3장 연속형 확률분포
3.1 균일분포
확률변수
를 구간 내에서 임의로 선택된 한 점으로 정의할 때,
의는
≤
≤
≥
이 되고, 이로부터
의 는
′
≤
으로 주어진다. 이 분포를 연속형 균일분포(uniform distribution of continuous type)라 하고, 기호로는
∼
또는
로 나타 낸다.
～
일 때
,
이고,
의 는
≠
으로 주어진다.
특히,
～
일 때
,
이고
≠
이 된다.
3.2 정규분포
18세기 초 De Moivre는 인 경우의 이항분포가 이 점점 커질수록 다음의 곡선식에 가까이 수렴함을 보인 바 있다.
exp
, ∞ ∞19세기 초 Laplace는 ≠ 인 경우에도 위의 사실이 성립함을 보였는데, 이 분 포를 정규분포(normal distribution) 또는 가우스분포(Gaussian distribution)라 하 고, 기호로는
∼
으로 나타낸다. 여기서 ∞ ∞ 이고, 이 다.먼저 위 식이 의 조건을 만족하는 지를 보이면 다음과 같다. 즉,
제3장 연속형 확률분포
42
∞∞
exp
∞∞
exp
이라 할 때
∞∞
∞∞
∞∞
∞∞ exp
x y
dxdy이고, 다음의 극좌표(polar coordinate) 변환
cos sin
으로부터
∞
이다. 따라서,
이므로,
이다.
～
일 때,
의 는
∞∞
exp
∞∞
exp
exp
∞
∞
exp
x t
exp
이 되고, 이로부터
′
″
′ 임을 보일 수 있다.
특히, 인 정규분포 즉,
분포를 표준정규분포(standard normal distribution)라 한다.
∼
일 때,
의 는 ≡
∞ ∞
이고, 는 흔히
․ 대신 ․를 사용하여
≡
≤
∞
으로 나타낸다.
3.3 지수분포
포아송 가정(독립성, 비례성, 비집락성)을 만족하는 실험에서 단위시간당 평균적 으로 발생하는 사건의 수를 라고 할 때
첫 번째 사건이 발생할 때까지 걸린 시간으로 정의하면,
의 는
≤
시 구간 내에서 발생한 사건의 수
～
≥
제3장 연속형 확률분포
44
이 되고, 이로부터
의 는
′
≥
으로 주어진다. 이 분포를 지수분포(exponential distribution)라 하고, 기호로는
∼ ℰ 로 표현한다. 여기서 이다.Remark
ℰ 분포는 단위시간당 평균적으로 사건이 번 발생하는 실험에서 첫 번 째 사건이 발생할 때까지 걸린 시간에 대한 분포이다.
∼ ℰ 일 때,
의 는
∞・
∞
∞
이고, 이로부터
′
″
′
임을 쉽게 보일 수 있다. 여기에서 는 단위시간당 평균적인 발생 수이므로, 첫 번째 발생 때까지의 시간(
)에 대한 평균이 이 되는 것은 직관적으로도 자명하다.
또한 지수분포는 무기억성(memoryless property)이라 불리는 다음의 성질 즉,
～ℰ 일 때
을 만족한다. 예를 들어, 시간 이상 수명이 지속된 부품(또는 기계)의 수명이 추가 적으로 시간 이상을 더 지속할 확률은, 지금까지 살아온 시간을 무시하고 (memoryless), 새 부품이 처음부터 시간 이상 수명을 지속할 확률과 동일하다는 것이다. 해당 부품이 마모나 노후화 고장은 거의 없으며 우발적 고장이 대부분인 경 우가 이에 해당되며, 이 경우 부품의 수명분포의 모형으로 (무기억성을 만족하는) 지수분포가 사용될 수 있을 것이다.
참고 1. 연속형분포 가운데 무기억성을 가지는 분포는 지수분포가 유일하다. 이산형 분포 가운데는 기하분포가 무기억성을 가진다(2.4절 (예제 5) 참고).
2. 신뢰성공학 등에서 기계 등의 수명(고장날 때까지의 시간)에 대한 분포로 보다 널리 사용되는 분포로는 와이블분포(Weibull distribution), 대수정 규분포(lognormal distribution) 등이 있으며, 이 가운에 와이블분포가 가장 애용된다. 와이블 분포는 지수분포가 확장된 형태의 분포이다(5.3절 연습문제 1번 참고).
3.4 감마분포
감마분포는 지수분포의 확장으로 다음과 같이 정의된다. 즉, 포아송 가정을 만족 하는 실험에서
번째 사건이 발생할 때까지 걸린 시간으로 정의하면,
