임의의 시스템을 해석하기 위해 고려되는 주요 물리적이고 동적인 효과 (physical dynamic effects)를 규명하고, 보존 법칙 (conservation law)과 적절한 원리의 적절한 법 칙에 의해서 미분방정식과 대수적 방정식을 작성하고 , 그 방정식들을 계산하기 편리 한 방정식으로 줄이는 과정을 모델링 이라 한다.
동적 시스템 (Dynamic System) 입력
외란(Disturbances) 초기조건 (Initial Conditions)
출력
시스템의 거동 특성 인자 시스템의 응답특성
기계적인 시스템의 진동해석
-. 수학적 모델(mathematical modeling )에 의한 해석 과정 -. 실험적인 해석 과정
진동 시스템의 모델링
운동방정식의 해( Solution of the Equation of motion)
실제 시스템의 운동에 뉴턴의 제2법칙을 적용하면, 2계상미분 방정식(2nd – order ordinary differential equation)으로 표현할 수 있다.
F kx
x c x
m
상수들은 관성(inertia), 감쇠(damping), 복원력(restoring elastic forces)과 같은 물리적 변수들을 나타 내며, 시스템의 응답에 중요한 영향을 미친다
)
3
(
2
1
x a x a x f t
a
a1 : 관성(inertia), a2 : 감쇠(damping), a3 : 강성계수(stiffness coefficient)
f(t) :
힘 함수(forcing function)이라 하며,f(t) 0 :
비제차(: non-homogeneous)f(t) = 0 :
제차( homogeneous) 혹은 자유진동( free vibration)이라 한다.제차 미분방정식( Homogeneous differential Equation)
pt pt
pt
x t Ape x t Ap e
Ae t
x ( ) , ( ) , ( )
23
0
2
1
x a x a x a
2 3 0 0
2 1
3 2
1 1
pt
pt pt
pt
Ae a p a p a
Ae a pAe
a Ae
p a
1
3 1 2
2 2
2 1
3 1 2
2 2
1
2
, 4 2
4
a
a a a
p a a
a a a
p a
t p t
p
A e
e A t
x t x t
x ( )
1( )
2( )
1 1
2 2Case 1. p
1 p
2 이고 , p1, p
2 가 실수인 경우 즉a
22> 4a
1a
3인 경우.이 경우는 감쇠력이 상대적으로 큰 경우.
이러한 경우를 진동에서는 과감쇠계(Over damped system)이라 한다.
Case 2. p
1= p
2 이고, p1, p
2가 실수인 경우 즉a
22= 4a
1a
3 인 경우.이 경우를 임계감쇠계(critically damped system)라고 한다.
Case 3. p
1 과p
2가 공액 복소수(complex conjugate)인 경우.이 경우를 부족감쇠(underdmaped system)이라 한다
Case 1. : 서로 다른 실근(Real distinct roots)
p
1과p
2가 양의 수인 경우 해 x(t)는 지수 함수적으로 증가한다.p
1과p
2가 음의 수인 경우 해 x(t)는 지수 함수적으로 감소한다.예
x 4 x 3 x 0
초기조건0 ) 3 )(
1 (
0 3 4
0 )
3 4 (
0 3
4
2 2
2
p p
p p
Ae p
p
Ae pAe
Ae p
pt pt pt
pt
t t
p t
t
p
A e x t A e A e
e A t
x
1( )
1 1
1,
2( )
2 2
2 30 ,
2
00
x
x
t
t
e
e t
x ( ) 3
3
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-15 -10 -5 0 5 10 15 20
x1 x2 x
Displacement (mm)
time (sec)
t=0:0.1:1;
x1=exp(t);
x2=exp(3*t);
x=3*x1-1*x2;
data=[t',x1',x2',x'];
plot(t,x1,t,x2,t,x);
t
e
pt c c t
x ( ) (
1
2)
1Case 2. 중근인 경우
0 9
6
x x x
예
초기조건x
0 0 , x
0 3 te
tt
x ( ) 3
3
t=0 : 0.1 : 2 ; x=3*t.*exp(-3*t);
data=[t',x'];
plot(t,x);title('Case 2, Double Root');gtext('x');
xlabel('time (sec)');ylabel('x (mm)');grid on;
case 3. 공액 복소수근(Complex Conjugate Roots)
( )
)
( t A
1e
( i )tA
2e
i te
tA
1e
i tA
2e
i tx
t e C t C t
x
t 1cos
2sin )
sin(
)
( t Xe
t
x
t0 50
2
5 x x x
예 초기조건
x
0 0 . 01 , x
0 3
0 50 2
5
0 )
50 2
5 (
2 2
p p
Ae p
p
pta i
a a a
p a
a i
a a a
a p
156 . 3 2 . 5 0
* 2
50 5 4 4 2 2
4
156 . 3 2 . 5 0
* 2
50 5 4 4 2 2
4
1
3 2 1
2 2
2
1
1 3 22
2 1
C t C t
e
t C
t C
e t x
t t
156 . 3 sin 156
. 3 cos
sin cos
) (
2 1
2 . 0
2 1
) 156
. 3 sin(
)
( t Xe
0.2t
x
t 0 . 9512
0.2sin( 3 . 156 0 . 6023
)
x t e
tt
t=0 : 0.1 : 20 ;
X=0.9512; fi=0.6023 ;
x=X.*exp(-0.2*t).*sin(3.156*t+pi);
plot(t,x);title('Case 3, Complex conjugate Root');
xlabel('Time(sec)') ; ylabel('x (mm)'); grid on;
상수 계수를 갖는 비제차 미분방정식의 해
)
1
(
2
1
x a x a x f t a
p
h
x
x x
1
0
2
1
a x a x a x
x
h
)
1
(
2
1
x a x a x f t
a
x
p te
tx x 4
3 x
0 0 . 01 , x
o 0
0
4
hh
x
x x
k X sin( 2 t )
t te
tf
3 t tte
te
tdt f e d
dt te
df
3 32 2 3
3
, 9 6
3
t
t
f t e
te t
f ( )
3,
1( )
3t t
p
k f t k f t k te k e
x
0( )
1 1( )
0 3
1 3
tp
t t
t t p
e t k k
k x
e t k k
k e
k e
te k x
3 0 1
0
3 0 1
0 3
1 3
3 0
9 9
6
) 3 3
( 3
) 3
(
6 k
0 9 k
1 9 k
0t e
3t 4 k
0t k
1 e
3t te
3t0
13 6
1 13
1 0
0
k k
k
13 ) ( 6
13 1
13 6 13
1 13
1
) (
3 3
3 3
3 1 3 0
t t
t t
t t
p
e te
e te
e k te
k x
169 6 13
1 13
6 13
, 6 13
1
0 1
0
k k
k
13 ) ( 6
13 ) 1 2
(sin
3t 3tp
h
x X t te e
x
x
169 cos 5
2 0
169 sin 6
01 . 0
0 0
X
x
X x
초기조건을 대입하면
13 ) ( 6
13 ) 1 993 . 71 2
sin(
04784 .
0 t te
3te
3tx
-. 진동계는 위치에너지 를 축적하여 질량의 운동(진동)형태의 운동에너지로 발산하는 구성요소로 이루어져야 하며,
-. 질량의 운동은 그 운동에너지를 스프링과 같은 위치에너지를 축적하는 요소에 내어주게 된다.
-. 여러 가지 기계와 structural system은 1 자유도계로 이상화시킬 수 있다.
-. 실제계(real system)는 대부분 질량이 분포되어 있지만, 해석을 간단히 하기 위해서 한 지점에 집중된 단일질량으로 근사화시킬 수 있다.
1자유도의 자유진동
자유 비감쇠 진동(free undamped vibration)
-. 한 질점의 운동을 표현하는 기본적인 운동학적 양은 변위, 속도, 가속도 벡터 -. 스프링-질량계(spring-mass system)
m
l0
mg
k
m
0 or
mg k mg
k
정적평형 조건(static equilibrium condition)
질량의 운동량 변화율은 그 질량에 작용한 힘과 같다.
질량에 가해지는 합력=질량
가속도x 병진운동 dt m
x m d dt
m dx dt t d
F
22) (
회전운동
dt m m d dt
J d dt t d
M
22) (
운동방정식 유도 과정
1. 질점 또는 강체의 위치를 표시하기에 적합한좌표를 선정
질량 또는 강체의 중심의 선운동 표시에는 선좌표, 강체의 각운동 표시에는 각좌표를 사용 2. 계의정적평형 형상을 결정한 후, 이 정적평형 위치에서 시작해 질점 또는 강체의 변위를 표시 3.자유물체도를 그린다.(모든 작용력과 반작용력을 표시)
4. 자유물체도에Newton의 운동 제2법칙을 적용한다.
운동방정식을 구하기 위한 다른 방법
D’Alembert의 원리 동적 평형
0 )
( 0
)
( t m x M t J F
가상변위의 원리
한 조의 힘들이 작용하고 있는 중에 평형상태에 있는 계가 가상변위를 받게 되면 그 힘들이 하는 전체 가상일은 0이 된다.
가상일은 가상변위 때문에 관성력을 포함한 모든 힘에 의해서 행해지는 일
스프링 힘에 의해서 행해진 가상일 관성력에 의해서 행해지 가상일
kx x
W
s
m x x
W
i
모든 힘들에 의해서 행해진 전체 가상일을 0으로 놓으면
0
0
kx x
m
x kx x
x m
m
x
kmg m
x m
m
) (x
k
m x mg kx k
) (
k x F
s 0
kx x
m
0
x m x k
2
0
x x
스프링력
정적평형조건 적용
: 고유진동수[rad/sec]
고유진동수(natural frequency)
0 )
( p
2
2Ae
pt
p
2
2 0
p i
i
p
1
2
t B
t A
x cos cos ) sin(
X t x
A B B
A
X
2 2, tan
1
Ae
ptx
라 가정하고 이를 식(1)에 대입한다1자유도의 자유진동
k
m
2 2
m f k
2
1 2
1
0 2 4 6 8 10
-2 -1 0 1 2
Displ acement (m m)
Time (sec)
진동의 고유주기(Natural periodic of Oscillation)
자유응답(free response)
스프링-질량계의 운동을 단순조화운동(sipmle harmonic motion)이라 한다.
문)
자동차의 바퀴, 타이어, 현가장치는 근사적으로 1자유도 스프링 질량 시스템으 로 모델링할 수 있다. 자동차의 질량은 약 300kg으로 측정되었고, 진동수는 10rad/s이다. 바퀴, 타이어, 현가장치의 강성은 얼마인가?
해) 진동수
n, 질량 m, 강성 k 사이의 관계는
이다. 따라서
이다. 이것은 복잡한 장치의 강성을 간단히 측정하는 방법을 보여준다.
예제 1
m
n
k
10 rad/s 3000 N/m
) kg 300
(
22
m
nk
예제 2
(a)의 경우 운동방정식은
이므로 고유진동수
ω
n는이다. (b)의 경우 운동방정식은 그림으로부터 다음과 같이 구할 수 있다.
따라서 고유진동수
n 는이다.
k
1= k
2= 2k
이기 때문에 고유진동수는 다음과 같다.따라서 고유진동수의 비율은 1:2이다.
k L
m m
½ L
½ L
k
1k
2(a) (b)
x
x
그림과 같은 시스템의 고유진동수를 구하고 비교하 여라. 단, 스프링 상수는 스프링의 권수에 역비례 한 다고 가정한다.
0
kx x
m
k m
n
m k k
n
2 1
k m
n
4
m
k
2x x k
1x
ma
=
1 1 2
20
2 1
x k k
x m
x k k
x k x
k x
m
예제- 단위 환산 문제
예) 길이가 250 mm 이고, 단면의 크기가 6
6mm인 강으 로 만들어진 외팔보가 있다고 가정하자. 외팔보의 자유단 에 40kg의 질량이 붙어 있다. 질량을 살짝 움직인 후 놓았 을 경우의 고유진동수를 구하라.풀이) 외팔보의 질량은 매우 작다고 가정한다. 질량 m 에 의해서 외팔보의 끝단에서의 변위는
=PL
3/3EI
이다.작은 진동에 대하여 외팔보는 탄성적으로 거동하기 때문에 스프링 상수 k는
k = F/ = 3EI/PL
3 N/m이다.보의 관성 모멘트 I 는 0.006ⅹ0.0063/12 =1.08ⅹ10-8 m4 이고, 강의 탄성계수 E는 2105 MPa이다.
자유 비감쇠 진동의 운동방정식은
이고, 고유진동수
n는 다음과 같이 구한다.m
0
kx x m
rad/s 55
. 10 2
8 . 64
kg 40 m
25 . 0
m 10 08 . 1 Pa 10 10
2 3
3
5 6 10 43
m L m EI
n
k
에너지 보존(conservation of energy)
보존계인 경우에는 모든 에너지의 합이 일정하므로 에너지 보존 법칙을 이용하여 미분 방정식
(운동 방정식)을 유도할 수 있다.
비감쇠계의 자유 진동에서는 에너지는 운동에너지와 위치 에너지로 나누어 진다.
운동에너지(kinetic energy) :-. 질량의 운동에 의한 것이며, 속도에 의하여 질량에 저장된다.
변위 에너지 혹은 위치 에너지(strain energy or potential energy)-. 탄성 변형에 의한 탄성에너지의 형태로 저장되거나 중력장 등에서 행하여진 일의 형태로 저장된다.
2
2 1 m x
T
2
2 1 kx U
보존계에서는 모든 에너지의 합이 일정하므로 그 변화률은 다음과 같이 0이 된다.
0
.
T U
dt const d
U
T
예제
2 02 2 1
2 1
2 1 2
. 1 P.E .
K.E
2 2 2
1
2 2 2 2
2 1
kr mr
J
kr mr
dt J d dt
d
eq eq 2
2 1
2 2
1 2
2
Mass
Effective
Mass Equivalent
) 2 (
1
2 ) 1 2 (
1 2
1 2
1
M M mr
J
J r
m J
x m T
운동에너지
eq eq 2
2 2 2
2
Stiffness
Effective
Stiffness Equivalent
) 2 (
1 ) 2 (
1
K K kr
r k
U
위치에너지
)
(
122 2
mr J
kr M
K
eq eq
n
고유 진동수
22 0
2
1
mr kr
J
풀이) 뉴우톤의 운동법칙
전체 유체의 질량 m : (체적밀도=AL)
높이 x에 의해 발생하는 힘 F = 유체의 무게 = (체적밀도중력)= 2xAg
에너지 방법
예제
22
2 1 2
1
m x
LA x
예) 유체 실험실에서 사용되는 압력계는 균일한 단면 A를 갖는다.
만일 그림과 유체가 채워져 있는 길이가 L이고 밀도가
로 설정되었을 때에 야기되는 진동의 주파수와 주기를 구하라. x
x
x
x LA g
Ax
x m F
2 2 0
2 0
x
L x g LA x
g
x A
rad/s]
2 [ L
g m
k
n
주기
2 sec 2 2
g L
n
g Ax x x
g
mx
2 2Ax
2 2
21 2
1
위치 에너지 =운동 에너지 = 고유진동수
n0 2
) P.E.
K.E.
( LA x x A gx x dt
d 2 0
x L x g
2
rad/sec
L g
n
Rayleigh의 방법
-. 주어진 시스템이 에너지 보존계에 있다고 가정.
-. 운동에너지
0 at 최대 변위(maximum displacement) , Maximum at 정적평형상태(static equilibrium point).
-. 위치에너지 는 운동에너지와 역의 관계가 성립된다.
(운동에너지)
max= (위치에너지)
max= 주어진 시스템의 총 에너지
-. 최종적으로 구하여진 식(resulting equation)으로부터 쉽게 시스템의 고유진동수를
구할 수 있다.
축의 비틀림 스프링 상수
축의 내부에 저장되는 토르크
비틀림계( Torsional System)
축은 엔진, 터빈, 그리고 헬리콥터 로터 시스템과 같은 많은 기계 시스템에 서 토크를 전달하기 위하여 사용된다
t
t
T T K
K
GJ T
K
t GJ
K GJ M
a
t
eff
a
M
M
0
K
tI
GJ l I
K
t
K GJ
T
t
t
외부에서 가해지는 토르크에 의한 모멘트는
운동방정식
고유진동수
t A
1sin t A
2cos t sin t
운동방정식의 해g WD hD
dr hr r h hr
d r dV
r dm
r
I ( 2 ) 2 2 32 8
2 4
4 3
2 2
2
Torsional System
0
K t I
GJ I I
K
t
운동방정식 고유진동수
t A
1sin t A
2cos t sin t
운동방정식의 해
32 d
4J
주기
GJ Il K
I
t n
2 2 2
고유진동수
l WD
d gG g
l WD d G I
f
nK
t 24 2
4
2 4 32 8
2 1 2
1 2
D: 원판의 직경, h : 원판의 높이, ρ: 밀도, W : 원판의 무게
원판과 원기둥의 질량관성모멘트
예제
sec 14 . 2 28 sec
60
문) 원판이 1분 동안에 28회의 완전 사이클을 하고 있다. 철사를 10º비트는데 T = 0.982kg•cm 가 필요하다. 이때 원판의 질량관성모멘트는 얼마인가?
Ans.) 1cycle당 시간은
t
n
K
I
2 2
sec
2/ cm kg
629 . 5 10 180
982 .
0
K
tT
로부터
2 2
2
s cm kg
654 . 2 0
14 . 629 2
.
2 5
K
tI
진자 운동
I
mgl
sin
mg
mg
= I
2 sin ml
mgl
0 sin
g l
0 sin
l
g
I M a
각속도 l
g
n
각 진동수
l f g
2
1
주기 g
l
2 2
) (sin
2 0
2
2
r dm md
md I
I
l c
o
운동방정식
그림과 같은 진자의 고유진동수를 구하라.
막대 진자의 운동
I
o mg l
sin 2
0 2 sin
mg l I
o
) sin
( 가 매우 작다고 가정하면 2 0
3
2
mg l ml
2 0
3
l
g
l f g
l g
n
2
3 2
1 2
2 3
m l O
I
o=
mg
O
극질량 관성 모멘트
y dy
l Al A l
dy A dm
m
l
l l
l
2 2
2
2 2
2
md
2I I
o
c
12 12
8 2 3 2
2 3
3 ) (
2 3
3 3 2 3
2 3 2
2 2
2 2
2
ml Al
l A l
l A A y
dy y A
dy y A Ady
y dm
r I
l
l l
l c
3 12
3 2
12
2 2
2 2
2
l ml ml ml
ml m
I
o
O I
자유 감쇠 진동
k c
x m m
x
x k c
mg
점성 댐퍼가 있는 시스템과 자유물체도
x c F
d
) (
mg c x k x x
m
0
c x kx x
m
0 )
( mp 2 cp k Ae pt
2 cp k 0 mp
2
0
m p k
m p c
감쇠력
운동방정식
특성방정식
자유 감쇠 진동(Free damped vibration)
자유 감쇠 진동의 해
mk m c
m
p c 4
2 1 2
2 2
,
1
t p t
p
Be
Ae
x
1
2일반해
c m t c m t
t m
c
Ae Be
e x
2
2 2
2 2
괄호 안의 항들의 거동은 근
호 안의 값이 양수, 0, 음수 어 느 값을 가지게 되는가에 따 라 달라지게 된다.
단순히 시간에 따라 지수적으로 감소하는 함수이다.
2
0
m p k
m
p c 근의 공식 적용
자유 감쇠 진동 - 무차원 함수
모든 감쇠는 무차원(dimensionless)의 감쇠비(damping factor)
로 표현할 수 있다.
(2-64) 여기서
c
c는 임계 감쇠비(critical damping coefficient)이며, 다음과 같이 정의된다.(2-65)
(2-67) 진동에 관련된 특성치들을 대입하여 운동방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.
(2-68) 또한, 근도 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
(2-69)
c
c c
km m
c
c 2 2
p
n
21
2 , n 1
c
m c m
c
2 2
0 ) ( )
( 2 )
( t x t
2x t x
2
1
2 ,
1
p
>1이면 p
1, p2는 두 개의 서로 다른 실수이다. =1
이면 p1, p2 는 서로 같은 값을 갖는다. <1
이면 p1, p2 는 두 개의 서로 다른 허수이다.판별식
2
1
-. 인 경우
-. 이 경우 판별식은 양이고 , 다음과 같은 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다.
-. 운동방정식의 해는
-. 비진동(non-oscillatory) 응답을 나타낸다.
과도 감쇠운동 (Overdamped motion)
1
) (
)
( t e t a 1 e
21 t a 2 e
21 t x
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -0.3
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
0.3 x
0=0.3, v
0=0
x
0=0, v
0=1 x
0=-0.3, v
0=0
Di sp lace m ent ( m m )
time (sec)
-. 인 경우
-. 이것은 진동운동과 비진동 운동을 구별하는 값에 해당된다.
-. 근이 반복되기 때문에
-. 해 는 다음 형태가 된다.
-. 이 경우의 시스템의 응답도 아래에
나타난 그림과 같이 진동을 하지 않으며 , -. 초기 속도의 방향에 시스템의
응답 특성이 많은 영향을 받는다.
임계 감쇠계(Critically Damped motion)
1
21
p
p
e t
t a a
t
x ( ) ( 1 2 )
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0
0.3 0.6 0.9 1.2
v = 0 v = 1 v = -1
Dis pla ce me nt (mm)
Time (sec)
-. 인 경우
-. 근은 컬레 복소수 쌍이 된다
-. 인 관계를 이용하면, 근은 다음과 같이 된다.
-. 운동방정식의 해
-. 오일러의 관계를 이용하면 이것을 다음과 같이 쓸 수 있다.
부족 감쇠 운동(underdamped motion)
1
2 2
,
1 i 1 p
1
2
d i d
p 1 , 2
) (
)
( t e t a 1 e i 1
2t a 2 e i 1
2t x
) sin(
)
( t Xe t
x t d
0 5 10 15 20
-0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8
v = 1 v = -1 v = 0
Displac eme nt (mm)
Time (sec)
대수 감소율(Logarithmic Decrement)
-. 부족 감쇠 진동에서 변위는 조화진동을 하면서 진폭은 시간에 따라 감소하다.
-.
i
번째 피크의 변위를 정의하는 식0 5 10 15 20
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
Displacement (mm)
Time (sec)
-. 이 방정식은 1자유도계의 부족 감쇠 운동의 감쇠 계수를 실험적으로 구하는데 사용된다.
-. 이것은 연속적인 주기의 진폭을 비교하여 감쇠계 수를 구하는 것이다.
-. 식(2-101)은 i번째 피크값을 나타내기 때문에, 시 간이 인 그 다음에 일어나는 번째 진폭 은 다음과 같이 주어진다.
) 2 (
1
1
ti di
Xe
x
d d
i i
e Xe
Xe x
x
t t
i
i
2 ( )
2
1
1
1
d
i i
x x
1
ln
21
1
ln 2
i i
x x
: 대수 감쇠율(logarithmic decrement)
ti
i
Xe
x 1
2 d
t
i ( i 1 )
-. 두개의 연속적인 진폭의 비는 상 수(constant)이다
진동의 단위
진동 주파수 (frequency):
-. 단위 시간당 진동현상이 반복되는 사이클의 수로 정의 -. Hz(Hertz, cycle/sec)
고유 원 진동수(natural circular frequency) : ω [rad/sec]
자동차에서 발생되는 대부분의 진동현상을 측정하는 경우에는 가속도계를 이용해서 가속도 및 가속도에 의한 진동레벨(vibration level, dB)을 측정하여 결과를 분석하는 방식이 주로 사용
진동레벨 : dB(decibel)
m 10
1 ,
20log
m/s 10
1 ,
log 20
m/s 10
1 ,
log 20 )
(dB
12 9
2 6
ref ref
ref ref
ref ref
