에 대략 쌍0 ) 의 70%가 일치 쌍이며 나머지 , 30%는 불일치 쌍이 얻어질 것으로 추정 할 수 있다 이러한 관련성의 서열측정치는 과 . –1 +1 사이의 값을 가지면 서 양과 음의 관계성을 구분하는 것이 가능하다 관계성이 강할수록 측. 정치의 절댓값은 커지며, Somers의 를 제외하고는 모두 대칭적이다D . 즉, Somers의 를 제외한 측정치들은 변인 가 독립변인으로 가정할 때D y 와 종속변인으로 가정할 때 모두 동일한 값을 가진다 또한 동률. (tie)의 발생에서 차이점이 있는데 서열 변인의 교차 분류의 경우 두 개인이 동, 일한 유목에 포함될 수 있다 즉 동률이 발생하게 되는데 세 가지 서열. , 측정치 중 감마는 동률을 이룬 쌍들이 계산에서 제거되기 때문에 많은 동률을 가지는 표의 경우 더 커지는 경향이 있다 민윤기 윤영채( , , 2004).
따라서 본 연구에서는 세 가지의 서열측정치를 모두 계산하여 변인 간의 관계성을 살펴보고자 하였다.
결과분석 .
Ⅳ
학생들의 상관관계 추론전략 1.
학생들의 상관관계 추론전략을 분석하기 위해 ‘산점도 그래프 해석하 기 과제 문항 ’ ( 1, 2, 3)의 판단 이유를 분석하였다 학생들이 산점도를 언. 어로 진술하거나 문항 ( 1), 주어진 진술을 평가하는 언어적 그래프 해석 문항 을 위해 사용한 전략들을 살펴보면 개인적인 의견이나 일반적 ( 2, 3)
인 상식 등 맥락적 지식에 기초하는 경우‘ ’, 가장 높은 점 낮은 점과 , 같이 점들의 일부 또는 점들이 밀집된 부분 점들의 평균과 중앙 등 , 분포 파악에 기초하는 경우 그리고 전체적인 증감 형태 함수적 지
‘ ’, ,
식 등을 활용하여 점들의 패턴 파악에 기초하는 경우 로 특징지을 수 ‘ ’ 있었다 이때 학생들은 문제를 해결하기 위해 하나의 전략을 일관적으. , 로 사용하기보다는 문항에 따라 다른 전략을 사용하기도 하였는데, [표 는 산점도 그래프 해석하기 과제를 해결하기 위해 사용한 전략
-1] ‘ ’
Ⅳ
들을 세 가지 차원에 따라 범주화하여 학생들의 전략 특징을 구체화한 것이며, [표Ⅳ-2]는 상관관계 추론전략 사례별 빈도수와 비율을 나타낸 다 그 결과 학생들은 기본적으로 분포 파악과 패턴 파악을 통해 상관관. 계를 추론하였으며, 맥락적 지식은 단독적으로 사용하기보다 부분적으로 통합하는 경향을 보였다.
따라서 산점도 그래프 해석하기 과제에서 상관관계 추론 전략 이하 ‘ ’ ( 상관관계 추론전략 은 ) 분포 파악과 패턴 파악의 12(=3×4)가지 가설적 전 략 유형에 기초하여 학생들의 반응을 비교 분석하였고 그 결과 순서쌍으 로 분류하였을 때 가지 유형이 존재하였다 이때 맥락적 지식의 통합 8 . 형태에 따라 하위 14가지 사례가 존재한다 본 연구에서는 학생들의 상. 관관계 추론전략으로서 표[ Ⅳ-3]의 가지 유형에 따라 연구 문제를 분석8 하기로 하였다.