제 4 절 집합족
집합들을 모아 놓은 모임을 집합족(family of sets)이라 부르는데, 집합족은 원소가 같아도 모두 나열하는 모임이다. 예를 들어 집합족 {A, A, A}는 원소 가 세 개인 모임을 뜻하지만 집합 {A, A, A}는 원소가 한 개인 집합 {A}를 뜻한다.
정 의 3.29 집합 Γ의 각 원소 γ ∈ Γ에 대해 집합 Aγ가 대응될 때, 모든 Aγ를 모아 놓은 집합족
{Aγ | γ ∈ Γ}
을 Γ에 의해 첨수가 매겨진 첨수집합족(indexed family of sets)이라 하고 집합 Γ를첨수집합(index set)이라 한다.
[[ 예 ]] 3.30 ϕ,N, Z, Q, R, R의 집합족 F 에 대해 index을 붙여보자.
F = {ϕ, N, Z, Q, R},
Γ ={1, 2, 3, 4, 5, 6}이라 놓고
f : Γ→ F를 아래와 같은 함수로 정의하자.
f (1) = ϕ = A1 f (2) =N = A2
f (3) =Z = A3
f (4) =Q = A4
f (5) =R = A5
f (6) =R = A6
따라서 F는 {A1, A2, A3, A4, A5, A6}와 같이 첨수집합족으로 나타낼 수 있 다.
정 의 3.31 집합족 F에 대해 합집합(union)과
교집합(intersection)을 아래와 같이 정의한다.
∪F = ∪
{A | A ∈ F} = ∪
A∈F
A
= {x | ∃A ∈ F, x ∈ A}
∩F = ∩
{A | A ∈ F} = ∩
A∈F
A
= {x | ∀A ∈ F, x ∈ A}
참 고 3.32 F : 첨수집합족
∪F = ∪
γ∈Γ
Aγ =∪
{Aγ | γ ∈ Γ} = {x | ∃γ ∈ Γ, x ∈ Aγ}
∩F = ∩
γ∈Γ
Aγ =∩
{Aγ | γ ∈ Γ} = {x | ∀γ ∈ Γ, x ∈ Aγ}
참 고 3.33 Γ = {1, 2, . . . , n}과 같이 유한집합일 경우는
∪
γ∈Γ
Aγ =
∪n i=1
Ai = A1∪ A2∪ · · · ∪ An (3.36)
∩
γ∈Γ
Aγ =
∩n i=1
Ai = A1∩ A2∩ · · · ∩ An (3.37)
으로 간단히 나타낸다.
[[ 예 ]] 3.34 F = {A, B, C}이고
A ={1, 2, 3}, B = {1, 3, 4}, C = {1, 2, 4}라 하면,
∪F =∪
F∈FF ={1, 2, 3, 4}이고
∩F =∩
F∈FF ={1}이다.
[[ 예 ]] 3.35 A1 ={1, 2, 3, 4}, A2 ={1, 2, 4, 6, 8},
A3 ={1, 3, 6, 9}, A4 ={1, 4, 8}이고 F = {1, 2, 3, 4}라 하면,
∪
i∈F Ai =∪4
i=1Ai ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}이고
∩
i∈F Ai =∩4
i=1Ai ={1}이다.
[[ 예 ]] 3.36 ∪
{A, B, C} = A ∪ B ∪ C이고
∪{{a, b, c}, {c, d, e}} = {a, b, c} ∪ {c, d, e} = {a, b, c, d, e}이다.
[[ 예 ]] 3.37 ∪
{A1, A2, . . . , An} = A1∪ A2∪ · · · ∪ An이다.
[[ 예 ]] 3.38 모든 집합 A에 대해 A =∪
{{a} | a ∈ A} =∪
a∈A{a}이고, A =∪
{B | B ∈ P (A)} =∪
B∈P (A)B이다.
[[ 예 ]] 3.39 ∪
P (ϕ) =∪
{ϕ} = ϕ,
∪P (P (ϕ)) =∪
{ϕ, {ϕ}} = ϕ ∪ {ϕ} = {ϕ},
∪P (P (P (ϕ))) =∪
{ϕ, {ϕ}, {{ϕ}}, {ϕ, {ϕ}}}
= ϕ∪ {ϕ} ∪ {{ϕ}} ∪ {ϕ, {ϕ}} = {ϕ, {ϕ}}.
[[ 예 ]] 3.40 A1 ={x | 1 ≤ x ≤ 1 + 1}, A2 ={x | 1 ≤ x ≤ 1 + 12},
. . .
An ={x | 1 ≤ x ≤ 1 + n1}이고 F ={1, 2, . . . , n}이라 하자. 그러면
∪n
i=1Ai =∪
i∈F Ai = A1이고
∩n
i=1Ai =∩
i∈F Ai = An이다.
[[ 예 ]] 3.41 A1 ={x | − 1 ≤ x ≤ 1},
A2 ={x | − 2 ≤ x ≤ 2}, . . .
An ={x | − n ≤ x ≤ n}이고 N ={1, 2, 3, . . . }이라 하자. 그러면
∪
i∈NAi =∪∞
i=1Ai =R이고
∩
i∈NAi =∩∞
i=1Ai = A1 = [−1, 1]이다.
[[ 예 ]] 3.42 모든 양의 실수 r ∈ R+에 대해, Ar ={x | − r ≤ x ≤ r}이라 하자. 그러면
∪
r∈RAr =R이고
∩
r∈RAr ={0}이다.
[[ 예 ]] 3.43 아래 개구간들의 교집합을 구하여라.
(0, 1), (0,1
2), (0,1 3) . . .
풀이. N = {1, 2, 3, 4, . . . }, An = (0,1n)놓으면 주어진 집합족은 {An | n ∈ N}가 된다.
따라서 ∩
n∈NAn =∩∞
n=1An = ϕ이다.
(∵) 아니라고 가정하면
∃x ∈∩
n∈N(0,n1)이다.
그러면 ∀n ∈ N, x ∈ (0,n1).
따라서 ∀n ∈ N, 0 < x < n1. 이것은 모순이다.
따라서 ∩∞
n=1(0,n1) = ϕ이다.
[[ 예 ]] 3.44 다음 두 명제가 동치임을 보여라.
