이고, 이 그래프가 점를 지나므로 

(1)

2018학년도 수시 전공적성평가 문제정답 및 해설(오후)

1.정답: ②

풀이>    이 성립하려면       이 성립해야 한다.

      ∴  

            에서        ∴   



따라서      

 이므로     이다.

- 출제의도 : 두 함수가 같은 조건 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 함수

2.정답: ②

풀이> 무리함수  ^   의 그래프를  축의 방향으로   만큼 평행이동하면  ^     이고, 이 그래프가 점    를 지나므로  ^   , ^   ∴  

- 출제의도 : 무리함수의 그래프 - 교육과정 범위: 수학 Ⅱ- 무리함수

3.정답: ②

풀이>



^ ^^_{ ×}^^ ^ ^{ }^^{  }^ ^{× }^{ }^^ ^{이 유리수이므로}

     ≥ 인 정수 ,    은자연수

따라서     ⋯      ⋯이므로       일 때,   의 최솟값은  이다.

문제 1번 2번 3번 4번 5번 6번 7번 8번 9번 10번

정답 ② ② ② ④ ① ③ ④ ③ ① ①

문제 11번 12번 13번 14번 15번 16번 17번 18번 19번 20번

정답 ④ ① ② ③ ④ ② ① ③ ④ ①

문제 21번 22번 23번 24번 25번 26번 27번 28번 29번 30번

정답 ① ④ ② ③ ② ④ ① ② ② ③

(2)

- 출제의도 : 거듭제곱근의 성질 - 교육과정 범위: 수학 Ⅱ- 지수

4.정답: ④

풀이> 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 log_  log_   이다.

log_   ∴   ^ 

- 출제의도 : 로그의 성질 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 로그

5. 정답: ①

풀이> 주어진 로그가 정의되려면 진수의 조건을 만족해야 하므로  ^      , ^     ,      

따라서      범위 안에 있는 정수  는         이므로  개이다.

- 출제의도 : 로그의 정의 조건 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 로그

6. 정답: ③

풀이>



^^^{ }





^의 전개식의 일반항은 __^^{  }



^





^^^^^^^{  }^^{  }^이다.

따라서 ^항은      에서    일 때이므로 ^의 계수는 __× ^  이다.

- 출제의도 : 이항정리의 계수

- 교육과정 범위: 확률과 통계 – 이항정리

7. 정답: ④

풀이> 두 사건 가 독립이므로 ^도 독립이다.

∩^ ^   

_{  }



 ∴_{  }





따라서   이므로 _{  }



 이다.

- 출제의도 : 조건부 확률과 독립사건

- 교육과정 범위: 확률과 통계 – 조건부 확률

(3)

8. 정답: ③

풀이> 두 점     을 잇는 선분 을    (   )로 내분하는 점 의  좌표는   

  

이므로     

  

     

    , 따라서

함수   의 그래프는 아래 그림과 같이 제  사분면을 지난다.

^



O

       



 



 

- 출제의도 : 유리함수의 그래프 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 유리함수

9. 정답: ①

풀이> 주어진 함수가 실수 전체의 집합 에서 로의 일대일 대응이므로

     의 그래프는    을 지나는 직선이다. 따라서    에서   

 이다.

- 출제의도 : 무리함수의 그래프 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 무리함수

10. 정답: ①

풀이> 함수     는 최고차항의 계수가  인 이차함수이다.

두 함수   의 그래프의 교점의  좌표가  과  이므로              ^  이다.

 는    일 때 최솟값   을 갖는다.

따라서       이므로      이다.

- 출제의도 : 이차함수의 그래프 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 함수

(4)

11. 정답: ④

풀이>     

  

     

 이므로  ≤  ≤ 에서 곡선       

 과 두 직선

       의 그래프가 부등식  ≤   

  

≤  를 만족하려면 다음 그림과 같다.

_



O

     

  

  

  









 

 

• •

따라서  ≤ 

  ≥ 

 이므로  의 최댓값과  의 최솟값의 곱은



× 

 

 이다.

- 출제의도 : 유리함수의 그래프 - 교육과정 범위: 수학Ⅱ- 유리함수

12. 정답: ①

풀이>

lim

 →∞^^{  } 

×^ ^



lim

 →∞

   ×



^





^





^





^

 

  ∴  

- 출제의도 : 수열의 수렴과 발산

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 수열의 극한

13. 정답: ②

풀이> 자연수  에 대하여 곡선   ^  과 직선      이 만나는 점의  좌표는 ^      의 해이다. ^              ∴ _   . 따라서 _   이므로

lim

 →∞^ 

_^



lim

 →∞^ 

 ^

  이다.

- 출제의도 : 수열의 수렴과 발산

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 수열의 극한

(5)

14. 정답: ③

풀이>_{  }



^∞ ^^^{ }_{ }^  이 수렴하므로

lim

→∞



^^^{ } 





^{  이고}

lim

→∞

_

lim

→∞



^^^{ } 





^{ } 

    

 

 이다.

lim

 →∞ 

^_ 



lim

 →∞

  



_ 



 





 

 ,

lim

 →∞ 

^_ 



lim

 →∞

  



_ 



 





 



따라서 조임 정리에 의하여

lim

 →∞

_ 

 이다.

- 출제의도 : 급수의 수렴과 발산 - 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 급수

15. 정답: ④

풀이> 등비수열



  ^



의 수렴 조건에 의하여        ≤  ,      ≤   ,  ≤   



등비수열



   ^



이 수렴하는 실수  의 최솟값    이므로

_{  }



^∞



^





^^_{  }

^

^∞



^





^ ^{ }

  







 

- 출제의도 : 급수의 수렴과 발산 - 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 급수

16. 정답: ②

풀이> 함수  가    에서 연속이 되기 위해서는

lim

→

   이어야 한다.

lim

→ 

 

lim

→ 



^{ × }





  ,   ,

(6)

lim

→ 

 

lim

 →   

^ 

  이고 → 일 때 (분모)→

이므로 (분자)→ 이어야 한다.

따라서

lim

→ 

^        이므로   이다.

- 출제의도 : 연속함수의 성질

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 함수의 연속

17. 정답: ①

풀이>   ^ ^  라 하면,  ′   ^   이고, A 에서 접선의 기울기는  ′  이다. 두 점 A B 에서 접선이 평행하므로 점 B   에서 접선의 기울기는  ′    , ^    에서    ∵≠ ∴B  따라서 점 B   에서 접선의 방정식은     이므로 접선의 절편은  이다.

- 출제의도 : 접선의 방정식

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 도함수의 활용

18. 정답: ③

풀이> 정적분의 성질에 의하여 ′  ^  ∴ ′    , 따라서

lim

→

   

 

lim

 →

   

  ′   ×  이다.

- 출제의도 : 정적분과 미분과의 관계

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 부정적분과 정적분

19. 정답: ④

풀이> 



_^^{ }



_^  ^   에서 양변을  로 미분하면



_^     ^  ∴



_^  ^  다시 양변을  로 미분하면   

∴   

- 출제의도 : 정적분과 미분과의 관계

(7)

20. 정답: ①

풀이> 조건 (나)에서



_{ }^ ^{ }



_^ 이고, 조건 (가)에서



_^^{ }



_^^{이므로,}



_{ }^ ^{ }



_^ 이다.

∴



_{ }^ ^{ }



_{ }^ ^{ }



_^^{  }



_^   ×  

- 출제의도 : 정적분의 성질

21. 정답: ①

풀이>



_{ }^^{ }



_^   이므로



_{ }^    이다.

이차항의 계수가  인 이차함수를   ^    (  는 상수)라 하면,



_{ }^ ^{ }



_{ }^ ^^     



_^^^    







^ 









 

∴ 

    ∴  



   에서       이고,   

을 대입하면    

  ∴  



따라서 이차함수   ^ 

  

 이므로   이다.

- 출제의도 : 정적분의 성질

22. 정답: ④ 풀이>

lim

 →∞_{  }



^



^{  }





^^_^^^_→∞

^lim

_{  }

^

^



^{   × }





^^







_^^{  }^^{ }^_

- 출제의도 : 정적분과 급수

(8)

23. 정답: ②

풀이>  



  ^



의 그래프는 다음과 같으므로,





O

    

^



   



     

 







 









  

  

    

  

   

이고,  의 그래프는 다음과 같다.





O

  





• 

 •

ㄱ.

lim

→ 

   ∴참 ㄴ.

lim

 → 

   이고,

lim

→ 

   

lim

→ 

   이므로,

lim

→ 

     ×   ∴참 ㄷ.

lim

→  

  이고,

lim

→ 

   이므로

lim

 →

 는 존재하지 않는다.

따라서 는    에서 불연속이다. ∴ 거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ,ㄴ 이다.

- 출제의도 : 연속함수의 성질

- 교육과정 범위: 미적분 Ⅰ- 함수의 연속

24. 정답: ③

풀이>   ^ 라 놓으면  ′  ^ 이므로

점 P   에서의 접선의 방정식은        즉     이다.

접선이  축과 만나는 점 Q의 좌표는 Q   이고, 접선이 이 곡선과 다시 만나는 점의 좌표는 ^     에서

^       ^    

(9)

이므로    ∵  ≠ 이다. ∴R     

따라서 ^P Q 



^_^_{ }^^, ^P R 



^_^_{ }^_{ }^이므로 PR

PQ

 ^

^_

 

 이다.

- 출제의도 : 접선의 방정식

25. 정답: ②

풀이> 최고차항의 계수가  이고 조건 (가)를 만족하는 삼차함수는     ^   이고,  ′        ^이다.

함수   의 그래프는 <그림 1> 또는 <그림 2>가 된다.



  

 

  



<그림 1> <그림 2>

조건 (가), (나), (다)를 만족하는 그래프는 <그림1>과 같으므로, 는   에서 극솟값  

를 갖는다. 즉,  ′       

  ′         ^  에서          이므로      ∵≠ ⋯⋯①

    ^     

 에서 식 ①을 대입하면

    ^     

 이고, 정리하면   ^ 



  

 이므로      × 

 

따라서     ^  

 이므로    × 

  이다.

- 출제의도 : 함수의 극대와 극소

(10)

26. 정답 : ④

풀이>  ′  ^   ^         이므로

 는     에서 극솟값을 갖고,   에서 극댓값을 갖는다.

방정식  이 개의 서로 다른 실근을 가지려면

아래 그림과 같이 극댓값과 극솟값의 절대값이 같고 부호가 반대이다.

        이고,    이므로       ∴  



  



  



O

따라서   ^ ^  이므로    이 된다.

- 출제의도 : 함수의 그래프

27. 정답: ①

풀이> 곡선   ^위를 따라 두 점 와 사이를 움직이는 점  를  ^ 라 하자. 그림과 같이 선분 를 대각선으로 하는 직사각형의 가로의 길이 는   이고, 세로의 길이는   ^이므로 직사각형의 넓이

      ^이다.

점 는 두 점 와 사이를 움직이므로  의 범위는   ≤  ≤  이다.

      ^  ^ ^       ≤  ≤  의 최댓값을 구하면,

 ′  ^      에서    또는   



따라서      , 



^





^{ }

 이므로 최댓값 _{은 }



 이고

_{  × }



 이다.

- 출제의도 : 함수의 최대와 최소

(11)

28. 정답: ②

풀이> 확률변수 의 확률밀도함수를  라 하면 함수     의 그래프는 직선    에 대하여 대칭이므로 P ≤ ^  P ≥    이려면 ^과    의 평균이 6이어야 한다.



^  

  에서 ^        ,  는 양수 이므로    이다.

- 출제의도 : 정규분포 곡선의 성질 - 교육과정 범위: 확률과 통계 - 정규분포

29. 정답: ②

풀이> V   × 

× 

 , V_{  × }



× 

 



V  V  ^V Y  이므로    × 

 ∴  

- 출제의도 : 이항분포의 평균과 분산 - 교육과정 범위: 확률과 통계 - 정규분포

30. 정답: ③

풀이> 대학교 학생  명이 등교하는데 걸리는 시간을 확률변수 라 하면 는 정규분포  ^ 을 따른다. 확률변수 _{ }



 

은 표준정규분포 을 따른다. 등교하는데 걸린 시간이  분 이상일 확률은

≥ 



^ ^{≥ }

  



 ≥ 

   ≤≤ 

   

 

따라서 등교하는데 걸리는 시간이 50분 이상인 학생은  ×   이다.

- 출제의도 : 정규분포와 표준정규분포

- 교육과정 범위: 확률과 통계 - 정규분포