3차원 강체의 평형 (5.5 – 5.7절)

3차원 강체의 평형 (5.5 – 5.7절)

교육 목표:

) 3-차원에서 지지 반력을 학습하고, 자유물체도를 그리고,

b) 평형방정식을 적용하는 것을 학습한다.

수업내용:

• 예습확인 퀴즈

• 응용 예

• 3-D에서 지지 반력

• 평형방정식

• 개념 확인 퀴즈

• 집단문제해결 능력 개발

• 주의 환기 퀴즈

예습확인 퀴즈

1. 한 지지부가 어떤 축에 관한 물체의 회전을 막고 있다면, 그 지지부는 물체에 그 축에 관한 _____ 을 미치게 된다.

A) 우력 모멘트 B) 힘

C) A와 B 모두. D) 위의 어느 것도 아님

2. 3-D 강체 문제를 해석할 때, 통상 몇 개의 스칼라 평형방정식을 사용할 수 있는가?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

- 2차원 강체 문제 해결에는 몇 개의 스칼라 평형방정식을 사용할 수 있는가?

응용 예

볼-소켓 연결부와 저널 베어링이 기계 시스템에 종종 사용되고 있다.

주어진 하중에 대하여, 어떻게 이들 지지부에서의 지지 반력을 구할까?

3-D에서 지지 반력 (표 5-2)

일반적으로, 만약 어떤 지지부가 주어진 방향으로 물체의

이동(translation)을 막으면, 그 반대방향으로 작용하는 반력이 그 물체에 발생한다. 마찬가지로,

만약 회전(rotation) 을 막으면, 우력 모멘트가 지지부에 의해 물체에 발생(작용)하게 된다.

3차원 지지 반력의 몇 가지 예를 볼 수 있고, 다른 지지 반력은 교과서 표 5-2(p. 254)를 참조할 것.

중요 사항

단일 베어링이나 힌지의 사용은 우력 모멘트를

가함(발생)으로써 회전을 막을 수 있다. 대개 두 개 이상의 잘 정렬된 베어링 혹은 힌지를 사용하는 것이 바람직하다. 따라서, 이런 경우에는 단지 힘 반력 만이 발생하고 모멘트 반력은 생성되지 않는다.

3-D에서 지지 반력 (예제 5-14)

3차원에서 평형방정식 (5.6절)

언급한 바와 같이, 어떤 강체가 평형상태에 있으면, 그 강체에 가해진 순 힘과 순 모멘트는 0이 되어야 한다. 즉,  F = 0 와  M_O = 0 .

이들 2 개의 벡터방정식은 6개의 스칼라 평형방정식으로 표기될 수 있다.

 F

M

모멘트 식은 부재내 어떤 점에 관해서도 적용할 수 있지만, 대개, 최대 미지수가 작용하는 점을 취함으로써, 해를 보다 간단하게 구할 수 있다. 왜냐하면 미지수들이 그 점을

지남으로 인해 모멘트 식에 나타나지 않기 때문이다.

강체의 구속 (5.7절)

과잉(여분)의 구속(Redundant Constraints): 강체가 평형을 유지하는데 필요한 것보다 많은 지지를 받을때,

부정정(statically indeterminate) 구조가 된다.

부정정 문제는 평형방정식보다 많은 미지수를 갖는다.

부정정 구조물이 실제로 사용되고 있는가? 그렇다면 왜?, 만약 그렇지 않다면 왜?

부적절한 구속

대부분의 경우, 평형방정식에 해당하는 만큼의 미지수가 있다. 그러나, 만일 지지부가 부적절하게 구속되어 있으면, 물체는 어떤 하중형태에 대하여는 불안정하게 된다.

여기, 6개의 미지수를 갖지만, 어떤 것도 x-축에 관한 회전을 구속하지 못한다.

부적절한 구속

대부분의 경우, 평형방정식에 해당하는 만큼의 미지수가 있다. 그러나, 만일 지지부가 부적절하게 구속되어 있으면, 물체는 어떤 하중형태에 대하여는 불안정하게 된다.

여기, 6개의 미지수를 갖지만, 어떤 것도 x-축에 관한 회전을 구속하지 못한다.

부적절한 구속

평형방정식의 수보다 물체에 작용하는 반력이 적은 경우 불완전하게 부분적으로 구속됨.

반력이 모두 평행한 경우, 두 경우 모두 x-축 방향의 힘의 합은 0이 되지 않는다.

1. 반력의 작용선이 동일 축 위 의 점들과 교차해서는 안됨.

2. 모든 반력이 서로 평행 해서는 안됨.

적정 구속 : 정정구조

요 점

1. 항상 자유물체도를 가장 먼저 그린다.

2. 지지부가 어떤 특정한 방향으로 물체의 병진운동을 저지한다면 지지부는 그 방향으로 물체에 힘을

작용한다.

3. 어떤 축에 대한 회전이 저지된다면 지지부는 물체에 그 축에 대한 우력 모멘트를 작용한다.

4. 사용할 수 있는 평형 방정식보다 물체가 더 많은 미지의 반력을 받을 때 이 문제는 부정정이 된다.

5. 물체가 불안정한 상태에 있지 않기 위해서는 반력의 작용선이 동일 축과 교차해서는 안 되며 서로

평행해서도 안 된다.

예제

주어진 내용: 타워 크레인의

케이블이 840 N을 받고 있다.

A에서 고정지반이 크레인을 지지한다.

문제: 고정 지반 A에서 반력을 구하라.

풀이 과정:

a) x, y 및 z 축을 확립한다.

b) 크레인에 대한 FBD를 그린다.

c) 직교벡터 개념을 사용하여 힘을 표시한다.

d) 미지력을 구하기 위해 평형방정식(벡터 판)을 적용한다.

예 제 (계속)

r _BC = {12 i + 8 j  24 k} m F = F [u_BC ] N

= 840 [12 i + 8 j  24 k] / (12² + 8² + (– 24² ))^½ = {360 i + 24 j  720 k} N

F_A = {A_X i + A_Y j + A_Z k } N

힘에 관한 평형방정식을 적용하면, F + F_A = 0

{(360 + A_X) i + (240 + A_Y) j + (-720 + A_Z ) k} = 0 각 성분에 대하여 평형방정식을 풀면,

A

=  360 N , A

=  240 N 와 A

= 720 N.

예 제 (계속)

A점에 작용하는 모멘트의 합을 구하면,

 M = M_A + r_AC  F = 0 _{i j k} 15 10 0 360 240 -720

= 0

= M_AX i + M_AY j + M_AZ k - 7200 i + 10800 j = 0 M_AX = 7200 N · m, M_AY = -10800 N · m, M_AZ = 0

주의: 문제를 간단히 풀기 위해, 직접 세 개의 스칼라 모멘트 방정식을 사용해도 된다.  M_X =  M_Y =  M_Z = 0

= M_AX i + M_AY j + M_AZ k +

예 제 (계속)

개념 확인 퀴즈(예제 5-18)

1. 봉 AB가 B점에서 두 개의 케이블과 A점에서 볼-소켓 조인트로 지지되어 있다.

이 문제에서 몇 개의 미지 지지 반력이 존재하는가?

A) 5개 힘과 1개의 모멘트 반력 B) 5개 힘 반력

C) 3개 힘과 3개의 모멘트 반력 D) 4개 힘과 2개의 모멘트 반력

2. 만약 부가적인 우력 모멘트가 수직방향으로 봉 AB의 C점에 작용하면, 봉은 어떻게 될까?

A) 케이블이 필요한 지지 반력을

제공함으로 봉은 평형상태로 남아 있다.

B) 볼-소켓 조인트가 필요한 지지

반력을 제공함으로 봉은 평형상태로 남아 있다.

C) 케이블이 압축력을 지지할 수 없으므로 봉은 불안정하게 된다.

D) AB에 관한 모멘트는 구속될 수 없으므로 봉은 불안정하게 된다.

개념 확인 퀴즈 (계속)

해결 능력 배양 문제

문제: 어떤 봉이 A점에서 볼-소켓 조인트와 C점에서 짧은 링크로 지지되어

있다. 봉은 잘 정열되어 있다고 가정하라.

보여진 하중에 대하여 모든 지지부에서 반력을 구하라.

풀이 :

a) 봉의 FBD를 그려라.

b) 미지수를 구하기 위해 스칼라 평형방정식을 적용하라.

적절한 순서로 평형방정식을 적용하면,

 M_Y = 2 (0.2) – F_C ( 0.2) = 0 ; F_C = 2 k N

 F _Y = A_Y + 1 = 0 ; A_Y = – 1 k N

 M _Z = – 2 (1.4) - B_X ( 0.8 ) = 0 ; B_X = – 3.5 kN A_Z

A_y

Z

A_X X

B_Z

B_X 2 kN

봉의 FBD:

Y

F_C

1 kN

문제 해결 능력 배양 (계속)

 F_X = A_X – 3.5 + 2 = 0 ; A_X = 1.5 kN

 M_X = – 2 ( 0.4 ) + B_Z ( 0.8) + 1 (0.2) = 0 ; B_Z = 0.75 kN

 F_Z = A_Z + 0.75 – 2 = 0 ; A_Z = 1.25 kN A_Z

A_y

Z

A_X X

B_Z

B_X 2 kN

봉의 FBD:

Y

F_C

1 kN

문제 해결 능력 배양 (계속)

연습문제 5-15

균질한 판의 질량은 100 kg, 끝단에 힘과 우력모멘트가 작용한다. 롤러 A, 볼조인트 B, 줄 C에 의하여

지지될때 반력성분은 ?

연습문제 5-16

축과 중심이 잘 맞춰진 트러스트

베어링 A와 매끈한 저널 베어링 B가 윈치를 지지하고 있다. 질량이 100 kg 인 두레박의 평형을 유지하기 위하여 손잡이에 가해야 할 수직력 P를

구하라. 그리고 베어링의 반력도?

(스칼라 해석으로 풀 것.)

연습문제 5-17

기둥에 대하여 케이블 BC와 BD에 작용하는 장력과 볼조인트 A의 반 력을 구하라. 벡터해석으로 풀 것.

기둥 AB는 이력부재?

연습문제 5-19

굽어진 봉이 A의 저널 베어링과 D의 볼조인트 그리고 B에서 케이블 BC에 의하여 지지되고 있다. 하나의

평형방정식만으로 케이블의 장력을 직접 구하라. 벡터해석으로 풀 것.

주의 환기 퀴즈

1. 한 평판이 A점에서는 볼-소켓 조인트에 의해, B점에서 롤러 조인트, C점에서는 케이블에 의해 지지되어 있다.

이 문제에는 얼마나 많은 미지의 지지 반력이 있는가?

A) 4개의 힘과 2개의 모멘트 B) 6개의 힘

C) 5개의 힘

D) 4개의 힘과 1개의 모멘트

2. 힘 반력 B_Z을 구하기 위한 가장 쉬운 방법은?

A) 스칼라 식  F_Z = 0 B) 벡터 식  M_A = 0 C) 스칼라 식  M_Z = 0 D) 스칼라 식  M_Y = 0

주의 환기 퀴즈