8장 높은 차수의 계들 : 2차계와 수송지연
1. 2차계(2차 지연) 1) 전달함수 예) 감쇠진동기
그림 8.1 감쇠진동기
* 가정(Y=0에서 오른쪽으로 움직인다고)
스프링에 의한 탄성력 , : Hooke 상수 점성마찰력
, : 감쇠상수
* Force Balance : 어떤질량위에 작용하는 모든 힘의 합 = 운동량의 변화율(질량×가속도)
블럭의 질량,
32.2 sec
점성감쇠계수, sec
Hooke 상수,
구동력,
양변 ÷
여기서
,
,
,
(두 매개변수는 양수임)
& at ≤ 이면
∴
~ 2차계의 전달함수
cf. 매개변수 : 와 필요(1차계는 만)
2) 계단응답
±
각각
case Ⅰ : ≺ 일때의 계단응답(under-damped)
sin
tan
유도과정 각자 해볼 것! (3장 내용 참조)
→∞ →
≺ 에서 진동 ~ 과고감쇠된(under damped) 응답
가 증가하면서 진동이 약해짐 그림 8.2
입력의 단위계단변화에 대한 2차계의 응답
Case Ⅱ :
에서는 진동이 없음 ~ 임계감쇠(critical damping)
Case Ⅲ : ≻
cos
sin
sinh
, cosh
≻ 에서는 진동은 없고 이 증가할수록 응답지연 ~ over-damped(과도감쇠) cf. 직렬 연결된 두 개의 1차계의 계단응답도 ≻ 인 경우와 동일
3) 과소감소계를 기술하는데 사용되는 용어들
그림 8.3
과소감쇠 2차 응답을 기술하는데 사용되는 용어들
① 오버슈트(overshoot) : 궁극치를 초과하는 정도,
단위계단변화에 대한 Overshoot exp
② 쇠퇴비(decay ratio) : 연속적인 peak사이의 크기비,
Decay ratio exp
(overshoot)2③ 상승시간(rise time) : 처음으로 궁극치에 도달하는데 걸리는 시간,
④ 응답시간(response time) : 궁극치의 ±5% 내로 도달하여 그 안에 머무르게 되는데 필요한 시간
⑤ 진동주기(period of oscillation)
(radian frequency)
(∴ ) : 순환주파수
: 진동주기[시간/cycle]
⑥ 고유진동주기(natural period of oscillation) (혹은 )일때의 주파수 : 비감쇠
고유주파수와 실제주파수
∴ : 감쇠의 정도(또는 진동의 특성)를 나타내는 척도 : 2차계 응답의 주기 또는 속도를 나타내는 척도
4) 임펄스 응답
Case Ⅰ : ≺
sin
( note! )Case Ⅱ :
Case Ⅲ : ≻
sinh
5) Sine파 응답
과소감쇠
cos sin
cos
sin
부분분수법으로 결정
→∞ (궁극적인 주기해)
sin
tan
① 입력진폭에 대한 출력진폭의 비
와 에 따라 1보다 클 수도 작을 수도 있음.
cf. 1차계의 경우
sin
진폭비
≺
② 위상지연 만큼 늦어짐. ↑, →(∵ tan ∞
)
cf. 1차계
tan , 가 를 넘어서지 않음
* Derive (8.17), (8.19), (8.20)
where
① ≻
sinh
cosh
cosh
sinh
, ≻ ② ≺
마찬가지로
cos
sin
sin cos
cossin
tan
(∵ tan cos
sin
)
sin
tan
for ≺ ③
, ,
* Derive (8.24) & (8.25)
sin
tan
cos
tan
sin
tan
삼각함수 rule
sin
tan
tan
, ⋯
sin
tan
overshoot
,
Decay ratio
2. 수송지연(transportation lag)
~ 또는 불감시간(dead time)과 거리속도지연(distance velocity lag)
그림 8.6 수송지연을 갖는 계
초기정상상태
의 계단변화, 시간 까지는 감지되지 않음
부피유속
관의부피
편차변수 ,
또는
~ 수송지연의 전달함수
~ 수송지연이 있으면 제어가 더 어려워지므로 가급적 줄여야 함.(eg. 장비들은 가깝게 배치)
그림 8.7 여러 가지 입력들에 대한 수송지연의 응답 (a), (b)
➣ 수송지연의 근사법
수송지연은 유리함수가 아니어서 다루기 어려움. ~근사법 이용 (안정성 해석이나 컴퓨터 모사 어려움)
① Taylor 급수전개
⋯
≈
②
≅
~ 1차 Padé 근사식
③ ≅
~ 2차 Padé 근사식
그림 8.8
수송지연 ~ 의 근사식들에 대한 계단응답
~ 의 근사식으로 정확하지는 않지만 전달함수와 결합하면 유용하게 사용됨.
