2016학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지
수학 영역
제 2 교시
1
1.
두 집합
,
에 대하여
∩
의 모든 원소의 합은?1) [2점]① ② ③ ④ ⑤
2.
두 다항식
,
에 대하여
는?2) [2점]① ② ③
④ ⑤
3.
복소수 에 대하여 의 값은?(단,
이고, 는 의 켤레복소수이다.)3)[2점]① ② ③ ④ ⑤
4.
무리함수
의 그래프가 점 을 지날 때, 상수 의 값은?4) [3점]① ② ③ ④ ⑤
2 수학 영역
5.
이차부등식 을 만족시키는 정수 의 개수는? 5) [3점]① ② ③ ④ ⑤
6.
복소수
에 대하여 의 값은?(단,
)6) [3점]① ② ③ ④ ⑤
7.
첫째항이 , 공차가 인 등차수열
의 첫째항부터제항까지의 합을
이라 할 때,
의 값은?7) [3점]① ② ③ ④ ⑤
3
수학 영역
8.
유리함수
의 그래프의 점근선이 두 직선 ,
일 때, 두 상수 , 의 합 의 값은? 8 )[3점]
① ② ③ ④ ⑤
9.
일 때,
의 값은?9) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
10.
사차방정식
의 모든 실근의 곱은?10) [3점]① ② ③ ④ ⑤
4 수학 영역
11.
실수 에 대하여 두 조건 , 가 ,
일 때, 명제 → 가 참이 되도록 하는 실수 의 최솟값은?11) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
12.
좌표평면 위의 두 점 A , B 에 대하여 선분 AB를 로 내분하는 점 P 의 좌표가 일 때, 의 값은?12 ) [3점]
① ② ③ ④ ⑤
5
수학 영역
13.
실내 조명 설비에서 조명 기구의 이용률을 구하기 위해 사용되는 실지수는 실내의 형태와 크기, 광원의 높이에 의하여 결정된다.직육면체 모양의 실내의 가로의 길이 , 세로의 길이 , 광원의 높이 에 대하여 실지수
는 다음과 같이 구할 수 있다고 한다.
직육면체 모양의 두 전시장
,
의 실지수를 비교하려고 한다.
의 가로의 길이는 , 세로의 길이는 , 광원의 높이는 이고,
의 가로의 길이는 , 세로의 길이는 , 광원의 높이는 이다.
의 실지수가
의 실지수의 배일 때, 의 값은?(단, 길이와 높이의 단위는 m 이다.)13) [3점]
①
② ③
④ ⑤
14.
다항식 이
로 인수분해될 때, 세 정수 , , 의 합 의 값은? 14)[4점]
① ② ③ ④ ⑤
6 수학 영역
15.
집합
의 공집합이 아닌 부분집합
에 대하여 집합
의 모든 원소의 합을
라 하자.집합
가 다음 조건을 만족시킬 때,
의 최댓값은?15 ) [4점]
(가)
∩ (나)
의 값은 홀수이다.
① ② ③ ④ ⑤
16.
연립부등식
≤
≤ 을 만족시키는
실수 , 에 대하여 의 최댓값과 최솟값을 각각
, 이라 할 때,
의 값은?16) [4점]①
②
③
④
⑤
7
수학 영역
17.
두 함수 , 의 그래프가 서로 다른 두 점 A, B에서 만날 때, 두 점 A, B의 좌표를 각각 , 라 하자. 다음은
일 때, 의 값을 구하는 과정이다. (단, )
두 함수 , 의 그래프가 두 점 A, B에서 만나므로
방정식 의 해는 또는
이므로
라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
가
이므로 나따라서 다
위의 (가)에 알맞은 식을 , (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 , 라 할 때, 의 값은?17) [4점]
① ② ③ ④ ⑤
18.
그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A , B 과 선분 AB 위의 두 점 C , D 이 있다. 선분 AO 위의 점 E와 선분 OB 위의 점 F에 대하여 CE EF FD 의 값이 최소가 되도록 하는 점 E의 좌표는? (단, O는 원점이다.)18) [4점]
O
A
B
C
D
E
F
① ②
③ ④
⑤
8 수학 영역
19.
그림과 같이 좌표평면 위에 점 를 꼭짓점으로 하고 점 를 지나는 이차함수 의 그래프가 있다.방정식 를 만족시키는 모든 실근의 합은?19) [4점]
O
① ② ③ ④ ⑤
20.
두 함수 , 가 임의의 실수 에 대하여 를 만족시킬 때,<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, , 는 상수이다.)20) [4점]
보 기
ㄱ. 임의의 실수 에 대하여 ㄴ.
ㄷ. 함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 직선 의 절편보다 크다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
9
수학 영역
21.
인 정수 , 와 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 의 개수를 이라 하자.
(가) ≤ , ≤
(나) , 일 때 ≤ 이고,
, 일 때 이다.
수열
의 첫째항부터 제항까지의 합을
이라 할 때,
의 값은?21) [4점]① ② ③ ④ ⑤
단답형
22.
등차수열
이 이고 일 때, 공차를 구하시오.2 2) [3점]23.
좌표평면 위의 점 과 직선
사이의 거리를 구하시오. 23)[3점]10 수학 영역
24.
양수 에 대하여 의 최솟값을 구하시오.24) [3점]
25.
직선 와 평행하고 원 에 접하는 직선의절편을 라 할 때, 의 값을 구하시오.2 5) [3점]
26.
두 양수 , 에 대하여 , 가 연립이차방정식
의 해일 때, × 의 값을 구하시오.2 6) [4점]
11
수학 영역
27.
세 실수 , , 에 대하여 , , 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,
의 최댓값을 라 하자. 의 값을 구하시오.
(단, ≠ ) 27)[4점]
28.
에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을
, 나머지를
이라 하고, 에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을
, 나머지를
라 하자.
가 되도록 하는 두 실수 , 에 대하여
의 값을 구하시오. (단, ≠ )2 8) [4점]12 수학 영역
29.
집합
≤ ≤ , 은 의 배수의 공집합이 아닌 부분집합
와 집합
에 대하여 함수
→
를은 ‘을 로 나눈 나머지’
로 정의하자. 함수 의 역함수가 존재하도록 하는 집합
의 개수를 구하시오.2 9) [4점]30.
그림과 같이 좌표평면 위의 네 점O , A , B , C 을 꼭짓점으로 하는 정사각형 OABC 에 대하여 점 를 지나고 축과 만나는 세 직선 , , 이 정사각형 OABC 의 넓이를 등분한다.
직선 의 절편을 라 하고 ≤ ≤ 일 때,
두 직선 과 의 기울기의 곱의 최댓값은 , 최솟값은 이다.
일 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)30) [4점]
O
A C B
※ 확인 사항
답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
13
수학 영역
1 ④ 2 ② 3 ① 4 ⑤ 5 ③
6 ① 7 ④ 8 ② 9 ② 10 ③
11 ② 12 ④ 13 ④ 14 ③ 15 ⑤
16 ① 17 ⑤ 18 ① 19 ③ 20 ⑤
21 ③ 22 7 23 12 24 10 25 18
26 8 27 25 28 11 29 16 30 106
14 수학 영역
1) [출제의도] 집합의 연산 이해하기
∩ 이므로 모든 원소의 합은
2) [출제의도] 다항식 계산하기
3) [출제의도] 복소수 계산하기
에서
4) [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기
의 그래프가 점 을 지나므로
따라서
5) [출제의도] 이차부등식 이해하기
∴ 따라서 정수 의 개수는
6) [출제의도] 복소수의 성질 이해하기
에서
따라서
7) [출제의도] 등차수열의 합 이해하기
등차수열 의 첫째항이 , 공차가 이므로
× ×
8) [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기
의 점근선은 두 직선 , 유리함수
의 점근선은 두 직선 , 이므로 , 따라서
9) [출제의도] 무리식 이해하기
따라서 일 때 구하는 값은
10) [출제의도] 사차방정식 이해하기
에서
라 하면
이므로
∴ 또는 또는
의 판별식을 라 하면
이므로
은 허근을 갖는다.
따라서 모든 실근의 곱은 ×
11) [출제의도] 명제의 충분조건 추론하기
조건 가 이므로 조건 의 진리집합은
조건 가 이므로
조건 의 진리집합은
조건 가 조건 이기 위한 충분조건이므로 ⊂
≤ 이고 ≥ 에서 ≥ 이고 ≥
∴ ≥
따라서 의 최솟값은
12) [출제의도] 선분의 내분점 이해하기
A , B 를 잇는 선분 AB 를 로 내분하는 점 P 의 좌표는
× ×
× ×
즉,
이므로 ,
∴ , 따라서
13) [출제의도] 유리식을 이용하여 실생활 문제해결하기
의 가로의 길이는 , 세로의 길이는 , 광원의 높이는 이고,
의 가로의 길이는 , 세로의 길이는 , 광원의 높이는 이므로
의 실지수는
의 실지수는
×
따라서 의 실지수가 의 실지수의 배이므로
14) [출제의도] 다항식의 인수분해 이해하기
다항식 을 조립제법을 이용하여 인수분해하면
15
수학 영역
∴ , , 따라서
15) [출제의도] 집합의 원소 추론하기
조건 (가)에서
∩ 이므로 ∉, ∈, ∉ 조건 (나)에서
집합 의 모든 원소의 합 가 홀수이므로 집합 는 집합 의 원소 중 홀수인 , , , 중에서 개 또는 개를 원소로 가져야 한다.
∉, ∉이므로 집합 는 , 중
개만을 원소로 가져야 한다.
두 조건 (가), (나)를 만족시키면서
가 최대가 될 때는 집합 의 원소 중 짝수인 , 을 원소로 갖고, 홀수인 을 원소로 가질 때이다.
즉, 일 때 가 최대가 된다.
따라서 의 최댓값은
16) [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기
연립부등식
≤ ≤ 을 만족시키는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 그림의 어두운 부분과 같다.O
라 하면
직선 는 기울기가 이고 절편이 이다.
이 직선을 주어진 부등식의 영역과 만나도록 평행이동하면서 의 값의 변화를 조사하면 직선 가 점 을 지날 때 최댓값을 갖고,
직선 와 원 이 제사분면에서 접할 때 최솟값을 갖는다.
× 에서
∴
원의 중심 과 직선 사이의 거리가 이므로
,
∴ 따라서
17) [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계 추론하기
두 함수 , 의 그래프가 두 점 A, B 에서 만나므로
방정식 의 해는 또는
이므로
( )라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
,
이므로
또는
이므로
∴ , , 따라서
18) [출제의도] 대칭이동 활용하여 문제해결하기
점 C 을 축에 대하여 대칭이동한 점은 C′ 이고, 점 D 을 직선 에 대하여 대칭이동한 점은 D′
CE C′E , FD FD′ 이므로
CE EF FD C′E EF FD′ ≥ C′D′
CE EF FD 의 값이 최소일 때는 점 E, F 가 두 점 C′ , D′ 을 지나는 직선 위에 있을 때이다.
O
A E C
C′
D
D′
B
F
두 점 C′ , D′ 를 지나는 직선의 방정식은
∴
따라서 CE EF FD 의 값이 최소가 되도록 하는 점 E의 좌표는
19) [출제의도] 함수의 합성 이용하여 그래프 추론하기
이고
의 그래프가 직선 에 대하여 대칭이므로
∴ 또는
16 수학 영역
O
을 만족시키는 의 값을 , 라 하고
를 만족시키는 의 값을 , 라 하면
과 , 과 는 각각 직선 에 대하여 대칭이므로
, 따라서
20) [출제의도] 이차함수와 직선의 관계 추론하기
ㄱ. 임의의 실수 에 대하여 이므로
(참)
ㄴ. 이 모든 실수 에 대하여 성립하므로 의 판별식을 라 하면
≤
∴ (참) ㄷ.
이므로
함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
이고,
직선 의 절편은 이므로
(∵ )
≥
이므로
함수 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 직선 의 절편보다 크다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
21) [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 문제해결하기
구하는 순서쌍 의 개수는 조건 (가), (나)를 만족시키는 좌표평면 위의 점 의 개수와 같다.
이므로 점 는 제사분면 또는 제사분면 위의 점이다.
조건 (가)에서 ≤ ≤ , ≤ ≤ 조건 (나)에서 점 가 제사분면 위에 있을 때
≤ 이므로 ≤
을 만족시키는 점이고, 점 가 제사분면 위에 있을 때
이므로
(∵ )을 만족시키는 점이다.
O
그림과 같이 점 는 부분과 부분에 있는 점이다. (단, 점선과 축, 축은 제외한다.)
부분과 부분의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는 서로 같으므로 조건 (가), (나)를 만족시키는 점 의 개수는
와 로 이루어진 부분의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
( ≤ ≤ 는 정수)일 때 좌표가 정수인 점은 , , , ⋯, 이므로 개이다.
, , , ⋯, 이므로 구하는 순서쌍의 개수는
× 따라서
22) [출제의도] 등차수열 이해하기
등차수열 의 공차를 라 하면
따라서
23) [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 이해하기
점 과 직선 사이의 거리는
×
24) [출제의도] 절대부등식 이해하기
이므로
≥
×
(단, 등호는 일 때 성립한다.) 따라서 최솟값은
25) [출제의도] 원과 직선의 위치 관계 이해하기
직선 와 평행하고
절편이 인 직선의 방정식은 직선 가 원 에 접하므로 원의 방정식 에 를 대입하면
의 판별식을 라 하면
17
수학 영역
따라서
26) [출제의도] 연립이차방정식 이해하기
⋯⋯ ㉡⋯⋯ ㉠㉠, ㉡에서
∴ 또는
㉠에서 일 때 ,
일 때
∴ , (∵ , ) 따라서 ×
27) [출제의도] 등비수열 추론하기
공비를 라 하면 ,
∴
따라서
28) [출제의도] 나머지정리를 활용하여 문제해결하기
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에
를 각각 대입하면
,
이므로
∴ (∵ ≠ ) 그러므로
이므로
∴
이므로
∴ 따라서
29) [출제의도] 역함수를 활용하여 문제해결하기
은
, ,
함수 의 역함수가 존재하려면 일대일대응이어야 하므로
, , 이고
또는 ,
또는 ,
또는 ,
또는 이다.
따라서 집합 의 개수는 × × ×
30) [출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기
O
A C B
D
E
F
G
직선 , 이 축과 만나는 점을 각각 D, E라 하고 점 를 F 라 하자. 정사각형 OABC 의 넓이가 이므로 삼각형 DEF의 넓이는
∴ DE
직선 이 축과 만나는 점을 G라 하면 사각형 OGFE의 넓이 는 삼각형 OGF와 삼각형 OEF 의 넓이의 합과 같으므로
OE OG 이다.
OG 이므로 OE , OD
∴ D , E
직선 은 두 점 D, F를 지나므로 직선 의 기울기는
직선 은 두 점 E, F를 지나므로 직선 의 기울기는
두 직선 과 의 기울기의 곱은
×
이므로
≤ ≤ 이므로 일 때 최댓값
일 때 최솟값
를 갖는다.
∴
,
따라서
이므로
